CC BY
11
И 3 В Е С Т И Я
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 93 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1958 г.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВЫРАВНЕННЫЕ ЛУЧЕВЫЕ СЕТИ И ОБЩИЙ
СПОСОБ ИХ ПОСТРОЕНИЯ
Б. Ф. КРУТОЙ
(Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела и геодезии)
Способ угловых (лучевых) засечек применяется сейчас только для построения сетей весьма частного вида—из тре> гольных ячеек (триангуляция). Цель статьи—показать, что этим способом могут быть построены сети значительно более общего вида, которые мы назовем лучевыми. В геодезии такая задача ставится и решается впервые [I].
1. Общие свойства лучевых сетей
Основная особенность лучевой сети заключается в следующем. Если в такой сети задать весьма ограниченное количество твердых вершин, боков и лучей, то положение остальных вершин, определяемых, найдется в лучевой сети посредством ряда прямых лучевых з а с е ч е к, выполняемых с соседних твердых и ранее построенных, определяемых вершин сети. Отсюда следует, что основная часть исходных данных лучевой сети состоит из лучевых пучков, лучевиков, истоки которых совмещены с большинством или всеми вершинами, а их лучи направлены в соседние вершины сети.
В дальнейшем мы будем рассматривать только поверхностные выравненные лучевые сети. Так мы будем называть лучевые сети, построенные на какой - нибудь гладкой поверхности, например, на плоскости или сфероиде, посредством поверхностных лучевиков с выравненными лучами. Выравненными же будем называть такие поверхностные лучи, которые обладают тем свойством, что они будут кратчайшими между всякими двумя соседними точками поверхности, лежащими па этих лучах. Отсюда следует, что боками (сторонами') указанных сетей будут отрезки выравненных поверхностных нитей1) между соответствующими вершинами.
Из самого способа построения лучевых сетей последовательными прямыми засечками вытекает, что если в поверхностной выравненной лучевой сети имеется к определяемых вершин, то соответствующая совокупность лучевиков должна обеспечивать образование из нее ровно 2 к независимых углов.
Высказанное требование является только необходимым условием построимости выравненных лучевых сетей на поверхности, Достаточное условие их построимости устанавливается ниже (разд. 5, п. 7).
Нить — одномерное непрерывное множество точек (линия).
Ясно, что необходимое условие построимости поверхностных выравненных лучевых сетей никак не ограничивает вида их ячеек. Поэтому ячейки поверхностной выравненной лучевой сети могут быть какими угодно: треугольными, четырехугольными, пятиугольными и т. п., лишь бы соблюдалось указанное необходимое условие построимости. Однако более желательным будет построение поверхностных выравненных лучевых сетей из смешанных, треугольных и четырехугольных ячеек, так как в этом случае более равномерно осуществляется поверка наблюдений. '
2. Некоторые вспомогательные понятия
Рассмотрим некоторые вспомогательные понятия, необходимые для дальнейшего. В первую очередь уточним и разовьем понятие поверхностного луча.
Назовем поверхностным лучом Лсн нить данной поверхности, выходящую из некоторой точки С этой поверхности, проходящую через другую точку Н той же поверхности и неограниченно продолжающуюся далее на поверхности. Точку С назовем вершиной (точкой стояния), а точку // — точкой наводки данного поверхностного луча Лсн, В соответствии с нашими . целями мы ограничимся рассмотрением только выравненных поверхностных лучен,'образованных выравненными нитями поверхности.
Поверхностный луч Лсн назовём свободным-и обозначим по - прежнему через Лсн1 если известно только, что точки С, //лежат на данной поверхности, но положение этих точек на поверхности не указано.
Поверхностный свободный луч Лсн назовем направленным и обозначим через *\ЛСНу если положение точек С, И на поверхности не указано, но дана направленность | сн этого луча. При этом под направленностью [ ^ луча | Лсн понимаем положение этого луча относительно некоторого заданного на поверхности и проходящего через его вершину С осевого луча оЛс.
Поверхност ный свободный луч Лсн назовем подвижно - приколотым и обозначим через 9Л™, если задана только его точка наводки Н; при заданной только вершине С свободный луч Лсн назовем неподвижно - приколотым и обозначим через (г) Лсн*
Наконец, поверхностные приколотые лучи 9 Лс ■н И ЬЛсну ДЛЯ КО" торых указаны их направленности \ сн и , назовем соответственно подвижно - закрепленным лучом ? Лсн и неподвижно - закрепленным лучом ЪЛсн> Заметим, что луч ЧЛси в отличие от луча 5 Лсн не является вполне определенным на поверхности, так как неизвестно положение его вершины С.
Уточним теперь состав исходных данных в поверхностной лучевой сети. Состав исходных данных назовем необходимым, если при этом составе положение всех определяемых вершин сети получается однозначным независимо от величины возможных ошибок в этих исходных данных. Состав исходных данных назовем расширенным» если из этого состава может быть выделен ряд необходимых совокупностей исходных данных. Построение поверхностной лучевой сети по исходным данным расширенного состава получается всегда из-за их ошибочности многозначным. Отсюда возникает задача взаимного согласования, уравнивания, исходных данных в лучевой сети при их расширенном составе.
В заключение назовем подстилающей ту поверхность, на кото-рои расположена данная поверхностная лучевая сеть.
3. Основные виды поверхностных выравненных лучевых сетей
Рассмотрим теперь основные виды поверхностных выравненных лучевых сетей, разбиение на которые может быть выполнено несколькими способами— в зависимости от выбора обобщающих признаков.
Первый способ разбиения. Среди ряда обобщающих признаков можно прежде всего выбрать наиболее существенный: наличие или отсутствие в поверхностной выравненной лучевой сети направленных лучей 14 Лен• В зависимости отэтого основного признака мы
22
Рис. 1. П р я м о с в я з н ы е направленные лучевые сети
будем различать следующие два подмножества указанных сетей: а) направленные (рис. 1), б) ненаправленные (рис. 2,3). Из дальнейшего будет видно, что построение направленных лучевых сетей выполняется проще, чем сетей ненаправленных.
Второй способ разбиения. Итак, наличие или отсутствие направленности у поверхностных выравненных лучевых сетей является их первым и самым главным обобщающим признаком, согласно которому они могут быть разбиты на два указанных выше подмножества. Но легко убедиться, что эти сети даже более естественно разбивать по другому обобщающему признаку: в зависимости от с по-
Ряс. 2. При м о с в я а и ы е ненаправленные' лучевые сети
с оба связи в них определяемой части с твердыми вершинами. Согласно этому, менее существенному все-таки, признаку мы будем различать следующие три подразделения поверхностных выравненных лучевых сетей: а) прямосвязные, б) обраткосвязные, в) смешанносвяз-ные.
Ниже дается определение каждого из этих подразделений и приводятся примеры соответствующих сетей, принадлежащие к обоим разобранным выше подмпожеавам.
П р я м о с в я з н ы м и назовем такие поверхностные лучевые сети, в которых необходимые для их построения лучевики Л с заданы не только на определяемых, но и на всех твердых вершинах (рис. 1,2), К этому подразделению относится большинство предложенных до
сих пор частных разновидностей поверхностных лучевых сетей—с треугольными ячейками. На рисунке 1 даны примеры направленных, а на рисунке 2— ненаправленных лучевых сетей прямосвязного подразделения.
Обратносвязными будем называть те поверхностные лучевые сети, в которых соответствующая совокупность лучевиков Лс задана только на определяемых вершинах (рис. 3). К настоящему времени
Рис. 3. О б р а т к о с в я з и ы е ненаправленные лучевые сети
были найдены лишь два весьма частных случая сетей этого подразделения: одиночная обратная засечка (задача Потенота) и двойная обратная засечка (задача Ганзена). На рис. 3 даны примеры только ненаправленных обратносвязных лучевых сетей, так как направленные обратносвязные сети отличаются лишь заданием направленности | сн для одного из их свободных лучей Лен.
Наконец, к смешан носвязным отнесем те промежуточного строения поверхностные лучевые сети, в которых лучевики Лс заданы на определяемой части и на некоторых из твердых вершин" (рисунком не представлены). Из предложенных пока разновидностей позерх-ностных лучевых сетей сюда относится одиночная смешанная засечка и редкие случаи сетей треугольников со смешанной привязкой определяемой части к твердым вершинам.
Третий способ разбиения. Кроме описанного выше разбиения поверхностных выравненных лучевых сетей на подмножества и подразделения, возможен еще один способ деления этих сетей на основные виды — в зависимости от состава исходных данных, по которым производится их построение. Согласно последнему обобщающему признаку мы будем различать следующие два объединения поверхностных выравненных лучевых сетей: а) свободные, б) несвободные.
Если в состав исходных данных поверхностной лучевой сети входят, кроме лучевиков, только такие твердые лучи, стороны и вершины, без задания которых невозможно построение всех определяемых вершин сети, то такую лучевую сеть назовем свободной.
Если же в состав исходных данных поверхностной лучевой сети, кроме лучевиков и необходимых твердых лучей, сторон и вершин, входят также избыточные твердые лучи, стороны и вершины,то такую лучевую сеть назовем несвободной.
Нетрудно видеть, что все поверхностные лучевые сети, изображенные на рисунках 1—3, являются несвободными.
Деление поверхностных лучевых сетей на свободные и несвободные необходимо для суждения о степени накопления в них ошибок наблюдений, а также при уравнивании лучевых сетей по расширенным (разд. 2) исходным данным.
4. Последующее разбиение направленных и ненаправленных поверхностных выравненных лучевых сетей на соответствующие роды
Разбиение поверхностных выравненных лучевых сетей на 2 подмножества — направленных и ненаправленных — является, как отмечено выше, основным, так как наличие или отсутствие направлен-н о с т и определяет до некоторой степени большую или меньшую сложность построения этих сетей.
Однако дальнейшее изучение вопроса обнаруживает ряд дополнительных особенностей в построении различных лучевых сетей, принадлежащих к одному и тому же направленному или ненаправленному подмножеству. Это дает повод к разбиению каждого из указанных двVх подмножеств поверхностных выравненных лучевых сетей на 3 промежуточных рода. Непосредственным основанием к такому добавочному разбиению двух основных подмножеств на роды является следующая примечательная особенность поверхностных выравненных лучевых сетей.
Хотя поверхностные выравненные лучевые сети вполне определяются соответствующими совокупностями н е обходи м ы х (разд. 2) исходных данных, но в большинстве случаев эти сети не могут быть сразу построены прямыми засечками по указанным исходным данным. Чтобы осуществить такое построение, требуется найти предварительно некоторые дополнительные данные, вычисляемые по тем же необходимым исходным данным. Такими дополнительными данными могчт быть, например, направленность | ^ или ! сн одного из приколотых лучей & ЛСн или Ч Лен, проходящих через вершины С, Н сети;поло-224
жение одной из определяемых, С или //, вершин сети на закрепленных лучах &Лсн, ЧЛсн или на подстилающей поверхности и т. п.
В зависимости от указанного признака, т. е. в зависимости от числа 5 и состава дополнительных данных, мы будем различать нижеследующие роды поверхностных выравненных лучевых сетей в каждом из указанных выше двух основных подмножеств.
ПОДМНОЖЕСТВО 1. НАПРАВЛЕННЫЕ СЕТИ (рис. 1).
Род 0 (рис. \а)\ 5—0. Дополнительные данные не нужны.
Род 1 (рис. 1 б): 5=1. Дополнительные данные — положение одной из определяемых вершин Н сети на закрепленном луче $ Лсн\ например, на рис. 1 б положение определяемой вершины 3 на закрепленном луче ЬЛ^ з .
Род 2 (рис. 1в): 5 — 2. Дополнительные данные — двумерное положение на подстилающей поверхности той из определяемых вершин сети, с помощью которой может быть начато построение прямыми засечками остальных определяемых вершин сети. Например, на рис. 1 в двумерное положение определяемой вершины 3 на подстилающей поверхности.
ПОДМНОЖЕСТВО II. НЕНАПРАВЛЕННЫЕ СЕТИ (рис. 2,3).
Род 1 (рис. 2 а, За): 8 = 1. Дополнительное данное — направленность | сн или \ сн одного из приколотых ?Лен или ¿Лсн лучей сети. Например, на рис. За — обратная направленность ф Г7.2 подвижно-приколотого луча ? Л\,п ; на рис. 2 а — прямая направленность 151.2 неподвижно -приколотого луча £ Л$1.2
Род 2 (рис. 26, Зб):5 — 2. Дополнительные данные — направленность одного из приколотых лучей сети и положение исходной определяемой вершины на этом луче. Например, на рис. 3 б—направленность ф 1.16 приколотого луча Р Ли^н положение определяемой вершины 1 на этом луче.
Род 3 (рис. 2 в, 3 /?): 5 = 3. Дополнительные данные—направленность одного из приколотых лучей сети и двумерное положение на подстилающей поверхности той из определяемых вершин сети, с помощью которой может быть начато построение остальных определяемых вершин сети. Например на рис. Зв — направленность 12.25ТФИ-колотого луча ? Л2.25 и двумерное положение определяемой вершины
I на подстилающей поверхности.
Из сказанного, таким образом, следует, что в сетях подмножества
II сравнительно с сетями подмножества I требуется указать во всех трех родах лишнее дополнительное данное — направленность | сн или
* сн одного из приколотых 6 Лсн или ? Лен лучей сети.
5. Общий способ нахождения дополнительных данных в поверхностных лучевых сетях и условие определенного решения этой задачи
В разд. 1 было отмечено, что построение лучевых сетей, в том числе и поверхностных, производится последовательными прямыми засечками. Однако уже в разд. 4 было указано, что таким способом поверхностную лучевую сеть можно сразу построить только при 5 =0. Если же 5>0(мы установили, что 0<5-<3), то в этом случае нужно, пользуясь исходными данными лучевой сети, найти сначала 5 её дополнительных данных, а затем уже строить эту сеть последовательными прямыми засечками при помощи всей совокупности исходных и дополнительных данных.
15. И:ш. ТПИ, т. 93. ' 225
Вторая задача очень проста по существу и распадается на ряд однообразных действий. Поэтому мы займемся решением только первой, значительно более трудной задачи. Одновременно с Э1им постараемся установить те условия, при которых указанная первая задача будет иметь определенное решение, если исходные да)нле — необходимого состава.
Итак, мы пришли к постановке следующей важной задачи.
По заданной совокупности необходимых исходных данных определить 5 дополнительных дан них для произвольной поверхностной выравненной лучевой сети 5-го рода, а также выяснить условие определенного решения этой задачи.
Ценой длительных и настойчивых поисков мне удалось разыскять очень простое по замыслу и вместе с тем совершенно общее р*. пте-ние указанной задачи при 5>0(при 5—0 такая задача не возникает). Это общее решение получается путем последовательных рассуждений и вытекающих из них умозаключений, на которых сейчас и остановимся.
1. Допустим, что в поверхностной лучевой сети 5-го рода мы установили каким-нибудь образом значения V,, ... дополнительных данных, согласованные с принятой совокупностью н; обходимых исходных данных. Тогда мы можем, пользуясь указанными необходимыми и дополнительными данными, построить последовательными прямыми засечками соответствующие положения всех определяемых вершин сети. Так как при этом построении кроме необходимых исходных данных было использовано также 5 дополнительных данных, а общее количество данных, потребных для построения взятой сети, должно остаться неизменным, то мы обнаружим, что 5 каких-то необходимых данных окажутся как бы избыточными, не нужными для указанного построения. Внешне это обстоятельство проявится в кажущейся избыточности 5 каких-то необходимых лучей Лт сети. Такие мнимо-избыточные, но в действительности совершенно не обходимые для построения сети лучи мы назовем остаточными и обозначим через £ Лсн• Эти остаточные лучи ЪЛснпфъ согласованных значениях необходимых и дополнительных данных пройдут совершенно точно
Л.
через соответствующие концевые вершины Н.
Вопрос о том, какие лучи в сети окажутся остаточными £ .//г,-» зависит всецело от принятого нами порядка построения этой сети. Поэтому всегда можно добиться того, что остаточными будут любые наперед заданные лучи сети, внутр. нни^ или примыкающие к тп<ф-дым вершинам. Однако определение дополнительных данных выполняется обычно несколько проше, если * качестве остаточных вз:;ггы примычные лучи. Пример такого выбора остаточных лучен предегяв--лен на рис. 1 в. Если в изображенной на этом рисунке л>чевой сети ^ рода принять в качестве дополнительных данных V, пару коо ди-нат Уз вершины 3 в какой - нибудь поверхностной отсчет::-й опоре, то остаточными в этом случае желательно получить луч*:
& Л 18.22 И £ Л 17.21.
2. Предположим теперь, что вместо точных дополнительных
данных _____ мы ьзяли в лучевой сети 5-рода какие-нибудь
приближенные, ошибочные значения этих величин,
плохо согласованные с принятыми необходимыми данными. Ошибоч-226
ность использованных дополнительных данных vi,0',..., v|°> приве-
дет к тому, что приближенные остаточные лучи d построенные по v<°>, v(°), . . . и принятой совокупности необходимых исходных данных, не пройдут вообще через соотве:ствующие заданные по-
rvj
ложения Н своих концевых вершин Н. Легко видеть, что в зависимости от рода остаточных лучей, такими заданными концевыми
<\> оП
вершинами Н для лучей d1 будут:
а) твердые вершины Н—Т сети, если остаточный луч — примыч-
ный с? JInt, идущий с примычной определяемой вершины II на твердую вершину j (на рис. 4 — твердые вершины 22 и 21 для лучей
о
Рис. 4. Построение приближенных остаточных лучей £ Лсн в направленной
лучевой сети 2-го рода
б) ранее построенные приближенные положения определяе-
мых вершин Н сети, если остаточный луч — внутренний с? ЛСН) идущий с определяемой вершины С сети на соседнюю с ней определяемую же вершину И (на рис. 5 — приближенно построенная опреде-
ляемая вершина 1<0) для луча <?Л[°\).
3. Уклонение приближенного остаточного луча Л^ относительно
IX/
его заданной концевой вершины И будем определять поперечил
ным к сТ Л^ направленным отрезком (стрелкой) | л^] поверхностной
выравненной нити от вершины Н до луча 3 Л^(рис. 6, а также рис. 4 и 5). Указанный направленный отрезок | назовем поперечным смещением луча сТЛ^ относительно соответственной концевой вершины И.
Длины поперечных смещений | Х[,°) будем считать также
направленными величинами и с этой целью условимся (рис. 6), что
227
>>>>0, если луч правее луча №>//
I <°» если луч с? левее луча С<0) Н
Эти направленные длины стрелок | при начертательном
Э £>>
(О)
Рис. 5. Построение приближенных остаточных лучей ¿Л ПрИМЫЧН^Х внутренних, в направленной лучевой сети 1-го рода
построении поверхностной лучевой сети находятся, с их знаком согласно (1), непосредственно по чертежу сети, составленному по приб-
5 с
«-0
^ П ^ X* п А пт
V
ЗГ <
5)
а)
<Э
(в)
Рис. 6. Olli еделоаио н<ш>><,пленных длин у стрелок лиженным дополнительным данным и принятым необ-
ходимым исходным данным. В случае же численного способа или смешанного, начертательно-численного, способа построения лучевой сети
228
величины Х<£>, со знаком согласно (1), находятся по их малости с достаточной степенью точности следующим образом (рис. 7):
(2)
Р
л/ сч/
где .р = 206265,. Д^^.САо) /&> = - |причем |<*>и|;.н суть соответственно направленности луча<?Л^ и опорного отрезка С<ыЛЧо)
Рис. 7. Вычисление направленных длин л^' у |
4. Из сказанного выше следует, что поперечные смещения [ Х<°> остаточных лучей в1 Л'^ относительно своих концевых вершин
Н являются в поверхностной лучевой сети 5 т го рода функциями соответствующих приближенных дополнит \яьпых данных V*0), .
vj0»)*•*, у'«) и той части У принятых необходимых данных, которая участвует в определении величину 2). Поэтому, если обозначить через Х[.°) — направленную длину поперечного смещения | =
— | Х<°) для некоторого /-го остаточного луча = & Л\°\ то
мы можем написать, что
Х(°)=/?/ (у<°\ а') (¿=1, 2,..., 5). (3)
При этом очевидно, что для точных дополнительных данных V,, .75>
> V 0 = 0' (¿ = 1, 2, ... , 5). (4)
Пусть
^ = + Ч (у = 1,2,..., 5). (5)
Полагая поправки е^ достаточно малыми, разложим (4) по строке
Тейлора. Тогда вместо (4) будем иметь более развернуто
♦
1) В ненаправленных лучевых сетях для подсчета Х(1>) можно дать более точное
выражение, которое здесь не приводится.
2) В частности, а' = с, где з — полная совокупность необходимых исходных данных поверхностной лучевой сети.
Меркл
Определение 17 Ьополнит, Данного
А у = =
.19.21 '
и
Уравнение Ь.О^ + 41 =»-0
О 10 ' 20
Рис. 8. П -строгиис направленной луч евой сети 1-го рода
о"
г; %
7
м ш^ш««
I , ^ — 4-7-5
$ Определение дополнит. Данных
^ '¿о ^ 17.2!
X?5.0 ^-Ь.5
1410 >7.
а -
х^--Vе)
а - - д Л
а = У* 5
а
- л)?г
еЬоа (&)
■1Чг°Чг+г5=0
+ 0.5^-0.6^+2-0 = О
5)=+о.вг
^ = + 5,0 ^ -г +-7.6
Меркл
О 10 20
Рис. 9. Построение направленной лучевой сети 2-го рода
|)ОпреЬеление
г
дополнительна ДАННОГО ¿
Уравнение (&)•
+ 1.5? -6=0 31
-м
Повор
от сети
я
/А о 10 20
Г7
a2í
Определение
Tè
-0.&54 5 = О
1.30^-1.05^+0.57^- 9.5 = О -1.00$ = 0
Угол поворота
7(с!гГ5.213!-долю
А =-9.71
4=-6.17
"Точно
+ &
\
Определение ЬопрЛНИТвЛбНЫХ Ьднных А ь
С«»-** ;
.
06 _ 5 оэ' у*,«,-+0*5
чМ ЛИ \(с)
а = зо-а ^-«^У*5----! о5
гъ
\(й У4
• -а.
а»'
п?! — т
(6)
д Р
где частные производные-- подсчитываются для ..,
а'). Учитывая теперь (3) и вводя обозначение
(-7Г-1) = .....з) (7)
\ <Ь , Л
приведем (6) к следующему окончательному виду:
\ а1} Н; + ).;.») = 0, (/ = 1, 2,.., 5), (8)
лмя
У—1
где мы обозначили искомые поправки е- (постоянные величины) через
Выражение (8) есть свод 5 плоскостных ') уравнений с 5 неизвестными поправками ?2,..., у,. . ., приближенных дополнительных
данных V;«),.. .Таким образом мы установили, что отыс-
кание для поверхностной выравненной лучевой сети 5-го рода дополни ельных данных V,, V,,..., V,-,..., согласованных с принятыми исхо [н;4ми даиными эт-.й сети, приводится к решению свода" (8) и подсчетам согласно (5).
5 3 мстим теперь, чт > вычисление 5а коэффициентов аи свода (8) с помощью соотношений (7) . е приемлемо с производственной точки зрения, так как: требует составления и дифференцирования функций имеюших очень сложчни и : апутанный вид, особенно для сфероидических .; чевых сетей. Кроме того, все эти вычисления не имеют поверок, что недопустимо. \ о ь-тим же причинам совершенно нелепо прч^сн.-нне указанного способ 1 подсчета коэффициентов а^ при на-чеотат-'ль ом по троении лученоп сети, когда требуются в первую очередь быстрота и простота работы.
При:.е генные соображения побудили меня придумать другой способ отыскания в своде (8) коэффициентов а.ф который состоит из ряда однообразных, хорошо проверяемых действий, и при начертательном построении поверхностной лучевой сети выполняется также начер-т а т е л ьно. Этот спос о б ил а г <1 с- тя н и ж е.
6. Отыскание коэффициентов аи в своде (8) предложенным мною способом основано на томв соображении, что вообще
(»?>, . . ,><;>,..., V]»); а') + У . Ш^О.
]) Плоскостной--употреблено вместо неудачногослопа „линейный".
—пред 1 2 ' J /> **' * ' J /i i > v2 / */ j y /
«/ O
или более сокращенно
XJ/> —
(9)
/ <?F, \ . ЯЯ-Яо) XU) -ay = (-- = пред__;__L_ = пред. -i_
(V = 1,2, -.., s), где в соответствии с (3) положено
Fío) _ fYv(o) v<°) v<°> ví0) • = M°> = Fi (v<°> , v(») ,. . ., v'°) + ey, . . . ,vf ; o') = (10;
-TJ <7) . .(/') _
При этом h —направленная длина поперечного смещения —
= f A( y í - го остаточного луча ¿//¿¿^ = Jf¿
относительно соответствующей концевой вершины Н{Р для того случая, когда построение поверхностной лучевой сети s-ro рода производится по исходным данным (ví°)', . . ., vj.°> + . . v¡0); У).
Но стрелки f при достаточно малых почти совмещаются с исходными стрелками f и меняют свою направленную длину ^ почти пропорционально поправкам Отсюда следует, что при малых г. все s2 коэффициентов в своде (8) можно находить с достаточной степенью точности из соотношения, близкого к (9)
. (])_ . {О) , (Л , (О.
" ] • }
где положено
+ (12)
Выражение (II) является искомым. Заметим, что для направленных лучевых сетей, в особенности—для плоских, это выражение будет не приближенным, а совершенно точным.
7. Чтобы довести до конца нашу задачу об определении 5 дополнительных данных в поверхностной выравненной лу-
231
чевой сети 5-го рода, мы должны еще установить условие определенного решения этой задачи. Таким условием является, очевидно, требование
(13)
где \аи | - определитель свода (8). Если же \аи | — О, или если \аи\ близко к 0, то в этом случае дополнительные данные поверхностной лучевой сети или вовсе не могут быть определены из (8) и (5), или же определяются отсюда весьма ненадежно. Тогда нужно несколько изменить внутреннее строение намеченной лучевой сети или же взять другие остаточные лучи.
Нетрудно понять, что неравенство (13) можно рассматривать и как искомое достаточное условие построимости лучевой сети рода 5 > 0 (разд. 1).
6. Примеры нахождения общим способом дополнительных данных в поверхностных выравненных лучевых сетях
На рисунках 8, 9 и 10, П, 12 даны примеры определения дополнительных данных в поверхностиь:х лучевых сетях предложенным мною способом. Эти определения выполнены начертательным путем, который позволяет наиболее наглядно и просто представить сущность указанного способа и его особенности для поверхностных лучевых сетей различного вида. Вспомогательные вычисления и побочные построения также помещены на этих рисунках.
Рисунки 8, 9 показывают нахождение дополнительных данных в направленных поверхностных лучевых сетях первого и второго рода. Отыскание дополнительных данных в таких сетях выполняется особенно просто, так как в этом случае направленности засекающих
лучей 14 Л® при данных С, Н остаются неизменными для всех Л—ОД,..., 5, т. е. во всех $-[-1 перестроениях сети. В качестве остаточ-
»«и
ных с? Л[сН)( в этих примерах взяты только примычные лучи <? Л[Пт^ . Нетрудно сообразить, что перестроения сетей, выполняемые на рис. 8, 9, являются соответственно их одномерным и двумерным параллельными родственными преобразованиями.
Рисунки 10, 11, 12 поясняют определение дополнительных данных вненапра вленных поверхностных лучевых сетях 1—3 рода. Дополнительные данные в этих сетях находятся более трудоемко, так как при одном из сетевых перестроений берется иная направленность исходного примычного луча, чем в остальных 5 перестроениях. Во всех
трех примерах остаточными взяты только примычные лучи сГ -
Легко усмотреть, что сетевые перестроения, выполняемые на указанных чертежах, являются родственными преобразованиями следующих видов: а) расчлененного поворота (рис. 10), б) расчлененного поворота и одномерным параллельным (рис. 11), в) расчлененного поворота и двумерным параллельным (рис. 12).
7. Сравнение поверхностных выравненных лучевых сетей общего вида
с триангуляцией
Проведенное нами исследование поверхностных выравненных лучевых сетей общего вида позволяет установить следующие замеча-232
тельные особенности этих сетей по сравнению с частным их видом-триангуляцией.
1. Среднее число наблюдаемых лучей на вершинах триангуляции равно 6—7, а в лучевой сети общего вида оно легко может быть сокращено до 3—5 (рис. 1—3). Это облегчает и удешевляет существенным образом полевые работы в таких лучевых сетях.
2. Свободные направленные лучевые сети общего вида, построенные на длинной твердой стороне, дают возможность очень просто переходить от длинной стороны основной сети к сколь угодно малым сторонам заполняющей сети.
Несвободные направленные лучевые сети общего вида, построенные в виде двойной, тройной и т. д. цепи ячеек между твердыми сторонами, позволяют уменьшать сразу в нужное 'число раз длину промежуточных сторон. Этим обеспечивается легкий переход от основной сети к заполняющей сети со сторонами потребной длины.
Упомянутые качества направленных лучевых сетей общего вида, свободных и несвободных, делают их удобным и гибким средством построения заполняющей сети любой густоты, позволяя осуществить переход от основной сети с наименьшим числом ступеней-развития.
3. В отличие от триангуляции поверхностные лучевые сети общего вида могут быть построены таким образом, чтобы в них не возникало других условий, кроме угловых и дополнительных ; или же было только весьма ограниченное количество боковых и вершинных условий (рис. 1—3). Это позволяет довольно просто уравнивать такие упрощеннолучевые сети по условным наблюдениям, а еще лучше— по анеровским условно-косвенным наблюдениям [2].
4. Ввиду меньшего количества наблюдаемых лучей в упрощенно-лучевых сетях по сравнению с триангуляцией, их вершины определяются с несколько меньшей точностью, чем в триангуляции. Однако сопоставление для сравниваемых сетей соответствующих «-мерных единичных эллипсоидов ошибок вида
С1{пп) Х(п) Х{п) = 1, (14)
где щпп) — матрица косвенных нормальных уравнений, показывает, что различие в размерах одноименных осей у триангуляционного и уп-рощеннолучевого эллипсоидов (14) не превышает в среднем 10—20%. Поэтому при достаточно высокой точности угловых наблюдений имеются все основания заменять триангуляцию более дешевыми упро-щеннолучевыми сетями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Berichte zur X. Generalversammlung der J. U. G. G.—Assoziation für Geodäsie—in September 1954 in Rom 1955, Stuttgart.
2. Aner. Ausgleichung durch Anwendung des arithmetischen Mittels. Z. f. Vermessungswesen, H. 3, 1926, Stuttgart.
