CC BY
60
УДК 514
И. А. Долгарев
ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ ПО СИМВОЛАМ КРИСТОФФЕЛЯ
Установлена определяемость метрической функции поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея символами Кристоффеля, а значит, установлена определяемость и первой квадратичной формы поверхности символами Кристоффеля. Приведены примеры получения метрической функции по заданным символам Кристоффеля. Поверхности являются изометричными только в случае, если у них одни и те же символы Кристоффеля. Указаны поверхности, определяемые символами Кристоффеля, и поверхности, для которых не существует изометричных (неизгибаемость поверхностей). Рассмотрен пример класса поверхностей пространства Галилея с евклидовой метрической функцией. Получено выражение полной кривизны поверхности через символы Кристоффеля.
Поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея однозначно определяются коэффициентами своих первой и второй квадратичных форм [1]. Влияние свойств коэффициентов квадратичных форм поверхности на свойства поверхности изучается в [2]. Имеются примеры получения поверхностей по заданным коэффициентам их квадратичных форм [3]. Ниже рассмотрены случаи определяемости поверхностей пространства-времени Галилея их символами Кристоффеля. Получено выражение полной кривизны поверхности через символы Кристоффеля. Установлена определяемость метрической функции поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея, следовательно, и первой квадратичной формы поверхности, символами Кристоффе-ля. Рассмотрены вопросы изометричности поверхностей. Указаны примеры поверхностей, для которых не существует изометричных поверхностей. Приведен пример большого разнообразия поверхностей с заданной метрической функцией.
1 Поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея
1.1 Пространство Галилея Г3
Пространство-время Галилея Г3 размерности 3 является прямой суммой 1-мерного временного пространства Т и 2-мерной действительной плоскости Е2:
Г3 = Т + Е2.
Временное пространство Т совпадает с полем И действительных чисел. Точки из Г3 называются еще событиями. В Г3 вводится система отсчета -репер В = (0,е,г,]) ; О - начало отсчета, е - единичный вектор времени; (О, г, 7) - репер евклидовой плоскости Е2. События записываются в виде М = (г, х, у), вектор ОМ есть
ОМ = у = (г, х, у) = ге + х1 + у] ,
ге - временная составляющая вектора у ; х1 + у] - пространственная составляющая вектора у.
3
Векторы у составляют галилеево векторное пространство Уг . Пространство-время Галилея Г3 может быть построено в аксиоматике Г. Вейля как 3-мерное аффинное пространство, в котором введено галилеево расстояние между точками. Пусть N = (^, Х1, У1) - еще одна точка. Галилеевым расстоянием между точками Ми N называется число
| MN | =| ?1 - г |, если ?1 Ф г, т.е. события М , N неодновременны;
| MN | =д/(Х1 - х)2 + (У1 - у)2 , если ?1 = г, т.е. события М , N одновременны.
Направлением во времени считается полупространство в Г3 , содержащее вектор е , граница которого совпадает с плоскостью Оху. Через каждую
12 2 точку А = (а, а , а ) проходит единственная евклидова плоскость Еа . Направлением времени в точке А считается полупространство с границей Е^, содержащее вектор е .
Вектор г = (0, х, у) называется евклидовым, его записываем в виде г = (х, у); вектор у = (г, х, у), г Ф 0, называется галилеевым. Считается, что всякий евклидов вектор перпендикулярен всякому галилееву вектору.
Плоскость, определяемая точкой А и векторами у, г, обозначается
< А, у, г >. Плоскость < А, г, ^ > является евклидовой, плоскости < А, у, г >,
< А,у,У1 > галилеевы. Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея построена в [4].
1.2 Поверхность
Основные сведения о поверхностях содержатся в [4]. Регулярная по-
3 3
верхность класса С в естественной параметризации в пространстве Г описывается галилеевой векторной функцией
у(г,и)=(г,х(г,и),у(г,и)), (г,и)е Б сЕ , (1)
г - временной параметр точек поверхности; и - пространственный параметр.
Временная составляющая поверхности у(г, и) есть ге , пространственная составляющая - г (г, и ) = ( х(г, и), у (г, и)), это векторное поле евклидовой 2
плоскости Е , заданное на области Б . Имеется разложение
у(г, и) = ге + г (г, и).
Частные производные функции у(г, и) таковы:
Уг =(1, хг, уг )= е + гг, Ум = ги =(хи, уи).
В каждой точке Р поверхности определяется галилеева касательная плоскость < Р, уг, ги > .
Первая квадратичная форма поверхности у(г, и) (1) такова:
2 2
ds = йг , если г изменяется;
2 2
= Е(г, и)йи в любой фиксированный момент времени, причем
Е = Е(г, и) = х2 + у1 = > 0 . (2)
Первая квадратичная форма поверхности определяет галилееву метрику на поверхности (т.е. квазиметрику), поэтому вид первой квадратичной формы поверхности такой же, как вид галилеева расстояния между точками в
Г , п. 1.1. Функция Е = Е(г, и) называется метрической функцией поверхности (1). Единичный вектор нормали поверхности равен
п = ^= (“ уи, хи). (3)
Вторая квадратичная форма поверхности у(г, и) имеет вид
II = Айи2 + 2 Вйийг + Сйг2,
ее коэффициенты вычисляются по производным второго порядка функции (1) и нормальному вектору (3):
А = гиип , В = гшп , С = ГггП .
Полная кривизна поверхности равна
К = АС - В2.
Имеет место аналог формулы Гаусса:
К = ф-ТЕгЕ . (4)
4Е
Полная кривизна поверхности выражена через коэффициент Е первой квадратичной формы поверхности и его производные, следовательно, полная кривизна поверхности относится к ее внутренней геометрии.
В работе [4] также в^1числены символы Кристоффеля поверхности у(г, и) :
ЕЕ
Г11(г,и) = 0, Г12(г,и) = Г21(г,и)^^— , Г22(г,и)=~^и , Гг/(г,и) = 0. (5)
2Е 2Е
Символы Кристоффеля относятся к внутренней геометрии поверхности. В работе [2] по коэффициентам первой и второй квадратичных форм поверхности у(г, и) (1) составлена система дифференциальных уравнений с частными производными:
х2 + у1 = Е (г, u),
- хииуи + уиихи = А(г, и УЕ(г, и), (6)
- хгиуи + угихи = B(г, и^Л/Е(г^,
- хггуи + уггхи = С (г, и VЕ (г, и);
решением которой является пара функций (х(ї, и), у(ї, и)). При соответствующих начальных условиях имеется единственная пара функций (х(ї, и), у(ї, и)) - пространственная составляющая поверхности у(ї, и) (1), таким образом, поверхность пространства-времени Галилея Г3 однозначно определяется коэффициентами своих квадратичных форм (аналог теоремы Бонне евклидовой геометрии).
2 Свойства символов Кристоффеля
2.1 Формула для полной кривизны поверхности
Используем аналог формулы Гаусса (4) и вычислительную формулу для одного из символов Кристоффеля из (5).
Теорема 1. Полная кривизна поверхности пространства Галилея Г3 выражается через метрическую функцию поверхности и один из символов Кристоффеля:
К = -Е
((ГІ2)2 + (Г^2)ї). (7)
# Продифференцируем по временному параметру ї функцию ГІ2 (ї, и) =
Е
—-, приведенную в формулах (5):
2Е
(ГІ2)ї =
ҐЕ, \ _1 ЕНЕ - Е2
2Е I 2 е2
Сравним результат дифференцирования с формулой Гаусса (4), выделяя значение полной кривизны:
(ГІ2)ї =
1 ЕиЕ - Е2 = - 1 2Е2 - 2ЕиЕ = __1_
2 Е 2 Е 4Е Е
Е2 - 2ЕїїЕ + е2Л 4Е 4Е
\
К
ґ
Еї I К /т-1 \2
V 2Е) Е
Е
Отсюда получаем формулу (7). #
2.2 Метрическая функция поверхности
На основании вычислительных формул символов Кристоффеля справедлива
Теорема 2. Если заданы дифференцируемые функции на области Б евклидовой плоскости, то метрическая функция Е = Е(г, и) поверхности у(г, и) (1) 3-мерного пространства-времени Галилея определяется ее символами Кристоффеля; она определяется решением дифференциального уравнения с полным дифференциалом
Г12 йг + Г 22йи = 0, (8)
или системы дифференциальных уравнений
Е = 2 ЕГ}2,
I * 12 (9)
Ей = 2Ег22.
Масштаб измерения времени в событиях на поверхности определяется
у'1
символом Г 11 .
# Уравнения системы (9) получаются из ненулевых формул для символов Кристоффеля. Символы Кристоффеля в формулах (5) выражаются через логарифмические производные метрической функции. Продифференцируем ненулевые символы Кристоффеля:
(Г ) = 1 ЕгиЕ - ЕгЕи (Г ) = 1 ЕигЕ - ЕиЕг (Г12)" = 2 Е2 ■ ( 221‘ = 2 Е2 •
Совпадение правых частей равенств означает, что имеется уравнение (8) с полным дифференциалом. Его решением является функция
Ь(г, и) = 1п Е (г, и) + 1п с = 1п сЕ (г, и),
определяемая уравнением (8) с точностью до постоянного сомножителя. Функция Цг,и) в окрестности точки (*о,ид) из области Б задается формулой
г и
Ь(г,и)= |Г^(г,и)йг + |Г22(г0,и)ёи,
г0 и0
см. [5, с. 96]. Теперь
Е (г, и ) = - вЬ(г ,и). (10)
с
По формуле Г^(г, и) = 0 находим
!■
ГцЖ = С. (11)
Эту постоянную считаем масштабом измерения времени на поверхности у(г, и). Полагаем С = 1. #
Аналога теоремы 2 в евклидовой геометрии нет.
Функции Ггу (г, и) в евклидовом пространстве задают объект связности на области Б и восстанавливают геометрию на области, где они заданы [6, с. 407-408]. В геометрии Галилея символы Кристоффеля Гу (г, и), т.е. галилеева связность, определяет метрическую функцию поверхности, заданной на области Б.
3 Поверхности с заданными символами Кристоффеля
3.1 Изометричные поверхности
Две поверхности называются изометричными (изгибаемыми одна на другую), если между ними можно установить взаимно однозначное соответ-
ствие такое, что расстояния на поверхностях между соответственными точками равны между собой. Достаточным условием изометричности поверхностей в евклидовом пространстве является совпадение первых квадратичных форм поверхностей [7, с. 131].
В пространстве Галилея рассмотрим поверхности с одной и той же метрической функцией. Поверхности изометричны. По теореме 2 метрическая функция поверхности пространства Галилея определяется ее символами Кристоффеля. Таким образом, выполняется следующая
Теорема 3. Регулярные поверхности изометричны, если они имеют одни и те же символы Кристоффеля и одно и то же значение постоянной с в равенстве (10). Каждое частное решение дифференциального уравнения (8) или системы (9) определяет класс попарно изометричных поверхностей. #
Разные классы изометричных поверхностей определяются разными значениями постоянной величины с в равенстве (10) в доказательстве теоремы 2.
Взяв в равенстве (11) для одной поверхности С = -^-, где с входит в
(10) и С = с для другой поверхности, получаем, что расстояния между точками одной поверхности в С раз отличаются от соответствующих расстояний на другой поверхности. Это соответствие подобия для поверхностей.
Как показывают примеры, см. [2], разного вида поверхности могут иметь одну и ту же метрическую функцию. Эллиптический параболоид
раметризации эллиптического и гиперболического параболоидов пространства Галилея, в которых между поверхностями устанавливается изометрическое соответствие.
Если все коэффициенты E, A, B, C первой и второй квадратичных форм поверхности y(t, и) (1) являются функциями временного параметра t, то коэффициенты A, B, C второй квадратичной формы поверхности являются функциями коэффициента E первой квадратичной формы поверхности, см. [2]. Если E = E(и), то коэффициенты A, B, C являются функциями коэффициента E только в случае A = B = 0 и C = const [2], т.е. не зависят от коэффициента E (в работе [8] не указаны значения параметров p и q). Поверхность пространства Галилея однозначно определяется коэффициентами своих квадратичных форм [2]. Поэтому справедлива на основании теоремы 2 Теорема 4. Поверхность пространства-времени Галилея однозначно определяется заданными символами Кристоффеля, если все коэффициенты
и гиперболический параболоид
2
имеют метрическую функцию Е = 1 + и . Это означает, что существуют па-
3.2 Определяемость поверхности пространства-времени Галилея символами Кристоффеля
квадратичных форм поверхности зависят от временного параметра t и в случае, если E = E(и), A = B = 0, C = const. #
Соответствующего аналога в евклидовой геометрии нет.
3.3 Неизгибаемость некоторых поверхностей
Сфера евклидова пространства неизгибаема (теорема Либмана [7, с. 140]), т.е. не существует ни одной поверхности евклидова пространства, отличной от данной сферы и изометричной этой сфере. На основании п. 3.2 выполняется
Теорема 5. Всякая поверхность, все коэффициенты квадратичных форм которой зависят только от временного параметра t, неизгибаема.
# У разных поверхностей с указанными свойствами квадратичных форм не может быть одинаковых метрических функций. #
Существуют и другие неизгибаемые поверхности.
3.4 Примеры получения метрических функций поверхностей по символам Кристоффеля
Зададим символы Кристоффеля. Рассмотрим различные случаи.
1 р1 = 1 • р1 = 1
1 112 = — • 1 22 = —.
2t 2и
Найдем метрическую функцию E = E(t, и), используя формулы для
, используя систему
E
дифференциальных уравнений (9). Имеем уравнение
1 Et 1 Eu
символов Кристоффеля T^t, u) = —-, Г22^, u) =——
2E 2E
Еи ёи
—ёи = —.
2Е 2и
При интегрировании по пространственному параметру и появляется слагаемое С (г), зависящее от временного параметра г:
1п Е = 1п и + 1п С1 (г),
откуда
Е = иС1(г )• (12)
Находим производную по параметру г: Ег = иС{ (г). Разделим обе части уравнения на Е = иС1(г), см. (12), т.к. Е > 0 :
Ег _ иС[ (г) _ С{ (г)
E uC1(t) C1(t)
, при u Ф О .
С использованием значения символа Кристоффеля :
2 Г12 = 1 = El .
12 t E
Интегрируя последнее уравнение по параметру t , имеем ln t = ln C1(t) - ln c , c = const.
Таким образом,
Ci (t) = ct.
По равенству (12) находим метрическую функцию поверхности с заданными символами Кристоффеля:
Et = ctu.
При c = 1 E = tu .
2 г1 = L . Г1 = u
2. Г 12 = “Ї-----2 ; Г 22 = ---------2
t2 + u2 t2 + u
Так как 2 Г22du = 22u 2 , то t2 + u
Eu 2udu
-fdu = ~2-----2.
E t2 + u 2
2 2
Получаем ln E = ln(t + u ) - ln Q(t), значит
поэтому
C1(t) E = t2 + u 2, (13)
С1(г)
Дифференцируем равенство (13) по параметру г :
С{ (г) Е + С1(г) Е( = 2г.
Результат дифференцирования делим на ненулевую функцию (14):
Ф)+С1«) -Е-=
Е г2 + и 2
Е 1 г
Так как —- = Г12 (г, и) = --т-, то имеем дифференциальное уравнение
2Е г2+и2
Cl(t) + Ci(t),
2 2 2 2
t2 + и 2 t2 + и 2
следовательно, C{(t) = 0, значит Q(t) = c = const. Теперь по формуле (14) имеем:
E = !(t2 + и2). с
При с = 1 E = t2 + и2.
3. г12 =-------1----• Г22 = 0.
12 2(t - а) 22
Интегрируя второе равенство по параметру и, получаем
Е = С1(г). (15)
Тогда Ег = С{(г); после деления выражения (15) на 2Е = 2С^г) имеем дифференциальное уравнение
Е., С1(г) йг С1(г) ,
— = —или----------------- =—йг.
2Е 2С1(г) 2(г - а) 2С1(г)
Решение уравнения: 1п(г - а) = 1п С1 (г) - 1п с , значит С^г ) = с(г - а). По формуле (15)
Е = с(г - а).
При с = -1 Е = а - г.
4. Г12 = 0; Г22 = 0. Интегрируем уравнение
вида (8). Его решение
0& + 0ёы = 0
Е = с.
3.5 Примеры изометричных поверхностей с заданной метрической функцией
В работах [2, 3] найдено семейство из поверхностей с евклидовой мет-
2 2
рической функцией Е = г + и . При отыскании поверхностей использована система дифференциальных уравнений (6) и функции
г и
А =
, В = -
I2' 2
, С = 0.
1г + и л/ г + и
Общее решение системы дифференциальных уравнений (6):
2
у(г, и ) =
л
и
ї, їи + С^ї + Сз^^—+ С2? + С4
(16)
Это семейство изометричных поверхностей с евклидовой метрической
2 2
функцией Е = г + и . Рассмотрим различные значения коэффициента С второй квадратичной формы поверхности.
Прежде воспроизведем метод получения функции (16). Система уравнений (6) конкретизируется так:
2 2 2 2
*2 + Уи = ї2 + и2,
хииУи + уиихи = ї,
- хїиУи + Уїихи =-u,
- хїїУи + Уїїхи = С.
(17)
По виду первого уравнения системы вводим обозначения
хи = г, Уи = и • (18)
Находим
хии = 0 Уии =1, хиг = 1 Уиг = °-
Введенные функции (18) удовлетворяют второму и третьему уравнениям системы (17). Интегрируем функции (18) по параметру и :
и 2
х = ги + Сх(г), у = — + С2(г). (19)
Для отыскания функций С[(г) и С2(г) дифференцируем функции (19) дважды по параметру г и используем четвертое уравнение системы (17):
хгг = СГ(г), Угг = С2(г); (20)
-С1(г )и + С2(г )г = 0. (21)
Параметры г, и принимают произвольные значения; равенство (21) выполняется только при условиях
С1(г ) = 0, С2(г ) = 0.
Следовательно
С_(г) = С^ + С3, С2(г) = С2г + С4,
где С постоянны. Тем самым получена функция (16).
1. С = Vг2 + и2 , Су[Е = г2 + и2.
Четвертое уравнение системы (16) таково:
- хггУи + Уггхи =г 2 + и 2-Подставляя сюда функции (18) и (20), получаем
- С_(г )и + С2(г )г = г2 + и 2.
Уравнение удовлетворяется при
С_(г ) = -и, С2(г )= г.
В этом случае
г 2и гз
С1(г) =-------+ С1г + С3, С2(г) = —+С2г + С4,
2 6
и функции (19) таковы:
.2 2 .3
г и и г „ „
х = ги--+ С^ + С3 , у =----------+ —+ С2г + С4 •
2 2 6
Имеем семейство поверхностей
л
у(ї,и)— ї, їи----+ С-\ї + Сз,--------\-----+ + С4
/
2 2
с рассматриваемой метрической функцией Е = ї + и ; эти поверхности от-
личны от функций (18).
2. С = . 1 , ^л/Е — 1.
./,2 , ,.2
л/ ї 2 + и
Четвертое уравнение системы (16) таково:
Л + Уп-и = 1
Уравнение удовлетворяется следующими функциями:
2.1 С\(ї) — 0, С2(ї )—\.
2.2 С\(ї) — - \, С2(ї )—0.
и
ї -1
2.3 С\(ї)—-, С2(ї )—1.
и
2.4 С[(ї) — ї, С2(ї)— 1 + и
и так далее. Возможности выбора функций С1(г) и С2(г) не ограничены. Следовательно, класс поверхностей пространства-времени Галилея с метри-
от выбора коэффициентов второй квадратичной формы поверхности. А всякий набор таких коэффициентов определяет поверхность согласно доказанному в работе [2] аналогу теоремы Бонне.
1. Долгарев, И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2006. - № 5 (26). - С. 51-60. - (Естественные науки).
2. Долгарев, И. А. Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея : дис. ... канд. физ.-мат. наук / И. А. Долгарев. - Пенза : ПГУ, 2007. - 120 с.
3. Долгарев, И. А. Поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея как решения систем дифференциальных уравнений с частными производными / И. А. Долгарев // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики : межвузовский сборник научных трудов. - Пенза : ПГТА, 2007. -
4. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.
5. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. - М. : Гостехиздат, 1959. - 468 с.
6. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956. - 420 с.
2 2
ческой функцией Е = г + и очень разнообразен, это разнообразие зависит
Список литературы
С. 7-11.
7. Розендорн, Э. Р. Теория поверхностей / Э. Р. Розендорн. - М. : Физматлит, 2006. - 304 с.
8. Долгарев, И. А. Поверхности 3-мерного пространства Галилея, коэффициенты квадратичных форм которых являются функциями только времениподобного параметра или только пространственноподобного параметра / И. А. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвузовский тематический сборник научных трудов. - Вып. 38. - Калининград : КГУ, 2007. - С. 25-28.
