Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

И. А. Долгарев

НАХОЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В 3-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ГАЛИЛЕЯ ПО ЕЕ КВАДРАТИЧНЫМ ФОРМАМ

Рассматриваются решения дифференциальных уравнений, возникающих при нахождении поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по заданным коэффициентам первой и второй квадратичных форм.

Свойства регулярных кривых и поверхностей 3-мерного галилеева пространства-времени изучаются в [1, 2]. Определено галилеево пространство-

время (в дальнейшем - пространство Галилея Г3) на 3-мерном аффинном пространстве посредством введения на его линейном пространстве Ь галилеева скалярного произведения векторов. Линейное пространство Ь3 рас-

3 12 12

сматривается в виде Ь = Ь + Ь ; на каждом из пространств Ь , Ь задается

евклидово скалярное произведение векторов, получаем галилеево векторное

3 12 12

пространство V- = V + V , где V , V - евклидовы векторные простран-

12 12 1 ства. Если х = (х,х ,х ), у = (у,у ,у ), где (х,0,0), (у,0,0)е V ;

(0,х1,х2), (0,у1,у2)е V2, то

х у = ху, если х Ф 0 , или у Ф 0;

х у = х1 у1 + х2 у2, если х = у = 0 .

Галилеев скалярный квадрат х2 вектора х равен

г 2 2

х = х , если х Ф 0 ;

—2 12 2 2

х = (х ) + (х ) , если х = 0 .

3

Пространство V]- не содержит изотропных векторов, т.е. ненулевых

1 2

векторов, скалярный квадрат которых равен 0. Векторы (0, х , х ) называют-

1 2

ся евклидовыми, векторы (х, х , х ), х Ф 0 , называются галилеевыми. Векторы х , у называются перпендикулярными, если х у = 0. Всякий галилеев

вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.

3 12 12

Точки пространства Г А = (а, а , а ), В = (Ь,Ь ,Ь ) определяют вектор

АВ = (Ь - а, Ь1 - а1, Ь2 - а2).

Расстояние между точками А и В есть |АВ| = л/аВ2 и равно | АВ| = |Ь - а , если Ь Ф а ;

| АВ| = ^/(Ь1 - а1)2 + (Ь2 - а2)2 , если Ь = а .

Производная векторной функции

у(г) = (х(г), х1(г), х2(г)), t е I с И,

есть функция

у (г) = (х'(г), х,1(t), х2(t))

1 2

при условии, что х(г), х (г), х (г) дифференцируемы на I.

3

В пространстве Галилея Г рассматриваются регулярные кривые у(г) = (г, х(г), у (г)), г е I; это естественная параметризация кривой. Вектор касательной

у (г) = (1, х(г), у (г))

является единичным ||у|| = 1 и галилеевым. Кривые с евклидовыми касательными векторами изучает евклидова геометрия. Пусть кривая задана в репере В = (О, е, г, ]) пространства Галилея. Она может быть представлена в виде

у (г) = ге + г (г), г(г) = х(г)! + у(г) ].

Составляющая ге является времениподобной, составляющая г (г) является пространственноподобной - это проекция кривой у(г) на евклидову

2 г г

плоскость Е = (О, I, ]> пространства Галилея.

Всякая галилеева плоскость пространства Галилея определяется точкой, галилеевым вектором и евклидовым вектором, например, координатные плоскости (О, е, г} , (О, е, ] > галилеевы, а плоскость (О, г, ] > евклидова. Галилеева геометрия изучает поверхности, имеющие галилеевы касательные плоскости. Поверхности, имеющие евклидовы касательные плоскости, могут быть изучены средствами евклидовой геометрии. Всякая регулярная поверхность пространства Галилея, обладающая галилеевыми касательными плоскостями, может быть задана в естественной параметризации

у(г, и ) = (г, х(г, и), у(г, и)), (г, и) е Б с Е2, (1)

3

где х(г, и), у (г, и) - функции класса С . Поверхность у (г, и) может быть записана в виде

у(г, и) = ге + г (г, и), г (г, и) = (х(г, и), у (г, и)), (2)

где ге есть времениподобная составляющая поверхности у(г, и); г (г, и) -пространственноподобная составляющая поверхности у(г, и), это проекция

поверхности у(г, и) на евклидову плоскость Е , векторное поле евклидовой плоскости, заданное на области Б . Касательная плоскость поверхности у(г, и) в точке Р поверхности есть (Р, е, ги} , вектор производной ги вычислен в точке Р. Единичный вектор п нормали является евклидовым, п ± ги и

п ^|ГП|(-уи , хи ). (3)

Первая квадратичная форма поверхности у(,, и):

йт2 = Ейи2; (4)

е = Г2 = Хи2 + Уи2; (5)

вторая квадратичная форма поверхности:

II = Айи2 + 2 Бйийг + Сй,2; (6)

А = ГииГ , В = Ти,п , С = • (7)

Коэффициенты Е, А, В, С вычисляются в точке Р = (,0, и0) поверхности

и являются регулярными класса С2 функциями, определенными в области Б . Для поверхности имеют место деривационные формулы:

Е Е

тии =1ити + Ап, тиг =^Ьти + Вп, т,, = СП; (8)

2Е 2Е

формула Гаусса:

К = АС - В2= Е + 2,Е??Е ; (9)

4Е 2

и формулы Петерсона-Кодацци:

АЕ, - ВЕи = 2Е(А, - Ви), ВЕ( + 2Е(Ви - Си) = 0. (10)

2 3

Таким образом, если на области Б с Е в пространстве Галилея Г за-

3

дана регулярная класса С поверхность у(,, и) в естественной параметризации, то определяются четыре скалярные функции

Е = Е(и,,) > 0, А = А(и,,), В = В(и,,), С = С(и,,) (11)

на этой области Б, являющиеся коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности в каждой точке (и,,) области задания поверхности; получаемые функции Е, А , В, С связывают уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци, и выполняются деривационные формулы - разложения производных второго порядка по векторам ти и п - евклидовым векторам касательной и нормали поверхности.

3

1. Определение поверхности пространства Г по коэффициентам первой и второй квадратичных форм

1.1 Постановка задачи

На односвязной области Б евклидовой плоскости пространства Гали-

2

лея заданы функции (11) класса С , для которых выполняются уравнения (9), (10). Требуется найти векторную функцию т(,, и) = (х(,, и), у(,, и)) на той же области, производные которой удовлетворяют соотношениям (3), (5), (7), (8) и начальным условиям

Г(,0, и0) = а , ги (,0, и0)= Ь , Ь =4Ё, г, (,0, и0)= с , (12)

где (mq,to) е D ; a,b,с - заданные векторы, причем векторы b,с не коллине-арны. Тогда однозначно, с точностью до положения в пространстве Галилея, определяется поверхность y(t, м) (1), имеющая разложение (2):

Y(t, и) = te + r (t, m) ,

первая и вторая квадратичные формы которой совпадают с (4) и (6). Кроме того, выполняются также

3

(р) поверхность Y(t, и) (1) определяется функцией класса C , следовательно, компоненты x(t, и), y (t, и) функции r (t, и) удовлетворяют обычным условиям

C3 -функций: смешанные производные этих функций не зависят от порядка дифференцирования.

Сформулированная задача сводится к доказательству теоремы, аналогичной теореме Бонне [3], евклидовой геометрии.

Основная теорема. Если на односвязной области D евклидовой плоскости заданы функции (11) класса C , для них выполнены условия (9), (10), то существует на области D функция r (t, и), удовлетворяющая соотношениям (3), (5), (7), (8). В пространстве Галилея Г существует единственная, с точностью до положения, определяемая условиями (12), поверхность Y(t, и) =te +r(t, и), первой и второй квадратичными формами которой являются (4) и (6), коэффициенты которых совпадают со значениями заданных функций (11) в точках области D .

1.2 Отыскание функции ru

Неизвестную функцию ru записываем в виде

ru =( хи, Уи ^ хи = хи (и, ^ Уи = Уи (^t).

Все рассмотрения ведутся для (u, t) е D. Считается, что функция ru удовлетворяет условиям первому и второму из (7). Согласно (5):

хи2 + Уи2 = E .

Введем обозначения:

хи = g , Уи = h . (13)

На основании равенства

g 2 + h2 = E

можно положить:

g =y[E cos w, h = 4E sin w, (14)

w = w(u, t) - некоторая неизвестная функция. Рассмотрим функцию n = n(и, t):

n = -^(~Уи, хи ) = (-sinw,cosw). (15)

Выполняется

run = 0 т.е. ru 1 n ;

и n является единичным вектором нормали искомой поверхности. Первое и второе равенства из (7) принимают вид

- guh+hug = ; (16)

- gth+htg = WE. (17)

Находим по (14):

Eu cos w - ^Ewu. sin w, hu = E“ sin w + ^Ewu, cos w;

6и 24Ё и ' и 24Ё

используя (16), получаем

Еии = А^ , ии =~АЁ •

По уравнению (17) получаем

В

и =ТГ

Проверим выполнимость условия ии, = и,и :

д А 2А,Е - АЕ( 2ВиЕ - АЕ,

wut = Т“Н=) = __ Г- , wtu =

u

ut dt 4EJ 2e4E ' tu 2e4E

Из первой формулы Петерсона-Кодацци (10) имеем

2AtE - AEt = 2BuE - BEu ,

следовательно,

д Г A Л д Г A

wut wtu, dt ^VEJ du [JE

Имеем уравнение с полным дифференциалом A B

—j=du + —;= dt = 0 (это уравнение wudu + wtdt = 0). (18)

VE vE

Согласно теории дифференциальных уравнений, решение этого уравнения существует, тем самым функция w = w(u, t) найдена как решение уравнения (18).

Это означает, что найдена векторная функция ru :

r = (VE cos w, -v/E sin w), также функции (1З) и векторная функция (14). Начальное условие, см. (12),

r 12

r(u0,t0)= b =(b ,b ),

или в компонентах

хи = b1, Уи = b2 ,

определяет единственное значение функции ru и единственное значение функции n в точке (Mq,to), где

n = (- sin w,cos w).

1.3 Отыскание функции rt

Функцию rt = (х,, yt) найдем по разложениям (8). По второму из этих разложений:

Э r Et r Dr

— rt =—- rM + Bn ,

Эм t 2E

функции ru и n найдены в п. 1.2. Запишем указанное разложение в компонентах, используя (14), (15):

Э Et I— . Э Et I— .

—х, =-------vE cos w- Bsin w, — У, =------VE sin w + Bcos w.

Эи t 2E Эи 2E

По второму из разложений (8) имеем

Э ^ • Э

—х, =-C sin w, —у, = C cos w .

Э, t Э,

Согласно условию (р), получаем уравнения с полным дифференциалом -у/e cos w - Bsin w Idu -Csin wdt = 0;

( El

K 2E

(E i— ^

—-\]E sin w + B cos w I du +Ccos wdt = 0;

12E )

решение первого из них есть функция х1 = х, (m, t), а решение второго -

функция yt = yt (и, t). Это означает, что найдена функция rt. По начальному

1 2

условию rt = с (с , с ) (12) определяется единственная функция rt, для которой х, (хо, to) = с1, У, (хо, to) = с2.

1.4 Отыскание функции r

Функции ru = (хи, yu), rt =(х,, у,), удовлетворяющие поставленным в

п. 1.1 условиям, найдены в п. 1.2 и 1.3. Согласно условию (р), имеем два

уравнения с полным дифференциалом

х^и + xtdt = 0, yudu + y,dt = 0.

Их решение есть функция r(m,t) = (х(м, t), y(u, t)), начальное условие r(хо,,q) = a , см. (12), определяет единственную функцию r(m,t).

1.5 Поверхность с заданными квадратичными формами

Согласно п. 1.4, условия основной теоремы п. 1.1 обеспечивают существование единственной векторной функции г (и,,); тем самым существует

2

единственная поверхность у(,, и) = (,, х(, , и), у(,, и)), (,, и) е Б с Е , пространства Галилея Г , определяемой функциями (11). В п. 1.2 по условиям основной теоремы найдена функция ти . Так как уи = ти и ти2 = Е, то найденная

2 2

поверхность у(,, и) имеет первую квадратичную форму (4) йт = Ейи . Также в п. 1.2 найден вектор п - единичный вектор нормали поверхности у(,, и). По формулам (8) получаем, что поверхность у(,, и) имеет вторую квадратичную форму (6) с заданными коэффициентами А, В, С. Действи-

(Е ^

тельно, например, по первому равенству в (7): тиип = —ити + Ап Iп = А.

^2Е )

Следовательно, основная теорема об определяемости поверхности пространства Галилея функциями, задающими квадратичные формы поверхности, сформулированная в п. 1.1, доказана полностью. В точке (и0,,0) определяется единственная поверхность, имеющая касательную плоскость, натянутую

г 12

на векторы Ь = ти и уи = (1, с , с ).

2. Поверхность, коэффициенты квадратичных форм которой постоянны

2.1 Теорема для поверхности, имеющей постоянные коэффициенты квадратичных форм

Согласно основной теореме, функции (11) однозначно определяют поверхность пространства Галилея Г3. Рассмотрим, какого вида поверхность получается, если функции (11) постоянны.

Теорема. Если коэффициенты первой и второй квадратичных форм

поверхности пространства Галилея Г3 постоянны, то поверхность является круговым цилиндром, образующая которого параллельна времениподобной

оси пространства Г3. Полная кривизна поверхности равна нулю.

2.2 Производная по пространственноподобному параметру

По формуле Гаусса (9) полная кривизна поверхности К выражается через производные Е, и Е,,. Так как Е - постоянная величина, то К = 0 .

2 2

На основании равенства (5) хи + уи = Е имеем

хи = g =\[Е 008 И , уи = Н = ^Е 8Ш и.

Находим производные

8и =~^Еии ^ И, Ни = '^Еии 008 И .

И уравнение (16) принимает вид Еии = Ау[е , откуда

А

Ии =7Е ■

По уравнению (17) получаем

В

Так как ии, = и,и = 0 , то, решая уравнение (18), находим

A B

w = —;= u + —;= t + с0 . (19)

VE л/E

Значит,

= 4Ecos —^u + -^t + с0 I, yu = 4E

Ґ

A B —^=u H—^=-1 + с0 I. (20)

хм = V E cos —j= и + —j= t + со I, yu = V E sin

W E VE ) \yl E VE

Векторная функция ru = (хм, yu) имеет постоянный модуль |IrUl = \/E. Получен и вектор нормали поверхности n = (- sin w,cos w).

2.3 Производная по времени

Формулы (8) принимают вид

ruu = An , rut = Bn , rtt = Cn .

На основании второй и третьей из этих формул имеем уравнения с полным дифференциалом:

-B sin wdu - C sin wdt = 0; (21)

B cos wdu + C cos wdt = 0. (22)

Решение первого из них есть функция х,, решение второго есть функция у,. Решаем уравнение (21), используем (19):

xt =-B ("sin wdu = B''^E cos w + qo(t), A

b4E ^ b2

----cos w + сю(,) I =-sin w + с1о (t) = -C sin w .

V A ), A

Из последнего равенства получаем

/ , , , _ B2 -CA + B2 .

сш(, )= (-C +-)sin w =------sin w = 0,

AA

2

так как -CA + B = K = 0, см. п. 2.2. Значит, qo(t) = q есть постоянная величина и

b4E

A

Аналогично находим решение уравнения (22):

cos w + q. (23)

^VE .

yt =~A~ sin w + с2. (24)

Получена функция

ft = (xt, У,) =

в4Е

-cos w + сі, ■

в4Е

-sin w + с2

(25)

2.4 Пространственноподобная составляющая поверхности

Функции (20), (24) и (25) приводят к уравнениям с полным дифферен-

циалом:

\[e cos wdu +

л/E sin wdu +

Решаем уравнение (26):

E .

WE

A

в4Е

cos w + сі

dt = o;

sin w + с2

dt = o.

(26)

(27)

EE x = v E I cos wdu =—sin w + Cзo(t), Cзo(t) = сі, + сз; x = — sin w + сі, + сз. J A A

Решением уравнения (27) является

У = - — cos w + с2, + сл .

Найдена функция

r=

— sin w + сі, + сз ,----------------cos w + с2, + сл I ,

V A A

являющаяся пространственноподобной составляющей поверхности у (г, и) = = ге + г (г, и) пространства Галилея.

2.5 Поверхность пространства Галилея Г3

По заданным условиям выше найдена поверхность

Y(t, u) =

E E

t, —sinw + сі, + сз,-cosw + с2, + сл I .

A A

В точке (ио,го) области Б по начальным условиям (12) находим единственные векторы г(щ,го) = а , ги(ио,го) = Ь , ||Ь|| = л/Е, гг(ио,го) = С; тем самым определяется единственная поверхность У(г, и), проходящая через точку у (го, ио), имеющую касательную плоскость в этой точке с касательными векторами Ь и гое + с .

Дифференцируем найденную функцию г (г, и) дважды. Получаем

ги=ЫЕ cos и>, >/Е sin м>);

гии = (-Аsinw,Аа^н), гиг = (-Вsinw, Ва^н), ггг =

В2

[2 2 Л

В . В2

---sin н, --cos н

А А

V У

Значит, гиип = А, гигп = В , ?}гЙ =-. Из В - АС = о имеем гггп = С .

А

Репер пространства Галилея можно подобрать так, чтобы

С1 = С2 = Сз = С4 = о. Поверхность

у(г, и ) =

Е Е

г, —sin н,—cos н) А А

V

является цилиндрической, образующая ее параллельна времениподобной оси

пространства Галилея Г3, направляющая есть окружность в евклидовой

плоскости Е2. Значит, и в любом репере пространства Галилея полученная

поверхность является круговым цилиндром.

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. - Саранск : Средневолжское математическое общество, 2оо3. - 116 с.

2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2оо5. - Зоб с.

3. П озняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. - М. : Изд-во МГУ, 199о. - 384 с.