Поверхность каустики для составных отражающих поверхностей вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.2 С.А. Митрофанова, к.т.н.

ПОВЕРХНОСТЬ КАУСТИКИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Национальная академия природоохранного и курортного строительства, Украина

Анотащя

Розглянуто отримання комп'ютерно! моделi поверхш каустики, як дискретно задано! для вщбиваючих поверхонь обертання, за твiрну яких прийнята складова крива з регулярною або iррегулярною вершиною. Дискретний каркас поверхш каустики визначае геометрда карстово! област для розглянутих вщбиваючих поверхонь. В основi ршення просторово! задачi лежить ршення плоско! задачi апарату вiдбиття.

Карстовая область, поверхность каустики, составная кривая с регулярной вершиной, составная кривая с иррегулярной вершиной, составная поверхность

Постановка проблемы. Решение плоской задачи аппарата отражения позволяет определить картину изменения положения линии каустики при переменном направлении солнечных лучей только для случая, когда падающие солнечные лучи лежат в плоскости отражающей кривой. Решение пространственной задачи отражения на основе плоской задачи применительно к отражающим поверхностей вращения возможно для каждого осевого сечения в отдельности и основано на инцидентности нормалей образующей осевым сечениям поверхности. Получение поверхности каустики являющейся границей карстовой области для пространственной картины отражения, позволяет более точно определить положение приемника к отражающей поверхности.

Анализ основных исследований и публикаций. В предыдущих работах, рассматривалось решение плоской задачи аппарата отражения для составных кривых с регулярной вершиной [1] и составных кривых с иррегулярной вершиной [2], при переменном направлении солнечных лучей с источником в несобственной точке. Данное решение можно применить к отражающим поверхностям вращения, за образующую которых принята составная кривая с регулярной или иррегулярной вершиной. Поскольку в осевых сечениях поверхностей вращения нормаль в точках образующей принадлежит плоскости сечения, то соблюдается закон равенства проекции углов падающего и отраженного лучей к нормали в данной точке отражающей поверхности [3]. В работе [4] рассмотрен алгоритм решения пространственной задачи на основе решения плоской задачи аппарата отражения.

Постановка цели и задачи исследования. Целью исследований является получение компьютерной модели поверхности каустики, как ограждающей карстовую область для отражающей поверхности вращения, за образующую которой принята составная кривая с регулярной или иррегулярной вершиной.

Основная часть. Рассмотрим получение пространственной картины отражения для отражающей поверхности вращения за образующую, которой принята составная кривая с регулярной вершиной. Данная кривая также называется регулярной. Радиусы кривизны сторон составной кривой в регулярной вершине равны. Линия каустики для отражающей регулярной кривой, имеет особую точку, принадлежащую отраженному лучу, выходящему из вершины составной кривой линии [1]. Следовательно, поверхность каустики, полученная в виде дискретного каркаса для отдельно взятых сечений отражающей поверхности, будет иметь линию перегиба. Поскольку в каждом осевом сечении поверхности вращения нормали образующей инцидентны плоскости сечения, то проекции углов между падающим и отраженным лучами с нормалью будут равны.

Таким образом, получение поверхности каустики в виде дискретного каркаса возможно на основе решения плоской задачи аппарата отражения. Получаемая поверхность каустики определяет положение и геометрию карстовой области для данного вида отражающей поверхности.

На рис.1 показана компьютерная модель дискретного каркаса поверхности каустики для наклона солнечных лучей 450 к оси вращения отражающей поверхности. За образующую отражающей поверхности принята регулярная кривая с сочетанием сторон - парабола и окружность.

(XI Д1,21),СХ2,Т2,2^,С1,С2,СЗ,С4,СХк1е,Ше,2к1е),(ХИе,Ук2е,2к2е),СХИе,УИе,2ЬЗе),(Хк4е,Тк4е,2к4е)

Рис. 1. Дискретный каркас поверхности каустики для отражающей поверхности вращения образующей, которой является составная

регулярная кривая

При любом наклоне солнечных лучей поверхность каустики для отражающей поверхности вращения образующей, которой является регулярная кривая, будет иметь линию перегиба.

Рассмотрим также получение поверхности каустики для отражающей поверхности вращения за образующую, которой принята составная кривая линия с иррегулярной вершиной (рис. 2). Радиусы кривизны у такой кривой в ее вершине различны.

Сторонами данной составной кривой приняты парабола и окружность, центры кривизны, которых лежат на нормали сторон составной кривой в ее вершине. Для составной отражающей кривой с иррегулярной вершиной линия каустики представляет собой сочетание каустик сторон кривой и имеет разрыв по линии отраженного луча в вершине кривой. Соответственно этому получаем компьютерную модель дискретного каркаса поверхности каустики. На рис. 2 поверхность каустики представляет собой две отдельных поверхности для каждой части составной отражающей поверхности.

На всех рисунках зона отраженных лучей находится между отражающей поверхностью и поверхностью каустики.

поверхность образованная дугой

окружности

дискретный каркас поверхности каустики для поверхности образованной дугой окружности

дискретный каркас

поверхности каустики для параболоида вращения

(XI,У1,21) ,(Х2,У2^2) ,С1 ,С2,СЗ,С4,(Хк1 е,Ук1 е,гк1 е) ,(Хк2е,Ук2е,гк2е) ,(ХкЗе,УкЗе,гкЗе) ,(Хк4е,Ук4е,гк4е)

Рис. 2. Дискретный каркас поверхности каустики для отражающей поверхности вращения образующей, которой является составная кривая с

иррегулярной вершиной

Выводы.

1. Компьютерная модель дискретного каркаса поверхности каустики позволяет наглядно определить геометрию карстовой области для отражающих поверхностей вращения, образующая которых - составная кривая.

2. Для отражающей поверхности вращения образующей, которой, является составная регулярная кривая, поверхность каустики, имеет линию перегиба и не имеет разрывов при любом наклоне солнечных лучей. Данная поверхность наиболее эффективна для применения в энергоустановках из рассмотренных в этой работе.

Литература

1. Митрофанова С. А. Определение линии каустики для составных отражающих плоских кривих / С.А. Митрофанова // Пращ Тавршского державного агротехнолопчного ушверситету / Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - Вип. 4, т. 54. - 2012. - Мелггополь: ТДАТА - С. 96100.

2. Митрофанова С.А. Определение линии каустики для составной кривой с иррегулярной вершиной / С. А. Митрофанова // Сборник научных трудов «Строительство и техногенная безопасность». - Вып. 41 - 2012. -Симферополь, НАПКС - С. 125-129.

3. Дворецкий А.Т.Каустика для осевого сечения концентратора в виде поверхности вращения /А. Т. Дворецкий, С. А. Митрофанова // Труды VIII Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». - 2004. - Мелитополь: ТГАТА. - С. 29-31.

4. Митрофанова С.А. Аналитическое описание поверхности отраженных лучей для концентраторов в виде поверхности вращения / С.А. Митрофанова // Збiрник наукових праць Кшвського нащонального ушверситету технологш та дизайну (спецвипуск): Мiжвiдомчий науково-техтчний збiрник. - 2005. - К.: ДОП КНУТД. - С. 136-141.

SURFACE CAUSTICS FOR COMPOSITE REFLECTIVE SURFACES

ROTATION S. A. Mitrofanova

Abstract

Consider getting a computer model of the surface of the caustic, as a discrete set of reflective surfaces of revolution, with the images of which are taken from the composite curve regular or irregular top. Discrete framework defines the geometry of the caustic surface karst area considered reflective surfaces. At the core of the solution space problem lies the solution of the plane problem of reflection apparatus.