CC BY
65
УДК 519.71
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1
ПОВЕДЕНИЕ КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В НЕЧЕТКОЙ СРЕДЕ*
А. Ю. Пономарёва
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
В работе предложен метод поиска оптимального управления обобщенным детерминированным абстрактным автоматом, структура которого задается произвольным конечным графом, функционирующим в нечетко заданной среде. Управление находится для достижения нечеткой цели, заданной в виде нечеткого множества в любой фиксированной конечной вершине структурного графа автомата. Решение задачи разбивается на два этапа, первый из которых дает максимально возможную степень достижения нечеткой цели в зависимости от пути из начальной вершины графа в фиксированную, а второй — позволяет построить множество входных слов, обеспечивающих достижение этой цели на выбранном пути. В заключение работы дан пример применения предложенного метода построения регулярного выражения управляющих последовательностей к заданному абстрактному конечно-нестационарному детерминированному автомату. Библиогр. 5 назв. Ил. 2.
Ключевые слова: конечно-нестационарный обобщенный абстрактный детерминированный автомат, оптимальное управление, нечетко заданная среда, нечеткая цель.
1. Введение. В данной работе рассматривается автоматная математическая модель систем и процессов, структура которой задается в виде произвольного конечного графа, а каждому ребру этого графа сопоставлен стационарный автомат из множества автоматов конкретного типа, которым определяется тип самой автоматной модели. Для предложенной детерминированной модели решается задача оптимального поведения в зависимости от нечетко заданных условий и нечетких целей. В работе [1] для решения этой задачи был разработан метод автоматных итераций применительно к другой модели — периодически нестационарным автоматам разных типов. Структура автомата, к которому применимы методы работы [1], изображена на рис. 1 в конце раздела 2. Рассматриваемая в данной статье конечно-нестационарная модель [2] существенно более сложна по структуре, чем периодически нестационарная, и целью исследования является обобщение предложенной в работе [1] методики на случай детерминированного конечно-нестационарного абстрактного автомата.
2. Конечно-нестационарные автоматные модели. Определим исследуемую в работе модель — конечно-нестационарный обобщенный автомат с произвольной структурой, задаваемой конечным графом. Автомат функционирует в дискретные моменты времени — такты. Все элементы структуры такой модели меняются от такта к такту в зависимости от того, какой путь из начальной фиксированной вершины графа будет пройден автоматом вдоль своих ребер к одной из конечных вершин и какой стационарный автомат сопоставлен каждому ребру, лежащему на этом пути.
Пусть X, А, У — алфавиты соответственно входных символов, состояний и выходных символов. Назовем элементарной автоматной структурой систему
Аз = (XА*, А^, У™, (х8,у1)}) , (1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00538).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
где X^ С X, А,,Ац С А, \А,\ = т,, \Ац\ = тц, УС У, а {^'^(х,,у1)} есть совокупность функций переходов, определяющих работу автоматной структуры в зависимости от ее вида и соответствующих различным парам (х,,у1), ха € X(гц), У1 € У(г'ц) при переходе из состояний алфавита А, в состояния алфавита Ац.
Таким образом, каждая такая элементарная структура фактически является од-нотактным стационарным конечным автоматом со своими входным и выходным алфавитами, алфавитами состояний и функциями, определяющими его работу.
Пусть задано конечное множество элементарных автоматных структур А вида (1) и Q — конечное множество финальных вектор-столбцов весов состояний. Обобщенным конечно-нестационарным автоматом назовем систему
А' = (х, А, У, го, д (с, с, С, со, Н, ф) , (2)
где д — структурный граф автомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:
— конечное множество вершин С = {со, с\,..., с^—1}, каждой вершине с^, г = 0, с1 — 1, сопоставлен алфавит состояний А^, г = 0, с1 — 1, А^ = А, = ттц;
— начальную вершину с0, для которой задан г0 — вектор допустимых начальных распределений весов состояний размерности то;
— С С С — подмножество финальных вершин;
— конечное множество С направленных ребер, где дц € С — ребро, соединяющее вершины с, и сц ;
— однозначную функцию Н : С —> А, Н(дц) = , € А, причем ид..еа X(г'ц) = х, ес У (гц) = У;
— однозначную функцию Ф : С —>• Q, Ф(с,) = q(г), q(г) € Q.
Граф такого автомата имеет произвольный вид (см., например, рис. 2 в разделе 11 этой статьи) в отличие от графа рассмотренной в работе [1] периодически нестационарной модели, который представлен на рис. 1. Из чего становится очевидно, что исследованный периодически нестационарный автомат является частным случаем предложенной модели конечно-нестационарного типа.
о^ • • •
Как видно из графа, все пути, ведущие из начальной вершины данного автомата в какую-либо фиксированную конечную, отличаются друг от друга лишь количеством обходов вершин периодической части автомата, если конечная вершина расположена не в предпериоде. При этом они проходят через одни и те же вершины графа в одинаковом порядке. Именно для таких путей в работе [1] и разработан метод автоматных итераций.
3. Нечеткие множества и операции над ними. Пусть X — некоторое множество элементов. Нечетким множеством А в X [3, 4] называется совокупность пар вида (х, ¡а(х)), где х € X,а ¡а(х) есть значение функции ¡1а : X ^ [0,1], называемой
Рис. 1
функцией принадлежности нечеткого множества A. Значение |a(x) для конкретного x называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству A. При известном X эта функция может быть использована для задания нечеткого множества.
Пусть A и B суть нечеткие множества в X, их объединением называют нечеткое множество C = A U B с функцией принадлежности рс(x) = iaUb (x) = max{iA(x), рв (x)}, x e X.
4. Нечеткие матрицы и операции над ними. Пусть X, Y, Z — непустые конечные упорядоченные множества (алфавиты) и \X\ = nx, \Y\ = ny, \Z\ = nz. Нечетким бинарным отношением R, заданным на множествах X и Y, называют фиксированное нечеткое множество в декартовом произведении X х Y, характеризующееся функцией принадлежности рп : X х Y ^ [0,1]. Нечеткое бинарное отношение R удобно задавать в виде нечеткой (nx х ny)-матрицы R = (Rj )ПХ, где Rij = ln(xi,yj), xi e X, yj e Y, а значение цп(xi, y) e [0,1] является степенью выполнения отношения xiRyj. Тогда операции над нечеткими отношениями сводятся к операциям над нечеткими матрицами.
Пусть R(1) и R(2) суть две нечеткие (nx xny )-матрицы в X xY. Тогда объединение нечетких матриц R(1) и R(2) —это нечеткая (nx х ny)-матрица R = R(1) U R(2) с элементами
|R(xi ,yj) = max j|R(i) (xi ,yj ),|r(2) (xi,yj)} , xi e X, yj e Y.
Пусть заданы нечеткие матрицы: (nx х ny)-матрица R(1) и (ny х nz)-матрица R(2). Произведением нечеткой матрицы R(1) и нечеткой матрицы R(2) назовем нечеткую (nx х nz)-матрицу R = R(1) о R(2), элементами которой являются значения функции принадлежности
|R(xi,zj) = max {min {|R(i) (xi,y),pR(2) (y,zj)}} , xi e X, y e Y, zj e Z.
y
5. Конечно-нестационарные автоматы различных типов. Обозначим множество (m х n)-матриц с элементами из {0, 1} как Dm,n и множество (m х ^-матриц с элементами из [0,1] как Rm'n. Если в заданном обобщенном конечно-нестационарном автомате A (2) все автоматные структуры из множества A имеют функции переходов одного и того же типа, то автомат A определяется следующим образом.
(xs,W)}= (/(i'j),^(i'j)) , ro = (10 ...0), (3)
где (/(i'j),^(i,j)) — соответственно однозначные функции переходов из состояний алфавита Ai в состояния алфавита Aj и выходов (выдачи букв выходного алфавита Y(i'j)) автомата (1), сопоставленного ребру графа gj. Тогда это конечно-нестационарный детерминированный автомат Adet, а первая компонента в векторе ro соответствует начальному состоянию.
{^(i'j) (xe,tt)} = { D(ij)(xs ,y)} , ro eV1'm0, (4)
где {D(i'j)(xs, yi)} — совокупность (mi х mj)-матриц переходов с элементами из {0,1} автомата (1), сопоставленного ребру графа gij. Элементы «1» в строке
с номером р матрицы переходов указывают, в какие состояния алфавита Ац переходит автомат из состояния ар € А,, если хя € X(1ц) и у1 € У(г'ц). Тогда это конечно-нестационарный недетерминированный автомат А^ с вектором начальных состояний го.
[F(i'j)(xs,y)} = {F(ij)(xs,y)} , ro e R1'mo, (5)
где {F(i'j)(xS,yi)} —совокупность нечетких (mi x mj)-матриц степеней принадлежности множеству переходов автомата (1), сопоставленного ребру графа gj. Элементы строки с номером р матрицы переходов являются степенями принадлежности, с которыми автомат переходит из состояния ap e Ai в состояния из алфавита Aj, если xs e X(i'j) и yl e Y(i'j). Тогда это конечно-нестационарный нечеткий автомат Af с вектором степеней принадлежности состояний множеству начальных состояний ro.
Если в определениях автоматов (3), (4) и (5) убрать из каждой автоматной структуры Aij e A алфавит Y(i,j), в автомате (3) — функцию выходов ^(i,j), а в матрицах {D(i'j)(xs,yi)} и {F(i'j)(xS,yi)} символы yi, то можно рассматривать алфавиты состояний Aj в качестве выходных алфавитов в каждой вершине Cj графа G. Такие автоматы называются абстрактными автоматами Adet, And и Alf.
6. Нечеткая среда. Пусть задан детерминированный конечно-нестационарный абстрактный автомат Adet (3). Выделим в структурном графе какую-либо вершину Cj e C. Рассмотрим один из путей Qoj, ведущий из начальной вершины co в вершину Cj графа, проходящий через вершины cio = co,ci1 ,ci2 ,...,cit = Cj, и выпишем последовательность элементарных автоматных структур, отмечающих ребра, образующие этот путь: Ai0il, Aili2,..., Ait_1 it. Рассмотрим любое слово w, w = xSl xs2 ... xst, xSv G x^"-1'*"), v = l,t, в алфавите X. Пусть = Множество всех таких слов назовем множеством допустимых слов для пути Qoj и обозначим Zacc(Qoj), при этом будем считать, что пустое слово e e Zacc(Qoo).
Пусть автомат Aldet (3) находится во взаимодействии с некоторой средой
V=(P\ i = 0,d-l), (6)
где Pi = {(P£_ 1 (xSv))}, iv = i, есть (niv-1,iv )-векторы, задающие нечеткие ограничения, которые устанавливаются средой на входные символы xSv e X(iv-1,iv) автомата в вершине civ = ci в зависимости от предыдущей вершины civ-1 для любого пути, содержащего ребро giv-1,iv, iv = i. Каждый такой вектор задает нечеткое множество в , определяющее значения функции принадлежности _ 1 (xsv),
xSv e X(iv-1,iv), iv-1,iv e{0,...,d — 1}, которые лежат в интервале [0, 1].
Таким образом, проходя по каждому пути в графе, автомат переходит в любое состояние из Aiv-1 в вершине civ-1, воздействующее на среду P, которая накладывает нечеткие ограничения Piv (xSv) на входные управляющие символы xSv e X(iv-1,iv) автоматной структуры следующего ребра пути.
7. Нечеткая цель и оптимальное поведение. Пусть V(N) есть множество альтернатив конечно-нестационарного автомата A (2) (в случае абстрактного автомата будем принимать за V(N) алфавит состояний An ) в вершине cn e C.
Нечеткой целью функционирования конечно-нестационарного автомата А (2) в вершине сN назовем нечеткое множество Е"^ множества V), описываемое функцией принадлежности : V^) ^ [0,1].
Рассмотрим нечеткую цель SN, заданную в вершине CN, и обозначим т = х81 х82 .. ,х81., где xst € X), входное слово т € Zacc(П0N). Результатом воздействия слова т, с учетом заданных в вершинах графа нечетких ограничений среды (6), будет некоторое множество Ек(т) во множестве альтернатив V) такое, что Е(т) С 'SN. Тогда входное слово (управляющая последовательность) т обеспечивает оптимальное поведение автомата А в вершине cN € С, если для любого входного слова т' = хд1 хд2 .. .х^, т' € Zacc(П0N), ЕN(т') С ЕN и
шах[^N (т')] < шах[^N (т)],
где шах[^¡ч (т')] и шах[^,^ (т)] —максимальные элементы векторов ^N (т') и
(т).
Множество 5-тах всех входных слов, обеспечивающих оптимальное поведение конечно-нестационарной автоматной модели А в вершине CN € С для пути ПoN, условимся называть множеством оптимальных входных управлений моделью для пути П0N (иначе, оптимальным входным языком).
8. Формулировка задачи. В работе будет решена следующая^задача. Задан конечно-нестационарный детерминированный абстрактный автомат Ааа (3), структура которого задается графом 0. При этом в каждой вершине графа с* € С на входные символы накладываются нечеткие ограничения Р® (6). Пусть в вершине CN задана нечеткая цель — нечеткое множество Е . Обозначим через ПoN множество всех путей из вершины со в вершину CN. Требуется найти множество 2тах оптимальных входных управлений автоматом Ааа для любого пути ПoN € ПoN. Будем считать, что рассматриваемые пути ПoN содержат вершину CN только в качестве конечной.
9. Метод автоматных итераций. В работе [1] был предложен метод автоматных итераций для поиска оптимального управления периодически нестационарным детерминированным автоматом и поиска максимально возможной степени достижения заранее заданной нечеткой цели. Метод основан на преобразовании автоматных матриц в нечеткие с учетом заданных в каждом такте ограничений и последующим нахождением регулярного выражения управляющих воздействий — решения задачи для исходного автомата.
Как видно из рис. 1 и комментария после него (см. раздел 2), все пути, ведущие из начальной вершины периодически нестационарного автомата в какую-либо заданную, отличаются только наличием или отсутствием периодической составляющей, проходящей через вершины, образующие периодическую часть автомата. Особенность конечно-нестационарной модели заключается в том, что такой автомат может иметь большое, хоть и конечное, множество существенно различных путей, ведущих к вершине с заданной нечеткой целью и проходящих через произвольные вершины графа (см., например, рис. 2 в разделе 11). Поэтому в данном автомате не представляется возможным найти оптимальное управляющее воздействие в виде регулярных выражений для всех путей, ведущих из начальной вершины в вершину с заданной нечеткой целью, избежав полного перебора путей. Но, используя известные алгоритмы из теории графов, например поиск в ширину или высоту [5], можно найти, скажем, кратчайший путь из начальной в рассматриваемую вершину и искать оптимальное управляющее воздействие для него.
Приведем интерпретацию метода автоматных итераций для абстрактного нечеткого конечно-нестационарного автомата Af (5), осуществляющего поиск управляющего воздействия на пути из начальной в выделенную вершину структурного графа. Предложенный метод позволяет определить максимальную степень достижения нечеткой цели в заданной вершине графа и выделить множество ребер, через которые может проходить любой путь, дающий достижение заданной цели с максимальной степенью достижения. Таким образом, будет решена более сложная задача, чем та, что сформулирована в разделе 8.
Пусть в графе G известна вершина cN G C, в которой задана нечеткая цель £N. Обозначим за lOOv* множество всех путей, дающих достижение нечеткой цели с максимальной степенью достижения. Рассмотрим путь ll 0N G ll ON*, проходящий через вершины c^ = co,...,Cit = cn, и последовательность автоматных структур Aioil ? Aii i2 1---1 Ait- -iit, отмечающих ребра этого пути. Необходимо найти регулярное выражение множества входных слов Zmax С Zacc(loN), приводящих к максимально возможному значению достижения нечеткой цели £ n = q(N\ т. е. такое, при котором слово wopt G Zmax тогда и только тогда, когда
Фf (wopt) = max r0 П \xsv )q(NП . (7)
wEZacc ) \ I
Разделим решение поставленной задачи на 2 этапа:
1) нахождение максимально возможной степени достижения цели £ N = q(N) и определение множества ребер, через котрые проходят пути, обеспечивающие достижение цели с этой степенью;
2) поиск множества входных слов Zmax для любого пути из множества ^ojvx, обеспечивающих достижение этой цели.
Для обоснования обоих этапов докажем соответствующие утверждения.
Теорема 1. Для заданного абстрактного нечеткого конечно-нестационарного автомата Af (5) для каждой cN € C вершины графа G и для любого Q0N € О0N, проходящего через вершины ci0 = c0,ci1 ,ci2,...,cit = cN, существует wopt = xsixs2 .. .xst € Zacc(n0N) такое, что условие (7) выполняется в том и только том случае, если ^OOVx = r0q(0) > 0, где q(0) находится из рекуррентного соотношения
q(it-,-i) =F(it-,-i,it-,)q(it-,); v = 0,t — 1, (8)
где F(iv-1'iv) = у F^-1-^)(xs).
xseX (iv-i,iv)
Доказательство. С учетом определения объединения нечетких матриц имеем
F(iv-1,iv) = М F(iv-1,iv )(xs )= max F^-1 ,iv\xs). 3 x _ JT . ) 3 xs£X(iv-1-iv) ij
Если w = xsi ...xst, где xSv G X), зная, что r0 и q(it) = q(N) не зависят от
т € ), (7) можно записать таким образом:
¿тОХ = тах ( го ТТ -1 )л(^М =
гоП F(iv-1 * ^=1
= тах Гг0 )(xSv) [тах ^^ =
Х"1 ■■■xst-l\ и=1 XSt '
= тах Гг0 -1 Л , где q(it-1) = тах 'it)(xSt)ql
Х"1 ■■■Xst-l \ =[ ] Xst I-
Продолжая дальше этот процесс, находя максимумы для слов на единицу меньшей длины, получаем (8) и
^шах=го^=^(о).
Из этого соотношения очевидно, что для того, чтобы ^.¡Х > 0, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое ар € Ао, что го(ар) ^ ^¡Х > 0, д(0)(ар) ^ 0 и го(ар)д(0)(аР) = Мтах- Условие д^(ар) > 0 означает, что в матрицах 2/ = есть последовательность переходов (ненулевых элементов) из ар € Ао в некоторое состояние а^ € АN, для которого )(а^) ^ ^ШОХ, а из этого следует, что существует входное слово торг, которое эти переходы осуществляет, т. е. Яшах = Л, где Л — язык, не содержащий ни одного слова. Теорема доказана.
Замечание. Для использования рекуррентного соотношения (8) необходимо рассмотреть все пути, ведущие из вершины со в су, и все вершины си, лежащие на этих путях, найти q(г ") —максимальные степени достижения цели в этих вершинах, которые зависят от выбранного пути. Поэтому необходимо знать, на каких ребрах, идущих из вершины с^, достигается максимум вектора q(г "). Учитывая, что компоненты вектора q(г ") могут не быть одинаковыми, нужно запоминать векторы с максимальными значениями по каждой из компонент, поскольку при дальнейшем использовании соотношения (8) для нахождения q(г "-1) может оказаться, что тах|^(г "-1)] < тах|^'(-1)], несмотря на то что тах^(г")] > тах|^'()] при вычислении q(гv-1) = F(гv-1 ) и
q/(г "-1) = F(г "-1-1")q/(г"). Тогда найденное в итоге ^-ШаХ может быть не максимальным значением.
Теперь перейдем к построению регулярного выражения языка 5-шах. Рассмотрим недетерминированный конечно-нестационарный абстрактный автомат Айв, (4), у которого множество входных слов Z С Zacc(Q.оN) представлено в автомате А^, если ребра, образующие
путь ^оу, отмечены последовательностью элементарных автоматных структур Аг0, Аг1 г2,..., А^^г± и слово т = xSl ... xSt € Z тогда и только тогда, когда
г
Фпв (т) = гоП ^-1,<" )(xs V ) = 1, (9)
^=1
где го и ) —векторы начальных и финальных состояний автомата Апв. Автоматные матрицы автомата А\п1,в определяются так:
и(= У Б^)xs, г,3 - 1}. (10)
Теорема 2. Если нечеткий конечно-нестационарный абстрактный автомат Al/ (5) удовлетворяет условиям теоремы 1 (Zmax = Л) и ^imlX > 0, и недетерминированный конечно-нестационарный абстрактный автомат And (4) получен из автомата А/ заменой элементов векторов г0, q(N) и матриц {F(i'j)(xs)}, которые больше или равны fJm2x, на элементы «1» и остальных элементов —на «0», множество входных слов Zmax для пути Q0N G Q0n, проходящего через вершины ci0 = c0,ci1,..., cit = cN, представлено в автомате Aid, причем его регулярное выражение имеет вид
t
Zmax(Q0N) = ?0 П Ü^)' (П)
где под операциями «сложения» и «умноЖёния» понимаются операции объединения и произведения в алгебре регулярных языков.
Доказательство. Учитывая, что автомат А/ (5) удовлетворяет условиям теоремы 1, для каждого слова w = xSlxS2 .. ,xSN G Zacc(Qодг), xSv G v = 1 , t, верно
t ( (N) _ -7
ф/(w) = Г0 П F^»)(xSv )q(N) = MmaX(N) при w = W0pt GZmaX' V=1 [V < Mrnax при W / Zmax.
Тогда для недетерминированного автомата j\nid (4), полученного из af описанным в формулировке теоремы преобразованием, с учетом (9) для слова w верно
t 1 при W = Wopt G Zmax,
Фnd(w)= r^ D(iv-1'iv)(xSv )q'
V=1
(iv-1,iv )(x )q(N) = )
I 0 при w / Zm
т.е. язык Zmax представлен в построенном автомате Апй.
Справедливость (11) очевидна исходя из (10), так как непустые (ненулевые) элементы и^-1'1^ автоматной матрицы и^"-1= {и^-1'1^), к = 1 ,гпги1, I = представляют собой дизъюнкции тех входных слов алфавита X), которые осуществляют переход из состояния аь € в состояние щ € А^. Тогда (11) дает регулярное выражение множества слов Zmax С ^асс(П0м). Теорема доказана.
10. Алгоритм реализации метода автоматных итераций. Для формализации метода автоматных итераций, обоснованного для конечно-нестационарного абстрактного нечеткого автомата Af (5), проведем следующие преобразования для случая конечно-нестационарного детерминированного абстрактного автомата Ааег (3) (все шаги алгоритма проиллюстрированы примером, приведенным в разделе 11).
1. Преобразуем автомат Ааег в автомат Af, заданный в матричной форме:
а) заменим заданную нечеткую цель £м с функцией принадлежности /-м : Ам ^ [0,1] на вектор-столбец q(N) степеней принадлежности состояний множеству конечных состояний в вершине см, ) = /-м Щ),а^ € Ам;
б) по таблицам переходов /для любого д^ € С автомата сначала строим его матрицы переходов и^^Жл) = к = 1 , ттц, I = с элементами
(i,j) ( ) I xs при f(i,j) (а к ,Xs) = ai, Ы (Xs)^0 при f (ij) (ак, xs) = ai,
U(i'j) (x ) = Ukl (xs) =
1^0 при f"'(ак, x
j)
а затем его автоматные матрицы И^'^ = У х И(г'^) (х8) для всех д^ € С;
в) с учетом заданных ограничений (6) ¡j,i{xs),i = 0, d— l,xs € Х^1^, находим «нечеткие» автоматные матрицы абстрактного автомата Af:
U (i'j) = U )U(i'j) (xs)= U F(i'j) (xs )xs-
2. Из построенных «нечетких» автоматных матриц Uг = 0, d— 1, найдем матрицы максимальных весов переходов F^'^ = (j?/.}'''^, к = 1,?тц, I = 1 , то^, следующим образом:
а) удалим из матриц U(i'j) все буквы алфавитов X(i'j);
б) из каждого полученного объединения |Jx ex(ij) F(i'j) (xs) весов переходов выберем максимальный элемент, а остальные элементы удалим, в результате получим ffj) = maXxsex(i,j) Fkil'j)(xs), i,j G{0,...,d - 1}.
3. Для поиска максимально возможной степени достижения нечеткой цели SN выполняем следующие шаги:
а) Строим в вершине ci G C множество векторов достижения цели с максимальными значениями по каждой из компонент (см. замечание в разделе 9). Для этого обозначим через q^^ag}), где {ag} С Ai (в том числе {ag} может быть пустым), вектор достижения цели в вершине ci, при условии, что его элементы являются максимальными на состояниях из множества {ag} и получены для путей, выходящих из вершины ci по ребру gip. Тогда каждой вершине ci будет сопоставляться множество {maxq(i)({ag})}, состоящее из векторов q(i)p)({ag}), {ag} С Ai, |J {ag} = Ai. В начальный момент времени считаем, что {maxq(i)({Ai})} = {(0,... ,0)mi}, i = N, и {maxq(N)({AN})} = {q(N)}. Рассматриваем вершину ci и все ребра gji G G (на первом шаге это будут вершина cN и ребра gjN G G). Вычисляем q(j)i) = F(j'i)q(i)p)({ai}) для
всех q(i)p)({ai}) G {maxq(i)({ag})} таких, что {ai} = 0. Если у полученного вектора есть компоненты, которые являются максимальными из соответствующих компонент всех векторов множества {maxq(j)({ag})}, то в данную совокупность добавляется полученный вектор q(j)i)({ag}), где {ag} —подмножество состояний, соответствующих максимальным компонентам. Если же каждая компонента полученного вектора меньше соответствующей компоненты какого-либо вектора из множества {max q(j) ({ag})}, то вектор добавляется в совокупность с пометкой {0}. Повторяем эти действия до тех пор, пока не перестанут изменяться множества {max q(i) ({ag})} для всех ci G C. Процесс поиска этих множеств конечен, поскольку во всех матрицах автомата AJf есть только конечное число различных значений из интервала [0,1], значит, конечно и число различных искомых векторов.
б) Рассматриваем вершину c0, множество {maxq(0)} = {q(0)i)} содержит одно-компонентные векторы, поскольку ao — единственное начальное состояние в автомате. Выбираем максимальные из них, значение этих векторов и есть максимальная степень достижения заданной цели ^Шах и достигается она на всех путях Hon, начинающихся с ребра goi. После этого во всех построенных множествах {maxq(j)({ag})} для каждой вершины Cj, j = 0, ci — 1, можно удалить такие векторы, каждая ком-
N
понента которых меньше полученного Мшах, поскольку все пути, содержащие соответствующие ребра, будут давать достижение цели с меньшей степенью достижения, нежели найденная максимальная. Значит, каждый путь из множества НЩах проходить только через ребра, соответствующие оставшимся векторам.
4. Для определения множества слов Zmax для пути Hon G НЩах, приводящих к достижению нечеткой цели SN с максимальной степенью достижения ^ШаХ, необходимо:
а) выбрать путь H0N G Н[Щах, который начнется с любого ребра g0i такого, что q(°°)i) G {maxq(0)}, продолжится любым ребром gij таким, что q(ij) G {maxq(i)({ag})}, и так далее до достижения вершины cn;
б) удалить из матриц U(iv-1 -iv), маркирующих ребра выбранного пути, входные символы с коэффициентами, меньшими чем ^ШаХ, коэффициенты оставшихся символов считаем равными «1», таким образом получим матрицы U^"-1v = 1, t;
в) в финальном векторе q(N} и начальном векторе го элементы ц^} ^ д го} ^ Мп1ах заменить на «1», остальные — на «0», получим вектор конечных состояний q(w} и начальный вектор г о;
г) выписать выражение для языка 2тах(0,оы) по формуле (11).
11. Пример. Пусть задан обобщенный конечно-нестационарный абстрактный детерминированный автомат А^ (3), граф которого представлен на рис. 2.
,(N)
Пусть X(01) = X(1-2) = {xi,x2,x3}, X(1-3) = X(21) = {xi,x3}, X(0-2) = X(2-3) = {Х2,Х4}, X(3 -2) = {x2,x3}, A0 = {a0}, A1 = {a1,a2,a3}, A2 = {a1,a2}, A3 = {a2,a3}, а функции переходов f(i'j) заданы таблицами переходов:
/(0,1) а0 /(1,3) a1 а>2 а3 /(1,2) a1 а>2 а3 /(0,2) а0
Х\ a1 Х\ а>2 a2 a3 Х\ a1 a2 a1 Х2 а2
Х2 аз хз a3 a3 a3 Х2 a1 a1 a1 Х4 a1
Хз a2 Хз a2 a2 a1
/(3,2) а2 а3 /(2,1) a1 а2 /(2,3) a1 а2
Х2 a1 a2 Х\ a1 a2 Х2 а2 a3 .
хз a2 a1 хз аз a2 Х4 а3 a2
В вершине сз задана нечеткая цель, определяемая функцией принадлежности со значениями /¿^(а^) = (0.7 0.3)т. В вершинах = 0,3 заданы нечеткие ограничения на входные символы: ¡(о,1}(хя) = (0.5 0.6 0.9)т, ¡(2,1}(ж8) = (0.8 0.7)т, 1(1 , 2}Ы = (0.7 0.4 0.7)т, ¡(1 ,з)(х8) ='(0.5 0.3)т, ¡(з ,2}(х) = (0.9 0.4)т, ¡(о, 2}Ы = (0.3 0.4)т, 1(2,з}(хя) = (0.6 0.3)Т.
Требуется найти оптимальное управление, обеспечивающее максимально возможное достижение нечеткой цели в вершине сз графа с помощью метода автоматных итераций согласно алгоритму из раздела 10. При этом заметим, что поскольку ребро графа дз2 не содержится в путях, у которых вершина сз только конечная, то структуру А32 и ограничения ¡(3,2} в дальнейшем можно не рассматривать.
1. Определим q<3) = (0.7 0.6)т и г0 = (1). По таблицам переходов автомата /<1'^) найдем автоматные матрицы заданного автомата:
и<0'4 = (х. хз х,,, и<0'2> = (Х4 х,), и«2'1' = (х0- х, 2 хз ?) ,
xi U Х2 U(i,2) = | x2
ixi U X2 U хз
X3 \ (xi X3 \ / ч
xi UX3 I , U(i,3) = (xi x3 | , U(2,3) = (x2 XM . 0 J \o xi UxJ Vx4 x2J
Используя ограничения ^(i}j), преобразуем полученные автоматные матрицы в «нечеткие» U(ij): U(0Д) = (0.5xi 0.9x3 0.6x2) , U(0,2) = (0.4x4 0.3x2) ,
/ 0.7xi U 0.4x2 0.7x3 \ /0.5xi 0.3x3
U(i-2) = ( 0.4x2 0.7xi U 0.7x3 I , U(i-3) = ( 0.5xi 0.3x3
\0.7xi U 0.4x2 U 0.7x3 0 J \ 0 0.5xi U 0.3x3,
tt (2,3) = (0.6x2 0.3xA U (2,i) = ^0.8xi 0 0.7x3
y0.3x4 0.6x2J ' у 0 0.8xi U 0.7x3 0
2. Найдем матрицы максимальных весов переходов F(i,j):
F(0,i) = (0.5 0.9 0.6) , F(0,2) = (0.4 0.3), F(2,i) = Д
/0.7 0.7\ /0.5 0.3\ , nq
F(i,2) = (0.4 0.7 I , F(i,3) = (0.5 0.3 I , F(2,3) =(0.6 0.3 \0.7 0) {0 0.5 J V0 3 0 6
3. Для поиска максимальной степени достижения нечеткой цели в вершинах автомата рассмотрим конечную вершину С3 и ребра gi3 и g23. Вычисляем q^^) = F(i,3)q(3) = (0.5 0.5 0.5) = maxq(i)({aba2,a3|) и q(2)3) = F(2,3)q(3) = (0.6 0.3) = maxq(2)({ai? a2}).
Из вершины ci вычисляем по g0i и g2i: q(0\) = F(0,i)q(i^3) = (0.5) = maxq(0)({a0}) и q(2\) = F(2,i)q(i)3) = (0.5 0.5), таким образом, q(2\) = maxq(2)({a2}), q(2)3) = max q(2) ({ai}).
Из вершины c2 вычисляем по g02 и gi2: q(0)2) = F(0,2)q(2)3) = F(0,2)q(2)i) = (0.4) < maxq(0) и q(^2) = F(i,2)q(23) = (0.6 0.4 0.6), значит, q(P2) = max q(i)({ai,a3}), q(i 3) = maxq(i)({a2}). Вычислим q(i)2) = F(i,2)q(2)i) = (0.5 0.5 0.5), значит, {maxq(i)} не меняется. Вычислим q(|°)i) = F(0,i)q(i)2) = (0.6) = maxq(0) и q(2)i) = F(2,i)q(i)2) = (0.6 0.4). Поскольку по ai и a2 максимумы не превышены, они не меняются. Это означает, что максимальная степень достижения нечеткой цели fJmlx = max q(0) = 0.6.
Теперь рассмотрим ребра, на которых достигались max q(i), и оставим только те из них, у которых хоть один компонент вектора q^j) равен 0.6. Таким образом, заданная нечеткая цель со степенью достижения 0.6 достигается на путях вида ^o3ax = C0ci(c2ci)"c2c3, где n > 0.
4. Строим матрицы Û(ij), (i,j) G {(0,1), (1, 2), (2,1), (2, 3)}, го = (1), q(3) = (1 0)т.
Û^ = 0 хз X2, Û(1'2) = | û' xi U x3 |, Û^ = Û^, Û(2'3) = ft2 M .
U U X3 0 ) V0 X2)
Найдем регулярное выражение языка для самого короткого пути Omax для случая n = 0:
¿max^ST) = Î0Û(0'1)Û(1'2)Û(2'3)q(3) = X2(xi U X3)X2.
В данном случае можно определить и нечеткое управление для пути Omfx при любом n:
ZmaxWD = Î0Û(01)Û(1'2) (Û(21)Û(1'2))" Û(2'3)q(3) =
= X2(x1 U X3)(x1x1 U x3(x1 U X3))nX2.
Литература
1. Мосягина Е. Н., Чирков М. К. Оптимальное управление периодически-нестационарными автоматными моделями в нечетких условиях (Теория автоматных моделей). СПб.: СПбГУ, 2014. 144 с.
2. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимизация обобщенных конечно-нестационарных минимаксных нечетких автоматов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Т. 1 (59). Вып. 4. 2014. С. 561—570.
3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.
4. Zo,d,eh L. A. Fuzzy Sets // Information and Control. Vol.8. 1965. P. 338-353.
5. URL: http://www.unn.ru/pages/e-library/methodmaterial/files/alekseev_zakharova.pdf
Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе
Пономарёва Александра Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]
A BEHAVIOR OF THE FINITE-NONSTATIONARY DETERMINISTIC AUTOMATA IN THE FUZZY ENVIRONMENT
Aleksondro Yu. Ponomorevo
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]
In this paper we propose a method of finding optimal control of generalized deterministic abstract automaton, which structure is given at an arbitrary finite graph, functioning in the fuzzy given environment. The control is found for achieving fuzzy goal, which is given as a fuzzy set in any fixed finite vertex of the structural graph of the automaton. A solution of the problem consists of two stages, the first of which gives maximally possible degree of the achieving fuzzy goal depending from the way from initial vertex of a graph to fixed, and the second stage allows to construct a set of input words, providing an achieving this goal on chosen way. In conclusion, an example of application of proposed method of construction regular expressions controlling sequences to a given abstract finite-nonstationary deterministic automaton is given. Refs 5. Figs 2.
Keywords : finite-nonstationary generalized deterministic abstract automaton, optimal control, the fuzzy given environment, fuzzy goal.
References
1. Mosyagina E. N., Chirkov M. K., An optimol control of periodicolly-nonstotionory outomoto models in the fuzzy conditions (Theories of outomoto models) (St. Petersburg, SPbU, 2014, 144 p.) [in Russian].
2. Ponomareva A. Yu., Chirkov M.K., "Optimization of generalized finite-nonstationary minimax fuzzy automata", Vestnik of St.Petersburg University. Series 1 1(59), issue 4, 561-570 (2014) [in Russian].
3. Kaufmann A., Introduction o lo théorie des sour-ensembles flous (Paris, Masson, 1977).
4. Zadeh L. A., "Fuzzy Sets", Informotion ond Control 8, 338-353 (1965).
5. http://www.unn.ru/pages/e-library/methodmaterial/files/alekseev_zakharova.pdf [in Russian].
