Об оптимальном управлении периодически нестационарным недетерминированным автоматом в нечетко заданных условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.71 Е. Н. Мосягина

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫМ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ АВТОМАТОМ В НЕЧЕТКО ЗАДАННЫХ УСЛОВИЯХ*)

Введение. В работах [1, 2] были рассмотрены процессы пошагового оптимального воздействия на стационарные абстрактные детерминированные и стохастические автоматы при нечетко определенной цели и простых нечетких ограничениях на входные символы. Применительно к новым автоматным моделям - нестационарным детерминированным и стохастическим автоматам с периодически меняющейся структурой - подобная задача решена в работах [3, 4]. В развитие результатов этих исследований основной целью данной статьи является синтез оптимального управления новой нестационарной автоматной моделью, функционирующей в нечетко заданных условиях, - нестационарным недетерминированным автоматом с периодически меняющейся структурой. Решение задач подобного типа имеет большое прикладное значение для эффективного математического моделирования многошаговых процессов принятия решений по управлению специализированными дискретными системами, функционирующими в нечетко заданных условиях.

Основные определения. Нестационарным недетерминированным абстрактным конечным автоматом с периодически меняющейся структурой называют систему [5]

А = (X(т),Л(т), го, {Б(т)(хв)}, ),*о,Т). (1)

Здесь *0 - длина предпериода; Т - период повторения параметров структуры автомата;

т = т(*) - структурный номер такта, который определяется через текущий номер такта

* = 0,1, 2,... следующим образом:

т = т (*) Л * "Р" * ^ (2)

I (* - *0 - 1)(шоёТ)+*о + 1 при * > *о;

Мосягина Елизавета Николаевна — электроник лаборатории математических проблем информатики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: действительный член РАЕН, доктор физико-математических наук, проф. М. К. Чирков. Количество опубликованных работ: 8. Научное направление: автоматное моделирование. E-mail: [email protected].

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-00355).

© Е. Н. Мосягина, 2009

X(т) - алфавит входных (управляющих) символов, допустимых в т-м такте, \Х(т)\ = пт, т = Мо+Т; А- множество состояний автомата в т-м такте, г = 0, £о + Т, Л(4о+т) = Л(4о); го - вектор начальных состояний (начальный вектор) в момент * = 0; {Б(т)(х8)} - совокупность пт матриц переходов автомата размерности (тт_1 х тт) в т-м структурном такте, где Б(т)(ж8) = (о[1'>_1и(х3))тт_итт, б£^т(ж8) € {0,1}, г = 1,£о +Т, х8 € - вектор конечных состояний (финальный вектор)

в т-м структурном такте, г = 0, £о + Т, q(^0+т) = q(^0).

В начальный момент времени * = 0 параметры структуры автомата (1) задаются алфавитом Л(о), начальным вектором го и финальным вектором q(0). Далее, согласно (2), с момента времени * =1 структура автомата (1) определяется алфавитами X(т\ Л(т) , матрицами переходов автомата Б(т)(х8) и финальными векторами q(т) при т = * до момента времени * = *о, а начиная с момента * = *о + 1 - меняется периодически с периодом Т и определяется этими алфавитами, матрицами переходов и финальными векторами при т = (* — *о — 1)(шоёТ) + *о + 1.

В каждом текущем такте * на входной управляющий символ х8 € X(т) автомата (1) накладывается нечеткое ограничение С(4) = С(т(г))(х8\а®), являющееся нечетким множеством в Л(т-1) х X(т) с функцией принадлежности /л(т)(хя\а*), х8 € X(т\ а® € Л(т-1), принимающей значения из интервала [0,1]. Кроме того, для фиксированных структурных тактов автомата (1) тN = N и тм = М таких, что

тN = N = *о, тм = М = *о + Т — 1,

задаются нечеткие цели - нечеткие множества и Ом, определяемые функциями принадлежности (а*), а® € Л(к), и Цом (а®), а® € Л(м).

«Нечеткой» автоматной матрицей Б(т) = (Б®т_1®т )тт_1,тт назовем автоматную матрицу, построенную с учетом нечетких ограничений С(т^х^а*) на входные символы х8 € X(т) с элементами ^(Т'_1®т = и8 (х8)^(т')(х8\а®т_1 )х8.

Постановка задачи. Пусть задан нестационарный недетерминированный абстрактный конечный автомат с периодически меняющейся структурой (1), структурные такты т = N, т = М и нечеткие цели, определяемые функциями принадлежности Иом (а®) и Цом (а*). На входные управляющие символы автомата наложены нечеткие ограничения С^т\х8 |а*), т = 1^о+Т. Учитывая, что автомат (1), являясь недетерминированным, переходит из одной группы состояний в другую, среди состояний каждой группы найдется такое, на котором функция принадлежности нечеткой цели будет иметь максимальное значение. Задача обеспечения оптимального поведения автомата (1) заключается в нахождении множества максимизирующих решений, под которым понимается множество входных управляющих последовательностей (слов в алфавите X = Ут X(т)), каждая из которых строится при условии достижения максимально возможной степени принадлежности заданной цели и осуществляет соответственную последовательность переходов.

Метод решения задачи. Прежде всего опишем общий подход к решению подобной задачи. Искомое решение, аналогично работе [1], определяется как нечеткое множество Б - пересечение нечетких ограничений с заданной целью:

Б = Со П С1 П ...П СИ-1 П СИ.

Пусть управляющее воздействие т = х81,... х8м, а ^:м - искомое максимизирующее решение, тогда

1ьв(™) = шт(^(1) (х81 \а*о), .. .,^(М\х8м\а®н_1 ),^ом (а®м)),

Md(wM )= max min(^(1) (xSl \ai0 ),...,^(N) (xSN jaiN_: ),^gn (aiN)).

xsi sn

На основе приведенного общего подхода может быть предложен следующий специальный матричный метод нахождения максимизирующего решения для нестационарного недетерминированного абстрактного конечного автомата с периодически меняющейся структурой.

Исходя из того, что автомат A (1) состоит из предпериода и периодической части, его структурные такты разбиваются соответственно на такты предпериода т = 0,1,..., N и такты периода т = N, N + 1,...,N + T — 1,N, т. е. фактически автомат A представляется в виде последовательности двух автоматов A, A", для каждого из которых ищется максимизирующее решение.

Сначала рассматривается автомат A с начальным вектором го, финальным вектором q(N) и фиксированным временем окончания процесса tN = N.

Для каждого структурного такта т G {1,...N} по заданным матрицам переходов автомата A' находятся «нечеткие» автоматные матрицы D(т).

Далее оценивается максимально возможная степень достижения нечеткой цели GN с помощью следующей процедуры:

а) по «нечетким» автоматным матрицам D*-1"), г = 1, N, строятся матрицы максимальных весов переходов R(t) = (RiT_1iT )mT-1,mT, элементами которых являются

Rir-iir = 1iT (xs )^{T](xsjaiT_i)];

б) финальный вектор q(N) корректируется заменой элементов «1» конечных состояний aiN, на соответствующие этим состояниям значения функции принадлежности нечеткой цели /jgn (aiN), aiN G A(N), в результате чего будет получен вектор-столбец

q(N);

в) последовательно находятся вектора q(N v 1) по формуле

q(N-u-i) =R(N-u)~(N-u)^ j, = 0,ЛГ- 1, (3)

и получается вектор-столбец q(0), максимальная компонента которого ^0) и является искомой степенью достижения нечеткой цели GN.

Для нахождения оптимальных последовательностей управляющих входных воздействий, осуществляющих последовательность переходов, позволяющую достигнуть нечеткой цели Gn с максимальной степенью принадлежности q^ , из матриц D(т) удаляются входные символы, умноженные на числовые коэффициенты, значения которых меньше, чем qi°^. Численные коэффициенты оставшихся входных символов заменяются на «1». В результате этого получаются автоматные матрицы D*-1"), г = 1, N. Кроме того, в скорректированном финальном векторе q(N) элементы q(N) ^ ^0) за-

~(N) ^ ~{0) п maX

меняются на «1», а элементы qi < q^ - на «0», что позволяет получить вектор

конечных состояний q(N).

Окончательно регулярное выражение решения задачи для автомата A предстает в виде

N

W0 = Г0 13(k)q(N). (4)

k = 1

Далее рассматривается автомат A" с финальным вектором q(M) и фиксированным временем окончания процесса tM = N + T — 1. В качестве начального вектора

выбирается вектор г(к) = с}(№)т, определенный для автомата А в момент времени

= N, так как конечные состояния, при которых получена оценка достижения нечеткой цели , будут являться начальными для периодической части автомата А. Максимизирующее решение IV! для данного нового автомата находится аналогичным образом. Затем ищется максимизирующее решение и>2 для автомата А' с фиксированным временем окончания процесса Ьм = N + 2Т — 1. При этом начальный и финальный векторы остаются прежними и т. д. Алгоритм повторяется до тех пор, пока не будут найдены такие значения к — 1,к, при которых вектор-столбцы С(т((к-1)К)) и <с(т((к)К)) совпадут, т. е. пока в каждом полном цикле степень достижения цели не перестанет меняться.

В общем случае множество управляющих слов, обеспечивающих достижение максимизирующих решений в заданных условиях, будет определяться регулярным выражением

м

и>огЮ‘і... мі

(5)

Пример. Пусть задан недетерминированный абстрактный автомат с периодически меняющейся структурой (1), у которого Ь0 = 2, Т = 3, X(1) = X(2) = X(4) = {х1,х2}, X(3) = {х1,хз}, X(5) = {х2,хз}, А(0) = А(2) = А(3) = {01,02,03}, А(1) = А(4) = {01,02, аз, 04}, Го = (10 0),

Б(1)(ж1)

Б(2)(ж1)

Б(3)(ж1) =

Б(4)(Ж1)

Б(5)(Х2) =

,(2)

Б(2) (х2)

Б(3) (хз) =

Б(5) (хз) =

(4)

/1\

0

1

V1/

'110 0' 10 10 у0 0 0 1,

/0 1 1\

0 1 0

1 0 0

V1 0 1

Заметим, что поскольку вектора q(т) участвуют в процедуре синтеза оптимальных воздействий лишь при т = N = 2 и т = М = 4, то для других т они могут не задаваться.

В рассматриваемом примере нечеткие цели и Ом заданы для структурных так-

тов т = N = 2 и т = М = 4 и определяются функциями принадлежности ца2 (а^2) и Ца4 (а*4) соответственно:

а12 а1 (22 аз 6^4 а1 Я2 аз а4

Мс1 (а*2) 0.7 0.9 0.6 ’ Мс4(а*4) 0.9 1 0.7 0.8

а нечеткие ограничения С(т) на входные символы Хд^ задаются в структурных тактах г = 1,5:

(х31\сч0) Хl Х2 Хl Х2 м(3)( Хз3 |а®2 ) Хl х3

а\ 0.8 0.7 а\ 0.7 0.8 а\ 0.5 0.7

0*2 0.5 0.8 , 0*2 0.6 0.9 , 0*2 0.8 0.9

аз 0.7 0.9 аз 0.8 0.7 аз 0.7 0.8

а4 0.9 0.8

м(4)( \^з ) Хl Х2 м(5)( | ^"^4 ) Х,2 х3

а\ 0.8 0.7 а\ 0.6 0.8

0*2 0.9 0.8 , &2 0.7 0.5 .

аз 0.5 0.8 аз 0.7 0.4

а4 0.6 0.9

Наглядно порядок изменения абстрактной структуры автомата А (1) удобно задавать его структурным графом, который в случае ^ = 2, Т = 3 имеет вид

£(4)

Решение задачи начнем с нахождения максимизирующего решения для автомата А с начальным вектором го, финальным вектором q(2) и тактов т = 1, 2, приводящих к попаданию в структурный такт тN = 2.

Сначала с учетом (7) найдем «нечеткие» автоматные матрицы О(1) и

О (2)

О(1)

'0.8x1

0

10.9x2

0

0.5x1

0.7x1

0.8x1 и 0.7x2 0.8x2 0.9x2

0.8x1 и 0.7x2 0.5x1 0.9x2

(8)

^0.7x1 0.7x1 и 0.8x2 0 N

0 0.9x2 0.9x2

0.7x2 0.8x1 0 .

у 0 0.8x2 0.9x1^

Далее, используя приведенную выше процедуру, оценим максимально возможную степень достижения нечеткой цели О2 (6). Для этого выпишем матрицы максимальных весов для каждого перехода

И.(1)

( 0.8 0

10.9

И.(2)

/0.7

0

0.7

0

0.8

0.9

0.8

0.8

0

0.9

0

0.9)

и скорректируем финальный вектор q(2) с учетом нечетко заданной цели О2-

q(2) = (0.7 0.9 0)т.

После этого последовательно по формуле (3) найдем вектора-столбцы <|(1) и С q(1) = R(2)q(2) = (0.8 0.9 0.8 0.8)т, q(0) = И.(1^(1) = (0.8 0.8 0.8)э

ї(0)

откуда следует существование последовательности переходов из любого начального состояния а*0, *о = 1,3, позволяющей достичь нечеткую цель

О2

со степенью 0.8. Затем

получаем автоматные матрицы автомата А путем удаления из «нечетких» автоматных матриц (8) входных символов, умноженных на коэффициенты, которые меньше 0.8. Коэффициенты при остальных входных символах заменяем на «1», в результате чего имеем следующие матрицы-

Б(1)

0

0

0

Х1

Х2

Х2

Х1

0

Х2

0 Х2 0

Б(2) = 0 Х2 Х2

0 Х1 0

0 Х2 Х1/

Из вектора 5(2) заменой элементов больших или равных 0.8 на «1», а меньших 0.8 - на «0», образуем вектор-столбец конечных состояний <|(2) = (0 1 0)т. Регулярное выражение максимизирующего решения для цели

О2

находим по формуле (4)

адо = го Б(1) Б (2)сі(2) = (10 0)

0

0

0

Х1

Х2

Х2

Х1

0

Х2

0

0

0

0

Х2

Х2

Х1

Х2

0

Х2

0

Х1

(0 1 0)т = х1(х1 и х2).

Далее определяем максимизирующее решение для автомата А" с финальным вектором q(4) и фиксированным временем окончания процесса Ьм = 4, так как нечеткая цель О4 (6) задана для периодической части автомата А в структурном такте т = М = 4.

В качестве начального вектора выбираем вектор-строку г

(2)

1(2)т = (0 і 0).

Как и в предыдущем случае, решение задачи начнем с построения «нечетких» автоматных матриц для тактов т = 3,4-

Б(3)

' 0.5x1 0

10.8x3

0.5Х1 0.8x1 и 0.9хз 0.8x3

0.7Х3

0.8x1 I

0.7x1 /

_ /0.7x2

Б(4) = I 0.8х2 \0.5x1

0.7x2

0

0.5x1

0.8x1

0.8x2

0

0.8x1

0

0.8x2

(9)

Следующий шаг - оценка степени достижения нечеткой цели О4, для чего построим матрицы максимальных весов переходов

/0.5 0.5 0.7\ /0.7 0.7 0.8 0.8>

R(3) = I 0 0.9 0.8 I , R(4) = I 0.8 0 0.8 0

\ 0.8 0.8 0.7 \0.5 0.5 0 0.8/

скорректируем финальный вектор q(4) с учетом нечеткой цели О4 (6)

С(4) = (0.9 0 0.7 0.8)т

и последовательно найдем вектора q(3) и С(2)

q(3) = И.(4)с(4) = (0.8 0.8 0.8)т, q(2) = И(3)с(3) = (0.7 0.8 0.8)т,

откуда следует, что на первом неполном цикле нечеткая цель О4 может быть достигнута со степенью 0.8. Далее, чтобы найти максимизирующие последовательности для автомата Л", на основе (9) построим автоматные матрицы

/0 0 0 \ /00 Х1 хА

Б(3) = I 0 х1 и х3 х1 І , Б(4) = I х2 0 х2 0 I

\хз хз 0 у \0 0 0 Х2/

и вектор q(4) = (1 0 0 1)т. Тогда искомое регулярное выражение решения задачи для цели О4 при неполном цикле находим по формуле, аналогичной (4):

т1 = г(2)Б(3) Б(4) q(4) =

0 0 0

= (0 10) | 0 Х1 и хз Х1

іхз хз 0

0 Х1 Х1'

0 х2 0 | (1 0 0 1)т = (х1 и х3)х2.

0 0 Х2

0 0.8хз 0.6x2 и 0.8хз^^ 0 0.8 0.8\

0.7x2 0.5хз 0 , R(5) = 0.7 0.5 0

0.4х3 0.7x2 0 0.4 0.7 0

у0.6х2 и 0.9х3 0.6х2 0.9хз / 0.9 0.6 0.9/

Затем определяем максимизирующее решение для автомата Л" с фиксированным временем окончания процесса Ьм = 7, т. е. для первого полного цикла. В качестве начального вектора выбираем вектор-строку г(2), а финального вектора - вектор-столбец q(4). Построим оставшиеся матрицы Б(5) и И.(5) для структурного такта т = 5

Б(5)

Вектора с(3) и q(2) для тактов т = 2, 3 были определены на предыдущем шаге, поэтому последовательно находим вектора

^4) = И.(5^(5) = (0.8 0.7 0.7 0.8)т,

^3) = R(4)q(4) = (0.8 0.8 0.8)т, С(2) = R(3)q(3) = (0.7 0.8 0.8)т.

Таким образом, получим, что вектор q(т(2)) совпал с вектором <с(т(5)), т. е. в каждом полном цикле нечеткая цель О4 достигается со степенью 0.8.

Окончательно определив по «нечеткой» автоматной матрице Б(5) матрицу Б(5) в структурном такте т = 5

Б(5)

0 хз хз\

0 0 0

0 0 0

^хз 0 хз)

выводим искомое регулярное выражение решения задачи для цели О4 при каждом полном цикле-

^2 = Г(2) Б(3) 13(4) 13(5)Б(3)Б(4)q(4) = (Х1 и Х3)Х2Х3 Х и Х3Х .

Итак, множество максимизирующих решений в заданных условиях будет определяться регулярным выражением (5)

тм = Х1(Х1 и Х2 )[(Х1 и Х3)Х2Х3 ]*(х1 и х3)х2.

Заключение. В представленной работе синтезировано оптимальное управление периодически нестационарным недетерминированным автоматом, имеющим предпериодическую и периодическую части изменения параметров своей абстрактной структуры, при нечетко заданных целях управления и ограничениях на входные воздействия, зависящих от времени и текущих состояний модели. При этом решение поставленной задачи получено в виде регулярного выражения во входном алфавите автомата с указанием степени достижения нечетко заданных целей. Эффективность предложенного метода решения сформулированной общей задачи проиллюстрирована на конкретном примере.

Литература

1. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / под ред. И. Ф. Шахнова. М.: Мир, 1976. С. 172—215.

2. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 206 с.

3. Мосягина Е. Н., Чирков М. К. Анализ воздействий, оптимизирующих функционирование периодически нестационарного детерминированного автомата в нечетко заданных условиях // Математические модели. Теория и приложения. СПб.: ВВМ, 2006. Вып. 7. С. 133—140.

4. Мосягина Е. Н., Чирков М. К. Оптимальные стратегии воздействия на периодически нестационарный стохастический автомат в нечетко заданных условиях // Стохастическая оптимизация в информатике. Вып. 2 / под ред. М. К. Чиркова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 134—146.

5. Недзвецкая К. А., Пономарева А. Ю. О построении приведенных и минимальных форм нестационарных недетерминированных автоматов с периодически меняющейся структурой // Математические модели. Теория и приложения. СПб.: ВВМ, 2006. Вып. 7. С. 110—132.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.