Конечно-нестационарные недетерминированные автоматы со случайным входом Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ АВТОМАТЫ СО СЛУЧАЙНЫМ ВХОДОМ*

М. К. Чирков1, А. С. Шевченко2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, mkchirk@mail.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, annion@yandex.ru

1. Введение. В общей теории автоматных моделей подробно исследован детерминированный автомат с дополнительным «случайным» входом, который является одним из удобных способов моделирования вероятностных автоматов и представляемых ими вероятностных языков. Методы моделирования вероятностного автомата с помощью детерминированного автомата со случайным входом подробно описаны, например, в работах [1-4]. Возможность моделирования вероятностных языков стационарными недетерминированными автоматами со случайным входом проанализирована в работах [5, 6]; показано,что такие автоматы также представляют вероятностные языки.

Для автоматного моделирования совокупностей нестационарных, одновременно действующих, взаимосвязанных дискретных систем и протекающих в них процессов была введена и исследована более сложная нестационарная автоматная модель — обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат [7]. В данной работе исследована новая нестационарная автоматная модель — обобщенный конечнонестационарный недетерминированный автомат со случайным входом. При этом установлена и доказана эквивалентность по представляемому языку таких автоматов известным типам стационарных вероятностных автоматных моделей.

2. Основные понятия. Детерминированный конечный автомат задается как совокупность Ааег = {X, А, У, ао, /, ф) алфавитов входных символов X, состояний А и выходных символов У, начального состояния ао € А, однозначной функции переходов ] : А х X ^ А и однозначной функции выходов, которая в случае автоматов Мили задается как функция ф : А х X ^ У.

Детерминированный автомат со случайным входом Апр представляет собой детерминированный конечный автомат, имеющий два входных канала, причем входные символы на один из каналов подаются с заданными вероятностями от источника случайных символов, и задается как система

Агпр = {% X X, А, У, ао, Ф, м),

где Z = {^о, Х1, ..., гч-\}, Ф: А х Z х X ^ А х У, а м = (мо, М1,..., Мч-1) есть распределение вероятностей воздействия на автомат символов из Z, не зависящее от номера такта, состояния автомата, входных символов из X и выходных из У.

Если алфавит У исключить из определения автомата, то получим абстрактный детерминированный а,втомат со случайным входом Апр = ^ х X, А, ао, Ф, м).

Вероятностный (стохастический) конечный а,втомат Арг определяется как совокупность Арг = {X, А, У, р, {Р(ж8,у;)}) входного алфавита X, |X| = п, алфавита

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00310).

© М.К.Чирков, А.С.Шевченко, 2011

состояний А, |А| = т, и выходного алфавита У, \У| = Н, начального распределения вероятностей состояний р = (ро, Р1,... ,рт-1) и системы (т х т)-матриц вероятностей переходов

Р(х ,у1) (Ръз (хв ,у1))т,т, Ргз (хв ,у1) Р (а» yl|aixs),

где а;, а» € А, х^ € X, У1 € У. Соответственно, если исключить из определения выходной алфавит У, получим абстрактный вероятностный конечный автомат

Арг = {X, А, р, {РЫ}).

Будем рассматривать алгебраическую систему (булеву решетку) Э = ({0,1}, V, &, <), т. е. множество {0,1} с логическими операциями дизъюнкции V (в дальнейшем условно «сложение»), конъюнкции & (в дальнейшем условно «умножение») и обычным упорядочением. Условимся соответственно применять обозначения Э1,т, Э"’1 и Эт,п для множеств всех т-мерных векторов-строк, векторов-столбцов и всех (т х п)-матриц с элементами из {0, 1}.

Обобщенным стационарным недетерминированным автоматом, заданным над Э, называют систему

Апй = {X, А, У, г, {Б^уь)}, q), (1)

где г € Э1’™ — вектор-строка начальных состояний (начальный вектор), q € Э™’1 — вектор-столбец конечных состояний (финальный вектор) и {Б(х.д,у1)} € Эт’т —совокупность матриц переходов, х^ € X, У1 € У.

Обобщенным недетерминированным конечным автоматом со случайным входом будем называть систему

Asnd = ^ х X, А, У, г, №(гд, Xs, У1)}, q, м), (2)

представляющую собой недетерминированный автомат, на который одновременно воздействуют пары входных символов из конечного множества Z х X, где {D(гg, Хц, уь)}, D(гg, Хц, у1) € Эт’т, есть совокупность спН матриц переходов, гд € Z,xs € X, у1 € У, и м = (мо, м1,..., мч-1) есть распределение вероятностей воздействия на автомат различных символов из множества Z в одном такте, не зависящее от номера такта, состояния автомата, входных символов из X и от выходных из У. Таким образом, автомат Asnd представляет собой недетерминированный конечный автомат, имеющий два входных канала, причем входные символы на один из них подаются с заданными вероятностями м.

Если алфавит У исключить из определения автомата, то полученный автомат назовем абстрактным недетерминированным автоматом со случайным входом

Asnd = ^ х X, А, г, ^(гд, хs)}, q, м), (3)

где {Щгд, Хл)} € Эт’т —совокупность сп матриц переходов, гд € Z, Хц € X.

Элементарной недетерминированной автоматной структурой, заданной над Э, условимся называть систему

А» = {XА<, Ау, У, {Б^^,У1)}), (4)

где X(г»') С X; А;,А» ,А — алфавиты состояний, А;,А» С А; = т;, А» | = т»;

У^ С У, и {Б^^

,У1)} —совокупность матриц переходов Б(;’»)(а'^^ь) € Э"4’"4 из состояний алфавита А; в состояния алфавита А», соответствующих парам (хц ,уь), х,5 € X(;’»), У1 € У (;’»).

Элементарной недетерминированной автоматной структурой со случайным входом, заданной над Э, условимся называть систему

А- = {г х X(і—), Аі, А-, У, {В(^(гд,ха,уі)}, р), (5)

где г = {го, х\,..., гд—і}, р = (ро, Рі, ■■■, рд—і) есть распределение вероятностей воздействия на автоматную структуру различных символов из г, а {0(і-)(гд,ха,у{)} — совокупность матриц переходов (гд,ха,у{) Є ^ті’ті из состояний алфавита Аі

в состояния алфавита А-, соответствующих тройкам (гд,ха,уі), гд Є г, ха Є X(і-),

уі Є У.

Пусть задано конечное множество элементарных недетерминированных автоматных структур А = {А(і-)} вида (4), входной алфавит X = и^-)Х(і—), выходной алфавит и конечное упорядоченное множество финальных векторов-столб-

цов С} = ^<-°\ q('1\ • • •, q('fc•)}, q('г•) Є Э™"1, і = 0, к, некоторые из которых могут быть «нулевыми», т. е. могут не содержать элементов, равных 1.

Обобщенным конечно-нестационарным недетерминированным автоматом, заданным над Э, назовем систему

Апа = {X, А, У, г, д(О,С,со,!), Я), (6)

где д есть структурный граф а,втомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:

— конечное множество вершин С = {со,сі,...,с/.}, каждой из которых с Є С приписан соответствующий алфавит состояний Аі и финальный вектор-столбец (иначе, вектор-столбец конечных состояний) q(^г') Є <5, і = 0, к, а также для выделенной началъ-ной вершины со с алфавитом состояний Ао задан вектор-строка начальных состояний Г є Э1’™0;

— конечное множество О направленных ребер д—, соединяющих некоторые вершины графа сі,с- Є С;

— однозначную функцию ! : О ^А, приписывающую каждому ребру д— Є О заданную элементарную автоматную структуру А(і—) Є А.

Обобщенным конечно-нестационарным недетерминированным автоматом со случайным входом (рис. 1) назовем, соответственно, систему

А3па = {г х х, А, у, г, д(О,с,со,!), Я, р), (7)

где однозначная функция ! : О ^ А каждому ребру д— Є О графа д приписывает

заданную элементарную автоматную структуру со случайным входом Апр вида (5) из

заданного множества А = {АП-?} таких структур.

Если же алфавит У исключить из определения автомата, то полученный автомат назовем абстрактным конечно-нестационарным недетерминированным автоматом со случайным входом

А3па = {г х х, а, г, д(О,с,со,!), Я, р). (8)

я

1^1 *

'And

х »

Рис. 1.

3. Представление языков автоматами. В теории обобщенных автоматов [8], задаваемых над каким-либо частично упорядоченным полукольцом Ж = (К, +, ■, <), обобщенным языком в алфавите X называют однозначное отображение Z : X* ^ К, задаваемое значениями характеристической функции Фz(м) € К, м € X*. В частном случае полукольца — булевой решетки Э = ({0,1}, V,&, <), характеристическая функция принимает значения Фz(м) € {0,1}, м € X*, и задает подмножество слов Z С X*, т. е. обычно определяемый в теории автоматов «четкий» язык Z в алфавите X.

Пусть задан обобщенный стационарный недетерминированный автомат Апа (1). Обозначим через (м,у) пару слов длины г в алфавитах X,Y, м = х81 х82 ...х8г,у = уь1у12 .. .у\ь, а множества всех слов в алфавитах X, Y — соответственно X*, Y*. Обобщенным недетерминированным отображением, индуцируемым автоматом Апа, называют отображение Фп4 : X* х У* ^ {0,1}, определяемое выражением

г

гП ,У1т № при м = V = г,

Т=1 (9)

0 при м = V,

где г = 0,1, 2,..., а под сложением и умножением элементов матриц и векторов понимаются операции V и &.

Пусть для автомата And выделено подмножество Y(к) С Y его выходных символов. Говорят, что автомат Апа представляет подмножеством конечных выходных символов Y(к) язык Z, если для характеристической функции подмножества Z выполняется

{V V Фпа(м^'уь) при Н = Уу11 = г,

V ег — у1еу(к) (10)

0 при Н = \у'уь |

при всех м € X*, |и>| = г = 0, 1,...

Пусть задан обобщенный недетерминированный автомат со случайным входом А8па (2) и выделено подмножество Y(к) его выходных символов. Условимся, что обобщенный язык 2, определяемый характеристической функцией Фя : X* ^ [0, 1], представлен в Аапй подмножеством Y(к) (иначе, представлен недетерминированным автоматом со случайным входом А8па), если выполняется

Фя (м) = ^2 Р (уь\м) (11)

у1ег(к)

для всех м € X*, |м| = г, г = 0, 1, ..., гдеР(уь\м) есть вероятность выдачи автоматом А8па в последнем такте г символа уь с учетом распределения вероятностей р при

входном слове м длины г. В случае абстрактного недетерминированного автомата со случайным входом А8па (3) обобщенный язык 2 представлен в А8па подмножеством конечных состояний А(к) С А и определяется значениями характеристической функции

Фя (м) = ^2 Р(а\и)ц1, дг = 1 о,1 € А(к\

г

для всех м € X*, м| = у, г = 0,1,..., где Р(ог\м) есть вероятность перехода автомата А8па в последнем такте г в состояние аг с учетом распределения вероятностей р, а цг — г-й элемент финального вектора q.

Заметим, что обобщенные вероятностные языки, представляемые вероятностными автоматами, определяются таким же образом [4].

Фпа(м,у) =

Пусть задан обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат Апа (6). Выделим в его структурном графе Я какую-либо вершину сг и пусть этой вершине приписан финальный вектор q(г) € Я. Рассмотрим один из путей Оог, ведущий из начальной вершины со в вершину сг € С графа и проходящий через вершины со = = сг0 ,...,сгг = сг. Выпишем последовательность элементарных автоматных структур, отмечающих ребра, образующие этот путь. Пусть это будут А(г0,г1), А(г1,г2), ..., А(г— г), то есть путь проходит через г отмеченных ребер графа. Рассмотрим любую пару слов = х31х32 .. ,хн, х3т £ Х(-Ът~1'Ът\ у = У1ЛУ12 ...уг4, уьт € у(г--ьг-), од-

ной длины 4 в алфавитах Х(1т~1,1т') и у(1т~1,1т\ т = 1,4. Множество всех пар таких слов назовем множеством допустимых пар слов для пути Оог и обозначим ZдOП(l') (при этом считается, что «пустые» слова е, не содержащие ни одной буквы, всегда допустимы, то есть (е, е) € ZдOП(0)). Весом отображения слова т в слово V, порождаемого путем Оог структурного графа Я автомата А^ при заданном г € Э1,т0, назовем величину

(г) \ г П °(гт-1 ,гт ](хьт ,уьт при (м,у) € Zдоп(г),

{ 0 при («;,«) €^дОП(г).

Рассмотрим теперь всевозможные вершины структурного графа. Пусть О(м, у) есть множество всех путей Оог в структурном графе из начальной вершины со в какие-либо вершины сг € С, для которых пара слов (м, у) является допустимой. Множество всех таких пар слов (м,у) € X* х Y*, для которых О(м,у) не пусто, условимся называть множеством допустимых для автомата Апа пар слов и обозначать его Zд0П.

Обобщенным отображением, индуцируемым автоматом Апа при заданном г, назовем отображение Фп4 : X* х Y* ^ {0,1}, определяемое выражением

фпа(м,у)= \/ ф{п\(w,v), (12)

^ ^,у)

где логическое суммирование берется по всем путям (последовательностям вершин сг0 ,сг1,..., сгь) Оо%ь € О (м, у). Учитывая выражение (12), если для автомата Апа выделено подмножество Y(к) С Y, то характеристическая функция языка Z, представленного автоматом Апа, определяется формулой (10).

4. Постановка задачи. Задан обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат со случайным входом; требуется выяснить, какие языки представимы таким типом автоматной модели, доказать эквивалентность этого автомата по представляемому языку обобщенному стационарному недетерминированному автомату со случайным входом и абстрактному вероятностному автомату, получив оценки требуемого числа состояний, и предложить алгоритм преобразования обобщенного конечнонестационарного недетерминированного автомата со случайным входом в абстрактный вероятностный автомат.

5. Эквивалентные преобразования автоматов. Условимся в дальнейшем под эквивалентностью автоматов подразумевать их эквивалентность по представляемому языку, т. е. в общем случае будем говорить, что автоматы А и В представляющие, соответственно, языки 2а и 2в, эквивалентны, если 2а = 2&. При этом заметим, что требование эквивалентности автоматов по индуцируемому отображению является более жестким.

Теорема 1. Для каждого обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного а,втомата со случайным входом А8па вида (7) может быть построен эквивалентный ему обобщенный стационарный недетерминированный автомат со случайным входом Вап& вида (2), имеющий т = ^к=о \Л^\ состояний.

Доказательство. Исходя из теоремы, изложенной в работе [7], для каждого обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата .An^d может быть построен эквивалентный ему обобщенный стационарный недетерминированный автомат А^, имеющий т = ^к=о \Л^\ состояний. В случае автомата со случайным входом доказательство в основном содержит те же шаги, что и доказательство вышеуказанной теоремы, и сводится к следующему. Пусть задан автомат Аапа (7), некоторые элементы которого условимся для уточнения снабдить нижними индексами Л. Определим новый алфавит состояний В = {Ьо, £>1, - - -, Ьт} = {Во, В\,..., Вй}, где \В^ = \А^ = ттц, г = 0,к, и построим автомат вида (2)

В*па

^ х X, В, ^ гв, (гд, х8, у{)}, цв, р),

где г в = (гА,0^~0), q в = ({чТ)ТЛчТ)Т’-1-ЛЧа))Т)Т-Определим пустой элемент є и функцию ]а такую, что

}а : С х С ^Ли{є}.

(13)

При этом /а(сі,с) 9із, и }а(сі,с) =

А(і’ії = є, если в структурном графе Я отсутствует ребро /а{сі,с) = А^’ії, если ребро д^ присутствует, т. е. д^ Є О. Структурному графу автомата Аэпв, с учетом (13) соответствует матрица графа (см. табл. 1), где все А^’ії єАи {є}.

Таблица 1. Матрица графа О А

ІА СО сі Ск

СО д(°’°) _д(0,?с)

С1 л(^°) д(М) д(1Л)

Ск д(М) д(М) _д(к,к)

Теперь, если заменить в табл. 1 все с^ на В*, \В^\ = \Л^\ и, соответственно, каждое А(г,з) на матрицу переходов Б А’^ (гд ,х3 ,у{), где

б А3) (гд ,Х* ,Уі) \{і,0)

б>А \Хд,Хе,уі), если / а(сі,с) = А(і'3\ гд Є Z, х8 Є X(і,1') , уі Є У(і'з),

О, если /а(^,с^ = А^1'і\ но ха Є Х(г’ії или уі Є

О, если ! а(сі,С) = є,

(14)

то в результате получим следующее представление матриц Бв(гд,хв,у{) (см. табл. 2).

Докажем эквивалентность автоматов Аапа и В8па. При Ь = 0 из (9) и (12) следует, что Фзпл(е,е) = гвqв = гллА° = (е,е). Условимся в дальнейшем для удоб-

ства обозначать пары входных символов (гд,хв) одним символом хдв (в матрицах

т—то

&в(2д,Хз,У1) Во Вг Вк

Во Е>д°’0) (гд,х3,у1) б(д0,1)(г9,а:в,2/г) Ъ{°’к\гд,х3,у1)

В1 б(41’0) (гд,ха,у1) Ё)('1’1){гд,х3,у1) &1’к){гд,Ха,У1)

Вк 6(ДМ) (гд,х3,у1) Ё>(дС’1)(г9,Х3,У1) б {к’к\гд,х3,у1)

Бв возможно обозначение (д,з,1) вместо, соответственно, (гд,х8,у{)). В этом случае входное слово V выглядит следующим образом: V = хд1 Я1 хд2 82 .. .Хдг8г. Если Ь > 0 и IV = Хд181 Жд282 .. .Хдг8г= уку—2 ...Уь, то из (9), (12), (14) и табл. 2 следует, что

г г

Фвпа (ш,ь) = гвЦ Б в (гдт ,х8т ,у1т )qв = (га, 0,..., 0) ^ Бв (^ ,х8т у )х

Т=1 Т=1

х (^А))Т, ^))Т ,...,Ыа))Т )Т = V ... V гА П Б Ат-1 ,гт )(гдт ,хвт ,У1т НА] =

11 гь т=1

( V ГА П Б(АТ-1’гТ\хдт ,Хет ,У1т )qAt') при ^,у) е Zдоп,

= \ О (Ю,У) Т =1

{ О при («;,«) ё^доп,

т. е. получили, что Фяп^ = Фпа, а это значит, что автоматы А8па и В8па, имеющие одни и те же Z и ц, при любом выборе У(к) в соответствии с (10), (11) представляют одинаковые языки, т. е. они эквивалентны. Теорема доказана.

Следствие. Для каждого абстрактного обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата со случайным входом А8па вида (8) может быть построен эквивалентный ему обобщенный стационарный абстрактный недетерминированный автомат со случайным входом Вапа вида (3), имеющий т = ^к=0 \Аг\ состояний.

Данное утверждение непосредственно следует из теоремы 1, поскольку при ее доказательстве из автомата А8па вида (8) получается автомат В8па вида (3). Воспользуемся теперь одним из результатов работы [5].

Теорема 2. Для любого обобщенного недетерминированного конечного а,втомата со случайным входом А8па (2), имеющего т = \А\ состояний и Н = \У\ выходных символов и представляющего подмножеством У(к) обобщенный язык 2, может быть построен эквивалентный ему абстрактный конечный вероятностный автомат Арг, который имеет т < 2тН состояний.

Таким образом, на основе теорем 1, 2 может быть сформулирован один из основных результатов данной работы.

Теорема 3. Для любого обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата со случайным входом А8па вида (7), имеющего Н = \У \ выходных символов и представляющего подмножеством У(к) обобщенный язык 2, может быть построен эквивалентный ему абстрактный конечный вероятностный автомат Арг, который имеет т < 2Нт состояний, где т = ^к=0 \ Аг\.

Доказательство. Из доказательств теорем 1, 2 следует возможность последовательного построения

л ~^1) В л -+2) А ■

А^па Т в^па Т Арг •

1) по теореме 1 с увеличением количества состояний до ^2к=0 \Лі\;

2) по теореме 2 с увеличением количества состояний максимально до 2Нт, где т =

= £‘=о \Лі\;

что определяет процесс синтеза эквивалентного абстрактного вероятностного автомата Лрг для любого заданного обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата со случайным входом Аэпв, с увеличением количества состояний максимум до 2Нт, где т = ^2к=0 \Лі\. Теорема доказана.

6. Алгоритм. Из полученных результатов следует, что для синтеза абстрактного вероятностного автомата по заданному обобщенному конечно-нестационарному недетерминированному автомату со случайным входом необходимо выполнить следующее:

1) исходный обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат со случайным входом ^4.яп^ преобразовать в обобщенный стационарный недетерминированный автомат со случайным входом В8п^ (согласно методу, предложенному в теореме 1);

2) удалить недостижимые состояния полученного автомата и произвести его минимизацию [9];

3) полученный обобщенный недетерминированный автомат со случайным входом преобразовать в абстрактный стационарный недетеминированный автомат со случайным входом (см. работу [5]);

4) полученный абстрактный недетерминированный автомат со случайным входом преобразовать в абстрактный стационарный детерминированный автомат со случайным входом [5];

5) для полученного абстрактного детерминированного автомата со случайным входом построить абстрактный стационарный вероятностный автомат [1—5];

6) произвести минимизацию полученного абстрактого вероятностного автомата известными способами (например, см. [4]).

7. Пример. Пусть задан абстрактный конечно-нестационарный недетерминированный автомат со случайным входом Авпа (8), у которого X(і,^) = X = {хо,хі}, і, і Є Є {0,1, 2}, 2 = {го, гі}, \Ло\ = 3, \Лі\ = \Л2\ = 2, р = (0, 3; 0, 7),

структурный граф Ял которого имеет вид

а матрицы D(Л,j) (§,■?) элементарных автоматных структур, отмечающих ребра графа, следующие:

D

(0,1)

(0, 0)

D

(о,1)

(0,1)

D

(0,1)

(1,0)

л

л

л

DA0,2)(1, 0)= (о о) ,

DA0,2)(1,1)= (о і) ,

D(1,2)(0,0)=(^ 0) ,

DЛ1,2)(0,1)=(\ °) , DЛЛ,2)(1, 0)=(0 0) , DA2)(1,1)=(^ ^

D

(1А)(0,0)

1 0

0 1

ґ0 1

,0 0

D

А2Д)(0,1)

Df1)(l, 1)=(0 0) , ^2,2)(0,0)=(^

л2)(1,0)=(,

0 1

1 0

0 1л

1 0,

D

Л2Л)(1,0)

■), DЛ2,2)(0,1) = (0 О

л (1,0)= \ 0 0;, ^л2)(1,0

В соответствии с п. 1 алгоритма построим автомат БЗГ1а. Для начального и финального векторов получаем

гв = (1,0, 0,0, 0,0, 0), qв = (0,1, 0,0,1,1, 0)т.

По структурному графу строим соответствующую ему матрицу:

и со Сі С2

Со Є Л(0Д) Л(0’2)

Сі є є Л(і,2)

С2 є Л(2Д) л(2’2)

Далее, помощью табл. 2 строим клеточное представление матриц Бв(д, в):

Ов(ї,в) Во Ві в2

Во О в™ 0м)

Ві о о В^ (</,«)

в2 о в^Ом)

В соответствии с пп. 2 и 3 алгоритма после удаления недостижимых состояний и проведения минимизации данного автомата (см. [9]) окончательно получаем автомат

Свпй

^ X X, С, гс, {Бс(д, в)}, qc, р),

Бс (0,0)

Ос (1, 0)

/0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 , Ос (0,1) = 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

\о 0 1 1 0 0 1 0 0 1

/0 1 0 0 1\ 0 0 0 0 1\

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 , Ос (1,1) = 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

находящийся в минимальной форме стационарным абстрактным недетерминированным автоматом со случайным входом, эквивалентным исходному автомату ^4.яп^.

Далее согласно п. 4 преобразуем полученный автомат в абстрактный детерминированный автомат со случайным входом А^пр = {2 X X, С, со, Ф, р), где Ф :

ф со с 1 С2 сз с4 С5 Сб сг С8 С9 сю С11 С12 С13 С14

хоо с 1 С7 С2 С5 Сб Сб С9 сг Сб С12 С12 С12 С12 Сб С5

Ж01 С2 сз сз С8 С5 С9 С11 сг С9 С12 С13 С12 С12 С9 Си

110 С5 с4 сг сз с 1 С5 сз сг С1 С9 С14 С14 С9 С5 сю

ХЦ с4 с4 сз Сб Сз сю Сб сг сз си Сб Сб Си сю С11

Затем полученный автомат согласно п. 5 преобразуем в стационарный вероятностный абстрактный автомат Арг = {X, А, р, {Р(ж8)}, е(к)), где р = (1, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0, 0,0,0), е(к) = q = (0, 0,1,1,0, 0,1, 0,1,1,1,1,1,1,1)т и,

0 0, 3 0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0, 7 0 0 0, 3 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 3 0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 7 0 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0, 7 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0, 7 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0, 7 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0 0, 3 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 0 0, 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 0 0, 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0 0, 3 0 0

0 0 0 0 0 0, 7 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 0 0, 7 0 0 0 0

< 0 0 0, 3 0 0, 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 3 0, 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0, 3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 7 0 0, 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 0, 7 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0, 3 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 7 0, 3 0 0

0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0 0, 3 0

0 0 0 0 0 0 0, 7 0 0 0 0 0 0, 3 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 7 0, 3 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 0, 7 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Полученный автомат Apr эквивалентен по представляемому обобщенному вероятностному языку исходному конечно-нестационарному абстрактному недетерминированному автомату со случайным входом.

9. Заключение. В работе доказано, что для любого обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата со случайным входом Asnd может быть построен эквивалентный ему по представляемому обобщенному вероятностному языку стационарный абстрактный вероятностный автомат Apr. Предложен подробный алгоритм такого преобразования, проиллюстрированный на примере.

Результат имеет важное значение для разработки в дальнейшем специальных методов решения обратной задачи синтеза обобщенных конечно-нестационарных недетерминированных автоматных моделей со случайным входом по заданным обобщенным вероятностным языкам и позволяет по-новому подойти к проблеме прикладного математического моделирования таких языков.

Литература

1. Ченцов В. М. Синтез стохастического автомата // Проблемы синтеза цифровых автоматов. М.: Наука, 1967. С. 135-144.

2. Чирков М. К. Основы общей теории конечных автоматов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1975. 280 с.

3. Бухараев Р. Г. Основы теории вероятностных автоматов. М., 1985. 288 с.

4. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Стационарные детерминированные и вероятностные автоматы (Теория автоматных моделей). СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. 248 с.

5. Чирков М. К., Шевченко А. С. О языках, представимых обобщенными недетерминированными автоматами со случайным входом // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 8. СПб.: Изд-во «Золотое сечение», 2007. С. 110-124.

6. Shevchenko A. S., Tchirkov M. K. On simulation of stochatic languages by nondeterministic automata // Proceeding of the 6th St.Petesburg Workshop on Simulation. St.Petersburg, June 28 — Jule 4, 2009. Vol. 2. St.Petersburg. VVM com. Ltd., 2009. P. 869-874.

7. Мбайтар Ж.-Б., Чирков М. К. Абстрактный анализ конечно-нестационарных недетерминированных автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 8. СПб.: Изд-во «Золотое сечение», 2007. С. 34-46.

8. Чирков М. К., Кабаве М. Абстрактный анализ обобщенных конечных автоматов // Теория и приложения дискретных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. С. 3-36.

9. Пономарева А. Ю., Сандрыкина Н. В., Чирков М. К. Оптимизация абстрактной структуры недетерминированных автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 3. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2003. С. 94-102.

Статья поступила в редакцию 2 ноября 2010 г.