CC BY
57
В статье рассматривается вопрос о недопустимости применения стохастических механизмов оценки рисков в банковском деле. В качестве аргументов приводятся логические доводы о природе рисков в финансовом секторе экономики. Выдвигается постулат о том, что эти риски имеют природу поведенческих рисков, поэтому стохастический механизм не дает достоверных результатов при их оценке. В качестве нового подхода для оценки поведенческих рисков в экономике предлагаются модели и методы теории игр и приводится пример расчета цены опциона с помощью этого метода.
Поведенческие риски в финансовом секторе экономики
Ф. БИЕТА (Volker Bieta), доктор математических наук, Г. МИЛЬДЕ (Hellmuth Milde), доктор экономических наук, С. СМИЛЯНЕЦ, университет Триер, Германия
В июне 2000 г. королева Елизавета II открыла мост Millennium Bridge в Лондоне. Так как «Мост тысячелетия» предназначался исключительно для пешеходов, то при проектировании необходимо было принимать в расчет силу ветра и различные варианты поведения публики. Для учета силы ветра использовались результаты наблюдений за последние сто лет, также как и значения вероятности урагана для того или иного времени года. Что касается поведения публики, то было принято, что толпа никогда не идет в ногу, а движение складывается из полностью случайных вариантов походки отдельных индивидуумов. Таким образом, вероятность возникновения резонанса была принята равной нулю. Что же случилось в первые пятнадцать минут после открытия моста? В этот день наблюдался легкий ветерок, который слегка раскачивал мост. Неудивительно, что люди
© ЭКО 2007 г.
148 ЭКО
на мосту реагировали на раскачивания изменением поведения: каждый попытался скомпенсировать колебания моста. Таким образом, в течение нескольких минут из множества полностью рассинхронизированных одиночных типов походки возникло синхронное маршевое движение. Нулевая вероятность такого события мгновенно превратилась в стопроцентную. В условиях маршевого движения (движения «в ногу») раскачивания моста достигли своего пика. Люди бросались от одной стороны моста к другой, пытаясь скомпенсировать раскачивания и тем самым усугубляли «эффект качелей». Качка моста превысили все расчеты. Воцарился хаос.
Что же сделали мостостроители не так? Они ошиблись в предсказании поведения толпы. Ошибка обернулась мгновенным превращением маловероятного события в разряд достоверных. Если спроецировать этот пример на область финансов и управления рисками, станет очевидным, что стадное поведение и здесь играет очень большую роль и являет собой яркий пример поведенческих рисков.
Поведенческие риски
Попытаемся сформулировать свободное определение: поведенческие риски описывают ситуацию, при которой текущие значения случайных параметров радикально отличаются от спрогнозированных на основе исторических наблюдений. Таким образом, исторические наблюдения за рынком не позволяют экстраполировать наблюдаемые значения параметров в направлении будущих периодов, потому что участники рынка в большинстве своем скачкообразно изменили поведение. Например, многие вкладчики резко меняют свое поведение в результате публикации негативного отчета о состоянии дел какого-либо предприятия в средствах массовой информации. Как и в примере с мостом, внезапно все начинают «маршировать в ногу».
Поведенческими являются и основные риски в финансовом секторе экономики: портфельные риски, риски кредитования, риски потерь, риски ликвидности, страховые риски, то есть все те ситуации, где основополагающим оказывается поведение индивидуума или множества индивиду-
умов. Здесь приспособленческое поведение является тем решающим фактором, от которого зависит возникновение в настоящем и будущем абсолютно новых ситуаций.
Мостостроители усвоили урок и при новых расчетах учли поведенческие риски. В отрасли финансирования ситуация остается неизменной - в банковском секторе, как и прежде, доминируют исключительно расчеты, основанные на вычислении вероятностей. При этом упускается из виду, что управление рисками, основанное только на стохастических механизмах, предлагает заведомо ложные решения. Значительно ухудшает положение все большее распространение стохастических моделей, что в свою очередь ведет к увеличению общей нестабильности банковского сектора.
Очевидно, во многих финансовых учреждениях искренне верят, что постоянное расширение исследовательских отделов за счет математиков и физиков улучшает репутацию. Таким образом, стадное поведение вкладчиков многократно усиливается стадным поведением банков.
Встает вопрос: что делать? С точки зрения теории, решение очевидно. Поведенческие риски управляются людьми, а не законами теории вероятностей. Индивидуумы своим поведением реагируют на изменение окружающей обстановки, при этом их реакция направлена точно по противоположному вектору. Ситуация сравнима со стратегической игрой, результат которой в рамках правил игры является открытым. Решением стратегических ситуаций, в которых каждый из игроков старается предсказать поведение и реакции противников с целью получения выгоды для себя, является равновесие по Нэшу (John Nash). Равновесие по Нэшу описывает состояние, при котором никто из игроков не в состоянии улучшить свое положение за счет изменения своего поведения при оптимальном поведении других игроков.
Какой же математический аппарат позволяет в полной мере при анализе реальной ситуации учитывать поведение участников? На данный момент лучше всего с этим справляется теория игр, основные постулаты которой в 40-х годах сформулировали Джон фон Нейман (Neumann, John von) и Оскар Моргенштерн (Oskar Morgenstern).
Теория игр
Теория игр позволяет описать и математически решить ситуации, называемые стратегической игрой. В теории игр игрок ставит себя на место своего противника, чтобы проанализировать его поведение и, исходя из результатов анализа, определить оптимальный вариант действий. Таким образом, теория игр показывает, что поведенческие риски вполне поддаются вычислению и анализу.
Риски, связанные с вероятностью наступления того или иного события и управляемые не осмысленным поведением участников, а законами вероятности, представляют собой стохастические (вероятностные) риски.
Стохастические риски представляют собой «броуновское движение», описываемое игрой с пассивным противником, который выбирает вариант своего поведения или вариант состояния игры, бросая кубик. Распределение вероятностей в этом случае задано внешними условиями. Такой противник не реагирует на изменение ситуации изменением поведения или изменением характера распределения вероятностей. Именно поэтому, с позиции теории игр, практикующееся сегодня управление рисками чересчур упрощенно: модель рынка практически оторвана от реальности и представляет собой особый случай, многие важные условия которого отбрасываются из-за их непредсказуемости или как ведущие к исключительному усложнению модели. Реальный же рынок намного сложнее, и из всех возможных ситуаций необходимо выбирать не те, что лучше всего поддаются расчету и анализу, а те, которые лучше всего отображают настоящее положение дел.
Сегодняшняя практика управления рисками не в состоянии уменьшить турбулентность биржи и добиться стабильных решений; тем самым она представляет собой основополагающий фактор нестабильности, потому что только провоцирует дальнейшее широкомасштабное применение стохастических моделей стадного поведения. Чтобы правильно анализировать и предсказывать поведение игроков на рынке, необходимо рассматривать их не как играющих в «орел
и решку», а как игроков в покер. При этом задача научного исследования заключается в нахождении ответа на вопрос: к какому результату приведет определенная стратегия поведения в определенной ситуации? Решение, которое удовлетворит все стороны, и является равновесием по Нэшу.
Вечеринка и опцион
В качестве небольшого пояснения, как методы теории игр могут применяться в практике управления рисками, рассмотрим «проблему вечеринки», описанную Ховардом (Howard, 1986). После этого свяжем «проблему вечеринки» и задачу определения цены опциона.
«Проблема вечеринки» представляет собой ситуацию принятия решения, описываемую исключительно рисками состояния (стохастическими рисками): стратегические аспекты пока игнорируются. Далее мы проанализируем стратегическую составляющую «проблемы вечеринки» с точки зрения поведения ее участников, вычислим их выплаты и на основании матрицы выплат определим точку равновесия по Нэшу.
Итак, в чем же заключается «проблема вечеринки» по Ховарду? В настоящее время (момент 0) Джейн планирует организовать вечеринку в один из последующих дней (момент 1). При этом у нее имеется 3 альтернативы: провести вечеринку в саду (альтернатива 1 ^ С), на террасе (альтернатива 2 ^ Т) или в доме (альтернатива 3 ^ Д). Решение о месте проведения вечеринки должно быть принято в момент 0, т. е. сейчас. В момент 1, т. е. в день проведения вечеринки, погодные условия могут принять одно из состояний: ясно или дождь. Допустим, Джейн принимает во внимание следующие вероятности наступления погодных условий: ясно - с вероятностью 0,4 и дождь - с вероятностью 0,6. Допустим также, что Джейн нейтральна по отношению к риску: склонность Джейн идти на риск не влияет на ее поведение в данной ситуации. Выплаты (польза) Джейн заданы внешними условиями, и дерево принятия решений выглядит так:
В точках принятия решения х. О = 1,2,3) игрок «природа» случайным образом принимает одно из состояний: ясно или дождь. В точке х0 Джейн принимает решение о месте проведения вечеринки. После хода игрока «природа», выплаты Джейн однозначно определены в точках г. О = 1,..,6). Таким образом, Джейн в точке х0 выбирает одну из трех лотерей - ЛС, ЛТ, ЛД в зависимости от принятого ею решения о месте проведения вечеринки. Параметры каждой из лотерей определяются вероятностью погодных условий и выплатами Джейн для каждой из выбранных альтернатив: ЛС = (100, 0; 0,4, 06) ЛТ = (90, 20; 0,4, 0,6) ЛД = (40, 50; 0,4, 0,6)
Ожидаемые выплаты Джейн в каждом из случаев составят:
100 • 0,4 + 0 • 0,6 ^ ОС = 40 90 • 0,4 + 20 • 0,6 ^ ОТ = 48 40 • 0,4 + 50 • 0,6 ^ ОД = 46
Так как Джейн нейтральна по отношению к риску, то она выберет альтернативу, которая предлагает ей максимальную пользу (выплату). Следовательно, в точке принятия решения х0 Джейн выберет альтернативу Т («терраса») с ожидаемой выплатой, равной 48.
До сих пор мы рассматривали ситуацию с точки зрения очередности ходов: вначале Джейн, затем игрок «природа». Теперь рассмотрим диаметрально противоположную ситуацию, при которой первый ход делает игрок «природа», а затем Джейн выбирает свой оптимальный вариант поведения. В этом случае очевидно, что при выборе места проведения вечеринки Джейн обладает полной информацией о состоянии погодных условий и таким образом может обеспечить себе максимально возможную выплату.
Описанная ситуация может быть интерпретирована следующим образом: для Джейн существует опцион в том смысле, что она может принимать решения в зависимости от того, какое из состояний окружающей среды реализовано в будущем. Ценность опциона есть производная от его будущей стоимости. Иными словами, покупка опциона может рассматриваться как доступ к своего рода «системе раннего оповещения». В вышеописанной ситуации цена опциона есть максимальная цена, которую Джейн готова платить за доступ к «системе раннего оповещения».
С новой ситуацией принятия решений связана лотерея Л • (100, 50; 0,4, 0,6), так как Джейн может выбрать лишь одну из альтернатив: С или Д (вечеринка в саду или в доме). Это связано с тем, что Джейн может оптимально реагировать на выбор игрока «природа»: выбрать альтернативу С, если игрок «природа» выбрал «ясно», и альтернативу Д, если игрок «природа» выбрал «дождь».
Соответствующие выплаты равны 100 и 50. Обозначим новую лотерею как «лотерею с опционом» и определим для нее ожидаемую выплату: 100 • 0,4 + 50 • 0,6 = 70. В исходной ситуации Джейн могла получить максимально возможную ожидаемую выплату, равную 48. Это была ситуация без «лотереи с опционом». В рассматриваемом случае «лотерея с опционом» может принести Джейн ожидаемую выплату, равную 70. Таким образом, ценность опциона для Джейн равна: 70 - 48 = 22. Иными словами, 22 - максимальная цена, которую готова заплатить Джейн за приобретение опциона (за доступ к «системе раннего оповещения»). Естественно, что стоимость опциона изменяется
вслед за изменением вероятности наступления того или иного состояния окружающей среды: ясно или дождь.
Теперь рассмотрим ситуацию, в которой в игру вступает новый игрок. Этот игрок имеет возможность изменять вероятности реализации того или иного состояния окружающей среды, следя при этом, чтобы и самому получить максимальную выгоду.
Новый игрок - «Св. Петр, повелитель дождей» - принимает решение о величине вероятности наступления солнечной или дождливой погоды. Иными словами, Св. Петр может выбирать функцию распределения вероятностей наступления тех или иных погодных условий. При этом у Св. Петра есть мотив для вступления в игру - из вышеописанной прибыли в размере 22 он получит значительную часть. Заметим, что Св. Петр может предоставить Джейн информацию о выбранной им функции распределения вероятностей или о множестве доступных ему функций. Таким образом, Джейн в состоянии рассчитать выплату, которую она получит в каждом конкретном случае. Св. Петр также может рассчитать полагающуюся ему часть независимо от Джейн.
Перед нами пример некооперационной игры для двух игроков. Обозначим игроков Св. Петр и Джейн соответственно игрок 1 и игрок 2. Вначале разберем простейший вариант этой игры, при котором игрок 1 располагает всего двумя альтернативными стратегиями: Q1 = 1^) и Q2 = (Я2, 1-Я2>
Это означает, что при выборе игроком 1 стратегии Q1 состояния «ясно» или «дождь» наступают с вероятностью q1 и 1-4., (1 = 1,2) соответственно. Доступные стратегии игрока 2 остаются, как и прежде, «сад» (С), «терраса» (Т), «дом» (Д).
Рассмотрим альтернативы Q1 и Q2 с конкретными значениями:
Q1 = (0,7; 0,3) Q2 = (0,5; 0,5)
То есть при выборе игроком 1 альтернативы Q1, вероятности солнечной или дождливой погоды равны 0,7 и 0,3 со-
ответственно. Дерево принятия решений в случае стратегической формы игры имеет такой вид:
Игра начинается в точке принятия решений х0: игрок 1 принимает решение, какую вероятность будут иметь состояние «ясно» - 0,7 или 0,5, и аналогично, состояние «дождь» - 0,3 или 0,5. Точки принятия решений игрока 2 (х1 и х2) на рисунке обозначены эллипсом. Это значит, что игрок 2, принимая решение, не знает, в какой именно точке (х1 или х2) он находится. Иными словами, игрок 2 не знает, какую именно альтернативу на предыдущем ходу выбрал игрок 1 или Q2). Точки г. = (1,...,6) обозначают конец игры и представляют выплаты каждого из игроков для каждого варианта развития событий. При этом первые значения вектора выплат обозначают выплаты игрока 1 (Св. Петр), а вторые - игрока 2 (Джейн). Также принимается, что Св. Петр является нейтральным по отношению к риску.
Теперь рассмотрим механизм расчета выплат.
Для Джейн (игрок 2) выплаты рассчитываются следующим образом: предположим, игрок 1 выбрал альтернативу Q1. В этом случае, если игрок 2 не информирован о выборе
игрока 1, и в точке принятия решений выберет альтернативу «сад» (С), то его выплата будет равна:
Л(С, Q1) = (100, 0; 0,7, 0,3) ^ ОЛ = 100 • 0,7 + 0 • 0,3 = 70.
Аналогично рассчитываются выплаты при выборе Джейн альтернатив «терраса» и «дом»:
Л(Т, Q1) = (90, 20; 0,7, 0,3) ^ ОТ = 90 • 0,7 + 20 • 0,3 = 69;
Л(Д, Q1) = (40, 50; 0,7, 0,3) ^ ОД = 40 • 0,7 + 50 • 0,3 = 43.
В случае выбора игроком 1 альтернативы Q2 выплаты Джейн будут равны:
Л(С, Q2) = (100, 0; 0,5, 0,5) ^ ОЛ = 100 • 0,5 + 0 • 0,5 = 50;
Л(Т, Q2) = (90, 20; 0,5, 0,5) ^ ОТ = 90 • 0,5 + 20 • 0,5 = 55;
Л(Д, Q2) = (40, 50; 0,5, 0,5) ^ ОД = 40 • 0,5 + 50 • 0,5 = 45.
Теперь мы можем определить выплаты для Св. Петра. Предположим, что игрок 1 дает возможность игроку 2 выбрать место проведения вечеринки после того, как станут известными погодные условия. Каким в этом случае должен быть размер выплаты игроку 1, если игрок 2 примет предложение? Если, к примеру, игрок 1 в точке принятия решения выбрал альтернативу Q1 (0,7, 0,3), то с этим вариантом связана лотерея Л • ^1) = (100,50; 0,7, 03). При этом описывается ситуация, при которой игрок 2 принимает решение, обладая полной информацией о состоянии погодных условий. Ожидаемая стоимость лотереи Л равна 85 (100 • 0,7 + 50 • 0,3). Таким образом, ценность опциона для игрока 2 в точке г1 составляет 85 - 70 = 15. Следовательно, выплата игрока 1 в точке г1 равна 15. Выплаты игрока 1 в точках г2 и г3 рассчитываются аналогично и равны 16 (8569) и 42 (85-43) соответственно. В случае, если игрок 1 выбрал альтернативу Q2 = (0,5, 0,5), то осуществится лотерея Л • ^2) = (100, 50; 0,5, 0,5) с ожидаемой стомостью, равной 75. Гипотетическая стоимость опциона в этом случае в точках г4, г5, г6 составит 25 (75-50), 20 (75-55) и 30 (75-45) соответственно.
Равновесие по Нэшу этой гипотетической игры и будет представлять собой стоимость опциона, устраивающую обоих игроков. Для этого поместим результаты вычислений из рис. 2 в матрицу выплат:
Сад Терраса Дом
Q1 15, 70 16, 69 42, 43
Q2 25, 50 20, 55 30, 45
Равновесием по Нэшу является точка с координатами (Q2, Т) - лучшим ответом игрока 1 на выбор игроком 2 стратегии «терраса» (Т) является выбор альтернативы Q2, так как в этом случае его выигрыш максимальный из возможных (20>16). Аналогично, для игрока 2 при выборе игроком 1 альтернативы Q2, стратегия «терраса» (Т) предлагает максимальный выигрыш 55 (50<55>45). При этом стоимость опциона равна 20. При этой цене опциона игрок 2 индифферентен между выплатами в основной игре (55) и в лотерее с опционом (ожидаемая выплата 75; выплата за вычетом опциона: 75-20-55).
Таким образом, 20 - максимальная цена, которую готов заплатить игрок 2 при приобретении опциона.
Резюме.
На простом примере мы показали возможность расчета стоимости опциона при помощи анализа стратегических (поведенческих) рисков. Риски финансового рынка также относятся к категории поведенческих рисков и, соответственно, их дЬлжно анализировать с учетом данного факта, а никак не подменять при анализе стохастическими рисками. Иначе не нужно удивляться катастрофическим результатам применения подобных методов.
Из всех рыночных рисков стратегическим принадлежит центральная роль, и они управляются человеческим поведением, а не законами теории вероятностей. В теории финансирования долгое время опирались именно на стохастические риски при оценке движений рынка, на так называемые «random walks». К сожалению, и сегодня очень многие исследовательские отделения банков и инвестиционных компаний вольно или невольно продолжают эту пагубную традицию. Мы считаем, что такой подход к оценке финансовых рисков в корне неверен, и представили сознательно упрощенный пример того, как поведенческие риски могут быть «укрощены» аналитическими методами теории игр.
