Потоки в сетях с биполярной достижимостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

ПОТОКИ В СЕТЯХ С БИПОЛЯРНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ © 2006 г А.Г. Петросян

Problem under investigation is maximum flow on the multi-product net with bipolar magnetization. Such flow may be find as maximum flow on special constructed net.

Постановка задачи о биполярной магнитности. Пусть G(X,Uf) -орграф и U = U+u U_u UM+u UM_, причем эти множества попарно непересекающиеся. Будем считать, что существует два типа магнитности: положительная и отрицательная, а множество дуг, изменяющих величину магнитности блуждающей частицы, состоит из двух: U+ и U_. При прохождении по любой дуге множества U+ частица увеличивает абсолютную величину положительной магнитности и уменьшает абсолютную величину отрицательной, а при прохождении по любой дуге множества U_ - наоборот. Увеличение абсолютных величин происходит до некоторого значения к, при достижении которого абсолютная величина магнитности больше не увеличивается. При этом, если величина положительной маг-нитности достигла значения к, то переход по дугам из множества U\UM_ запрещен. Если величина отрицательной магнитности достигла значения к, то переход по дугам из множества U\UM+ запрещен.

Задача о биполярной магнитности является существенным уточнением модели, рассмотренной в [1], и подробно описана в работе [2].

Достижимость на графах с биполярной магнитностью. Определение 1. Граф G(X,Uf), на котором рассматриваются только биполярные магнитные пути порядка к, будем называть графом с биполярной магнит-ностью порядка к.

Таким образом, граф с биполярной магнитностью - это граф, на котором являются допустимыми не все существующие пути, поэтому стандартный алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути из вершины в вершину неприменим, поскольку на множестве биполярных магнитных путей несправедливо утверждение, на котором основан этот алгоритм -любой отрезок кратчайшего пути является кратчайшим путем от своей начальной вершины к конечной.

Подход к решению задачи о достижимости на графах с биполярной магнитностью состоит в построении вспомогательного графа, количество вершин которого больше, чем у исходного, но на котором нет ограничений на достижимость, т.е. все пути являются допустимыми. При этом биполярный магнитный путь на исходном графе можно единственным образом восстановить по пути на вспомогательном графе.

Построение вспомогательного графа G' (X ,U f' ).

Каждой вершине х графа G ставится в соответствие 2к + 1 вершина

, ™ (-к) (-1) (1) (к) графа G х ,.. ,,х ,х,х ,.. .,х , а дугам G - G по следующему правилу:

1. Каждой дуге множества © <и+ на G ставится в соответствие 2k - 1

(-к+1) (М) О /) , /) 0+11 _ —7

дуг и ,.,и на графе О таких, что/ (и ) = (х у ), V/ =-k +1,k-1. Если © (х)<им_ = 0, то добавляется дуга /'(иК)) = (х(к\ук\ Если © (х)< <им+ = 0, то добавляется дуга/'(и к)) = (х( к)у к+1)).

2. Каждой дуге множества © (х)«и_ на и ставится в соответствие 2k- 1

(-k+1)

(k-1)

С/1

С/) С/-11

дуг и ,...,и на графе О таких, что/(и ) = (х у ), Vj = -k +1,k -1. Если © (х)<им+ = 0, то добавляется дуга/'(и k)) = (х( -),у k)). Если © (х)< <и = 0, то добавляется дуга/'(и(к)) = (х(к)ук :)).

3. Каждой дуге множества © (х)< им+ 2* дуг и к),...,икна графе О' таких, что /' (и ') = (х 'у '), V/ = - к, к -1.

= 0 на G ставится в соответствие

С/1 , С/1 С/1

4. Каждой дуге множества © (x)(^U на G ставится в соответствие 2k

дуг и

(-k+l)

(k)

С/1

(/) С/1

на графе G' таких, что f'Си ) = Сх у ), Vj = — k +1, k.

5. Каждой дуге множества © Сх)п,ин на G ставится в соответствие 2k - 1

С )

С ) С )

дуг ик +1,... ,ик на графе О таких, что /' (и ') = (хи ',у '), V/ = - к +1, к -1. Если © (х)<им_ = 0, то добавляется дуга /'(ик)) = (х(к)ук)). Если © (х)< <и = 0, то добавляется дуга/'(и к)) = (х( -)у к)).

M+

xk) о—

х

(k—1)

У

У(k—1)

xk О-..

О У

~-*0 y'-k—

xk О

x<k—1) о-

О У

-О ytk—

-Ю у11

-»О у -*0 у'-

х'—Г) О-"

___-»О у

О уС—

и е U+

xk О-

х<*—п О-

х

СП

х О-

С—1) О-

х

х'-^О-х™ О

и eU—

-ю у ® х:k) О-

у(1—1) х<k—» О-

■о ут х(,) О-

■>о у х П_

у<-> О-

XD у(—т О-

О у(-1) х<-» П-.

уС-ш1) x(-k+1)0_

x—k) r'.-k) о-

у

и eU„

х

и eU„

—О у"

-О у

-ю у"--»О у

-►О у

^О у —КЗ у(~

и е UH

-*0 у<— -*0 у'~

и

х

х

х

С—1)

у<-'> х<-'> О

С—1)

С—

х

х

у

С—k+1)

х

х

С—k)

х

Если исходный граф является взвешенным (т.е. с каждой дугой и связана числовая характеристика р(и) - вес дуги и, который является или расстоянием, или стоимостью), то с дугами вспомогательного графа связываем вес соответствующей дуги исходного графа.

Таким образом, для нахождения кратчайших путей на графе с биполярной магнитностью можно применять известные алгоритмы нахождения кратчайших путей на вспомогательном графе.

Потоки в сетях с биполярной магнитностью. Приведем некоторые понятия и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 2. Сетью будем называть связный орграф с выделенными источником и стоком.

Рассмотрим сеть О с источником 5 и стоком (. Для любой дуги иеПзадан вес с(и) - пропускная способность дуги.

Определение 3. Пусть X = УиУ, У^У = 0, 56У, (еГ. Разрезом (У,У) будем называть множество дуг ие и, обладающих свойствами (р1°/)(и)еУ, (р2°/)(и)бУ ' такое, что для любого пути ц(5,0 выполняется ц(5,()п(У,У ' ) Ф 0.

Другими словами, разрезом будем называть множество дуг (начальные вершины которых принадлежат множеству У, а концевые - У' ), таких, что любой путь от источника до стока обязательно содержит дугу этого множества.

Рассмотрим Щ: и ^ Я+ и вершину /. Обозначим через Щ(/, X) = 2 Щ(и),

иб1+

Щ(X, /) = (и).

иеГ

Свяжем с вершиной / разность Щ(/'Х - ЩХ,/) - чистый поток из вершины /.

Определение 4. Стационарным потоком в сети О из 5 в ( называется функция Я+, удовлетворяющая условию

' Щ(/Х) - F(X,i) = 0, V/ Ф 5,( 0 < Щи) < с(и),/(и) = (у^//

Определение 5. Величиной стационарного потока Щ называется число V = Щ(5Х) - Щ(Х,5).

Определение 6. Рассмотрим всевозможные подмножества дуг разреза (У,У ), обладающие следующим свойством: для любой дуги и подмножества разреза существует биполярный магнитный путь ц(5,(), содержащий эту дугу. Подмножество такого вида наибольшей мощности будем называть магнитным разрезом (У,У ' )ц.

Рассмотрим потоковую задачу в сети с условием биполярной магнит-ности. Здесь нельзя применять стандартные алгоритмы построения максимального потока, так как в условиях биполярной магнитности не все пути в сети являются допустимыми.

Подход к решению поставленной задачи заключается в построении вспомогательной сети О по правилам, указанным для графов с биполярной магнитностью порядка к.

Одного построения вспомогательной сети недостаточно. Необходимо существенно модернизировать алгоритм Форда-Фалкерсона.

Действительно, решаем потоковую задачу по аналогии с задачей о достижимости, т.е. задаем веса для дуг вспомогательной сети следующим образом.

Обозначим через U= {и1,...,ur} множество дуг графа G', порожденное дугой и. i = 1,m . Полагаем пропускную способность всех дуг множества , равной пропускной способности дуги и..

На G' находим поток и переносим его на G следующим образом: суммарный поток, пропущенный по дугам множества считаем пропущенным по дуге и. Vi = 1,m . Однако, если искать поток на G' стандартными алгоритмами, то может возникнуть ситуация, когда по одной дуге сети G будет пропущен поток, величина которого больше пропускной способности этой дуги.

Далее потребуются следующие понятия.

Рассмотрим сеть G' такую, что ее множество дуг U = U"1 u...uUUm .

При этом

U"i

> 1 i = 1, m, где UUi = {u(1),..., n - множество дуг сети

О', порожденное дугой и, и.еО 1 = 1,т. Считаем, что заданы «суммарные»

пропускные способности для множеств и"1 (с( и"1)) 1 = 1, т (сумма величин потоков, проходящих по дугам множества, не может превышать величину с( ии')). Множества и"1 будем называть множествами связанных дуг, а сеть О' такого вида - сетью со связанными дугами.

Определение 7. Пути, величина потока в дугах которых больше нуля, будем называть путями потока.

Определение 8. Связанно простым путем в сети О' со связанными ду-

Г Т

ЦП U '

< 1 i = 1, m.

гами будем называть простой путь ц, такой, что

Определение 9. Пропускной способностью дуги связанно простого пути ц(5,() будем называть величину с^(и) = с(и'), и е и1 .

Определение 10. Пропускной способностью связанно простого пути ц(5,() в сети со связанными дугами будем называть величину с(ц) = шш{сц(и)} .

иец

Рассмотрим потоковую задачу для сети со связанными дугами. Очевидно, что в этом случае стандартные алгоритмы для построения максимального потока неприменимы, поскольку пропускные способности заданы не только для дуг, но и для их множеств. Более того, для дуг множеств и1'' пропускные способности не заданы. Поэтому для построения максимального потока бу-

дет использоваться следующий алгоритм, который является модернизацией алгоритма Форда-Фалкерсона для сетей со связанными дугами.

Алгоритм прорыва.

Пусть имеем сеть О с источником 5 и стоком Пусть Щи) - величина потока, проходящего по дуге и. Тогда:

1. Находим кратчайший связанно простой путь в сети О такой, что с(ц) > 0.

2. Полагаем Щи) := Щи) + с(ц) Уиец.

3. Полагаем с(и) := с(и) - с(ц) Уиец и с(Ц) := с(Ц) - с(ц) , = 1,к такого, что ц п и ф 0.

4. Если существует связанно простой путь такой, что с(ц) > 0, то происходит переход на шаг 1. Иначе величина максимального потока равна сумме величин потоков, проходящих по дугам, выходящим из источника.

Вернемся к рассмотрению потоковой задачи в сети О с условием биполярной магнитности. Поскольку по дугам множества нельзя пропустить суммарный поток больший, чем пропускная способность дуги и,, то вспомогательная сеть О является сетью со связанными дугами. Тогда, используя алгоритм прорыва, построим максимальный поток в сети О и перенесем результат на исходную сеть О.

Пример.

2

Пусть дана сеть при к = 2, ее дуги и и и и и5 такие, что f(и1) = (1,2), Д(и2) = (1,3),

3

Числа на дугах обозначают соответственно пропускную способность и поток.

Построим вспомогательный граф G'.

2,0

Построим вспомогательную сеть G'' .

2,0

Применим алгоритм прорыва.

Перенесем результат на исходную сеть.

2

1

4

3

Работа выполнена по проекту «Графы и сети с нестандартной достижимостью» по разделу 3.3 Развитие научно-исследовательской работы молодых преподавателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов по ведомственной научной программе Минобразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (рук. проекта Я.М. Ерусалимский).

1. Скороходов В.А. Графы с магнитной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях // Деп в ВИНИТИ. 2003. № 410-В2003.

2. Ерусалимский Я.М., Петросян А.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2005. № 11. С. 10-18.

УДК 517.944

РАЗРЕШИМОСТЬ В Я22(П) КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ В МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА © 2006 г. В.И. Седенко

In this paper we proof the solvability boundary value problem for the elliptic system of the equations for the literal displacements of the points of the surface.

Однопараметрическое семейство краевых задач

Для а е [0,1] рассмотрим для функций иа, va на Q краевую задачу

Литература

Ростовский государственный университет

8 февраля 2006 г