CC BY
17
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2016. № 4
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICS AND MATHEMATICS
УДК 519.1 DOI 10.18522/0321-3005-2016-4-4-10
РЕСУРСНЫЕ СЕТИ С МАГНИТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ
© 2016 г. Х. Абдулрахман, В.А. Скороходов RESOURCE NETWORK WITH MAGNETIC REACHABILITY H. Abdulrahman, V.A. Skorokhodov
Абдулрахман Хайдар - аспирант, Институт математики, Haidar Abdulrahman - Postgraduate, Vorovich Institute of
механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Юж- Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern
ного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,
г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: abdulrahm.haidar@gmail.com Russia, e-mail: abdulrahm.haidar@gmail.com
Скороходов Владимир Александрович - кандидат физико- Vladimir A. Skorokhodov - Candidate of Physics and Mathe-
математических наук, доцент, кафедра алгебры и дис- matics, Associate Professor, Department of Algebra and Dis-
кретной математики, Институт математики, механики crete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechan-
и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного феде- ics and Computer Sciences, Southern Federal University,
рального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:
344090, e-mail:pdvaskor@yandex.ru pdvaskor@yandex.ru
В настоящей работе рассмотрена модель распределения ресурсов в однородных и неоднородных сетях с ограниченной достижимостью. Ресурсная сеть однородна, если все пропускные способности дуги равны, в противном случае - неоднородна. Рассмотрены два вида ресурсных сетей с ограничением на достижимость: с накоплением неубывающей магнитно-сти и с накоплением-исчезанием магнитности. Для каждого вида сетей разработаны методы нахождения порогового значения и предельного состояния для произвольной величины суммарного ресурса.
Ключевые слова: ресурсная сеть, потоки в сетях, распределение потока, нестандартная достижимость, предельное состояние, пороговое значение.
We consider the model of resource distribution for homogeneous and inhomogeneous networks with limited reachability. Resource network called homogeneous if all capacity in the arcs are equal and inhomogeneous otherwise. We consider two kinds of resource networks with a restriction on the reachability: first, networks with accumulation of non-decreasing magnetism; second, networks with accumulation-disappearance of magnetism. The methods for finding of limit state for arbitrary total value the resource and threshold of resource network are developed for each type of distribution.
Keywords: resource network, flows in networks, flow distribution, nonstandard reachability, limit state, threshold.
Введение ми с ней вершинами по определённым правилам.
Таким образом, между каждыми последовательны-
Ресурсные сети - динамические графовые мо- ми моментами времени по дугам сети проходит подели распространения ресурса - введены и доста- ток. Правила функционирования сети таковы, что точно х°р°ш° изучены в работах °Л. Кузнедова обязательно выполняются два условия. Первое -и .Ж Жиляковой (с^ например [1-4]). Ресурс- условие замкнутости сети, т.е. ресурс ни в какой ная сеть - это ^ть для каждой дуги которой ука- вершине сети не добавляется извне и не исчезает. зана пропускная отсюс^жють а для каждой вер- Второе - условие неразрывности: ресурс, выхо-шины - величина находящегося в ней ресурса. В дящий из вершины, вычитается из ее ресурса, а
каждый момент дискретного времени ресурс каж- ресурс, входящий в вершину, прибавляется к ее
дой вершины перераспределяется между смежны- ресурсу.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
В работах [5, 6] рассмотрены графы с нестандартной достижимостью, предполагающей, что допустимыми являются не все возможные пути на графе, а только те, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
В статьях [7, 8] рассмотрены задачи поиска максимального потока в сетях с определёнными условиями распределения потока.
В настоящей работе рассмотрена модель распределения ресурсов на графах с ограничениями магнитной достижимости. Рассмотрены графы с накоплением неубывающей магнитности и с нако-плением-исчезанием магнитности. Основной задачей нашего исследования является разработка метода нахождения порогового значения Т и предельного состояния Q* в таких сетях для произвольной величины суммарного ресурса. Показано, что для нахождения порогового значения в эргодической (сильно связной) ресурсной сети можно использовать подходы, разработанные в работах [7, 8].
Основные определения
Приведем основные определения, касающиеся ресурсных сетей, и некоторые результаты, полученные в работах [1-6].
Определение 1. Ресурсной сетью называют связную ориентированную сеть 0(Х,и/) (X = {хь..., хп}) без стоков, для каждой дуги и которой указана пропускная способность г(и) и задана вектор-
функция Q(t) = (д^г);...;дп(г)) , где (г) > 0 V/ е[1; п1.
Величина д, (г) называется количеством ресурса в вершине х, в момент времени t.
Для того чтобы определить вектор-функцию Q(г), задается вектор Q(0) = (д1 (0);.; дп (0)) начального распределения ресурса в сети О и указываются правила перераспределения ресурсов (правила функционирования сети): д, (г + 1) = д, (г) - £Р(и,г) + £Р(и,г) V/ е[1;п]2 ,
и^_х ]+ и^х ]
где Р(и, г) - величина ресурсного потока, выходящего по дуге и в момент времени t (для определенности будем считать, что х}- — начальная вершина дуги и):
Р(и,г) =
r (и), r (и)
ve[ Xj ]+
qj (t) > Zr(v);
ve[Xj]+
q} (t), q} (t) < Z r (v).
ve[ Xj ]+
jj Zr(v) j j
Здесь и далее через [х]+ будем обозначать множество дуг, выходящих из вершины х; через [ х ] - входящих в вершину х.
Определение 2. Состояние Q(г) называется устойчивым, если выполняется равенство
О(г) = Q(г+1).
Согласно правилам перераспределения ресурса: если Q(г) устойчиво, то для всех натуральных г имеет место равенство Q(г) = Q(г + /).
Определение 3. Состояние Q* = (д*;...;д*) называется асимптотически достижимым из состояния Q(0), если для каждого / е \\;п]г и всякого е > 0 существует ге такое, что для всех г > ге имеет место неравенство |д*-д/г^| < е.
Определение 4. Состояние Q* называется предельным, если оно либо устойчиво и существует
* •
такой момент времени t, что Q = Q(г), либо оно асимптотически достижимо из состояния Q(0).
Определение 5. Ресурсную сеть будем называть эргодической, если она является сильно связной.
Определение 6. Эргодическую ресурсную сеть будем называть регулярной, если существуют по крайней мере два цикла, длины которых являются взаимно простыми числами.
Распределение ресурса на графе с магнитной достижимостью
Рассмотрим вопрос о распределении ресурса в ресурсных сетях с магнитной достижимостью. При этом будем рассматривать два вида ограничений магнитной достижимости: с накоплением неубывающей магнитности и с накоплением-исчезанием магнитности [5].
Сети с накоплением неубывающей магнитности. Рассмотрим сеть О с накоплением неубывающей магнитности [5]. Множество дуг такой сети разбито на два подмножества: и = им ^ин и им п,ин = 0 . Прохождение по дуге множества и м увеличивает величину магнитности пути на единицу. Допустимыми путями в сети О являются только те пути л , которые удовлетворяют следующему условию: если к г-му шагу путь л от своего начала накопил магнитность, большую либо равную к , и среди дуг, выходящих из концевой вершины г-й дуги пути ¡л , есть хотя бы одна магнитная, то следующая (/ +1) дуга пути ¡л обязана быть дугой из множества и м .
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
Таким образом, в сети с накоплением неубывающей магнитности множество допустимых путей не совпадает с множеством всех путей этой сети без ограничения на достижимость. Для решения задач о кратчайшем пути и о максимальном потоке предложен подход, который состоит в построении вспомогательного графа О'(X',и', /'), количество
вершин которого больше, чем у исходного графа, однако все его пути являются допустимыми [5]. При этом любой допустимый путь на исходном графе можно единственным образом восстановить по пути на вспомогательном графе.
Согласно данному подходу, укажем правила построения вспомогательного графа О' для графа О с условием неубывающей магнитности.
Каждой вершине х графа О ставится в соответствие к + 1 вершина {х0,х1,...,хк] на вспомогательном графе О', а дуги вспомогательного графа строятся по следующему правилу:
- каждой магнитной дуге и графа О (для определённости полагаем /(и) = (х, у)) ставится в со-
на вспомога-
ответствие к + 1 дуга U0,и1,...,ик j
/Щ) = (Х1,х2) , /(и2) = (x2,х1) , /(и3) = ^х3) и /(и4 ) = (Х3, Х1) .
Положим к=2, им ={щ2,щ,и4} и ин = Щ1}.
Вспомогательный граф О' для графа О также показан на рис. 1.
Рассмотрим ресурсную сеть О( Х,и, /). Пусть О'(X' ,и' ,/') - вспомогательный граф для сети О.
Образуем матрицу
Г qk (t)
Q' (t) =
q2 (t)
qk-\t) qk2 -\t)
q0(t)
q0(t)
qkn (t) ^
qkn-\t)
q0(t)
,и ,...,и
тельном графе О' такая, что /'(и]) = (х'-1,у]) У'е[1;к]2 и /'(ик+1) = (хк, ук);
- каждой немагнитной дуге и графа О (для определённости полагаем /(и) = (х, у)) ставится в
соответствие к + 1 дуга Щ0,и1,.,ик} на О' такая, что /'(и') = (х',у') У е [0;к]2 , если из вершины х выходят только немагнитные дуги, в противном случае — к дуг Щ0,и1,.,ик-1} на О' таких, что
/'(Щ ) = (х, у ) У е[0; к -1]2 .
Множество дуг вспомогательного графа, соответствующих одной дуге и на исходном графе, будем обозначать через Аи .
Пример 1. Рассмотрим граф О (рис. 1), для которого дуги {и1, и2, и3, и4} таковы, что
V -ЦК-/ -12\-' ■■■ --1ПУ-' у
столбцами которой являются векторы ресурса вершин в момент времени X т.е. д/ (^) - величина ресурса с ]-м уровнем магнитности г-й вершины в момент времени X.
Рассмотрим распределение ресурса для графов с накоплением неубывающей магнитности для однородной и неоднородной ресурсных сетей.
Л. Однородная сеть. Пусть рассматриваемая ресурсная сеть является однородной, т.е. пропускные способности всех дуг равны некоторому значению г. Будем полагать, что распределение ресурса на графе О (а значит, и на исходном графе О) происходит таким образом.
Шаг 1. Поскольку ресурс, накопивший максимальный уровень магнитности, «притягивается»
к
магнитными дугами, то рассмотрим дугу и на развертке (для определенности положим (Р1 ° /)(ик) = хк ), выходящую из вершины уровня к развертки, имеющей пропускную способность, равную г.
Поток, который проходит в дугу ик в момент
времени t, F(u , t) =-
mm
in {г • mk, qk (t)}
Л
k
= Qu , где mi -
m
Рис. 1. Сеть G и соответствующая ей вспомогательная сеть G'. Пример 1 /Fig. 1. Network G and the corresponding auxiliary network G\ Example 1
количество выходящих дуг из вершины хк = (р1 ° / )(ик), которая
к
имеет ресурс и отдает ресурс
Шаг 2. Рассмотрим дугу иа (для определенности положим
(Рl °/)(иа) = х", где а = 0,.,к-1), которая имеет пропускную способность г (и"). Поток, который про-
ходит в дугу и t, имеет вид
в момент времени
k
au • m
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
F (ua, t) =
q" (t)
k-1
Zqr (t)
r(u") - au • ( \Auk |-k)
/ " \ " k r (u ) • тг - au • тг
a=0 k-1
x min<j Zq" (0, r(u" ) • m" - au
l«=0
m,
(0 0 0 1 (0 0 01
Q(0) = 0 0 0 ; Q'(1) = 6 0 4
,12 10 2 у ,8 6 0 у
(
Q'(2) =
4
7,286 5,714
Q'(4) =
Q'(6) =
4 8,28 5,613
0
1,714 2,286
3,857 21 0,149 0 0,101 0
Q'(3) =
^3,857 4 0,8541 8,429 0 1,143
v
5,714 ( 4,004
Q'(5) =
8,331 5,613
у
0
2,0041 0,051 0
(4,059 4 21
= Q'(7) = ...
8,331 0 0
5,613 0 0
\ /
B. Неоднородная сеть. Пусть рассматриваемая ресурсная сеть не является однородной, т.е. каждая дуга и имеет собственную пропускную способность г(и) . Тогда будем полагать, что распределение ресурса на графе О' (а значит, и на исходном графе О) происходит таким образом.
Шаг 1. Рассмотрим дугу ик (для определенности положим (Р1 ° /)(ик ) = хк ) из вершин уровня к, имеющую пропускную способность г(ик). Поток, коток
рый проходит по дуге и в момент времени t, имеет вид
F (u , t) = min
r (uk),
r (uk ) Z r (v)
• qf (t)
где m? - количество выходящих дуг из вершины x? = (p1 о f )(u?); q? (t) - количество ресурса в вершине x? в момент времени t. Таким образом, вершина xi отдает ресурс
• min{ Zq? (t),r(u?) • m? - au • m)
Zq? (t) ?=°
a=0
Пример 2. Рассмотрим граф G из примера 1, полагая при этом пропускные способности всех дуг равными величине r = 4 . Распределение ресурса на вспомогательном графе G' с начальным состоянием Q'(0) будет проходить следующим образом:
к /к где д, (г) - количество ресурса вершины х, в момент времени г .
Шаг 2. Рассмотрим дугу иа (для определенности положим (р1 ° /)(и а) = х" , где а = 0,..., к — 1), имеющую пропускную способность
г (и") . Поток, который проходит в дугу иа в момент времени t, имеет вид
F (u", t) =
q" (t) r(u") - F (uk, t) • (\4\-k).
k-1 я
Z qß(t)
ß=0
Z r(v) - Z F (v, t)
ve[ x" ]+
ve[xk]+
k-1
X min|Zqf(t), Zr(v) - ZF(v,t.
|/=° ve[ x? ]+ ve[ x) ]+ J
Пример 3. Рассмотрим граф G на рис. 2, дуги которого таковы, что f (щ) = (x1,x2), f (u2) = (x2,xx), f (u3) = (x2,x3) , f (u4) = (x3,x1) . Положим к = 2, UM ={ul5 u3, u4}, UH ={u2 }, r(u1) = 4 ,
ru) = 2, r(u3) = 3 , Ф4) = 5.
Вспомогательный граф G' также показан на рис. 2. Структура исходного графа схожа со структурой графа G примера 1, однако ограничение на достижимость существенно меняет вспомогательный граф.
; (0 0 01 (0 0 01
у Q'(0) = 0 0 0 ; q'(1) = 2 4 3
я 10 2 у ,10 5 0 у
' 3 17,864 31 (3 18 31
Q'(27) = 0,136 0 0 ; Q'(28) = 0 0 0
ч 0 0 0 у ,0 0 0 у
X
ve[xk]+
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
Графы с накоплением-исчезанием магнитности. Рассмотрим сеть G с накоплением-исчезанием магнитности [5]. Множество дуг такой сети также разбито на два подмножества: U = UM и
UM о U h = 0 . Прохождение по дуге множества UM увеличивает величину магнитности пути. Отличие рассмотренного ограничения от предыдущего (магнитно-накопительного для неубывающей магнитности) состоит в том, что прохождение по любой дуге множества UH приводит к исчезновению магнитности, и ее снова придется накапливать. Для магнитно-накопительного ограничения величина магнитности может только увеличиваться [5].
Сформулируем правила построения вспомогательного графа G' для графа G с накоплением-исчезанием магнитности.
Каждой вершине х графа G ставится в соответствие k+1 вершина {x0,x1,...,xk} на вспомогательном графе G', а дуги вспомогательного графа строятся по следующему правилу:
- каждой магнитной дуге u графа G (для определённости полагаем f (u) = (x, y) ) ставится в соответствие k+1 дуга U0,u1,.,uk} на вспомогательном графе G' такая, что f'(uJ ) = (xJ-1,yJ ) Vje[1;k]z и f '(uk+1) = (xk,yk) ;
- каждой немагнитной дуге u графа G (для определённости полагаем f (u) = ( x, y) ) ставится в
соответствие k+1 дуга {и0,u1,...,uk) на G'такая, что f '(uJ) = (xJ,y0) VJe[0;k]z, если из вершины х выходят только немагнитные дуги, в противном случае - k дуг {uu1,.,uk-1} на G' таких, что
f '(uj) = (xj, y°) VJs[0; k - 1]z .
Отметим, что правила распределения ресурса на вспомогательном графе G' для обоих типов маг-нитности одинаковы.
Пример 4. Рассмотрим G'(X',U',f') - вспомогательный граф графа G(X, U, f) с накоплением-исчезанием магнитности (рис. 3).
Считаем, что
Нахождение порогового значения на вспомогательном графе
Пусть О(Х ,и, /) — граф с магнитной достижимостью; О' (X ',и', /') — его вспомогательный граф. Тогда определим множество вершин Z + (I) , Z (I) графа О' следующим образом. Будем говорить, что в момент времени X вершина х" е 2 + (г), если
k -1
qk(t)> Zr(v) v £q/(t)> Zr(v)- Za
,a-i+
J=0
vg[xa]
v4 xk ]+ ;
Множество Z (t) определим как дополнение
Z + (t) относительно X', т.е. Z-(t) = X' \ Z+(t).
Рассмотрим вопрос о нахождении порогового значения T для ресурсной сети G' с магнитной достижимостью. Находим T в сети G' с накоплением неубывающей магнитности порядка k. Здесь имеем два случая: G' сводится и не сводится к эргодиче-ской сети. При этом будем говорить, что G' сводится к эргодической, если граф G связен и содержит только одну изолированную компоненту сильной связности [6].
Для вспомогательного графа G', который не сводится к эргодической сети, предельное состояние всегда зависит от начального состояния сети Q'(0) [1]. Если G' сводится к эргодической сети, рассмотрим два случая:
1. Если величина суммарного ресурса W > T , то предельное состояние зависит от начального состояния Q ' (0) [1].
2. W < T . В этом случае все вершины графа G' перейдут в зону Z-, откуда следует, что для любой вершины xf е X' величина ресурса распределяется пропорционально пропускным способностям выхо-
F(u,)_ F(uj)
дящих дуг, т.е.
для всех щ, u j е [xf ]+.
Г(и, ) Г(и' )
Следовательно, общее предельное распределение ресурса между вершинами сети можно рассматривать как жестко распределенный поток [7].
Um = {
Ы2,u^,u5,u6
},
UH = ^ u3}, k = 2 , f (ul) = (xU x2) ,
f u) = ( x2, xa) ,
f (Щ) = (x4,x4) ,
f (Щ) = (x4,x3) , f (u5) = (x2, x3) ,
f (u6) = (x3,xi) .
Рис. 3. Сеть G и соответствующая ей вспомогательная сеть G'. Пример 4 / Fig. 3. Network G and the corresponding auxiliary network G\ Example 4
v
ve[ xk Г
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
Таким образом, для величин г(и), Р(и) справедливы следующие выражения:
£ F (u) - £ F (u) = 0;
ue[ x? Г
ue[ x? ]-
(1)
[0 < Р (и) < г (и).
а = 0,.,к, г = 1,...,п .
Для нахождения порогового значения можно воспользоваться методами, описанными в работах [7, 8]. Для сети О' составим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных Р (и) (и е и') (количество ресурса, проходящего по дуге и) и Qx (х е X') (количество ресурса в вершине х), описывающую закономерности распределения ресурса между вершинами при условии, что все вершины находятся в зоне Z и достигнуто предельное состояние Q*. Ее решение позволит определить пороговое значение для сети О'.
Выделим подграф О"(X",и",/") - единственную изолированную компоненту сильной связности, при этом и" с и' , х " ^ х '. Положим и" = иА,и2А,...,иА}, X" = {хА,хА,...,хрр}, т.е. |и "| = I , X"| = р .
Заметим, что после конечного числа шагов каждая вершина из множества X' \ X" будет отдавать весь свой ресурс и ничего не получать, т.е. такая вершина в предельном состоянии будет обладать нулевым ресурсом. Следовательно, все дуги и \ и будут иметь нулевые потоки, т.е. соответствующие компоненты решения построенной системы будут равны нулю. Другими словами, Р(и) = 0 для всех и е и' \ и" и Qx = 0 для всех х е X' \ X".
Составим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных Р (иА) и Q А,
i = 1,...,l, j = 1,...,p (т.е. только для подграфа G")
r(u) Л Л w.._r..1+.
F (u)--
£ r(v)
• Qx = 0, Vx e j;, Vu e [x]+
F (u) -
r(u) - F (uk ) • (| Aj - k ) £ r (v) - £ F (v)
Qx = 0, Vx e X" \ j;, Vu e [x]+
Для любого г > 0 положительное решение системы (2) существует и единственно. Будем полагать, что это решение имеет вид
(Р, Q) = (Р(ир); Р(ир);...; Р(ир); Qxр ; Qxр ;...; Qxр).
х1 х2 хр
Также отметим [9], что решение системы (2) на подграфе О" является пропорциональным, т.е.
(Р, Q) = г(^А) • (С^-С )г,
где Сг = 1 при таком г, что ^А = и,р , г = 1,.,/ .
Таким образом, по пропорциональности найдем величину а, которая обеспечивает выполнение условия 0 < а • Р(ир) < г(ир) для всех значений г.
В
результате
a = min
r (uf )
т.е.
г =1,.,1[ Р(ир ) ]
(Р *, Q*) = а • (Р, Q), откуда получим, что пороговое значение можно определить из соотношения
Р
Т =
j=1 j
Замечание. В случае магнитной достижимости с накоплением-исчезанием магнитности для каждой
дуги uf подграфа G" (для определённости считаем,
что uf e Au ) должно выполняться условие
0 < £ F (v) < r (uf ).
veA, rU"
(3)
Таким образом, в случае магнитной достижимости с накоплением-исчезанием магнитности величина a имеет вид
a = min
i=1,...,l
r (uf )
£ F (v)
veA,,
(4)
Пример 5. Рассмотрим G'(X',U', f') - вспомогательный граф графа G(X,U,f) с накоплением-исчезанием магнитности из примера 4.
Положим г(щ) = 3 , r(u2 ) = r(u3 ) = 2 , r(u5 ) = 5 , r(u6) = r(u4) = 4 .
Эргодическая часть G '' ( X '' ,U '' , f '' ) показана на рис. 4. Множества вершин X" = ,xf,...,xfj и
дуг U " = {«f
таковы, что
QxА— £ Р (V) = 0, Vx е X'; (2)
х I
1 vе[x]—
Р (Vр) = г, Vz > 0.
В (2) Xк с X" - множество вершин уровня к ;
к лги А
вершина х е Xк соответствует вершине х; V -
произвольная дуга сети О".
f (uf ) = (xf, xf ), f (uf ) = (xf, xf ) , f (uf ) = (x3f, xf ) , f (uf ) = (xf, xf ), f (uf ) = ( xf, xf ), f (uf ) = ( xf, xf ) ,
f (uf ) = ( xf , x3A ), f (uf ) = (xf, xf ) ,
A ..An
f (uf ) = (xf, xf ) .
x
ve[ xf f
u
____u
2
9
ve[x]+ ve[ xk ]+
ISSN O32l-3OO5 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2O16. No. 4
Рис. 4. Эргодическая часть графа G' / Fig. 4. Ergodic part of the graph G'
7. Скороходов В.А., Чеботарева А.С. Задача о максимальном потоке в сети с особыми условиями распределения потока // Дискретный анализ и исследование операций. 2015. Т. 22, № 3. C. 55-74.
8. Ерзин А.И., Тахонов И.И. Равновесное распределение ресурсов в сетевой модели // Сиб. журн. индустриальной математики. 2005. Т. VIII, № 3 (23). С. 58-68.
9. Скороходов В.А. Задача нахождения порогового значения в эргодической ресурсной сети // Управление большими системами : сб. тр. 2016. Вып. 63. С. 6-23.
References
Построим систему вида (2) с последним уравнением F(uj) = r(uj) = 2 . Решая её, получим вектор
17 4 4 2 2 1 17 4 (F, Q) = (7;2;—; — ;5;—;—;—;—;7;7;—;2; — ;1) , ком-33 3333 3 3
поненты которого не удовлетворяют условию (3), поскольку FU) = 7 > rU) = 3 . Далее из равенства
3
(4) получим величину a = — . Умножая (F, Q) на а,
получим предельные поток и состояние, т.е.
(F*, Q*) = a ■ (F, Q) =
= ('7'7'7'7'7'7'7'7'''7'7'7'7)' Таким образом, пороговое значение равно
T = 72. 7
Литература
1. Жилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. I. Колебания и равновесные состояния при малых ресурсах // Управление большими системами : сб. тр. 2013. № 43. С. 34-54.
2. Жилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. II. Большие ресурсы // Управление большими системами : сб. тр. 2013. № 45. С. 6-29.
3. Жилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. III. Исследование предельных состояний // Автоматика и телемеханика. 2012. № 7. С. 67-77.
4 Кузнецов О.П., Жилякова Л.Ю. Двусторонние ресурсные сети-новая потоковая модель // Докл. АН. 2010. Т. 433, № 5. С. 609-612.
5. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А., Кузьмино-ва М.В., Петросян А.Г. Графы с нестандартной достижимостью: задачи, приложения. Ростов н/Д., 2009. 195 с.
6. Скороходов В.А. Устойчивость и стационарное распределение на графах с нестандартной достижимостью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 4. С. 17-21.
1. Zhilyakova L.Yu. [Ergodic cyclical resource networks. I. Oscillations and equilibrium states with small resources]. Upravlenie bol'shimi sistemami [Large systems management]. Proceedings. 2013, no. 43, pp. 34-54.
2. Zhilyakova L.Yu. [Ergodic cyclical resource networks. II. Large resources]. Upravlenie bol'shimi sistemami [Large systems management]. Proceedings. 2013, no. 45, pp. 6-29.
3. Zhilyakova L.Yu. Nesimmetrichnye resursnye seti. III. Issledovanie predel'nykh sostoyanii [Asymmetric resource networks. III. Study of limit states]. Avtomatika i telemekhanika, 2012, no. 7, pp. 67-77.
4. Kuznetsov O.P., Zhilyakova L.Yu. Dvustoronnie resursnye seti - novaya potokovaya model' [Bilateral resource networks - new threading model]. Dokl. AN. 2010, vol. 433, no. 5, pp. 609-612.
5. Erusalimskii Ya.M., Skorokhodov V.A., Kuz'minova M.V., Petrosyan A.G. Grafy s nestandartnoi dostizhimost'yu: zadachi, prilozheniya [Graphs with custom reachability: tasks, application]. Rostov-on-Don, 2009, 195 p.
6. Skorokhodov V.A. Ustoichivost' i statsionarnoe raspredelenie na grafakh s nestandartnoi dostizhimost'yu [Stability and stationary distribution on graphs with custom reachability]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2007, no. 4, pp. 17-21.
7. Skorokhodov V.A., Chebotareva A.S. Zadacha o maksimal'nom potoke v seti s osobymi usloviyami raspredeleniya potoka [Maximum flow problem in a network with special conditions of flow distribution]. Diskretnyi analiz i issledovanie operatsii. 2015, vol. 22, no. 3, pp. 55-74.
8. Erzin A.I., Takhonov I.I. Ravnovesnoe raspredelenie resursov v setevoi modeli [Equilibrium resource distribution in a network model]. Sib. zhurn. industrial'noi matematiki. 2005, vol. VIII, no. 3 (23), pp. 58-68.
9. Skorokhodov V.A. [The problem of finding the threshold in ergodic resource network]. Upravlenie bol'shimi sistemami [Large systems management]. Proceedings. 2016, no. 63, pp. 6-23.
Поступила в редакцию /Received
13 сентября 2016 г. /September 13, 2016
