Потенциальная точность оценки временных параметров когерентных сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.196.96

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ КОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ

Т. П. Мишура,

канд. техн. наук, доцент Л. А. Литвинчук,

канд. техн. наук, доцент

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Получено аналитическое выражение для среднеквадратического отклонения оценки задержки коррелированных сигналов на основе максимума апостериорной вероятности и границы Крамера—Рао. Рассчитаны зависимости среднеквадратического отклонения от разности задержек для двух и трех сигналов с различными спектрами для различных отношений сигнал/шум и соотношений начальных фаз.

Ключевые слова — сверхрелеевское разрешение по времени, обработка сигналов.

Введение

Проблема повышения разрешающей способности (РС) по временному параметру продолжает оставаться актуальной, несмотря на большое количество полученных в этом направлении результатов [1-6]. Когда расширение полосы сигнала до величины, необходимой для обеспечения заданной РС, ограничено, приходится исследовать поведение сигналов в области сверхрелеев-ского разрешения. Для этой области существенным становится зависимость РС от значений разрешаемых параметров, отношения сигнал/шум (ОСШ), пространственно-временных и частотных характеристик сигналов. Задача усложняется при сверхразрешении когерентных сигналов, поскольку в этом случае добавляется зависимость РС от соотношений их амплитуд и фаз.

Оценка потенциальной точности разрешения когерентных сигналов по временному параметру

Рассмотрим задачу оценки времени прихода каждого из суммы нескольких сигналов, разнесенных во времени. Сигнал на входе системы выделения информации в общем виде можно записать следующим образом:

N

£ (t) = ^ eks(t - т k) + n(t), k=l

где N — число сигналов; ek — неизвестная комплексная амплитуда k-го сигнала; разность фаз между сигналами Aq>ki = argek - argei сохраняется

во всей зоне перекрытия Д-го и ^го сигналов в течение всего времени обработки, поэтому сигналы можно считать когерентными, а при переходе от одной пары сигналов к другой она может изменяться в пределах -п < Дфд < п; тд — неизвестное время задержки Д-го сигнала; в(£) — детерминированный сигнал с известным спектром; п^) — белый шум на входе приемного устройства, распределенный по нормальному закону с нулевым средним и спектральной плотностью N0/2. Разность задержек может изменяться в пределах

0 < тд - т < ттах, где ттах — максимальная разность времени прихода сигналов. Например, на рис. 1, а приведена результирующая кривая 1 на выходе согласованного фильтра (СФ) при действии на вход трех сигналов с гауссовой огибающей и одинаковой фазой заполнения. Задержка между двумя из них меньше ширины автокорреляционной функции (АКФ) сигнала, и в сумме они дают отклик с одним максимумом. Третий сигнал задержан на время, большее ширины АКФ, и лежит в области релеевского разрешения по отношению к первым двум сигналам.

Аналогичная картина приведена на рис. 1, б, линия 1, для трех прямоугольных импульсов с линейно-частотно-модулированным (ЛЧМ) заполнением на выходе СФ. Для сравнения в области перекрывающихся сигналов построена АКФ одного сигнала с совмещенным расположением максимумов (см. рис. 1, линии 2). Ширина отклика для двух перекрывающихся сигналов больше, чем ширина АКФ одного сигнала. Первый этап разрешения сигналов будет заключать-

б) А

■ Рис. 1. Суммарный отклик на выходе СФ для трех сигналов: а — гауссовы сигналы; б — ЛЧМ-сигналы

ся в определении на выходе СФ разрешаемых по Релею откликов сигналов, а затем откликов, полученных от суммы больше чем одного сигнала. В результате будет получена информация о числе и средней временной задержке откликов от суммы не разрешаемых по Релею сигналов, которая может быть использована в качестве априорной информации при сверхрелеевском разрешении.

Таким образом, задачу оценки времени прихода каждого из сигналов следует разделять на две.

1. Суммарный отклик сигналов на выходе системы обработки имеет максимумы, и надо оценить число и временное положение каждого из максимумов. Эта задача относится к области ре-леевского разрешения и достаточно подробно изучена.

2. Суммарный выходной отклик имеет один максимум, и необходимо оценить число сигналов и их временное положение. Эту задачу называют задачей сверхрелеевского разрешения.

В обоих случаях задача оценки временной задержки сигналов решается с помощью определения максимума апостериорной вероятности для суммы входных сигналов на фоне белого шума. Однако в случае релеевского разрешения положение сигналов может быть произвольным на

временной оси, т. е. априорная вероятность распределения оцениваемого параметра оказывается равномерной. Тогда для оптимальной оценки параметров можно воспользоваться максимумом функции правдоподобия. В случае сверхрелеев-ского разрешения вся группа разрешаемых сигналов расположена в пределах ширины отклика с одним экстремумом, т. е. априорная вероятность распределения оцениваемых параметров определяется протяженностью этого отклика, которая связана с шириной АКФ разрешаемых сигналов. Разрешение сводится к определению положения максимума отклика и применению специальной обработки для оценки положения формирующих этот отклик сигналов. Таким образом, дисперсия для плотности априорной вероятности распределения параметров сигналов ограничена и практически совпадает с шириной области сверхрелеевского разрешения, т. е. необходимо определить нижнюю границу для дисперсии оценки разности задержек сигналов в пределах сверхрелеевской области, получаемой из условия Крамера—Рао на основе плотности апостериорной вероятности

р(© / §) = р(©)р(\ / ©)/ Р®,

где 0(ёд, ёД, Тд) — вектор оцениваемых параметров 9Д, Д = 1...^ % — вектор наблюдаемых значений; р(0/%) — апостериорная вероятность распределения параметров; р(0) — априорная вероятность распределения параметров; р(%/0) = L(0) — функция правдоподобия; р(%) — распределение вектора наблюдаемых значений.

Граница Крамера—Рао для минимальной дисперсии определяется на основании максимума апостериорной плотности вероятности. Информационная матрица в этом случае имеет вид

[ /921пЬ(©Л13У + [ /'д21пр(©А|3У .

I \ д^тд^п / [ , I \ д^тд^п /I . '

1 ' 1 >т, п=1 1 ' 1 > т, п=1

Предположим, что априорное распределение зависит только от задержек сигналов и имеет нормальную плотность распределения с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением (СКО) d, совпадающим с шириной АКФ одного сигнала. Тогда общая дисперсия оценки временной задержки сигнала определяется выражением

1 Г1 DoD-T

1ф.п

Do + D^

0 ф.п

= Dэ,

Dт Do

тф.п 0

где Dт — дисперсия оценки временного пара-

метра по максимуму функции правдоподобия; D0 — дисперсия априорной плотности распределения задержек сигналов в пределах области сверхрелеевского разрешения; Dэ — эквивалентная дисперсия.

Граница Крамера—Рао для D~ определяет

ф.п

ся на основании выражения для функционала правдоподобия в частотной области

L(0) =

= exp

nNr

;

N

i(ro) -^ ekS(a)e

k=l

do

(1)

где Н(ю) и 5(га) — мгновенный спектр реализации §(£) и спектральная функция сигнала в(г).

Вычисляются вторые производные от логарифма функции правдоподобия (1), составляется информационная матрица Фишера и определяется обратная ей матрица. Элементы на главной диагонали обратной матрицы дадут выражения для дисперсии оценки Dт соответствующего оцениваемого параметра. Для N сигналов число оцениваемых параметров в рассматриваемой задаче равно 3N, что определяет размерность матрицы Фишера. Элементы обратной матрицы представляют собой отношение алгебраического дополнения к определителю матрицы, т. е. в общем случае отношение (3N - 1)! к 3^ слагаемых. Такое быстрое увеличение количества слагаемых в зависимости от N заставляет при получении строгого аналитического выражения для дисперсии оценки временного параметра ограничиться двумя сигналами. Однако соотношения, получаемые в этом случае, дают достаточно полное представление о характере поведения дисперсии в области сверхразрешения. В работе [3] было получено выражение для нижней границы дисперсии D- (х) = D(x) оценки временных задержек (ко-

герентных) сигналов в зависимости от параметра разрешения х = |х1 - х2| и разности фаз Дф несущей частоты, где х1 = Дюх1, х2 = Дют2 (т1, т2 — задержки сигналов, Дю — полоса сигнала по уровню 0,5). Выражение для нижней границы дисперсии оценки задержки каждого из двух сигналов имеет вид

ь >-^т х Ф'П 2q2k

r Г1

20 -- 2

1— r

2 2

2 — cos Дф r r-| Г2 + 12

1 — r 2

II (2)

r Til

20

1 — r

где г = г(т), г1(т) = г'(т), г2(т) = г"(т) — АКФ сигнала и ее первая и вторая производные; т = т1 - т2 — разность времен задержек; Дфк1 = а^вк - а^е; — разность фаз сигналов; qk2 = |ей|2 — ОСШ для й-го сигнала. Из выражения (2) следует, что при

cos2Дф = 0, Дф = п/2 дисперсия имеет минимальное значение, а при cos2Дф = 1, Дф = 0 — максимальное. Введем безразмерный параметр разрешения х = Дют и положим q2 = q| = q2. Выражения для минимальной и максимальной дисперсий будут иметь вид

^тях(х)

Dm

(x) _ Fmin(x)

1 К**') —

Dm

,(x) _-

kqk kq

где функции ^ш1п(х) и Fmax(x) определяются формой АКФ или энергетического спектра сигналов. Например, для гауссовых сигналов функции Fmin(x) и Fmax(x) можно аппроксимировать выра-

max

жениями

1

sin (x)

3

sin (x)

при 0 < x < п / 2.

Можно показать, что выражение для дисперсии, полученное усреднением по случайной разности фаз Дф в пределах [-п, +п], точно совпадает с величиной Dcp _ yjDminDmax. Дисперсии и СКО, полученные из выражения (2) при малых значениях x < 0,2 для гауссовых сигналов, имеют вид

2

Dmin(x) — 2 2 ;

Dcp (x) _>/Dmin(x)Dmax(x) >

q x 2^3

2 3 q x

Dmax (x) >-

6

^ma^ — 2 4

q x

dmin >

V2 ;

qx

dcp >

(2>/§)

1/2

qx

3/2

d >A

“max > 2 .

qx

Подставляя D(x) в выражение для Da и полагая, что нормированная к квадрату ширины АКФ дисперсия D0 примерно равна единице, получим

D3 (x, q) _ 2F(x)

2q + F (x)

или для нормированного эквивалентного СКО

F (x)

2q2 + F (x)

На рис. 2 приведена зависимость минимального, среднего и максимального эквивалентного СКО от параметра разрешения x = |x1 - x2| для гауссова сигнала при двух значениях ОСШ.

При стремлении x к нулю эквивалентное нормированное СКО стремится к 1, а при стремлении x к 1 СКО стремится к ~1/q. Разрешающую способность определим как наименьшее значение параметра разрешения, при котором выполняется условие x > 2d!5(x). Это выражение связывает РС с точностью оценки задержки сигналов. Введем обозначение t(x, q2, Дф) = x/d^x). Эта зависи-

2

1

k

— LXJ

X

■ Рис. 2. Зависимость минимального (1), среднего (2) и максимального (3) эквивалентного СКО от параметра разрешения для гауссова сигнала с q2 = 20 и 60 дБ

x/d3 (х)

■ Рис. 3. Теоретическая зависимость x/dэ(x) от параметра разрешения для гауссова сигнала: 1 2, 3 — ^т, dcp, ^ах, q2 = 40 дБ; 4, 5, 6 —

q2 =

уровень разрешения

dmln> dcp> dmax> q2 = 60 дБ'; 7 — поРоговый

мость для гауссова сигнала представлена на рис. 3 для различных ОСШ и Дф. РС соответствует точкам пересечения семейства кривых с линией г = 2 (см. рис. 3, линия 7). При реальных измерениях задержек сигналов на выходе измерителя получим оценки

х1, х2, х = |х1 - х2| и (х) = ^1э (х) + Dkэ (х))2.

Поэтому необходимо ввести определение РС с позиций статистической теории. В этом случае t(x) = х / йэ (х) выражается через оценки и становится случайной величиной. Замечаем, что г(х) совпадает с двухвыборочной статистикой Стью-дента для проверки гипотез: Н0 - х1 = х2 (задержки одинаковы, сигналы не разрешаются); Н1 - х1 ф ф х2 (оценки принимаются в качестве истинных задержек).

При размере выборки п > 20 и уровне значимости 0,05 пороговое значение г(х) = 2. При г(х) < 2

; • ; МП; ; ' ; МП; = • : i i •

10 4 10_d 10 z 10 1 10u 101x

10 4 10_d 10 z 10

10u 101x

в)

10l

10~

10“

10“

dmax(*)

л

10“

10~4 10

-3

10~

10~

10u 101X

■ Рис. 4. Минимальное (а), среднее (б) и максимальное (в) эквивалентное СКО для исследуемых спектров: 1 — 8тх/х; 2 — ЛЧМ; 3 — экспоненциальный; 4 — гауссов; 5 — прямоугольный; 6 — треугольный; 7 — пороговый уровень разрешения х > 2dэ(x)

принимается гипотеза H0, при t(x) > 2 — гипотеза H1.

Следует отметить, что для сигналов, наиболее интересных с точки зрения сверхрелеевского разрешения, d, приходится рассчитывать численными методами. На рис. 4, а—в показаны зависимости эквивалентных СКО от x при q2 = 60 дБ.

СКО

■ Рис. 5. Зависимость параметра разрешения от q2 для гауссова сигнала

Воспользовавшись условием разрешения x > > 2d,(x) и соотношениями, связывающими СКО и параметр разрешения, можем записать в общем виде зависимость разрешающей способности от ОСШ (рис. 5):

Cmin - 1/2

5 xcp —"

2/5

где с, с1, с2 — постоянные, зависящие от формы спектра сигнала. Они могут быть определены из графиков рис. 4. Например, для гауссова сигнала с = 1,5, с1 = 1,6, с2 = 1,6.

Рассмотрим теперь случай трех сигналов в области сверхрелеевского разрешения. Как уже отмечалось, размерность вектора оцениваемых параметров и матрицы Фишера в этом случае равна 3N = 9. Если матрица Фишера не содержит нулей, то выражение для дисперсии будет представлять собой отношение сумм из (3N - 1)! = 8! ~ ~ 40 000 слагаемых в числителе и 9! ~ 400 000 в знаменателе. Следует заметить, что обычно матрица Фишера оказывается достаточно разреженной и симметричной. В этом случае приближенное количество слагаемых в определителе можно найти из соотношения п и Ш/2М, где М — число нулей в матрице, при М < К2/2. Например, в работе [3] показано, что для двух сигналов матрица Фишера имеет размерность N = 6 и число нулей М = 16, т. е. примерно половина всех членов матрицы.

Точное число слагаемых в знаменателе 18 (приближенная оценка дает п и 6!/2 • 16 и 22). Число членов в алгебраическом дополнении при числе нулей в нем М = 12 примерно равно п и 5!/2 • 12 и и 5 (точное значение 5). Поскольку и для трех сигналов почти половина всех членов матрицы Фишера равна 0, то в выражении для дисперсии число слагаемых в числителе и знаменателе уменьшится примерно в N = 81 раз, т. е. получим ~400 слагаемых в числителе и ~4000 в знаменателе.

Преобразование такого выражения к обозримому виду не представляется возможным.

Попробуем несколько упростить задачу. Предположим, что фазы сигналов известны и равны нулю, амплитуды неизвестны, но одинаковы: е1 = е2 = е3 = е. В этом случае размерность вектора параметров и матрицы Фишера равна 6. Сама матрица Фишера имеет вид

т I |2

J = е X

1 г(Ті2 ) г(Ті3 ) 0 —Гі(Ті2 ) —Гі(Ті3 )

r (Ті2 ) 1 г(Т23 ) Гі (Тю ) 0 —Гі(Т23 )

г(т13) г(т23 ) 1 Г1 (т13 ) Г1 (т23 ) 0

0 г1 (т12 ) Г1 (т13 ) 1 —г2 (т12 ) —г2 (т13 )

_Г1(т12 ) О Г1(т23 ) —г2 (т12 ) 1 —г2 (т23 )

-г1 (т13 ) —г1 (т23 ) 0 —г2 (т13 ) —г2 (т23 ) 1

где г(Тпт), г^Тпт), ^(т^) — функция автокорреляции, ее первая и вторая производные; тпт — разность задержек соответствующих сигналов, п, т = 1...3.

■ Рис. 6. График СКО для трех гауссовых сигналов при q2 = 60 дБ: а — минимальное СКО при: 1 — х2 - х! = х3 - х2 < 0,08; 2 — х2 - хг = (х3 -

- х^/4; 3 — х2 - хг = (х3 - х_і)/6; 4 — х2 -

- х! = 0; 5 — пороговый уровень; 6 — х3 -

- хг = 0,3; 7 — уровень, определяющий область разрешения третьего сигнала; б — максимальное СКО при: 1 — х2 - хг = х3 - х2 < < 0,2; 2 — х2 - х! = 0; 3 — х3 - хг = 1; 4 — пороговый уровень; 5 — уровень, определяющий область разрешения третьего сигнала

№ Б, 2011

ИHФOPMДЦИOHHO-УПPДBAЯЮШИE СИСТЕМЫ

23

х

Выражения для дисперсии оценок задержки каждого из сигналов содержат 20 слагаемых в числителе (приближенная оценка дает 5!/8 = = 15) и 130 слагаемых в знаменателе (по приближенной оценке 6!/12 = 60). Видим, что и в этом случае аналитические выражения очень сложно упрощать и интерпретировать. Подойдем к задаче сверхразрешения трех сигналов следующим образом. Будем считать, что в сверхрелеевской области находятся три сигнала, причем задержка между первым и вторым совпадает с задержкой между вторым и третьим сигналами (рис. 6, а, б).

При уменьшении задержки СКО будет увеличиваться за счет сближения второго сигнала как с первым, так и с третьим. СКО оценки для второго сигнала определяется суммарным минимальным СКО при сдвиге фаз первого и третьего сигнала относительно второго на п/2 (см. рис. 6, а) и максимальным СКО при равенстве фаз всех сигналов (см. рис. 6, б). Если график суммарного СКО в интервале между первым и третьим сигналами лежит выше порогового уровня, сигналы не разрешаются. Смещение второго сигнала в этой области в сторону первого или третьего сигнала приводит к разрешению только двух сигналов из трех. Этот графический способ определения ха-

Литература

1. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. — М.: Иностранная литература, 1962. — 432 с.

2. Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. — М.: Сов. радио, 1974. — 360 с.

3. Монаков А. А., Мишура Т. П. Потенциальная разрешающая способность РЛС по дальности // Успехи современной радиоэлектроники. 2008. № 12. С. 31-36.

4. Чижов А. А. Сверхрелеевское разрешение: в 2 т. — М.: Красанд, 2010. — Т. 1. 96 с.; Т. 2. 104 с.

рактеристик сверхразрешения можно распространить на случай четырех и более сигналов.

Заключение

Впервые получено аналитическое выражение для СКО оценки задержки двух когерентных сигналов с помощью максимума апостериорной вероятности и границы Крамера—Рао. Показано, что СКО стремится к ширине АКФ при стремлении разности задержек к нулю. Зависимость от соотношения фаз разрешаемых сигналов указывает, что СКО примерно в 6 раз больше при нулевой разности фаз, чем при разности фаз, равной п/2. При этом СКО уменьшается по мере перехода от одной формы спектра к другой в следующей последовательности: прямоугольный, треугольный, гауссов, спектр ЛЧМ-сигнала, экспоненциальный и sin(x)/x. Зависимость наименьшего параметра разрешения от ОСШ для гауссова сигнала позволяет сделать вывод, что сверхрелеевское разрешение x = 0,4 возможно при ОСШ 30 дБ, а x = 0,1 — при ОСШ 60 дБ. Полученные аналитические соотношения для двух сигналов позволили разработать методику графического определения характеристик сверхразрешения для трех и более сигналов.

5. Слюсар В. И., Уткин Ю. В. Уплотнение каналов связи на основе сверхрелеевского разрешения сигналов по времени прихода // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2003. № 5.С.40-48.

6. Ермолаев В. Т., Флаксман А. Г. Методы оценивания параметров источников сигналов и помех, принимаемых антенной решеткой / ННГУ им. Н. И. Лобачевского. — Нижний Новгород, 2007. — 98 с.