CC BY
20
ПОСТРОЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ СПАЙНОВ ПРОСТРАНСТВ ДВУЛИСТНЫХ РАЗВЕТВЛЕННЫХ НАКРЫТИЙ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ
О.М. Давыдов*
Челябинский государственный университет
Описан способ построения специальных спайное пространств двулистных разветвленных накрытий сферы с ветвлением вдоль зацеплений. Приведена таблица пространств 2-листных накрытий трехмерной сферы с ветвлением вдоль простых узлов, канонические проекции которых содержат не более 8 двойных точек, и двух- и трехкомпонентных зацеплений, канонические проекции которых содержат не более 7 двойных точек.
Ключевые слова: специальные спайны, разветвленные накрытия.
1. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть Мп и Нп — га-мерные многообразия. Непрерывное отображение р : Мп —у называется разветвленным накры-
тием, если существует непустое (п — 2)-мерное подмногообразие Ь С Nn, прообраз которого р~1(Ь) = 5 С Мп является также (п — 2)-мерным подмногообразием, и при этом р¡5 : 5 —т• Ь — гомеоморфизм, а р\мп\в — обычное накрытие. При этом многообразие Ь называется множеством ветвления.
В данной работе изучаются пространства 2-листных разветвленных накрытий трехмерной сферы 5'3 с ветвлением вдоль зацеплений.
В середине 70-х гг. Дж. Бирман [1] и, независимо, О.Я. Виро [2] предложили алгоритмы построения диаграмм Хегора таких пространств, а в 1979 г. М. Ферри [3] описал способ построения их кристаллизаций. В настоящей работе предлагается способ построения специальных спайнов пространств 2-листных разветвленных накрытий трехмерной сферы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Спайном замкнутого многообразия М называется полиэдр Р С М, дополнение к регулярной окрестности которого является открытым шаром. Полиэдр называется специальным, если линк
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 99-01-00813) и фонда Университеты России (грант № 992742).
каждой его точки является либо окружностью, либо окружностью с диаметром, либо окружностью с тремя радиусами, и связные компоненты множества точек первого типа полиэдра являются открытыми дисками. При этом точки первого типа называются неособыми, точки второго типа — точками ребер, а точки третьего типа — вершинами.
Специальные спайны пространств 2-листных накрытий S3 с ветвлением вдоль четырехсплетений изучались М.А. Овчинниковым [4; 5]
На основе алгоритма, предложенного в п. 2 данной работы, были написана компьютерная программа и проведен вычислительный эксперимент по перечислению специальных спайнов и распознаванию пространств 2-листных накрытий трехмерной сферы с ветвлением вдоль простых узлов, канонические проекции которых содержат не более 8 двойных точек, и двух- и трехкомпонентных зацеплений, канонические проекции которых содержат не более 7 двойных точек. Эти результаты изложены в п. 3 статьи.
Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю С.В. Матвееву и М.А. Овчинникову за полезные обсуждения и ценные замечания в ходе работы над статьей.
2. Построение специальных спайнов двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы
Рассмотрим зацепление L С S3. Выберем двумерную сферу S2 С S3 и рассмотрим на ней диаграмму зацепления L. Будем считать, что диаграмма содержит не менее 3 двойных точек (пространства двулистных накрытий сферы с ветвлением вдоль зацеплений с меньшим числом двойных точек, тривиального и 22, известны). Выбрав окрестность U(xi) С S2 каждой двойной точки жг- (i = 1,..., га) на диаграмме, можно разбить все зацепление L в объединение дуг (U¿=1аг-) U (и^16г), где дуги ai — это участки, проекция которых лежит в U(xi), а дуги 6г- — компоненты связности L П (S'2 \ (Uf=1U(xi)). Заметим, что дополнение в сфере к объединению выбранных окрестностей S2 \ (Uf=1U(xi)) разбивается проекциями дуг ¿»i,..., &2п в объединение (га + 2) 2-компонент.
Каждую из окрестностей U(xi) представим в виде круга, диаметром которого является проекция дуги, лежащей в U(xi) и не разорванной на диаграмме. Зададим на U(xi) инволюцию (р как симметрию относительно этого диаметра.
Пусть S2 — другая двумерная сфера и £ : S2 —> S2 — гомеоморфизм. Для каждого i = 1,..., га отождествим окрестности U(xi) С S2 и C(U(xi)) С S2 по правилу: точка х £ S2 отождествляется с точкой Çip(x).
В результате получим поверхность К рода п— 1с вклееными в нее п перепонками ai,...,an — двумерными клетками. На поверхности К имеется п замкнутых непересекающихся кривых v\,... ,vn, образованных дугами £>'• = pr52 bi и их образами при отображении
Наклеив 2-клетки по этим кривым, получим специальный полиэдр. Вершинами полиэдра являются точки пересечения границ перепонок с кривыми Vi, а точками ребер все остальные точки, лежащие на границах 2-компонент.
Покажем, что можно выбрать некоторые 2-компоненты а и ß на поверхности К П S2 так, что да П dß = ф. Предположим противное: для любой перепонки а и любой 2-компоненты ß С KilS2 имеет место daildß ф ф. Однако очевидно, что каждая из перепонок граничит лишь с четырьмя различными 2-компонентами, лежащими на К П S2. Если число дуг £>'• = pr52 bi больше двух, то число различных 2-компонент больше четырех. Следовательно, при п > 2 приходим к противоречию.
Итак, выберем 2-компоненты а и ß на поверхности К П S2 такие, что да П dß = ф. Заметим, что в этом случае да П d((ß) = ф. Проколем 2-компоненты а, ß и £(ß). При этом вершины, лежащие на границах прокалываемых 2-компонент, станут точками ребер, а остальные точки границ да, dß и d((ß) — неособыми.
В результате прокалывания получается специальный полиэдр Р, граница регулярной окрестности которого и(Р) является двумерной сферой.
ТЕОРЕМА 2.1. Двумерный полиэдр Р является специальным спайном пространства двулистного накрытия S3 с ветвлением вдоль L.
Доказательство. На поверхности К зададим инволюцию у так, что
1\&пк = С И jlsqnK = С“1-
Продолжим инволюцию 7 на 2-компоненты: перепонки и двумерные клетки, приклеенные по кривым Vi. Инволюция 7 уже определена на границах этих дисков и переводит границы в себя.
Пусть г] — диск указанного типа. Выберем точку rv G Int г], и для каждой граничной точки х £ дг] продолжим у по гомеоморфизму отрезков r,qx и rvу(х).
Таким образом инволюция у продолжается на весь спайн Р и его регулярную окрестность и(Р). Остается продолжить у на дополнительный шар М \ и(Р). Выберем произвольную точку t G Int(M \ U(P)) и для каждой точки х £ dll(P) продолжим у по гомеоморфизму отрезков tx и ty(x).
Факторпространством спайна Р по отображению у является диск Р/у = S2 \ D2, поэтому факторпространством U(Р) /у будет трехмерный
шар. Факторпространством дополнительного шара М \ II(Р) по отображению у также будет шар. Следовательно, М/у = 5'3.
Множеством неподвижных точек в М при инволюции 7 будет объединение лежащих в спайне Р собственных дуг (диаметров) перепонок и 2-компонент, ограниченных кривыми Vi (г = 1,...,га), а также собственная дуга (диаметр) дополнительного шара. Их объединение представляет собой исходное зацепление Ь.
Естественное отображение М —> М/у будет 2-листным накрытием трехмерной сферы с ветвлением вдоль зацепления Ь. Теорема доказана.
3. Перечисление пространств двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы
Ниже приводится таблица пространств 2-листных накрытий сферы с ветвлением вдоль простых узлов, канонические проекции которых содержат не более 8 двойных точек, а также вдоль 2- и 3-компонентных зацеплений, канонические проекции которых содержат не более 7 двойных точек.
При распознавании многообразий сложности, не превосходящей 7, использовались таблицы С.В. Матвеева [6] и М.А. Овчинникова [5].
Обозначения узлов и зацеплений соответствуют таблицам в книге Рольфсена [7].
Laß — линзовое пространство с параметрами а и ß.
Kxl — косое произведение бутылки Клейна на отрезок I = [0,1].
Некоторые малые многообразия Зейферта, имеющие конечные фундаментальные группы, представлены в виде М = Sn/G, где G = tti(M) — одна из групп [8]
Qsn =< X, у\х2 = (ху)2 = у2п >,
D2*(2n+1) =< Х1 у\х<2к = !, У2п+1 = 1, жуж = у-1 >, к > 2, п > 1,
Pg.gfc =< х, у, z\x2 = (ху)2 = у2, zxz~x = у, zyz~x = ху, г3 = 1 >, к > 1
или прямое произведение такой группы на циклическую группу взаимно простого порядка.
Многообразия Фибоначчи [9] представлены в виде Н3/ Fibra, где Н3 — пространство Лобачевского, a Fibra =< х\,..., X2n\xixi+i = жг-+2, i mod 2га > — группа Фибоначчи порядка га.
Некоторые из многообразий Зейферта представлены в виде расслоений (F, («¿, ßi), 1 < i < га), где F — база расслоения Зейферта, а («¿, /Зг), 1 < i < га — его параметры.
Зацеп- Пространство Зацеп- Пространство
ление накрытия ление накрытия
01 53 814 ¿31,12
31 ¿3,1 815 53/(Р24 х^ц)
41 ¿5,2 816 (¿)2, (2,1), (3, 2)) Щ (£2, (2,1), (3,2))
51 ¿5,1 817 (¿*2, (2,1), (3,1)) Щ (Я2, (2,1), (3,2))
52 ¿7,2 818 Я3/ Р1Ь4
61 ¿9,2 819 53/р24
62 ¿11,3 О (М ОС 53/р72
63 ¿13,5 821 53/(Р24 X Я5)
71 ¿7,1 0? 52 х 51
72 ¿11,2 21 КР3
73 ¿13,3 4 2 ¿4,1
74 ¿15,4 5 \ 00 со
75 ¿17,5 6 2 ¿6,1
76 ¿19,7 61 ¿10,3
7т ¿21,8 6§ ¿12,5
81 ¿13,2 7? ¿14,3
82 ¿17,3 72 ‘2 ¿18,5
83 ¿17,4 72 ‘3 ¿16,7
84 ¿19,4 72 ‘4 53/^48
85 53/(Р4 X г7) 72 ‘5 ^/(¿Ь х Я5)
8б ¿23,7 72 ‘6 (ЕР2, (2,1), (3,-1))
87 ¿23,3 72 ‘7
8в ¿25,9 71 53/^24
89 ¿25,7 0? 252 х 51
8ю 53/^216 6? х ^3)
8ц ¿27,8 6! К х1 На Кх.1
812 ¿29,12 61
813 ¿29,8 7? х я5)
Некоторые из многообразий Вальдхаузена представлены в виде склейки Z\ Щ ^2 ДВУХ многообразий Зейферта с торическими краями, отожде-
ствленными по гомеоморфизму, задаваемому матрицей А =
0 1
1 О
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ФАКТ. Для п = 1,..., 8 сложность пространств 2-листных накрытий с ветвлением вдоль простых узлов, канонические проекции которых содержат не более п двойных точек, не превосходит п.
Понятие сложности здесь используется в смысле статьи [10].
Список литературы
1. Birman J.S., Hilden Н.М. Heegard splittings of branched coverings of S3 // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 213. P. 315 - 352.
2. Виро О.Я. Двулистные накрытия трехмерной сферы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 36. С. 6 - 39.
3. Ferri М. Crystallisation of 2-fold branched coverings of S3 // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 72. P. 271 - 276.
4. Овчинников M.A. Специальный спайн линзы типа длинная восьмерка и линза как пространство двулистного накрытия 3-сферы разветвленного вдоль двумостного зацепления // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1999. № 1(4). С. 145 - 154.
5. Овчинников М.А. Построение специальных спайное многообразий Вальдхаузена: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2000.
6. Matveev S.V. Tables of 3-manifolds up to complexity 6 // MPI Preprint 98 - 67.
7. Rolfsen D. Knots and links. N.-Y.: Publish of Perish, 1990.
8. Milnor J. Groups which acts on Sn without fixed points // Amer. J. Math. 1967. Vol. 79.
P. 623 - 660.
9. Веснин А.Ю., Медных А.Д. Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия над трехмерной сферой и гипотеза Мейргофа-Ноймана// Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 3. С. 534 - 542.
10. Matveev S.V. Complexity Theory of Three-Dimensional Manifolds // Acta Applican-dae Math. 1990. Vol. 19. P. 101 - 130.
11. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во Моск. ун - та, 1991.
12. Montesinos J.M., Whitten W. Constructions of Two-fold Branched Coverings of S3 11 Pacif. J. of Math. 1986. Vol. 125, № 2. P. 415 - 446.
SUMMARY
A method of construction of a special spine of the total space of any 2-fold covering of the 3-sphere branched along a link is proposed. The table of the simplest such spaces is presented.
