CC BY
19
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 37-43. УДК 513.83
ТРЁХМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ, ЗАДАВАЕМОЕ 4-ЦВЕТНЫМ ГРАФОМ, ДВУЛИСТНО НАКРЫВАЮЩИМ 4-ЦВЕТНЫЙ ОСТОВ ОКТАЭДРА
М. А. Овчинников
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]
В теории многообразий 4-цветные графы используются как способ задания трёхмерных многообразий. Работа посвящена распознаванию трёхмерного многообразия, заданного одним 4-цветным графом с 12 вершинами, обладающим большим количеством симметрий. Показано, что многообразие является дополнительным пространством зацепления в трёхмерной сфере, состоящим из колец Борромео и окружности — оси вращения 3-го порядка колец Борромео. Получены некоторые другие естественные представления данного многообразия. Показано также, что данный 4-цветный граф двулистно накрывает 4-цветный граф октаэдра.
Ключевые слова: маломерная топология, трёхмерные многообразия, 4-цветные графы, зацепления, замкнутые косы, спайны.
1. Введение и формулировка основных результатов
В теории трёхмерных многообразий 4-Цветным графом называется регулярный граф степени 4, у которого каждое ребро снабжено одним из 4 цветов так, что цвета смежных рёбер различны [1]. 4-цветный граф задаёт склейку тетраэдров следующим образом. Каждой вершине графа сопоставляется тетраэдр, у которого в те же все 4 цвета окрашены грани и вершины так, что цвет вершины совпадает с цветом противоположной грани. Грани тетраэдров отождествляются по схеме графа так, чтобы совпадали цвета отождествляемых вершин и граней. В результате получается однозначно определённое топологическое пространство. Оно может оказаться замкнутым трёхмерным многообразием, и тогда говорят, что оно задаётся данным 4-цветным графом. Может оказаться, что получившееся пространство не является многообразием, но становится многообразием с краем без сферических компонент после удаления из пространства окрестностей точек, которые не являются трёхмерными шарами. В этом случае также говорят, что получившееся трёхмерное многообразие с краем задаётся данным 4-цветным графом [1].
В работе рассматривается следующий 4-цветный граф О с 12 вершинами. В качестве вершин графа О для удобства описания возьмём элементы прямого произведения циклических групп Z6 х Элементы групп Z6 и будем называть соответственно первой и второй координатами вершины. Вершины (а, Ь) и (с, в графе О соединены ребром, если с = а ± 1.
Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).
П. 1 7 3 л I; п0
О, 2, 3, 4, 5, О,
Рис. 1. Граф О. Вершины (а, Ь) обозначены как аь
Очевидно, что у каждой вершины (а, Ь) 4 соседа: (а + 1, 0), (а — 1, 0), (а + 1,1), (а — 1,1). Поэтому данный граф является регулярным степени 4. Симметрии графа О описываются в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть три отображения на множестве вершин графа О задаются формулами /1 ((а, Ь)) = (а +1, Ь), /2((а, Ь)) = (—а, Ь +1), /3((а, Ь)) = (а, Ь), если а = 0, и /3((0,Ь)) = (0,Ь +1).
Тогда группа симметрий графа О порождается этими отображениями и изоморфна группе х Z<2 порядка 768, где — диэдральная группа порядка 12.
Цвета рёбер обозначим цифрами 0, 1, 2, 3. Положим, что цвет 0 имеют рёбра с концами (а, 0) и (а + 1,1), а Е Z6. Определим для каждого к = 1, 2, 3 отображение на вершинах графа О правилом дк((а,Ь)) = (а,Ь), если а = к mod3, и дк((а,Ь)) = (а, Ъ + 1) в противном случае.
Очевидно, каждое такое отображение — инволюция, сохраняющая первую координату вершин. У любого ребра эти отображения дают три различных образа. Полагаем, что рёбра цвета к — это образы рёбер цвета 0 при отображении дк. Легко убедиться, что каждой вершине инцидентны рёбра всех 4 цветов. Граф О с этой раскраской далее везде в тексте мы называем 4-цветным графом О.
Для описания симметрий 4-цветного графа О определим ещё два отображения на множестве вершин графа О: д4((а,Ь)) = (а + 1,Ь), д5 = ((а,Ь)) = (—а,Ь + 1). Симметрии 4-цветного графа О описываются в следующей теореме.
Теорема 2. Группа симметрий 4-цветного графа О порождается отображениями дк, к = 1, 2, 3, 4, 5, и изоморфна группе О х Z2 порядка 48, где О — группа вращений октаэдра.
Обозначим через М 3-многообразие, задаваемое 4- цветным графом О.
Теорема 3. Многообразие М гомеоморфно дополнительному пространству зацепления Ь в трёхмерной сфере, состоящего из колец Борромео и окружности, являющейся осью вращения 3-го порядка колец Борромео.
Эта теорема немедленно следует из следующей теоремы и представления колец Борромео в виде замкнутой косы. Обозначим символом В альтернированную косу с тремя нитями, проекция замыкания которой является графом октаэдра на сфере. Обозначим через Ь1 зацепление, состоящее из замкнутой косы, являющейся замыканием косы В и окружности, зацепляющей замкнутую косу (см. рис. 4).
Рис. 3. Кольца Борромео и окружность — ось вращения 3-го порядка колец Борромео
Рис. 4. Зацепление Ь\, состоящее из замкнутой косы В и зацепленной с ней стандартной окружности
Теорема 4. Многообразие М гомеоморфно дополнительному пространству к зацеплению Ь\ в трёхмерной сфере.
Эту теорему удобно получить на основании следующей теоремы.
Обозначим символом В альтернированную диаграмму зацепления с двумя компонентами в утолщённом торе, проекции которых на торе изотопны друг другу и разрезают тор на два несмежных 2-угольника и два 6-угольника. На рис. 5 тор представлен как 6-угольник с отождествлёнными противоположными сторонами.
Теорема 5. Многообразие М гомеоморфно дополнительному пространству к зацеплению в утолщённом торе, заданном диаграммой В.
Рис. 5. Диаграмма Б зацепления с двумя компонентами в утолщённом торе
Отметим особенность терминологии, принятую для краткости. Везде в данной работе под дополнительным пространством к зацеплению в многообразии подразумевается дополнительное пространство к открытой окрестности зацепления. В частности, везде имеем, таким образом, дело с компактными многообразиями (дополнение к зацеплению является, строго говоря, некомпактным многообразием).
2. Доказательства теорем 1—5
Доказательство. Теорема 1. Назовём две вершины близнецами, если у них одинаковые соседи. Очевидно, имеем 6 пар близнецов. Рассмотрим получающийся граф из пар близнецов. Это замкнутая ломаная длины 6. При любом автоморфизме исходного графа она должна переходить в себя. Первые два отображения порождают все автоморфизмы, нетривиально действующие на этой ломаной, т. е. диэдральную группу порядка 12. Добавление 3-го образующего позволяет для любой пары близнецов реализовать симметрию, переставляющую этих близнецов и оставляющую неподвижными остальные вершины графа О. □
Доказательство. Теорема 2. Рассмотрим двулистное накрытие 4-цветного графа октаэдра 4-цветным графом О. Построение этого накрытия легче всего понять из рисунка, на котором ясно видно, что если отождествить все пары вершин (а,Ь) и (а + 3,Ь), то все рёбра также разобьются на пары отождествляемых, причём одинакового цвета. При этом возникает 4-цветный граф октаэдра. Пять описанных отображений корректно определены на множестве вершин нашего октаэдра и порождают его вращения. В частности, отображения д1, д2, д3, д5 дают вращения относительно четырёх различных осей 2-го порядка октаэдра, отображение д4 даёт вращение относительно оси 3-го порядка. Куб отображения д4 на октаэдре действует тривиально, а во всей группе симметрий 4-цветного графа О является инволюцией, коммутирующей со всеми остальными симметриями. Эта конструкция с двулистным накрытием графа октаэдра описана в [2] на с. 168. Там же сообщается, что группа автоморфизмов накрывающего графа изоморфна прямому произведению группы вращений октаэдра и группы порядка 2. Отсюда следует утверждение теоремы. □
Доказательство. Теорема 5. Обозначим через М1 дополнительное пространство к зацеплению в утолщённом торе, задаваемому диаграммой О. Доказательство использует понятие специального спайна 3-многообразия и одно его важное свойство.
Спайном компактного трёхмерного многообразия с краем называется 2-мерный полиэдр, если в многообразии есть гомеоморфный ему подполиэдр, дополнение к которому в многообразии гомеоморфно прямому произведению края многообразия на полуинтервал.
Спайн называется специальным, если связные компоненты множества его регулярных точек являются открытыми дисками, сингулярный граф является регулярным степени 4 хотя бы с одной вершиной, и вершины графа имеют замкнутую окрестность в полиэдре, гомеоморфную конусу над полным графом с 4 вершинами. Вершины сингулярного графа специального спайна называются также вершинами спайна (вершинами полиэдра). Важным свойством специальных спайнов многообразий с краем является то, что негомеоморфные многообразия не могут иметь одинаковые специальные спайны. Т. е. по своему специальному спайну многообразие с краем восстанавливается однозначно [3].
Построим по диаграмме О специальный спайн Р и покажем, что построенный спайн совпадает со спайном, задаваемым 4-цветным графом О. Это будет означать, что многообразия М1 и М гомеоморфны.
Диаграмма О оказывается достаточно проста, чтобы по ней наглядно изобразить построение спайна и его структуру и затем убедиться в одинаковости построенного спайна и спайна, определяемого 4-цветным графом О.
Будем считать, что для расположения зацепления в утолщённом торе выполнены следующие свойства в соответствии с диаграммой О. Вне окрестностей двойных точек зацепление лежит в некотором срединном торе и совпадает с проекцией зацепления. Для каждой двойной точки диаграммы О две малые дуги, которые являются прообразами данной двойной точки, располагаются вблизи срединного тора по разные стороны от него.
Возьмём замкнутую окрестность объединения двуугольников (как дисков) и остальных 4 рёбер графа проекции в утолщённом торе, содержащую внутри себя наше зацепление. Это полный крендель рода 3, край которого обозначим Н. Будем считать, что срединный тор разрезает поверхность Н на две половины — верхнюю и нижнюю, и эти поверхности проектируются друг на друга взаимно-однозначно посредством проекции, задаваемой структурой прямого произведения у утолщённого
тора. Обозначим Р0 объединение поверхности Н и двух дисков — части срединного тора вне окрестности (вне кренделя). В этом полиэдре сингулярное множество составляют две окружности. Замкнутая окрестность каждой из этих окружностей представляет собой три кольца, приклеенных к окружности одним своим краем. Для каждого двуугольника диаграммы добавим к полиэдру Р0 собственный диск, лежащий внутри полного кренделя и своим краем пересекающий линию пересечения поверхности Н и срединного тора в 6 точках — такой, что внутренность полного кренделя минус эти два диска является окрестностью зацепления. Расположение этих дисков в кренделе показано на рис. 6. Подробное описание рис. 6 изложено ниже. Полученный полиэдр обозначим Р. В нем 12 вершин.
Опишем построение изображения полиэдра Р (рис. 6) по диаграмме В зацепления. Проекция поверхности Н на срединный тор даёт замкнутую окрестность двуугольников и 4 рёбер на торе. Эта окрестность — тор с двумя дырами. На рисунке она изображает построенную нами поверхность Н. Для этого мысленно различаем верхний и нижний экземпляры этой окрестности, которые представляют верхнюю и нижнюю половины поверхности Н. Каждый из двух собственных дисков в полном кренделе с краем Н выберем так, что проекция его края на срединный тор, а значит, и изображение на рисунке, является 6-звенной ломаной с одним самопересечением. Три звена ломаной — это три дуги края диска на верхней половине поверхности Н, три звена — на нижней половине. Нижние звенья на рисунке изображаются пунктирно. Четыре звена ломаной отрезают окрестности рёбер графа от окрестности двуугольника. Два других звена изображаются пересекающимися хордами внутри окрестности двуугольника.
Рис. 6. Спайн Р
Рис. 7. 4-цветная раскраска сингулярного графа спайна Р и разметка его вершин
Покажем, что спайн Р совпадает со спайном, задаваемым 4-цветным графом О.
Известно, что приклейка дисков к 4-цветному графу вдоль всех двухцветных циклов даёт специальный спайн многообразия с краем, задаваемого данным 4-цветным графом [1]. На рис. 7 показана разметка вершин и раскраска рёбер, позволяющая непосредственно убедиться в одинаковости 4-цветного сингулярного графа полиэдра Р и 4-цветного графа О и на основе этого — в одинаковости соответствующих спайнов. Для наглядности изображены верхняя и нижняя части поверхности Н отдельно. □
Доказательство. Теорема 4. Убедимся, что дополнительное пространство к зацеплению Ь\, изображённому на рис. 4, совпадает с многообразием М\ из теоремы 5, т. е. с дополнением к зацеплению в утолщённом торе, изображённому на рис. 5.
Дополнение в 3-сфере к тривиальной окружности есть полный тор. Поэтому рассматриваемое многообразие есть дополнение к замкнутой косе В, помещённой в полный тор вдоль его осевой окружности.
Рис. 8. Замкнутая коса В с выпрямленной одной нитью, совмещённой с осью полного тора — дополнения к стандартной окружности
Рис. 9. На торе — диаграмма зацепления и тэта-кривая, пересекающая проекцию зацепления в трёх точках
Совместим одну из 3 компонент косы с осью полного тора, что на рис. 8 показано как выпрямление средней нити косы. Дополнение к оси полного тора в полном торе является утолщённым тором. Таким образом, наше многообразие — это дополнение к некоторому зацеплению с двумя компонентами в утолщённом торе. Проектирование зацепления на тор даёт на торе диаграмму зацепления. Поместим на торе тэта-кривую, пересекающую проекцию зацепления в трёх точках. На рис. 9 изображён тор с получившимися диаграммой зацепления и тэта-кривой. Дополнение к тэта-кривой в торе является шестиугольником. Разрезание тора по тэта-кривой даёт диаграмму О, изображённую на рис. 5, что и доказывает совпадение многообразий. □
Замечание. По сравнению с традиционным способом изображать тор (с помощью квадрата) шестиугольник позволил сделать диаграмму зацепления и более экономной, и более симметричной.
Доказательство. Теорема 3. Непосредственно видно, что диаграммы зацеплений на рис. 3 и на рис. 4 изотопны. Следовательно, они обозначают одно и то же зацепление. □
Автор выражает благодарность Е. А. Фоминых за информацию о 4-цветном графе, послужившую отправной точкой для данного исследования.
Список литературы
1. Cristofori, P. Compact 3-manifolds via 4-colored graphs [Электронный ресурс] / P. Cristofori, M. Mulazzani // RACSAM. - 2015. - URL: http://arXiv:1304.5070 (дата обращения: 20.01.2016).
2. Коксетер, Г. С. М. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп / Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер. — М. : Наука, 1980. — 240 с.
3. Matveev, S. Complexity theory of three-dimensional manifolds/ S. Matveev // Acta Applicandae Mathematicae. — 1990. — Vol. 19. — P. 101-130.
Поступила в редакцию 14.05.2016 После переработки 20.05.2016
Сведения об авторе
Овчинников Михаил Алексеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 2. P. 37-43.
A THREE-DIMENSIONAL MANIFOLD DEFINED BY A 4-COLORED GRAPH WHICH IS TWO-FOLD COVERING THE 4-COLORED OCTAHEDRON GRAPH
M.A. Ovchinnikov
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]
In the theory of three-dimensional manifolds regular graphs of degree 4 with edges colored by 4 colors is a way to represent 3-manifolds. The manifold defined by some certain symmetric 4-colored graph with 12 vertices is recognized in the work. It is shown that the manifold is homeomorphic to the complement space to the link in 3-sphere consisting of the Borromean link and a standard circle which is the 3-order rotation axis of the Borromean link. Some other natural presentations of the manifold are found. It is shown also that the 4-colored graph is the two-fold covering of the 4-colored octahedron graph.
Keywords: low-dimensional topology, 3-dimensional manifolds, links, 4-colored graphs, closed braids, spines.
References
1. Cristofori P., Mulazzani M. Compact 3-manifolds via 4-colored graphs. RACSAM, 2015. Available at: http://arXiv:1304.5070, accepted 20.01.2016.
2. Coxeter H.S.M., Moser W.O.J. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1980. 172 p.
3. Matveev S. Complexity theory of three-dimensional manifolds. Acta Applicandae Mathematicae, 1990, vol. 19, pp. 101-130.
Accepted article received 14.05.2016 Corrections received 20.05.2016
