CC BY
35
УДК 539.3
А. Д. Матвеев
Построение сложных многосеточных элементов
KJ KJ и *
с неоднородной и микронеоднороднои структурой
A. D. Matveev
Constructing the Composite Multi-Grid Elements of Heterogeneous and Micro-Heterogeneous Structures
Предложены процедуры построения сложных многосеточных конечных элементов формы прямоугольного параллелепипеда, которые имеют неоднородную и микронеоднородную структуру. Процедура построения сложных многосеточных элементов сводится к построению некоторой системы вложенных композитных двухсеточных конечных элементов. Для построения двухсеточного элемента применяем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена базовым разбиением двухсеточного элемента, которое учитывает его структуру, крупную сетку определяем на всей области данного элемента. С помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке, функционал полной потенциальной энергии двухсеточного элемента, отвечающий базовому разбиению, проецируем на крупную сетку. В результате минимизации этого функционала получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил двухсеточного конечного элемента.
Достоинства сложных многосеточных элементов заключаются в том, что они учитывают неоднородную и микронеоднородную структуру, образуют дискретные модели трехмерных композитных тел малой размерности и порождают решения с заданной погрешностью, при этом напряжения определяются в любом компоненте неоднородной и микронеодно-родной структуры сложных многосеточных конечных элементов.
Ключевые слова упругость, трехмерные тела, неоднородная, микронеоднородная структура, сложные многосеточные элементы.
БОТ 10.14258/1гуа8и(2014)1.1-18
In this paper, construction of complex composite multi-grid finite cuboid elements with heterogeneous and micro — heterogeneous structures is presented.The procedure for constructing complex multi-grid elements reduces to construction of a system of embedded composite two-grid finite elements. Both fine and coarse embedded grids are used to construct a double-grid element. Fine grid is generated after discretization of the double-grid element with consideration of its structure. Coarse grid is defined over the whole area of the element. Coarse grid approximations project the total potential energy functional of the double-grid element with base descretization on a coarse grid. Equations for calculating stiffness matrix and vector of nodal forces are obtained by functional minimization procedures for the energy functional.
Consideration of heterogeneous and micro-heterogeneous structures is one of the advantages of composite multi-grid elements. It is used for developing discrete models of small three-dimensional composite solids and obtaining solutions with specified errors. Thus, stresses can be estimated for every component of heterogeneous structure of composite multi-grid finite elements.
Key words: elasticity, three-dimensional solids, heterogeneous structure, micro-inhomogeneous structure, composite multi- grid elements.
Введение. Расчет упругих трехмерных тел с неоднородной и микронеоднородной структурой по методу конечных элементов с учетом их структуры сводится к построению систем уравнений методом конечных элементов высокого порядка [1, с. 294; 2, с. 59]. В связи этим разработаны многосеточные конечные элементы [3, с. 3; 4, с. 161]. Существуют два типа таких элементов. Для построения т -сеточного
конечного элемента, имеющего неоднородную структуру, применяем т вложенных узловых сеток. Самая мелкая сетка порождена базовым разбиением многосеточных конечных элементов, которое учитывает их неоднородную структуру. Остальные т — 1 сетки для многосеточных конечных элементов первого типа определяются на его области, для многосеточных конечных элементов второго типа — на его границе.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00053).
В случае, когда размеры высокомодульных частиц и толщина волокон очень малы, для учета неоднородной (микронеоднородной) структуры тела необходимо использовать достаточно мелкие базовые разбиения многосеточных конечных элементов. Это приводит к резкому увеличению временных затрат на реализацию алгоритма построения матрицы жесткости и вектора узловых сил многосеточных конечных элементов.
В данной работе разработаны сложные многосеточные конечные элементы формы прямоугольного параллелепипеда, которые имеют неоднородную и микронеоднородную структуру. Процедура построения сложных многосеточных конечных элементов сводится к построению некоторой системы вложенных двухсеточных конечных элементов. Достоинства сложных многосеточных конечных элементов состоят в том, что они:
— учитывают неоднородную и микронеоднородную структуру трехмерных упругих тел;
— образуют многосеточные дискретные модели трехмерных композитных тел, число узловых неизвестных которых на несколько порядков меньше числа неизвестных базовых моделей;
— порождают решения с заданной погрешностью, при этом напряжения определяются в любом компоненте неоднородной (микронеодно-родной) структуры многосеточных конечных элементов.
Процедура построения сложных многосеточных конечных элементов базируется на алгоритмах метода конечных элементов и поэтому удобно реализуется на ЭВМ. Реализация методом конечных элементов для многосеточных дискретных моделей трехмерных упругих тел, состоящих из сложных многосеточных конечных элементов, требует меньше памяти ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.
1. Процедура построения двухсеточных конечных элементов. Изложение данной процедуры проведем для двухсеточного конечного элемента V2 первого типа неоднородной (микронеоднородной) структуры формы прямоугольного параллелепипеда размерами ахЬхс (см. рис. 1). Считаем, что между компонентами неоднородной структуры двухсеточного конечного элемента V2 связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающим трехмерной задаче теории упругости [5, с. 40], т. е. во всей области двухсеточного конечного элемента V2 реализуется трехмерное напряженное состояние. Область двухсеточного конечного элемента V2 представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных конечных элементов V* первого порядка формы куба со стороной к [1, с. 135], ] = 1,...,М; М - общее число конечных элементов Vк . На рисунке 1 показано базовое (мелкое) разбиение двухсеточного конечного элемента V2 на конечные элементы V^.
Рис. 1. Сетки двухсеточного конечного элемента
Рис. 2. Крупная сетка трехсеточного конечного элемента V.2
Базовое разбиение двухсеточного конечного элемента V2 учитывает его неоднородную (микронеоднородную) структуру и порождает мелкую сетку W¡1 размерности т1 хш2 хш3 с шагом к по осям Ох, Оу, Ог ; для рисунка 1 имеем т1 = т2 = т3 = 11. На мел-
кой сетке W¡1 определяем крупную сетку W¡2 размерности п1 хп2 хп3 с шагами: Н1 — по оси Ох , Н2 — по оси Оу и Н3 — по оси Ог , причем Н1 = к1к , Н2 = к2к, Н3 = к3к, где к1, к2, к3 — целые. На рисунке 1 узлы крупной сетки W2 отмечены точками,
к1 = к2 = к3 = 2, Н1 = Н2 = Н3 = 22 , п1 = п2 = п3 = 6 .
Полную потенциальную энергию I 2 базового разбиения двухсеточного конечного элемента V:2 представим в виде [1, с. 32]
М 1
П2 = ]С (2 < К Ь, - чг,Р), С1)
¡=1 2
где [К ] — матрица жесткости; Р,, а — векторы узловых сил и неизвестных конечных элементов V, базового разбиения двухсеточного конечного элемента; Т — транспонирование.
С помощью полиномов Лагранжа [6, с. 187] на сетке W2 определяем аппроксимирующие функции ы2,у2,w2 для перемещений и, V, V двухсеточного конечного элемента V¡2, которые запишем в форме
пх п пъ п П2 Пз
и2 = Т Т Т К,кЫ,к , ^2 = Т Т Т Ы^,к ,
¡=1 ,=1 к=1 ¡=1 ,=1 к=1
П П пг
; =ТТТ^т™цк, (2)
¡=1 ¡=1 к=1
где и,к, V,к, w¡jk — искомые значения функций
и2, v2, ;2 в узле 1,к сетки W¡2; к — координаты
целочисленной системы координат ,к , введенной для узлов крупной сетки W¡ 2 (рис. 1); ^цк = N ¡¡к (х, у, г) — базисная функция узла 1, к сетки И2, 1 = 1,...,п1, , = 1,...,п2, к = 1,...,п3, N ,к = Ь, (х)Ь, (у)Ьк (г),
Ьг (х) = П ^ ^ (у) = П ,
а=1,а^г Х> - Ха а=иаж, У, - Уа
ьк (г) = П , (3)
а=1,а^к гк га
х, у , гк — координаты узла к сетки W¡2 в систе-
ме координат Охуг.
Обозначим: Nв = N¡jk, ив = и,к , ^ = V,к ,
= ;,,к, где в = 1,...,п ; п = п1п2п . Тогда выражения (2) принимают вид
и2 = Í2Nвив , ^2 = Т2NвVв , Ж = £NвШв . (4)
в=1 в=1 в=1
Обозначим а2 = \и, ,...,и , V. ,...^ , ; ,...,; }г —
т. 1 1 1' ’ п1 11 ’ п1 11 ’ п}
вектор узловых неизвестных крупной сетки W¡ 2, т. е. вектор неизвестных двухсеточного конечного элемента V2. Используя (4), компоненты вектора а, узловых неизвестных конечных элементов V, выражаем через компоненты вектора а 2 , в результате получим равенство
а, = [А ] а2, (5)
где [А2 ] — прямоугольная матрица; , = 1,..., М.
Подставляя (5) в выражение (1), из условия д1 2 / да2 = 0 получаем уравнение [К ] а2 = Н2, где
ММ
К] = Т[А) ] К ][А2 ], Р2 =Т[А) ] Р , (6)
¡=1 ¡=1
[К2], Р2 — матрица жесткости и вектор узлов^1х сил двухсеточного конечного элемента V2 первого типа.
Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки W2 двухсеточного конечного элемента V2 с помощью формулы (5), проецируется на мелкую сетку W1 базового разбиения двухсеточного конечного элемента, что дает возможность вычислять напряжения в любом конечном элементе V2 базового разбиения двухсеточного конечного элемента V12 и, следовательно, можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры двухсеточного конечного элемента У2.
2. Процедура построения сложных многосеточных конечных элементов. Основные положения процедуры построения сложного многосеточного конечного элемента покажем на примере построения сложного трехсеточного конечного элемента V3 с неоднородной (микронеоднородной) структурой формы прямоугольного параллелепипеда (рис. 2). Область трехсеточного конечного элемента V3 представляем двухсеточным конечным элементом V2 , 1 = 1,...,М2. М2 — общее число двухсеточного конечного элемента V2. При этом двухсеточный конечный элемент V2 имеет одинаковые геометрические размеры, мелкие W1 и крупные W2 сетки (одинаковые базовые разбиения). На рисунке 2 трехсеточный конечный элемент V3 (размерами 20Нх20Нх20Н ) состоит из восьми двухсеточных конечных элементов V2 (размерами 102 х10Нх10Н). Границы двухсеточного конечного элемента V {2 на рисунке 2 отмечены пунктирными линиями, т. е. М2 = 8 . Базовые разбиения двухсеточного конечного элемента V2 учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру трехсеточного конечного элемента V3. Совокупность крупных сеток W¡2 двухсеточного конечного элемента У2 ( 1 = 1,...,М2) образует крупную сетку W2. На крупной сетке W2 определяем более крупную сетку W2 размерности а1 ха2 ха3. На рисунке 2 узлы крупной сетки W2 отмечены точками, а1 = а2 = а3 = 6. Аппроксимирующие функции перемещений и3,v3,ж3, построенные на сетке W2 , применяем в виде
т т т
и =ТN1 <$>, Vз =ТN1 чв, Ж3 =ТN1 я; , (7)
в=1 в=1 в=1
где Nъ„ — базисная функция в -го узла крупной сетки We ; я", ,я; — значения соответственно функ-
ций и3,v3,;3 в в -м узле сетки W3; т = а1а2а .
Полную потенциальную энергию I 3 трехсеточного конечного элемента V3 представляем как сумму полных потенциальных энергий двухсеточного конечного элемента Vi2, 1 = 1,...,М2, т. е.
М2 1
п3 =Т,(^(я2)Т [К2]я2-(я2)гр,2), (8)
=1 2
где М2 — общее число элементов двухсеточного конечного элемента V2.
Обозначим через ц3 вектор узловых неизвестных крупной сетки We3 трехсеточного конечного элемента У^. Используя (7), вектор ц2 узловых неизвестных двухсеточного конечного элемента У2 выража-
3 ~
ем через вектор це узловых неизвестных крупной сетки We3, т. е. строим равенство
я2 = [ А,3] ц3, (9)
где [А3 ] — прямоугольная матрица; і = 1,..., М2.
Подставляя (9) в выражение (8), из условия дї 3 /дц3 =0 получаем матричное уравнение
К] ц3 = Б; , где
М2 М2
К] = Е[А,3]Т[К,2] [А3 ], Бе3 = ¿[А?]т Б , (10)
і=1 і=1
[Ке3], Б3 — матрица жесткости и вектор узловых сил сложного трехсеточного конечного элемента V3.
е
Замечание 2. Как показывают расчеты, погрешность решения, построенного методом конечных элементов для трехмерного тела, для которого заданы геометрические размеры, композитная структура, закрепление и нагружение с применением двухсеточного конечного элемента У? и сложного трехсеточного конечного элемента УЄ определенных размеров зависят от соотношения шагов узловых вложенных сеток
W¡ , W2, We3.
Построение сложных четырехсеточных конечных элементов формы прямоугольного параллелепипеда с применением сложных трехсеточных и двухсеточных конечных элементов аналогично вышеописанной процедуре.
3. Результаты расчетов. Рассмотрим в декартовой системе координат Охуг модельную задачу
0 деформировании композитного трехмерного тела У1 размерами 20кх120кх20к (рис. 3). При у = 0 тело У1 закреплено, граница крепления тела на рисунке 3 заштрихована. На верхней поверхности тела У1 (при ^ = 20к, к = 0,5) в точках с координатами ^ = 20к, хк, уі заданы силы qz = 0,15; хк = 8 к + 4 к( к — 1), у { = 20 к + 4 к(і — 1), к = 1,...,4;
1 = 1,...,26 (рис. 3).
Рис. 3. Схема нагружения тела У1
Базовая дискретная модель тела У1 состоит из изотропных однородных конечных элементов 1-го порядка формы куба со стороной к . Многосеточная дискретная модель тела У1 — из сложных трехсеточных конечных элементов У3 (рис. 2), состоящих из восьми двухсеточных конечных элементов У2 размерами ЮкхЮк х10к (см. рис. 1). Тело У1 армировано волокнами (с поперечным сечением к хк), направленными вдоль оси Оу. На рисунке 1 сечения волокон закрашены. Модуль Юнга связующего материала тела У1 равен 1, волокон — 10, коэффициент Пуассона — 0,3.
Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное перемещение wк = 356,992 многосеточной дискретной модели тела У1 отличается от максимального перемещения w0 = 388,653 базовой модели на 8,14%. Максимальные эквивалентные напряжения ак = 14,580 многосеточной дискретной модели тела и а0 = 15,578 базовой модели отличаются на 5,75°%. Базовая дискретная модель тела имеет 158760 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений метода конечных элементов равна 2784. Многосеточная дискретная модель тела содержит 3240 узловых неизвестных, ширина ленты — 1296, т. е. занимает в 100 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем базовая. Время реализации метода конечных элементов для многосеточной дискретной модели в 12 раз меньше, чем для базовой. Отметим, что при к = 0,5мм волокна имеют поперечное сечение размерами 0,5 х 0,5мм, т. е. тело У1 размерами 1х6х1см имеет микронеоднородную структуру.
Библиографический список
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М., 1975.
2. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М., 1982.
3. Матвеев А. Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ. — № 2990-В00. — 2000.
4. Матвеев А. Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. — 2004. — № 3.
5. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. — М., 1982.
6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М., 1981.
