Построение слабых разрывов решения векторной вариационной задачи в области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 177-178

177

УДК 517.944

ПОСТРОЕНИЕ СЛАБЫХ РАЗРЫВОВ РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТИ

© 2011 г. В.А. Корнеев

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва Korneev @ipmnet.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Исследованы негладкие решения системы уравнений Эйлера - Лагранжа, соответствующей вариационной задаче с несколькими искомыми функциями многих переменных и квадратичным функционалом. Распространение слабых разрывов описывается уравнениями метода сингулярных характеристик, развитого в работах А. А. Меликяна. Изучено возникновение и взаимодействие слабых разрывов решения, инициированных негладкими начальными условиями.

Ключевые слова: вариационное исчисление, негладкие решения, метод сингулярных характеристик.

1. Вариационная задача в области

Рассматривается вариационная задача в области

J = |F(x,u(x).р(x))dx ^ ех1х,

а

ди

р = —, и(х): а ^ Ям, (1.1)

дх

х є а с Яп, В[и(х)]ХЄда = 0

на множестве пар (и*(х), а*), в которых непрерывные функции определены и дважды кусочнонепрерывно дифференцируемы в области а*. Для краткости это будем обозначать как и*(х) є є РС2(а*). Область а* своя для каждой функции. Конкретный вид граничных условий

В[и(х)]х єЗО = 0

зависит от типа задачи и включает задание на различных частях границы значений самой функции или ее частных производных. Эта задача с нефиксированной (варьируемой) границей.

2. Обобщение условий Вейерштрасса - Эрдмана

Теорема. Пусть пара (и(х), а) - решение задачи (1.1) и гладкая поверхность Г с а делит область а на две открытые подобласти а +, а - : а = а + + а - + Г. Пусть и(х) є С(а) и и С 2(а ±), а ее градиент терпит разрыв на Г, причем т0 первых компонент и имеют излом на Г, остальные компоненты гладкие. Тогда на Г выполнены обобщенные условия Вейерштрасса - Эрдмана

^(х,ы.р) - ^(х,ы.р) -, ра - да >= 0,

< Ер„. - РЯа ’ Ра - Уа > = 0 а = ^

< рРа - рча ’Р1 - У > = а = т0 +к.

3. Слабый разрыв одной компоненты и численное построение решения

Лемма 1. Пусть в задаче (1.1) функция ^(х, ы.р) имеет вид

^ (х, ы.р) = Е ( х, ы.р1) +1 (х, ы.р),

Р ( ) (3.1)

р = (рг,..; р„ ).

Пара ы(х), О есть решение задачи (1.1), причем функция ы(х) кусочно-гладкая. Предположим, что существует гладкая поверхность Г с О, разделяющая область О на две открытые подобласти О+, О: О = О++ О+Г (рис. 1). Пусть далее функция ы(х) непрерывна в области О и дважды гладкая в каждой из областей О , О , а ее градиент терпит разрыв на Г, причем только первая компонента ы имеет излом на кривой Г, а остальные компоненты гладкие.

Предполагаем также, что одна из ветвей решения ы+ (обозначаемая далее у(х), у = Уу(х))

178

В.А. Корнеев

может быть найдена до построения Г, а для построения другой ветви ы- (обозначаемой далее ы(х), р = Уы(х)) требуется знание поверхности Г. Тогда на Г обобщенные условия Вейерштрасса -Эрдмана определяют многообразие Ж3 с Еп+пЛ+Л коразмерности 3:

Ж3: Н(хмг)=0, Я(х,м>,г)={^И}=0,

К}(х^) = 0, '№=ы1, г=р1. (3.2)

Поверхность Г строится интегрированием системы сингулярных характеристик:

х = Нг, w = <г, Н>,

г = -Нх - Ик - {{НК1}Н} (г - у.(х)). (3.3)

х w ОДН}^}

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1, а функция F(x, ы.р) квадратична по р и имеет вид

F(х, ы-р) = ^=1 К (х,ы.р а) =

=2 ^=1 <Аа ( х, ы)ра, ра>, ы = {ы1,-, ыл }- (3-4)

Рассмотрим двумерную задачу в области О = = {х,у : |х | < I, |у| < Т}, когда

Аа ( х, и) =

- c2(и) 0

0

1

ыл (х, у)), I = 1, 2. Уравнения Эйлера для двумерного случая п = 2 имеют вид

+-

1 да, ( ди

дх 2 ди, ^ дх

+

да, ди, ди2 1 да2 ( ди2

ди2 дх дх

д и2

^7

■ = а2

д и2 + 1 да2 ( ди

дх 2 ди2 I дх

(3.7)

+

да 2 ди1 ди2 ди1 дх дх

1 да1 ( ди

(3.5)

а начальные условия имеют вид

ы(х,0) = Ф(х), ды(х,0) = 4(х),

ду

ы(-1, у) = ы(/, у) = 0. (3.6)

Компоненты вектор-функций Ф(х) и ¥(х) гладкие, за исключением первых ф(х) = Ф1 (х), ф(х) = 41 (х); ф(х), ф( х) дифференцируемы всюду кроме точки х = 0, где ф(х) может иметь угловую точку, а ф(х) - разрыв первого рода. Тогда негладкость начальных условий может приводить к возникновению двух слабых волн.

Введем обозначения аг. = cf(w,ы2(х,у),...,

Было построено решение задачи (1.1), (3.4)-(3.7) при N = 2. Расчеты проводились для функций

аг(u1,u2) = вг1 cos2 u1 +sг2 sin2 u1 +

2 2 + ег3 cos u2 + ег4 sin u2, г = 1,2,

с различными значениями ег]- (г = 1, 2, j = 1, ..., 4) и различными функциями фг (х), фг (х), г = 1, 2 в граничных условиях:

ui (х,0) = Фг (х), dui (х,0)/ ду = фг (х), ui (-l ,0) = ui (l,0), i = 1, 2.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00472-а.

Список литературы

1. Корнеев В. А., Меликян А. А. Построение слабых разрывов решения вариационной задачи в области // Изв. РАН. ТиСУ 2003. №1. С. 47-60.

2. Корнеев В.А., Меликян А.А. Численное исследование слабых волн в решении вариационного волнового уравнения // Изв. РАН. ТиСУ 2005, №1. С. 63-74.

3. Корнеев В.А., Королев С.Л., Меликян А.А. Исследование поведения слабых волн в решении векторного вариационного волнового уравнения // Диффе-ренц. уравнения. 2009. Т. 45, №9. С. 1237-1248.

2

2

2

2

THE CONSRUCTION OF NONSMOOTH SOLUTIONS TO THE MULTIPLE INTEGRAL VARIATIONAL PROBLEM

V.A. Korneev

Non-smooth solutions of Euler - Lagrange equations corresponding to variational problems with several unknown functions of several variables and quadratic functional are studied. Propagation of weak discontinuities is described by equations of the method of singular characteristics, developed by A.A. Melikyan. The occurrence and interaction of weak discontinuities of solutions initiated by non-smooth initial conditions are studied. The proposed methodology allows us to study the propagation and interaction of weak waves.

Keywords: variational calculus of variations, nonsmooth solutions, method of singular characteristics.