CC BY
47
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 78-95.
УДК 517.95
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ
Б.А. КОРНЕЕВ
Аннотация. Рассмотрена задача Коши для уравнения первого порядка в дивергентной форме с правой частью независящей от искомой функции и разрывным начальным условием. Впервые такое уравнение было указано в работе Бюргерса (1940) и является модельным для системы уравнений, описывающим нестационарное движение газа. Различные свойства решения этой задачи рассматривались в работах Олейник О.А. (1957), Уизема Дж. (1977)(Whitham), Кружкова С.Н.(1970), Панова Е.Ю.(2006). Исходная задача сведена к задаче Коши для уравнения Гамильтона - Якоби с непрерывным начальным условием. К этой задаче предложено применить метод сингулярных характеристик, разработанный А.А. Меликяном для игровых задач и задач управления. Эффективность методики продемонстрирована на примере когда в исходном уравнении под знаком производной по пространственной переменной стоит кубический полином от искомой функции, а граничное условие задается в виде "повышающей-ся"ступеньки. Гамильтониан в модифицированной задаче представляет собой полином третьей степени от частной производной от искомой функции, а граничное условие задается кусочно-линейной, выпуклой вниз функцией с изломом в начале координат. Выделены области параметров, для которых построение обобщенного решения для обеих задач возможно, и описана процедура построения решения. Показано, что решение содержит негладкие особенности, называемые рассеивающей и экивокальной поверхностями согласно терминологии дифференциальных игр. Построение решения проиллюстрировано рисунками.
Ключевые слова: уравнение Гамильтона-Якоби, обобщенное решение, метод характеристик.
Mathematics Subject Classification: 35R01, 49J20, 49N70.
1. Введение
Во многих задачах о распространении волн рассматривается непрерывное распределение какого-либо вещества или некоторое состояние среды. В одномерном случае (плоские течения), полагая переменную х координатой времени, а переменную у - пространственной координатой, можно определить плотность у(х,у) на единицу длины и расход д(х,у) в единицу времени. Определим скорость течения т(х,у) равенством т = д/у. Предполагая, что исследуемое вещество сохраняется, можно считать, что скорость изменения его полного количества в любом интервале у\ < у < у2 должна компенсироваться суммарным
V.A. Korneev, Construction of generalized solution for first order divergence type equation.
© Корнеев Б.А. 2013.
Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00472-а, 13-01-00384-а). Поступила 11 сентября 2012 г.
потоком через сечения у\, у2, т.е.
У2
— v(x, y)dy + q{x, У2) - q{x, yi) = 0.
У1
Если v(x, у) имеет непрерывные производные, то можно перейти к пределу у\ ^ у2 и получить закон сохранения
dv + dq 0 dx ду
Простейшая задача о распространении волн получается в том случае, когда, исходя из теоретических или эмпирических соображений, можно постулировать некоторую функциональную связь между q и v в виде q=<p(v). Тогда получаем закон сохранения в виде
дГ + д^ = 0- (!)
д x д
В газовой динамике ([1, с. 9], [2, с. 13]) уравнение (1) применяется для приближенного построения разрывных решений течения идеального газа, лишенного вязкости и теплопроводности.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка dv dip(v)
dx + ^Г = h{x,y,V), x (2)
v(xo,у)=фг{у), x,y eR1, fi(x,y, v),(f{v) eC™.
Здесь ф1(у) - ограниченная кусочно-гладкая функция. Если fl(x,y, v) = 0, это уравнение согласно вышеизложенному носит название закона сохранения, а также транспортного уравнения. Если свободный член fl(x,y, v) не зависит от v, то его можно рассматривать как внешний источник, возбуждающий волны ([2, с. 68]).
Большое количество физических задач, приводящих к задаче (2) и ее обобщениям, рассмотрено в [2, с. 32-34], [3]. Впервые уравнение из (2) было указано в работе Бюргерса [4] и является модельным для системы уравнений, описывающим нестационарное движения газа. В работе О.А. Олейник [5] для случая ipvv(v) = 0 доказана единственность обобщенного решения задачи (2). Дальнейшее развитие такой подход получил развитие в работах С. Н. Кружкова [6] и Е.Ю. Панова [7], где изучаются существование, единственность и устойчивость обобщенных решений уравнения (2). Уравнение (2) в физике принято называть квазилинейным уравнением переноса или неоднородным уравнением переноса. Уравнение переноса описывает различные процессы, связанные с распространением частиц в веществе ([8]).
Определение 1.0. Пусть у функции v(x, у), определенной в области П, есть несколько компонент гладкости П1, П2..., Пп и, соответственно, несколько линий разрыва первого рода Г1, Г2..., Гд., причем
п к
П = (U n*)U(UГ*)
г=1 г=1
Функцию v(x, у) согласно работам [1], [9], [10] назовем обобщенным решением уравнения (2) в области П, если выполнены следующие условия:
1) в областях гладкости Пг,г = 1, ...,п v(x, у) удовлетворяет (2) в классическом смысле;
2) на линиях разрыва y = y(x) выполнено условие Ранкина-Гюгонио
|^ ^ **(x))-?Mx)), где .„i(x)=t!(x, у(х) - 0), V2(x)=v(x, ф) + 0)
[üj V2(x) - Vi(x)
за исключением конечного числа точек пересечений Г,i = 1,..., к.
3) Выполнено условие устойчивости разрыва: при v2 > v1 (v2 < V\) график функции p(v) лежит не ниже (соответственно не выше) хорды, соединяющей точки этого графика с абсциссами v1,v2. Это условие может быть записано в виде неравенств
ф*) — ф2) , ф*) — фг)
- < У {х) <-, у = y{x),
V* — V2 V* — V\
которые выполнено для всех v*, лежащих между значениями v1,v2.
При (p"v (v) = 0 условия устойчивости обобщенного решения упрощаются и имеют вид
<Pv (V2) < У' (Х) < ^ (V1).
В работе [10] для задачи (2) с нулевой правой частью (f1(x,y,v)=0) доказано, что обобщенное решение из определения 1.0 является энтропийным. В работе [7] для задачи (2) с нулевой правой частью в предположениях, что у Е Rn, ip Е Сг, а производная р'(v) и функция начальных условий фг(у) из класса локально-ограниченных функций (Rn) удовлетворяют ограничениям на рост
\ip'(w)| < Co(1 + \v\p-1), p> 1, C0 = const,
i (3)
a =(p — 1)-1, \Му)\ < M(1 + \у\а) п.в. на Rn доказаны существование и единственность решения v(x,y) в классе функций из Ва = [v(x,y) Е Ь?ос(Пт)\ ЗМ = М(х) Е L?oc([х0,х0 + Т)),
(4)
\v(x,y)\ < М(х)(1+ уа) п.в. на Пт.},
где Пт = (хо,хо + Т) х Rn, х^ < х^ + Т <
В [7] для задачи (2) с функцией <p(v) = \v\p-1v,p > 1 и fi(x,y,v)=0 построено семейство ненулевых обобщенных решений, не принадлежащих классу Ва.
В данной работе полагаем, что f1(x,y,v) не зависит от v. Тогда можно рассмотреть задачу Коши
ди ди
дх + ^(ду) = ^(X,У), и(хо,у)= ^(y), х,у Е
ГУ ГУ (5)
f (х,У)= h(x, У)dy, Ф(У)^ ■фl(y)dy,
Jyo Jyo
дифференцируя решение которой по координате у можно получить решение задачи (2). Здесь значение уо выбирается любым из интервала гладкости ф1 (у). Функция ф(у) — непрерывная негладкая функция. Задача (5) представляет собой краевую задачу для уравнения Гамильтона-Якоби, возникающую в теории управления, механике, физике. В теории управления уравнение из (5) составляет основу динамического программирования и называется основным уравнением или уравнением Беллмана-Айзекса. Для широкого класса задач [11], [12] была доказана идентичность вязкого решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби и функции оптимального результата задачи (функции Беллмана-Айзекса, цены игры). Поэтому, метод сингулярных характеристик ([13]) применим для решения задачи (5).
2. Определение непрерывного обобщенного решения
Рассмотрение неавтономных задач управления и дифференциальных игр приводит к краевой задаче
Н(х, S(х),р) = 0, р = dS/dx = Sx, х Е П С Rn, S(х) = w(x), х Е М С дП, х,р Е Rn,
{
в которой функция Н и множество М имеют вид
Н = Pi + Н *(xi,... ,Хп, S, р2,..., Рп),
(7)
М = {x Е Rn : xi = ci = const}.
Множество П представляет собой полупространство (или слой) справа или слева от множества М. Функции Н*, w непрерывны по своим переменным на множествах П х Rn и М соответственно. Уравнение Н = 0 из (6) с функцией Н вида из (7) обычно называют уравнением Гамильтона-Якоби. Задача (6) может не иметь классического решения S(x) Е С 1(П), даже при наличии гладкости функций Н и w.
Задача (6),(7) называется начальной (терминальной), если
П = {x Е Rn :xi > a} ({x ERn :xi < a}). (8)
Приведем определение обобщенного решения М. Дж. Крэндалла и П.Л. Лионса [14] для краевой задачи (6),(7).
Определение 1.1. Непрерывная функция S : П ^ R1 называется обобщенным (вязкостным) решением начальной задачи (6)-(8), если для любой пробной функции <fi(x) Е С 1(П) в точках локального минимума (максимума) разности S(x) — <p(x), справедливо неравенство
Н(xo, S(xo),tpx(xo)) > 0 (Н(xo, S(xo),fx(xo)) < 0). (9)
В случае терминальной задачи неравенства (9) противоположны.
В работе [11, с. 38-42] дано определение минимаксного решения, доказана эквивалентность минимаксного и обобщенного (вязкостного) решений. При условии, что функция Н(x, s,р) для задачи (6)-(8) невозрастающая по s и липшицева по р доказано существование и единственность минимаксного решения.
В работе [15] доказано, что обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного уравнения (2) является селектором супердифференциала минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби (5). В частности, гладкое минимаксное решение задачи (5) с гамильтонианом, не зависящим от искомой функции, после дифференцирования по фазовой переменной, является обобщенным решением задачи (2) в смысле определения (1.0). Вопросы связи двух разных определений обобщенного решения рассматриваются также в работах [1], [16].
В работе [6] для задачи (2), рассматриваемой в полосе x Е [0,Т],у Е R1, доказаны существование и единственность обобщенного решения в классе ограниченных измеримых функций. Рассмотренная далее задача (13),(14) соответствует требованиям, сформулированным в этой работе.
Согласно вышесказанному для построения обобщенного решения задачи (2), в которой правая часть не зависит от искомой функции, путем интегрирования уравнения и начальных условий по координате у можно свести задачу (2) к задаче (5), которая представляет собой частный случай задачи (6)-(8) с гамильтонианом, независящим от искомой функции. В полученной задаче для построения обобщенного решения в смысле определения 1.1 можно использовать метод сингулярных характеристик.
3. Метод характеристик. Сингулярные многообразия
Для локального построения классического решения задачи (6) методом характеристик достаточно существования вторых производных у функций S(x),Н(x,S,р) ([18, с. 114] ). Тогда построение классического решения задачи (6) сводится к интегрированию системы регулярных характеристик
:с = Н,>, S= {р,НР), р = —Нх — рН3. (10)
с начальными условиями
ХХ = С1, Хг = Хг-1, Рг(с1,Х) =-^-, % = 2,...,П, г = (Х1, . . . , Хп-1) € К
Р1 = -Н *(с1,г1.. .,гп-1, т(с1,у), р2,... ,рп), Б (с1 ,г) = т(с1,г).
Параметром дифференцирования в уравнениях (10) можно считать координату х1. В окрестности точек, в которых функции 5\ Н не обладают указанными свойствами гладкости, упомянутая процедура построения решения, вообще говоря, не работоспособна.
Определение 2.1. Регулярной точкой обобщенного решения уравнения (6) будем называть любую внутреннюю точку х° области П определения решения Б (х), в окрестности Б которой функция Б(х) дважды дифференцируема и удовлетворяет основному уравнению Н(х, Б(х),р) = 0 из (6) с дважды дифференцируемой Н(х, Б,р) в окрестности точки (х°,Б(х°),р°) € В2п+1, р° = 8х(х°). Все точки, не являющиеся регулярными, назовем сингулярными. Сингулярное множество состоит из сингулярных точек ([13, с. 57]).
Для случая когда сингулярные множества представляют собой поверхности их можно классифицировать по характеру поведения регулярных характеристик и степени гладкости функций Б(х), Н(х, Б,р) в их окрестности. Приведем кратко эту классификацию для начальной задачи. Здесь и далее при описании различных видов поведения характеристик идет речь о поведении их фазовых компонент.
Рассеивающая поверхность. С обеих сторон подходят регулярные характеристики,
5(х) € с1.
Экивокальная поверхность. Регулярные характеристики с одной стороны подходят, а с другой отходят, Б(х) € С1 . Для Н € С1 характеристики отходят с касанием. Поверхность переключения. Схожая с экивокальной, но 5(ж) € С1, Н € С1. Универсальная поверхность. Регулярные характеристики отходят в обе стороны, 5(х) € С1 и Н(х,Б,р) € С1.
Фокальная поверхность. Схожая с универсальной, 5(ж) € С1. При Н € С1 характеристики отходят от поверхности с касанием. Если фокальная поверхность вырождается в точку, получаем вершину интегральной воронки.
В точках сингулярной поверхности выполнена следующая лемма ([13, с. 60]).
Лемма 1. Пусть Б(х) - обобщенное решение задачи (6), (7), представимое в окрестности И сингулярной поверхности Г равенством
5(х) = тгп [£+(ж), 5-(ж)] 8+(х),Б-(х) € С 1(Б). (11)
Тогда на поверхности Г для проверочной функции к(т) выполнено условие
Ыг) = Н{х,3ЫМ+т)/2+Г(^гШ) < °,М< ^ € г, (12)
р3 = дв'/дх, в = +,-, И(-1) = к(1) = 0.
Если задача (6),(7) - терминальная или обобщенное решение в(х) представимо в виде 5(ж) = тах [5+(ж), 5-(ж)]; неравенство (12) меняет знак.
Для доказательства Леммы 1 достаточно в (9) в качестве пробной функции взять ф) = Б +(1 + г)/2 + Б-(1 - т)/2.
4. Постановка задачи. Общий вид функции И(т) Рассмотрим задачу Коши:
^х+'Ру(у) = ¡, х > 0, <р(у) = ау3+Ьу2+су+&, х,у € Я1, (13)
(
. р1, У > °
у(0,у)= МУ)={ ^ у< ^ (14)
для различных значений параметров а,Ъ,с,й,е, f. Если положить р\=д+1, р2=д— 1, то следуя процедуре, описанной во введении, получаем начальную задачу Га-мильтона-Якоби
Н = р + ^(д) — /у = 0, ^(д) = ад3 + Ъд2 + сд + (15)
5(0, у) = \у\ +ду,р = дв/дх, д = дв/ду, х> 0. (16)
Решение задачи (13), (14) для а = 0, / = 0 имеет два вида сингулярностей, см. например, [2].
При р\ > р2,Ь > 0 выходящие из начала координат две характеристики с различными граничными условиями образуют пространство между ними, которое заполняется веером характеристик. Это первый вид сингулярности.
Для значений р2 > р\,Ъ > 0 возникает второй вид сингулярности - ударная волна, происходит опрокидывание волны, характеристики пересекаются.
Этим особенностям согласно § 3 соответствуют вершина интегральной воронки и рассеивающая поверхность (см. [17, с. 1664-1673]). Там же [17, с. 1664-1673] рассмотрена задача (13), (14) для случая р2 > р\ и показано, что кроме рассеивающей поверхности обобщенное решение соответствующей начальной задачи Гамильтона-Якоби содержит экивокальную поверхность. Покажем, что случаю р\ > р2 свойственны аналогичные особенности решения.
Поскольку функция в(0, у) из (16) представима в виде
5(0, у)=тах [y(—1+g), у(1+д)], то следует ожидать, что в окрестности особых поверхностей
в(х, у)=тах + (х, у), в-(х, у)] .
Дальнейшее построение решения подтвердило это предположение.
Заметим, что для задачи (15),(16) функция к(т) из (12) имеет вид
к (т) = - (т2 — 1) («г + [ )(д+ — д-)2, те [—1; 1], (17)
1
4
а = а(д+ — д-)/2, [ = 3а (д + + д-)/2 + Ь. (18)
Смена знака функции к(т) происходит только за счет линейного множителя по т. Поэтому условие к(т) > 0 равносильно неравенству
р,(т) = ат + [ < 0, те [—1;1]. (19)
Далее мы выясним при каких соотношениях между параметрами возможно существование различных сингулярных поверхностей и приведем процедуру построения решения.
5. ПЕРВИЧНОЕ РЕШЕНИЕ. РАССЕИВАЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Уравнения регулярных характеристик (10) для задачи (15), (16) имеют вид
х = Нр =1, у = Нд = Рд (д) = 3ад2 + 2Ьд + с,
Р = — Нх = 0, д = —Ну = ¡, в = рНр + дНд.
Здесь параметром дифференцирования можно считать координату х. Используя равенства (15),(16) и дифференцируя функцию в(0, у), получаем начальные условия для системы (20) в произвольной точке (0, у0) оси у:
х = 0, У = Уo, Р = + !Уo, д = вдпуо + g, в = \уо\ + дуо. (21)
Отсюда следует, что все регулярные характеристики задачи (20) - кубические параболы на плоскости х,
Уд (х,хо, Уо)=а (х—хо)31'2+(3ад+Ь)(х—хо)2 ¡+(3 ад2+2Ъд+с)(х—хо) + уо. (22)
(24)
Согласно (20)-(22) в окрестности границы - оси у для граничных значений
= 0, ®> = ( = 9 + 1 ш> 0 (23)
° ' 4 \Ц02 = 9 - 1, Уо< 0 ^ ;
получаем - два семейства кривых: верхнее и нижнее соответственно Ухак1(х, 0,уо) = Уо + ах3/2 + (3 а (д+1) + Ь) х2/+ + (3 а (д+1)2 + 2 Ь (д+1) + с) х,
Ухак2(х, 0,уо) = Уо + ах3/2 + (3 а (д-1) + Ь) х2/+ + (3 а (д-1)2 + 2 Ъ (д-1) + с) х.
Заметим что при а = 0, / = 0 регулярные характеристики из (22), (24) представляют собой квадратичные функции по х, но решение задачи строится аналогично решению, разобранному Уиземом для случая а = 0, / = 0 с линейными регулярными характеристиками. Для а = 0, / = 0 новых особенностей не возникает и полностью сохраняется характер поведения решения. Поэтому далее полагаем, что а = 0, / = 0. Случай а = 0, / = 0 приведем как простую ситуацию при построении интегральной воронки.
Рассмотрим разность регулярных характеристик (24), исходящих из начала координат
Ухак1(х, 0,0)-уХак2(х, 0, 0)=6 /ах2 + (12 ад + 4 Ь) х.
Из (25) следует, что если параметры задачи удовлетворяют условиям
3ад + Ь< 0, 3ад + Ь = 0, ¡а < 0,
(25)
(26)
то два семейства регулярных траекторий с значениями % = ±1 + д пересекаются друг с другом в окрестности начала координат и не возникает область, незаполненная регулярными траекториями. В этом и следующем пункте полагаем выполненными условия (26).
Интегрируя выражение 13 = рНр + дНя вдоль траекторий системы (20) и подставляя затем в него значения хо = 0, ^ из (23) и уо из (22), положив у = уч(х, Хо,уо), получим функцию в(х,у), называемую первичным решением задачи (15),(16)
5(х,у) = тах [Б1(х,у), Б2(х,у)] ,
^%(х,у) = % {У - | / V - ^aqoí+^j ! 2х3-¡х2
- (3 ад0г2+2Ь%г+^ —--[а% 3+Ьд0 2+сд0г + ^х + ¡ху,
(27)
дог = д - (-1)г, г = 1, 2.
Далее будут приведены примеры построения областей, в которых первичное решение представляет обобщенное решение задачи (15),(16). Равенство в = Б1 (в = в2) имеет место выше (ниже) кубической параболы, которую определяет условие непрерывности в1 = в2 :
Умвр(х) = ах3/2 + (3 ад + Ь) х2/ + (3 ад2 + 2 Ьд + а + с) х. Для рассеивающей поверхности (28) справедливы соотношения
д+ = д1(х) = g+1+fx, д~ = д2(х) = g-1+fx, а = а(д+-д-)/2 = а, [1 = 3 а(д+ + д-)/2 + Ь = 3а(д + /х) + Ь
(28)
Рис. 1. Рассеивающая поверхность
Из (29) и Леммы 1 получаем необходимое условие существования поверхности (кривой) (28)
тах ^(т) = \а\ + 3а(д + ¡х) + Ъ < 0 (30)
г е[-1;1]
Вводя функцию ¿гзр(х)
¿гзр(х) = \а\ + 3а(д + ¡х) + Ь (31)
и, замечая, что сИвр(0) = \а\ + 3ад + Ь, получаем, что рассеивающая кривая (28) существует в окрестности начала координат только когда выполнено одно из условий
\а\ + 3ад + Ь = 0,
\а\ + 3ад + Ъ < 0 или
¡а < 0.
(32)
(33)
Условия (32) более сильные чем условие (26). В случае выполнения условия (26) и нарушения условий (32) из начала координат выходит экивокальная поверхность (кривая), методика построения которой разбирается в следующем пункте. Для значений
\а\ + 3ад + Ь < 0, ¡а< 0,
&вр(х)<0 при хе[0, и рассеивающая поверхность (кривая) распространяется от начала координат до бесконечности. Процедуру построения рассеивающей кривой и обобщенного решения для случая (33) поясняет рис. 1. Построение проведено для значений
а=1, Ь=—а—3ад=1/2, с=0, ¿=0, д=—1/2, ¡'=—1.
Жирная кривая представляет собой рассеивающую кривую, делящую полуплоскость ( х, ), х > 0 на две области, в каждой из которых решение задачи (15), (16) дается функциями в^х, у), в2(х, у) как указано на рисунке. Решение задачи (13), (14) в этих областях дается соотношениями
Vl(х, у) = 9 + 1 + I V2(х, у) = д — 1 + /х (34)
Тонкими линиями изображены регулярные характеристики. Мы получили Лемму 2.
Лемма 2. Для значений параметров (33) решение задачи (15), (16) дается соотношениями (27), а решение задачи (13), (14) при р1 = д + 1, р2 = д — 1 дается соотношениями
ь(х у) = I 9 + 1 + У> У^р(х) (35)
У ,У) \д — 1 + !'х, у< уЛгзр(х). у '
|а| + 3аа + Ь < 0, /0„л
(36)
¡а > 0,
Для значений
¿гзр(х) обращается в 0 при
*
х =
\а\ + 3ад + Ь
3 а /
Значению х* при а > 0 соответствует точка (х\, у\), а при а < 0 точка (х2, у2) на рассеивающей кривой (28)
х: = а(—1)г — 3ад — ь, ¿ = 1,2,
1 (37)
((—1)+1а+Ъ+3ад) (9 а2д2+6 адЪ+(—1)3 а2д—2 Ь2+(—1)^а+10 а2+9 ас)
У%
27 а2 /
Именно в этих точках происходит касание параболы (28) одной из характеристик первичного решения (24). При а > 0 одна из характеристик (критическая) верхнего семейства парабол (24) касается параболы (28) в точке (х\, у{). При а < 0 одна из характеристик (критическая) нижнего семейства парабол (24) касается параболы (28) в точке ( х2, 2). Переход рассеивающей кривой в другой тип особенности может происходить именно в этих точках.
Поскольку х2—х\ = 2/(3/) и х\ = х2 для любых а = 0 и / = 0 рассеивающая поверхность не может переходить в фокальную поверхность или в интегральную воронку и наоборот.
Из вышесказанного следует, что условие одностороннего касания в точках (х\, у\) при а > 0 и / > 0, (х2, у2) при а < 0 и / < 0 выделяет из всех упомянутых выше особых поверхностей экивокальную поверхность.
6. Построение экивокАльной поверхности
В этом параграфе мы полагаем выполненным условие (36). На экивокальной поверхности в общем случае выполнены три необходимых условия в виде равенств - уравнение (6), условия касания и непрерывности
Н(х, в(х),р) = 0, (Нр,р — дв + /дх) = 0, Р\(х, в) = в — 8+(х) = 0. (38)
Здесь в +(х) - гладкая функция, совпадающая с решением по ту из сторон поверхности, где регулярные характеристики не касаются поверхности. В работе [19] показано, что в общем случае (6) экивокальная поверхность (линия) для НеС1 строится интегрированием системы:
х = НР, Б= (р,НР), р= —НХ — рН3 — МЫ* (р— ^др) , (39)
Р1(х, в) = в — в+(х), & Н} = {Рх + рР3, Нр) — (Нх + рН3, Рр).
Левые части равенств (38) суть первые интегралы системы (39).В обозначениях задачи (15), (16) Я+(х1,х2) = Б+(х, у). Используя (15), (27), (38), (39) получаем дифференциальные уравнения с начальными условиями для экивокальной кривой
<к_=Е <к=_ з+е+М (о)
¿х ¿X ( 8+-д)рдд ( )
х=х*, у(х\)=у1, Б+ (х, у)=Б2(х, у), д=д+1+/х\ при а>0,/>0, x=x*2, у^^уЬ Б+ (х, y)=Sl(x, y), д=д-1+/х*2 при а<0,/<0.
Уравнение х=Нр=1 и уравнение для р здесь опущены, так как р в (40) не входит. После интегрирования уравнений (40) значения для обеих экивокальных кривых находятся из равенства Н=0, а величина Б находится интегрированием после определения остальных переменных.
Случай a>0, 1>0. С помощью (40) можно получить, что экивокальная кривая, исходящая из точки (х\, у*) при а> 0 и / > 0 определяется решением задачи Коши
йу ¿д (3 а/х - 3а + 2Ь + 3 ад + 3 ад) /
(41)
¿х ¿х 2(3ад + Ъ)
2
-
х = хъ у = уl, д = д* = д(х^ = д + 1 + }х* = —-.
3а
Система (41) имеет аналитическое решение, удовлетворяющее Лемме 1 на отрезке [х\, хт1 ]
/ ч * 2( <р(д) - я1)) , ч * /, 1-д-!х ь
Уед1(Х) =У*--7-, дед1(Х)=д*-~(Х-Х^ =
f ' 41 2К и 2 2а'
= 3 ад- 3 а + Ь = *
Хт1 , Ут1 Уеп1 (Xm1), X е 1X1., Хт1].
3 ¡а
(42)
Действительно, проверочная функция ц(т) для экивокальной поверхности (42) имеет вид
г \ ( \ (1 - т) (3х^а - 3а + 3ад + Ь) ^п ^Г 1 11 ^иол
ц(т) = ^1(т) =-4-< 0, те [-1;1]. (43)
Равенство ц1(т) = 0 при т = 1 достигается для х = хт1, где хт1 - абсцисса точки (хт1, ут1) из (42), в которой она заканчивается, поскольку при х > хт1 неравенство ц1(т) < 0 для
= 1 будет нарушено. В этой точке числитель и знаменатель правой части второго уравнения из (41) обращаются в ноль и именно в этой точке происходит совпадение значений дед1(х), д2(х) а также значений производных функций ухак2 (х,хт1, ут1) и уед1(х) из (42), т.е. происходит касание экивокальной поверхности характеристикой из нижнего семейства парабол. Далее экивокальная кривая переходит в регулярную характеристику.
Построение рассеивающей и экивокальной поверхностей для случая, когда а > 0 и / > 0 иллюстрирует рис. 2 для значений параметров а = 1, Ь = -1, с = й = 0, д = -2/3,
/=1/3.
Жирные сплошная и пунктирные линии на рис. 2 делят полуплоскость х > 0 на три области, в каждой из которых обобщенное решение задается своей формулой. В областях, примыкающих к оси у, обобщенное решение задачи (15), (16) задается формулами в^х, у) и в2(х, у) соответственно для областей, лежащих выше и ниже рассеивающей кривой 0А.
Опишем процедуру построения значений функции обобщенного решения в(х, у) = Зед1(х, у) в области выше экивокальной кривой АВ. Координаты точки на экивокальной кривой АВ будем обозначать через г], т.е. £ = х, г/ = у. Значения функции
2ед1 (Х,У)
Рис. 2. 0А - рассеивающая поверхность, АВ - экивокальная поверхность
Зеч\( г/) на экивокальной кривой (42) определяются соотношениями
Зед1( С, V) = $2(х*1,у1)+ ('Р + )
^2(Х*1,У*) + / (-^(дед1(Х)) + ¡'П(Х)+ Яед1(Х) ^д (дед1(Х)) <1х,
(44)
£ £
V = У* + Ня йх = у* + Рд(дея\(х)) йх, £ е [х\,хт1].
Из области, прилегающей снизу к экивокальной кривой АВ, регулярные характеристики приходят на нее, функция обобщенного решения в(х,у) в этой области совпадает с функцией в2(х,у). В области, прилегающей сверху к экивокальной кривой АВ, строится семейство характеристик уед1х(х,£) согласно уравнениям (20) касательное к экивокальной поверхности АВ
УеЯ1х(х,^) = а (х-О3!2+(3 адщ1(£)+Ь)(х-£)2 !+
+ (3 ад2щ1(0+2 Ъде<11(£)+с)(х-0 + ч(0, С е [х*,Хт!], £ < х.
£
£
Решение в этой области обозначим 8ед1(х, у). Семейство характеристик уед1х(х, £) для рис. 2 задается формулами
. ж3 х2е 3 х е2 С3 2 о . 3 £2 8 х 2
Построение функции Зед1(х, у) для задачи (15), (16) и функции ьед1 (х, у) для соответствующей задачи (13), (14) проводится интегрированием вдоль семейства характеристик Уeq1x(X, С)
Seql(x, У) = 3ед1(£, (Р + яНд) дх' = Бед1(^, Г](0)+
и
и
+ ! (I У ед1х (Х*, 0-У( Че41х(х', ОН Че41х(х', £)<Уд ( Че41х(х', <1х', (46)
х*
Уед1 (Х, у)=qeq1x(X, & , qeq1x(X, 0 = дед1 + / (Х - 1 9 - ^ ^ - + ¡X,
же[£,хт1}, у=уед1Х(х,£),£ е [х*1,хт1].
Случай a<0, 1<0. Экивокальная кривая, исходящая из точки (х2, у*) при а < 0 и / < 0, определяется решением задачи Коши
йу ¿д (3 а ¡х + 3а + 2Ь + 3 ад + 3 ад) f
(47)
¿х ^, ¿х 2(3 ад + Ь)
2 а + Ъ
* * Л \ £ * 1
х = X2, у = y2, д = д2 = д(х^) = д- 1 +}х2 =--—.
Система (47) имеет аналитическое решение, удовлетворяющее Лемме 1 на отрезке [х*, хт2]
( \ * 2( У(0) - У((Л * I ( м -1-д-1х ь
Уед2(Х)= У*----, дед2(Х)=д*- ^(Х-Х2) =-2--2a,
3ад + 3а + Ъ (8)
Хт2 =---, Ут2 = Уед2(Хт2).
Действительно, проверочная функция ц(т) для экивокальной поверхности (48) имеет вид
(1 + т) (3х!а + ?,а + 3 ад + Ъ) ц(т) = ^2(т) =-4- < 0, те [-1;1]. (49)
Равенство ц2(т) = 0 при т = -1 достигается для х = хт2, где хт2 - абсцисса точки (хт2, ут2), в которой она заканчивается, поскольку при х > хт2 неравенство ц2(т) < 0 для т = -1 будет нарушено. В этой точке числитель и знаменатель правой части второго уравнения из (47) обращаются в ноль и именно в этой точке происходит совпадение значений д1 (х), дед2(х) а также значений производных функций ухак1 (х) и уед2(х) из (48), т.е. происходит касание экивокальной кривой характеристикой из верхнего семейства парабол. Далее экивокальная кривая переходит в регулярную характеристику. Построение функций Зед2( г]), Зед2(х, у), ьед2(х, у) для задач (15),(16) и (13),(14) проводится аналогично
х
(50)
случаю а > 0,/> 0
¿ед2( С, <п)=32{х*2, (—Р(Яед2(х))+1'П(х)+деЯ2(х) (qeq2(x))dx,
х2
?
!Ц=УЩд (qeq2(x))dx, Бед2 (х} У) = ¿ед2 , 'П(0) +
х2 ?
^У (/Уед2х(х0-¥(Яед2х(х', 0)+Яед2х(х', О Щ (Цед2х(х', ^
х2
Уед2(х, У)=Яед2х(х, О, Яед2х(х, О = <1ед2(£) + f (х — 0, хе К,хт2\ У=Уед2х(х1 ОЛ е [х*,хт2\
Изложенное сформулируем в виде Леммы 3.
Лемма 3. Для значений параметров (36) полуплоскость х > 0 делится на три области кривыми, элементами которых служат: ось ординат, рассеивающая кривая (28)
/ \ _ гп * I х* 1 а > 0 1 у > 0 * /*\
y=ydisp(x), хе[0,х1 х={^ а< 0, ^ < 0 1 y=ydísP(x),
экивокальная кривая из (42),(48)
= ( ) [ * ] ( ) = \ Уе-дЛх), а > 01 ! > 0 у=ущ(х)1 хЕ[х ,xm\, Ущ(х) = | Ущ2(х)) а < 01 ¡< 0 1
хгх
хтг 1 а > 01 / > 0 хт2, а < 01 ! < 0
и две регулярные характеристики у\(х), хЕ.[х*, у2(х), хе[хт,
т= е ( хт)
.. (х)=\ Ухак^х^*^*')1 а > /> 0 У1(х) 1 Ухак2(х,х*,У*), а < 01 ! < 0
(х)=\ Ух^^^т-, Ут)1 а> 01 I > 0 ) \ Ухак\(х,хт, Ут), а< 0, ¡< 0
В двух областях, примыкающих к оси у, соответственно для верхней и нижней областей обобщенное решение задачи (15), (16) задается формулами Б(х, у) и Б2(х, у) из (27), а решение задачи (13), (14) при р\=д+1, р2=д — 1 дается соотношениями (34). В третьей области, примыкающей к экивокальной кривой, обобщенное решение задач (15), (16) и (13), (14) задается формулами из (46) для а > 0, f > 0 и (49) для а < 0, f < 0.
7. Отсутствие фокальной поверхности
Покажем что в задачах, описываемых уравнением (15), независимо от граничных условий фокальная поверхность отсутствует. На фокальной поверхности должны быть выполнены необходимые условия - само уравнение (6), условие непрерывности т(х, у)=Б(1\х, у)—Б(2\х, у)=0, условия касания регулярными характеристиками поверхности т(х, у)=0, т.е. должны быть выполнены условия касания с обеих ее сторон. Выписывание этих условий приводит к системе уравнений относительно векторов (р 1,д 1),
(р2, Ы, (рг = дБ(г)/дх, дг = дБ({)/ду, г=1, 2)
Р1 + у(Я1) - 1у = 0; Р2 + у(Ы - ¡у = 0,
Р1 - Р2 + (Я1 - д2)1уя (= °
Уд(д) = 3ад2 + 2Ьд + с, г=1, 2.
(51)
Фокальную поверхность можно строить, решая систему уравнений ([13])
' у = НЯ1 = НЯ2, Б = д1Нд1 -Н* = д2Йд2 -Н*, Н* = у^) -¡у < 41 = К(x,y, дъ q2), 42 = к(x,y, q2, ql),
*
(52)
Черта сверху означает замену аргументов р1, д1 на р2, д2, квадратные скобки со звездочкой означают скачок функции на предполагаемой фокальной поверхности Г/, т.е.
Рассмотрение системы (51) приводит к системе двух уравнений относительно 1, 2
имеющей только совпадающие решения = д2. Поэтому система (51) имеет только решения р1 = р2, = д2, т.е. выполнение условий (51) приводит к гладкости искомого решения Б(х, у) и фокальная поверхность отсутствует.
Как было отмечено в § 5 между регулярными траекториями с значениями = ±1 + д в окрестности начала координат возникает область, незаполненная регулярными траекториями. Эту область пытаемся заполнить регулярными траекториями (22), не удовлетворяющим условиям (23). На рис. 3 приведен пример такого удачного заполнения этой области регулярными характеристиками с значениями е [-1 + д, +1 + д] для случая а = 0. Под рисунком приведены соответствующие значения параметров. Для значений а = 0 всегда удается заполнить все пространство регулярными характеристиками, выходящими из оси ординат.
При а = 0 может возникать ситуация когда между регулярными траекториями, выходящими из начала координат со значениями д0=±1+д, возникает пространство, которое не удается заполнить регулярными траекториями (22). Пример такой ситуации приведен на рис. 4. Параметры выбраны таким образом, чтобы в (25) линейный член по х обращался в 0, а квадратичный был положителен, т.е. 3 ад + Ь = 0, /а > 0. Для этих значений параметров регулярные характеристики с значениями д0=±1+д имеют общую касательную в начале координат и нет других регулярных характеристик с такой же касательной, поскольку в (22) линейный член по х содержит квадратичный множитель по Отсюда следует, что в данном случае нельзя выбором обеспечить заполнение всей области ж>0 регулярными характеристиками, выходящими из начала координат. В п. 6 было доказано отсутствие фокальной поверхности. Поэтому для таких значений параметров методика, применяемая в данной работе, решения не дает.
Очевидно, что если коэффициенты при линейном и квадратичном членах по ж в (22) суть возрастающие функции от д0 на отрезке [-1 + д, 1 + д], то выпускаемые из начала
[ Л*=/(р 1, Я1)-¡(Р2, &).
(Я1 - Я2)2 (2 ад 1 + Ь + ад2) = 0 (д1 - д2)2 (ад1 + Ь + 2 ад2) = 0,
8. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ВОРОНКА
Пусть теперь условие (26) нарушено, т.е. выполнено условие
" 3ад + Ь > 0, 3ад + Ь = 0, ¡а> 0.
(53)
Рис. 3. Интегральная воронка: а = 0, Ь=1,е=ё=0, Г=1, g=-0.5
Рис.4. а = 2,Ь = 3,с = 0, / =1,д = —0.5
координат регулярные характеристики с значениями до Е [— 1 + д, +1 + д] заполняют область, образуемую регулярными траекториями, выходящими из начала координат со значениями до = ±1 + д. Лемма 4 описывает построение решения в этом случае.
Лемма 4. Пусть параметры задачи удовлетворяют условиям
Ь
д > +1--при а > 0, / > 0,
3 а
д < —1--при а < 0, / < 0.
3
Тогда регулярные характеристики выходящие из оси ординат однозначно заполняют всю областт х > 0. Полуплоскость х > 0 делится на три области кривыми, элементами которых служат: ось ординат и две регулярные кривые ухак\(х, 0,0), ухак2(х, 0, 0). В двух областях, примыкающих к оси у, соответственно для верхней и нижней областей обобщенное решение задачи (15),(16) задается формулами 8\(х, у) и в2(х, у) из (27), а решение задачи (13), (14) при р\=д+1, р2=д —1 дается соотношениями (34). В третьей области, расположенной между кривыми ухак\(х, 0, 0), ухак2(х, 0,0), обобщенные решения задач (15),(16) и (13), (14) задаются формулами в3(х, у), ь3(х, у) в неявном виде
х х
(х,у)= J(р+дНд) ¿х= ^(fy3(х, до)—^(дз(х, до))+qз(х, до) (qз(х, до))) dх, о о
У3(х, у) = д3(х, до), дз(х, до)=до+/х,
у=у3(х, до)=ах31'2+(3адо+Ь)х2¡+(3адо2+2Ьдо+с)х, до Е [д —1, д+1]
На рис. 5 приведен пример построения интегральной воронки для рассматриваемого случая. Заметим, что в случае не выполнения условий Леммы 4 и выполнения условий (36) за экивокальной поверхностью также следует интегральная воронка (волна разрежения).
9. Выводы
Задача Коши для известного квазилинейного уравнения первого порядка с правой частью, независящей от искомой функции и разрывным начальным условием, сведена к задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с непрерывным начальным условием. К этой задаче предложено применить метод сингулярных характеристик, разработанный А.А.Меликяном для игровых задач и задач управления. Эффективность методики продемонстрирована на примере квазилинейной задачи (3.1), (3.2) для случая когда исходная функция ¡р, входящая в уравнение представляет собой кубический полином от искомой функции, а граничное условие задается в виде "повышающейся"ступеньки. Выделены области параметров, для которых построение обобщенного решения квазилинейной задачи (3.1), (3.2) возможно и выписана подробная процедура построения решения. Соответствующие формулы для построения решения задачи (3.1), (3.2), так и для построения решения вспомогательной начальной задачи Гамильтона-Якоби (3.3),(3.4), приведены в леммах 2-4.
Описанная методика построения обобщенного решения применялась в работах [20], [21].
Рис. 5. Интегральная воронка: а = 1, b=1, c=d=0, f=1, g=2/3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнения и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968. 592 с.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 624 с.
3. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989. 336 с.
4. J. Burgers Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence // Nederl. Alcad. Wefensh. Proc. Acad. Sci.Amsterdam 43. 1940. P. 3-12.
5. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // УМН. 12:3(75). 1957. C. 3-73.
6. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого по рядка со многими независимыми переменными // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 2. C. 228—255.
7. Панов Е.Ю. О классах корректности локально ограниченных обобщённых энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка // Фундамент. и прикл. матем. 2006. Том 12, вып. 5. C. 175-188.
8. Берков Н.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А., Шишанин О.Е.; Под ред. засл. раб. ВШ РФ, проф.Миносцева В.Б. Курс высшей математики: Учебное пособие для ВТУЗов. Часть 3. М.: МГИУ. 2007.494 с.
9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 416 с.
10. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка: Учебное пособие. М.: МГУ. 1999. 94 с.
11. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 336 с.
12. P.L. Lions and P.E. Souganidis Differential Games, Optimal Control and Directional Derivatives of Viscosity Solutions of Bellman's and Isaacs' Equations // SIAM Journal of Control and Optimization. Vol.23, No 4. 1985. P. 566-583.
13. A.A. Melikyan Generalized Characteristics of First Order PDEs. Applications in Optimal Control and Differential Games Boston: Birkhauser. 1998. 320 p.
14. M.G. Crandall, P.L. Lions Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations // Trans. Amer. Math. Soc., 253 (1983), P. 1-42. MR0690039
15. Колпакова Е.А. Обобщенный метод характеристик в теории уравнений Гамильтона-Якоби и ззаконов сохранения // Тр. ИММ УрО РАН. T. 16, № 5. 2010. C. 95-102.
16. Кузнецов Н.Н., Рождественский Б.Л. Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН. 14:2(86). 1959. C. 211-215.
17. Корнеев В.А. Построение обобщенного решения уравнения в дивергентной форме методом характеристик/ // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. №12. С. 1664-1673.
18. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
19. Меликян А.А. О построении слабых разрывов в задачах оптимального управления и дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1984. №1. C. 45-50.
20. Корнеев В.А., Меликян А.А. Построение обобщенного решения двумерного уравнения Гамильтона-Якоби методом характеристик // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. №6. C. 168-177.
21. Корнеев В.А. Численное построение обобщенного решения двумерного уравнения Гамильтона-Якоби // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. №1. C. 92-98.
Всеслав Александрович Корнеев,
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН), просп. Вернадского 101, корп. 1, 119526, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]
