CC BY
30Решетневские чтения. 2017
УДК 519.863
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ЭФФЕКТИВНОГО ФРОНТА ДЛЯ МОДЕЛИ FDH НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗАЦИОННОГО ПОДХОДА И АЛГОРИТМОВ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОГО ПЕРЕБОРА*
В. Е. Кривоножко1' 2, А. В. Лычев1*
1 Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» Российская Федерация, 119049, г. Москва, Ленинский просп., 4 2Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии наук Российская Федерация, 119333, г. Москва, ул. Вавилова, 44/2 E-mail: lychev@misis.ru
Исследуются теоретические основы методов визуализации многомерного фронта в невыпуклых моделях FDH на основе оптимизационных методов и с использованием алгоритмов целенаправленного перебора.
Ключевые слова: эффективность, анализ среды функционирования, модель FDH, визуализация эффективного фронта, алгоритм.
FRONTIER VISUALIZATION IN FDH MODELS BASED ON OPTIMIZATION
ALGORITHMS AND ENUMERATION METHODS
V. E. Krivonozhko1 2, A. V. Lychev1
1National University of Science and Technology MISiS 4, Leninsky Av., Moscow, 119049, Russian Federation
2Federal Research Center "Computer Science and Control", Russian Academy of Sciences 44/2, Vavilov Str., Moscow, 119333, Russian Federation *E-mail: lychev@misis.ru
The paper describes the algorithms for frontier visualization in FDH models. Our approach is based on optimization algorithms and enumeration methods.
Keywords: efficiency, data envelopment analysis, free disposal hull, frontier visualization, algorithm.
Модель FDH (Free Disposal Hull) для анализа деятельности и управления сложными объектами была предложена в работе [1]. В отличие от традиционных моделей методологии анализа среды функционирования (АСФ) [2; 3] (на английском языке этот термин звучит как Data Envelopment Analysis - DEA), в модели FDH ослабляются ограничения выпуклости. Однако, несмотря на то, что оба эти подхода появились в научной литературе практически одновременно, модель FDH получила меньшее распространение, по сравнению с выпуклыми моделями АСФ. По-видимому, особенность модели FDH, которая заключается в том, что множество производственных возможностей является невыпуклым, сдерживала развитие данной модели.
Изначально модель FDH была сформулирована как модель с переменным эффектом масштаба, в этой модели переменные X являются двоичными, тем самым модель представляет собой целочисленную задачу оптимизации.
В научной литературе был предложен подход, основанный на использовании оптимизационных мето-
дов, для визуализации эффективного фронта для выпуклых моделей АСФ [4]. Однако, как отмечается в работе [5], в мировой научной литературе не было работ по визуализации многомерного фронта в моделях FDH.
В данной работе развивается подход по визуализации многомерного фронта в невыпуклых моделях FDH, основанный на оптимизационных методах и используемый ранее для построения фронта для выпуклых моделей АСФ [4]. Такой подход значительно облегчает вычисление различных характеристик поведения в моделях FDH, а также способствует принятию решений для управления сложными системами.
В мировой научной литературе много работ было посвящено развитию методов для вычисления различных характеристик поведения объектов в моделях FDH. Эти методы можно разделить на две группы. В первой группе методов существенно используется подход, основанный на оптимизации [6]. Вторая группа методов опирается на методы целенаправленного перебора [7].
* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-11-01353).
Эффективность функционирования сложных систем
Построение изоквант по входным показателям
Набор данных Количество показателей Количество объектов Оптимизационный подход Метод целенаправленного перебора
время, с число итераций время, с
Российские банки 6 200 15,2 1 110 969 0,156
Шведские электрораспределительные системы 8 163 10,9 618 570 0,2
Норвежские муниципальные объекты 13 469 254,7 6 524 867 1,16
Авторский коллектив разработал методы визуализации эффективного фронта для невыпуклой модели FDH как на основе оптимизационного подхода, так и с помощью алгоритмов целенаправленного перебора. Описание предложенных алгоритмов частично (для некоторых видов сечений) приведено в работе [8].
Для проверки предложенных алгоритмов были проведены эксперименты с использованием реальных баз данных из различных областей: российские банки, шведские электрораспределительные системы и норвежские муниципальные объекты. Исходные данные подробно описаны в работах [9-11]. Все вычислительные эксперименты проводились на персональном компьютере с процессором Intel Core i3, тактовая частота 3,33 ГГц. Для решения оптимизационных задач использовалась библиотека lp_solve версии 5.5.2.0. Результаты расчетов всех изоквант по входным показателям для модели FDH по каждому из наборов данных приведены в таблице. Согласно полученным результатам, метод целенаправленного перебора показывает высокую скорость по сравнению с оптимизационным подходом. Однако он требует для реализации навыков программирования, поскольку при расчетах оптимизационным алгоритмом можно воспользоваться готовыми пакетами программ оптимизации.
Вычислительные эксперименты показали, что предложенные алгоритмы работают устойчиво и выдают решение за приемлемое время. Например, в экспериментах с российскими банками вычисление мер эффективности для всех объектов по входной модели FDH потребовалось около 1 с, что вполне сравнимо с общим временем построения всех входных изоквант.
Таким образом, вычислительные эксперименты показывают стабильность и надежность предложенных алгоритмов.
Библиографические ссылки
1. Deprins D., Simar L., Tulkens H. Measuring labor efficiency in post offices / ed. by M. Marchand, P. Pes-tieau, H. Tulkens. The performance of public enterprises: Concepts and measurements, North Holland, Amsterdam, 1984. P. 243-268.
2. Charnes A., Cooper W.W., Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units // European Journal of Operational Research. 1978. Vol. 2 (6). P. 429-444.
3. Banker R. D., Charnes A., Cooper W. W. Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis // Management Science. 1984. Vol. 30 (9). P. 1078-1092.
4. Krivonozhko V. E., Utkin O. B., Volodin A. V., Sablin I. A., Patrin M. V. Constructions of economic functions and calculations of marginal rates in DEA using parametric optimization methods // Journal of the Operational Research Society. 2004. Vol. 55 (10). P. 1049-1058.
5. Cesaroni G., Kerstens K., Woestyne I. Van de. Global and local scale characteristics in convex and non-convex nonparametric technologies: A first empirical exploration // European Journal of Operational Research. 2017. Vol. 259 (2). P. 576-586.
6. Podinovski V. V. On the linearisation of reference technologies for testing returns to scale in FDH models // European Journal of Operational Research. 2004. Vol. 152 (3). P. 800-802.
7. Kerstens K., Van De Woestyne I. Solution methods for nonconvex free disposal hull models: A review and some critical comments // Asia-Pacific Journal of Operational Research. 2014. Vol. 31 (1). P. 1450010-1-1450010-13.
8. Krivonozhko V. E., Lychev A. V. Methods for frontier reconstruction in FDH models // Труды седьмой Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2017 (13-18 июня, 2017, г. Светлогорск). Светлогорск, 2017. С. 412419.
9. Fersund F. R., Hjalmarsson L., Krivonozhko V. E., Utkin O. B. Calculation of scale elasticities in DEA models: direct and indirect approaches // Journal of Productivity Analysis. 2007. Vol. 28. P. 45-56.
10. Krivonozhko V. E., Fersund F. R., Lychev A. V. A note on imposing strong complementary slackness conditions in DEA // European Journal of Operational Research. 2012. Vol. 220 (3). P. 716-721.
11. Erlandsen E., Fersund F.R. Efficiency in the provision of municipal nursing-and home care services: the Norwegian experience / ed. by K.J. Fox. Efficiency in the public sector, chapter 10. Boston/Dordrecht/London: Kluwer, 2002. P. 273-300.
References
1. Deprins D., Simar L., Tulkens H. Measuring labor efficiency in post offices / ed. by M. Marchand, P. Pes-tieau, H. Tulkens. The performance of public enterprises: Concepts and measurements, North Holland, Amsterdam, 1984. P. 243-268.
2. Charnes A., Cooper W.W., Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units // European Journal of Operational Research. 1978. Vol. 2 (6). P. 429-444.
PewemHeecKye umeHun. 2017
3. Banker R. D., Charnes A., Cooper W. W. Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis // Management Science. 1984. Vol. 30 (9). P. 1078-1092.
4. Krivonozhko V. E., Utkin O. B., Volodin A. V., Sablin I. A., Patrin M. V. Constructions of economic functions and calculations of marginal rates in DEA using parametric optimization methods // Journal of the Operational Research Society. 2004. Vol. 55 (10). P. 1049-1058.
5. Cesaroni G., Kerstens K., Woestyne I. Van de. Global and local scale characteristics in convex and non-convex nonparametric technologies: A first empirical exploration // European Journal of Operational Research. 2017. Vol. 259 (2). P. 576-586.
6. Podinovski V. V. On the linearisation of reference technologies for testing returns to scale in FDH models // European Journal of Operational Research. 2004. Vol. 152 (3). P. 800-802.
7. Kerstens K., Van De Woestyne I. Solution methods for nonconvex free disposal hull models: A review and some critical comments // Asia-Pacific Journal of Operational Research. 2014. Vol. 31 (1). P. 1450010-1-1450010-13.
8. Krivonozhko V. E., Lychev A. V. Methods for frontier reconstruction in FDH models. Trudy sed'moy Mezhdunarodnoy konferentsii «Sistemnyy analiz i informatsionnye tekhnologii» SAIT-2017 [Proceedings of the 7th International Conference "Systems Analysis and Information Technologies" SAIT-2017] (13-18 June, 2017, Svetlogorsk, Russia). Svetlogorsk, 2017. P. 412-419.
9. Forsund F. R., Hjalmarsson L., Krivonozhko V. E., Utkin O. B. Calculation of scale elasticities in DEA models: direct and indirect approaches // Journal of Productivity Analysis. 2007. Vol. 28. P. 45-56.
10. Krivonozhko V. E., Forsund F. R., Lychev A. V. A note on imposing strong complementary slackness conditions in DEA // European Journal of Operational Research. 2012. Vol. 220 (3). P. 716-721.
11. Erlandsen E., Forsund F.R. Efficiency in the provision of municipal nursing-and home care services: the Norwegian experience / ed. by K.J. Fox. Efficiency in the public sector, chapter 10. Boston/Dordrecht/London: Kluwer, 2002. P. 273-300.
© KpHBOHO^KO B. E., .ntineB A. B., 2017
