Построение решения задачи Ляме для цилиндра с винтовой анизотропией и его приложение в гемодинамике артериальных сосудов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 59-66

УДК 532.59

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛЯМЕ ДЛЯ ЦИЛИНДРА С ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В ГЕМОДИНАМИКЕ АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДОВ

Е. Н. Портнов, Ю. А. Устинов

Для построения математической модели распространения пульсовой «волны давления» в артериальных сосудах, стенки которых обладают винтовой анизотропией, дается описание метода расчета радиальной жесткости сосуда и фазовой скорости данной волны.

Ключевые слова: волна давления, винтовая анизотропия, радиальная жесткость, фазовая скорость.

Введение

В работе [1] для описания пульсового движения крови в толстостенных артериальных сосудах с винтовой анизотропией их стенок приведены следующие уравнения:

, д2пг , д2фх Г1д2 иг

~дг2' + ~дг2 = + 27ГГ2^,

д2Щ д2фг д2фг ^ ^

¿12-7^2" + ^22-^2" = Ро1Р~012~ + 27ГГ2^'

рд£ V — дг р = 0, с2 д|р — д|р = 0, (2)

где пх = пх (г, ¿) — осевые смещения точек сосуда, фх = фх (г, ¿) — угол поворота поперечного сечения сосуда, ро — плотность материала стенки сосуда, Б = — г|) — площадь поперечного сечения стенки сосуда, 1Р = г\ — г|) — полярный момент инерции поперечного сечения, — касательные напряжения, возникающие между стенкой сосуда и кровью, Г1, Г2 — наружный и внутренний радиусы стенки сосуда соответственно, —

элементы матрицы жесткостей растяжения-сжатия (метод их определения описан в [2]), 2 О

с = —, V — среднее по сечению значение скорости крови, р — гидродинамическое давление, с — фазовая скорость, О — радиальная жесткость стенки сосуда, р — плотность крови.

Эти уравнения описывают динамические процессы в стенке сосуда, возникающие во время систолы, последнее уравнение описывает распространение «волны давления». Для тонкостенной изотропной стенки сосуда

П п ЕН Е (х — !) г 2 „ч

О = С о = —г = —г-г-> х = —> (3)

26 (1 + ж) ' г\ v ;

© 2017 Портнов Е. Н., Устинов Ю. А.

где Е — модуль Юнга материала стенки, Н,Ъ — толщина и радиус срединной поверхности соответственно.

Формула (2) для тонкостенного сосуда впервые была получена Резалем [3], немногим позже этот же результат получен Мёнсом [4], Кортвегом [5] и Громеко [6].

В случае толстой изотропной стенки жесткость определяется на основе решения задачи Л яме [7] следующей формулой:

с = ЕО*2 ~!) т

2(1+х2 + и(х2-1))' У)

где V — коэффициент Пуассона. В силу несжимаемости материала стенки сосуда V = 0.5.

Сравнительный анализ величин радиальной жесткости, определяемых по формулам (3), (4), показал, что где АС = Со — С не превышает 5%, если 0 < у < 0.2, где у = х - 1.

В работе [8] на основе математической модели, в которой стенка сосуда рассматривается как тонкая цилиндрическая оболочка с винтовой анизотропией, были выделены три типа волн, две из которых продольно-крутильная и крутильно-продольная (в предлагаемой модели аналогичные волны описываются уравнениями (1)) энергетически незначительно влияют на волновые процессы в сосуде.

1. Основные соотношения теории упругости в винтовой системе координат и постановка задачи

Обозначим через г^ г2 внешний и внутренний радиусы цилиндра соответственно. С геометрическим центром одного из сечений цилиндра свяжем начало декартовой системы координат XI, х2, х3. Эту систему координат будем называть «основной». Для описания винтовой анизотропии введем «сопутствующую» систему координат г ^ связанную с основной соотношениями

XI = г со8(в + тг), х2 = г 8\п(в + тг), х3 = г.

(5)

Здесь и ниже предполагается, что параметр т = const, а соотношения (5) при r = const 9 = const являются параметрическими уравнениями винтовой линии. Радиус-вектор точек винтовой линии представим в виде:

R = rei + ze'3,

= er = ii cos(9 + tz) + i2 sin(9 + tz), e'2 = eg = —ii sin(9 + tz) + i2 cos(9 + tz),

(6)

где 1п — орты основной системы координат.

С винтовой линией свяжем естественный репер

ei

n,

e2 = b, ез = t,

(7)

где n b t — орты главной нормали, бинормали и касательной соответственно. Используем формулы

dR dt ,

—— = t, — = к n, b = t х n, as = gaz, ds ds

k =

T 2 r

g2

22

g = 1 + X , X = Tr,

(8)

где к — кривизна винтовой линии.

После преобразований получаем ортогональную матрицу перехода от базиса ^ к базису е?:

-1 0 0

A =

0 -

0

g g

: 1

9

Будем считать материал цилиндра локально трансверсально изотропным, у которого направления главных осей тензора модулей упругости ец совпадают с направлениями ортов ец, ез, где орт ез определяет направление оси упругой симметрии. В этом базисе соотношения обобщенного закона Гука имеют вид [9]:

(9)

0л = cii en + ci2 e 2 2 + ci3 езз, ^22 = C12 eil + Cil e2 2 + C13 e23, ^33 = Ci3 (eii + e22 ) + C33e33, ^23 = C44 e23, ^i3 = C44ei3, 012 = C66ei2.

компоненты тензоров малых деформаций и напряжений соответственно. Замечание 1. Технические постоянные E, Ev v' связаны с модулями Cij следующими выражениями:

E(E ' + Ev2)

Здесь eij, иг]

С11

C12

E'(1 + v2) - 2Ev'(v + v1)'

E{E'v + Ev2) E'(l + v2) -2Ev>{v + v>y EE ' v

C13 =

E' (1 - v ) - 2E' v/2'

E'2 (1 - v) E'( l-v) -2E'v'2' C44 = G'; 2c66 = C11 — C12.

C33

e

e

z

При переходе от базиса Френе к базису винтовой системы координат для закона Гука получаем следующие выражения [2]:

а = C 'e',

C' = (Cij), = 1,...,6, а = (агг, aee,azz,aez,arz,are)T, e' = (err, eee, ezz, eez, erz, ere )T.

(11)

Здесь

c'n = cu,

= C121; + C13I

= C13l? + C12l

c'14 = 1c¿s(Cl3 - C12),

C;3 = C13l; + (Cu + C33 - 4C44)1;12 + C13l^

C;4 = —C11I3ls — C13 (¿c^3 — I3ls) + C331c¿3 — 2C44(1c13 — l^s),

c33 = C11¿4 + 2C13 ¿2¿2 + C33I4 + 4C44 ¿2 ¿2,

c34 = —lcls(C11 ¿2 — C13 + 2C13 ¿2 + 2C44 ¿2 — 2C44 ¿2), (12)

C44 = C11¿2¿2 — 2C13 ¿2¿2 + C33 ¿2¿2 + C44 (1 — 4¿2¿2),

c55 = c4412 + c66l2, c56 = lcls (c44 — c66), c66 = c6612 + c44l2,

lc = cos a, ls = sin а.

C'

Замечание 2. Поскольку т = const, то а (угол между касательной к винтовой спирали r = const и осью Oz) является функцией r, в силу чего все cj, кроме c'n зависят от r.

В базисе винтовой системы координат er, ee, ez компоненты тензора деформаций выражаются через координаты вектора смещений

u = (ur, ue, uz)

t

следующими формулами:

err = drur, eee = ur + ^f£L,

ezz = Duz, 2ere=drue + ^^,

2eez = ^ + Due, 2erz = druz + Dur.

(13)

Уравнения равновесия в напряжениях в рассматриваемом случае имеют вид

dr (rarr) — aee + de are + rDarz = 0, dr (rare) + are + de aee + rDarz = 0,

dr (rarz) + deaez + rDazz = 0,

где dr, de — частные производные по r, 0 соответственно, D = dz — тс»

2. Решение задачи Ляме

Рассмотрим полый цилиндр с винтовой анизотропией с внутренним радиусом Г2 и внешним радиусом ri. Будем считать, что на внутреннюю поверхность цилиндра задано давление p = const, а внешняя поверхность свободна от напряжений.

Полагая

ur = a(r), ue = 0, uz = 0, (15)

для компонент тензора деформаций получаем

da a(r) , „.

err = —, евв =-, e^ = 0, егв = 0, ez0 = 0, erz = 0. (16)

dr r

Соотношения обобщенного закона Гука, в рассматриваемом случае, принимают вид

°rr = Сцбгг + ci2e00,

oee = c'i2err + c;22 eee, (17)

°zz = °ez = &rz = °Ye = а из системы уравнений равновесия (14) нетривиальным будет только одно:

d(ra )

^-l-aee=0. (18)

Поставленная задача в общем случае не имеет аналитического решения, для численного интегрирования сведем ее к эквивалентной системе 2-х обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого, полагая

на основании (18) получаем

yi = a(r), y2 = ror

dyi - c12 , 1 ~г~ = ——+ ~Г~У 2>

dr c'iir c'ii r

rl II f2 I

dy2 c22cii — ci2 , ci2

~T = --/-У1 + -—У2-

dr c'iir c'ii r

(19)

Поскольку цилиндр подвержен только внутреннему давлению, получаем следующие граничные условия:

1) при г = Г1, о„ = —Р, &гв = 0, Огх = 0;

2) при Г = Г2, Огг = 0, игв = 0, огх = 0.

Для численного интегрирования этой системы дифференциальных уравнений использовалась стандартная программа, основанная на методе «пристрелки».

При проведении расчетов основное внимание было уделено исследованию зависимости радиальной жесткости От = у ^ от безразмерных параметров г\ и а, где = тгь

Расчеты проводились для стенки плечевой артерии со значениями постоянных: Е' = 4.905 ■ (10)8(Па), Е = 4.086 ■ (10)8(Па), у' = 0.5, V = 0.5, р = 1020кг/м3, О' = 8.175 ■ (10)7(Па).

0.4 -

0.3

0.2

О 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

а

Рис. 2.

0.07 -0.06

С

0.05

0.04

О 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

а

Рис. 3.

На рис. 2-3 изображены изменения радиальной жесткости и фазовой скор ости с для «мягкого» материала (стенка плечевой артерии) в зависимости от а при фиксированных значениях внутреннего радиуса. На них видно что наибольшие изменения произошли при а > 60о.

Так же было проведено сравнение радиальной жесткости по формуле (4) и результатами расчетов, полученных по описанной модели при фиксированных значениях а = 30о — 50о и переменном внутреннем радиусе г2. Рис. 4 иллюстрирует влияние угла намотки на радиальную жесткость. Кривая а = 0о отвечает формуле (4).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.S 0." 0.S 0.9

Y

о.—и---g=?'j:.....a=¿E:---a=5ô:|

Рис. 4.

Литература

1. Зачищен В. А., Поддубный А. А., Устинов Ю. А. Математические модели движения крови в артериальных сосудах // Исследования по диф. уравнениям, мат. моделированию и проблемам мат. образования.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014.—С. 15 31.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 8, ч. 2).

2. Панфилов П., Устинов Ю. А. Колебания и волны в цилиндре свинтовой анизотропией // Акуст. журн.—2010.—Т. 56, .№ 6.-С. 759 766.

3. R.esal H. Sur les petits mouvements d'un fluide incompressible dans un tuysu élastique // J. de Math. Pures et Appliquées.—Amsterdam, 1876.—166 p.—[in FrenchJ.

4. Moens J. Pulscurve.—Leiden, 1878.—S. 80.

5. Kortveg D. J. Over Vooriplantigs snelheid van golven in elastische buisen. PhD Thesis.—Amsterdam: Univ. of Amsterdam, 1878.—166 p.—[in DutchJ.

6. Громеко IL С. О скорости распространения волнообразного движения жидкостей в упругих трубках // Собр. соч.—М.: Изд-во АН СССР, 1952.-С. 172 183.

7. Лурье А. II. Теория упругости.—М.: Наука, 1970.—940 с.

8. Устинов Ю. А. Некоторые задачи для упругих цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики.—2003.—Т. 2, .№ 4,—С. 37 62.

9. Лехнинкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—М.: Наука: 1977.—415 с.

Статья поступила 1Я декабря 2015 г.

Портиов Евгений Николаевич

Южный федеральный университет,

аспирант кафедры теории упругости

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а

E-mail: djonatan-91@mail.ru

Устинов Юрий Анатольевич

Южный федеральный университет,

профессор кафедры теории упругости

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений

РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: ustinov_rsu@mail. ru

66

IIopTHOB E. H., Ycthhob JO. A.

BUILDING THE SOLUTION OF THE LAME PROBLEM FOR A CYLINDER WITH A SPIRAL ANISOTROPY AND ITS APPLICATIONS IN HEMODYNAMICS OF ARTERIAL VESSELS

Portnov E. N., Ustinov U. A.

A cylinder with spiral anisotropy may be presented, in particular, as a result of spiral wrapping of a cylindrical surface by layers of thin threads of rigid material with simultaneous covering by a polymer material. Thus, there will be locally transversely isotropic composite material with a symmetry axis directed tangentially to helical spirals; in order to determine its elastic characteristics, one can use homogenization methods. To construct a mathematical model of propagation of sphygmic "pressure waves" in arterial vessels whose walls possess spiral anisotropy, we give a description of the method to calculate a radial stiffness and phase velocity of a certain wave. In the same way, we present a comparative analysis of radial stiffness values, various theories and calculation results illustrating the dependency of rigidity and phase velocity on geometric parameters.

Key words: wave pressure, helical anisotropy, radial stiffness, the phase velocity.