CC BY
26
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ВОЛН В КРУГОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ С ОСЕВОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
AXIALLY SYMMETRIC WAVE PROPAGATION IN CIRCULAR PIEZOELECTRIC CYLINDERS WITH AXIAL POLARIZATION
Т.Н. Бобылева
T.N. Bobyleva
МГСУ
Построена уточненная теория распространения осесимметричных волн в пьезо-керамических цилиндрах, учитывающая связь между продольной, продолъно-сдвиго-вой, радиальной модами и квазистатическим распределением электрического поля.
A system of approximate equations is derived for axially symmetric waves in piezoce-ramic cylinders. The equations take into account the relation between longitudinal, axial shear, radial modes and the quasi-static distribution of electric field.
Технической основой безопасности строительства и эксплуатации зданий является внедрение средств контроля и диагностики. В качестве чувствительных элементов предпочтительнее применять акустические преобразователи со спектральным анализом сигналов от волн напряжений в конструкциях, находящихся под нагрузкой. Система мониторинга осуществляется на базе пьезокерамических датчиков. Для обеспечения надежной работы технических устройств, работающих на эффекте связанности поля механических деформаций и электрического поля в пьезокерамических элементах, необходимо изучать сопряженные электроупругие поля в пьезоэлементах.
Анизотропия упругих, пьезоэлектрических, диэлектрических свойств поляризованной керамики и связанность электрического и упругого полей приводят к тому, что задачи электроупругости усложняются по сравнению с задачами чистой теории упругости. Поэтому точные решения пространственных задач электроупругости получены лишь для весьма ограниченного класса областей, гораздо более узкого, чем в теории упругости, и естественный путь решения прикладных задач состоит в разработке приближенных теорий.
Как известно [1], полная система уравнений электроупругости в цилиндрических координатах (r,@,z) для пьезокерамической среды, предварительно поляризованной в направлении оси oz , включает в осесимметричном случае:
1) уравнения движения элемента сплошной среды:
dar dTrz (Tr .. d*rz daz ?rz
-- +-+-—- pur;-+ —- +-= pu7;
r o z r o r o z r
2) уравнения электростатики:
4/2010 ВЕСТНИК
divD = 0; E = - gradW;
3) уравнения состояния:
а Г = с^е Г + 4 бф + clE3e г - eзlEz; стф = сЕ е Г + С1хеф + clE3e z - е31Ег>' аz = с13 (6г +6ф ) + c33Ez - e33Ег>' *гг = с44еrz - e15Ег;'
^ - 8пЕг + el5еrz;Dz =е33Ez + e3l(еГ + ) + е338г-"
4) соотношения Коши:
5иг иг ди2 диг ди2
6г _^ > еф _ > 6z > еrz _^ ^^ '
о г г о г о г о г
_МГСУ
Е Е Е Е Е
Здесь и далее сц ,С12 ,С13 ,С33 С44 - модули упругости, измеренные при постоянном
3 3
электрическом поле, е31 ,е33 ,ец — пьезомодули, Бц ,&33 — диэлектрические проницаемости, измеренные при постоянной деформации, а г, а2, х г2 — механические напряжения, б г,е 2,& г2, бф — деформации, ЕГ,Ег — радиальная и осевая компоненты напряженности электрического поля Е, Dr, Dz — компоненты электрической индукции D, ^ — электрический потенциал, иг,и2 — перемещения.
В данной статье строится уточненная теория распространения осесимметричных сопряженных электроупругих волн в пьезокерамических цилиндрах с осевой поляризацией, которая является обобщением на пьезокерамическую среду результатов Миндлина и Макнивена [2], относящихся к чисто упругим материалам. Пусть стержень ограничен цилиндрической поверхностью г = а (г1 — га), и плоскостями 2 — ±с в цилиндрической системе координат. Радиальную иг, осевую и2 компоненты перемещений и электрический потенциал у раскладываем в ряды по полиномам Яко-би ип(г )^п(г ) [2] от радиальной координаты г :
да да да
иг =2 ип(2,1)ип(г);и2 = £ ^п(2,^п(г); у = п(2,1^п(г); (1)
п=1 п=1 п=1
Из вариационных уравнений движения [3] с учетом (1) получим уравнения движения порядка п в напряжениях (Я -а г \ г=1; У - х г2\ г=1; Г - Dr] г):
2
^ггп ргп (-1 )п Я р 5 ип
■ +
dz а п! а 4(п +1 )3 д t2
^гп ^ рггк ^ пУ Р д2Wn (2)
—--X, спк-+ (-1) ~ = _ . , п 2 ; (2)
dz к=о а а 2( 2п + 1) д t
Е" 1 Угп , п Г п ( л хп+к /1 . л \2 \
спк-+ —,-+ (-1) — = 0 (спк = 4(-1) (к + 1) '
к=о а d 2 а
Ргп = I (°<рип(г) + ° гг^^пгА dr;Przn = |х rzUn(r)rdr;
0 ^ ^ ) 0
йгп ^гп Г
1 1 1
Р2П = |а ^(тк^^гп = {^»^бт = {^»¿т; (3)
0 0 0
Чтобы получить аппроксимацию второго порядка, в рядах (1), представляющих
ит,иг,^, оставим только несколько первых членов, а именно:
2 2 иг - ти(х^);иг - м1(х,1) + (1 - 2т 2(х,?); у = + (1 - 2т 2(х^). (4)
Здесь м ,и,^2 — это амплитуды равномерного, линейного и квадратичного распределения вдоль радиуса стержня осевых (м ,М2 ) и радиального (и) перемещений, а ^ и у 2 _ это амплитуды равномерного и квадратичного распределения потенциала.
Как известно [1], функция электрической энтальпии Н имеет вид:
Н = 2 (а т 8 т г Б г + * тг У тг ) ~ 1 (ЕтПт +
Находим с учетом (4), соотношений Коши и уравнений электростатики
~ 1 1
Н = = = - + Р2Г2 + Рг2 + Р}~ 4^6 + Ф б + ^2бг2 }, ГДе
0
„ и _ дм „ 5м2 _ ди лм2 ^ ду1 Л Л
'2 ^ ' 2 2 ^ ' тг ~ '2 ^ ' т '2 2 ^
а ог ог ог а ог а ог
Равномерное распределение осевого перемещения с амплитудой м является достаточно хорошим приближением для иг, найденного на самой низшей моде точного решения для бесконечного цилиндра, точно так же, как и ^ , с достаточной точностью приближает у на этой моде. Чтобы улучшить другие приближения и,М2 и у 2, вводим поправочные коэффициенты, заменяя Гт на ^Г,., Гтг на ^гг, ® т на к 5 ® т в выражении электрической энтальпии Н , и и на кз11, мм 2 на к4 мм2 в формуле кинетической энергии. Тогда (Рт1 = Рг; РА = Р2; ^ = б; бА = £; Р-п1 = Кг):
2 / ЕЕ 2 Е I
:а (С11 + С12 А Гт + С1зк1 Г г + ез1к1® 2\
Р =
т дГг
Рг ~ = а24г2 + е&к1 Гт + 2еззФг
Ртг = 2 а2 {2 С44к2-Гтг ~ 2е15к2к5Фт Ь'
Рг2 = = 1 а2 ЙзА2 + е33Фг2 )"
дГ^ 6
дН
4дФг I 11 5 т 4
бт ^^ = а 2 52Фт + 1 е15 к 2 къГГ2
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
dH \ 1 1
Qz = = a21 - - е|эФz + ез1^1Гг + --ззГ2
Qz
dH
дФ z 2
1 a2 {-еззф z2 + e33Fz2 i
6
Уравнения движения в напряжениях с учетом поправочных коэффициентов к3 и к4, введенных в кинетическую энергию, будут иметь следующий вид:
1 дР„ 1
a
2 dz
rz р . 1 = pkl д2u + 7 = 2W1
3 r a 4 & 2 ' ~
a
a
2 dz
a 2 dt2
(5)
1 ^+ 4Prz -7 = ; 1Q + р = 0; 1 ^+ 4Qr -F = 0.
2 dz a3 a 6 dt a dz a dz -2
а и* а~ а 6 дГ а иг а иг а
Подставляя сюда выражения усилий и заряда из предыдущих формул с учетом Я — У — Г = 0 и нормируя все величины по формулам Е
—E _ Cij - _ eij -E _ S ij _ _ t_ C'~ 4 ,ej\l—E;i "~z I"' ~ a a
E S c44 s зз
зз
—E
—"" Y = ka, c44
получим систему уравнении движения уточненной теории:
,2 32м ,,2 * * dwi ,l2 dw2 , , dy2 l2..
k2 —- - 4k12c* u - 4k1c13 - 4k2 —^ - 4e15k2k5 = k32 u;
dx
* du * d2wi 2k1c13 — + cзз = w1;
dx dx2
Sx
dx
dx
6k2
du _ d w2 2 _ 5 y „._ . .
- 24k2w2 + e33 ^ 2 - 24e15k2k5y 2 = k4w
■ + c
dx 33 dx2 du
"33
dx'
4w 2;
(6)
_ w — d2 W2 — d2 y 2 — 2—
6e15k2k5 — + e33-2- "24e15k2k5 w2--+24e15k2k5 w2 +24k5 2 = 0
dx dx2 dx2
где ci* = c11 + c12 + 2-з21 ; ^ = c13 + -з1-зз ; 4з = с33 + -3з . Ищем волновое решение данной системы в виде:
A ÍÜ.X Г> • iQ.% • iQ.% ТЛ • iQx
u - Acos ye ;w1 - B sin yxe ;w2 - C sin yxe ; y 2 = Dsin yxe ;
Подстановка его в (6) дает линейную однородную систему относительно произвольных постоянных A, B,C,D. Условие равенства нулю ее определителя - дисперсионное уравнение приближенной теории: aij — 0, i, j — 1 + 5, (7)
где a11 = k2y + 4k1 c* - k3Q ; a12 = 4k1c*3 y; a13 = 4k2y; a14 = 4-15 k2k5 y;
11 2 2 2
a 21 = 4k1c13 y; a 22 = c33 y -n ; a 23 =a 24 =a 32 =a 42 = 0; a 31 = 6k2 y;
_ 2 222 _ 2 _
a33 = c33 Y + 24k2 - k4 ^ ; a34 = e33 Y + 24e15k2k5;
_ _ 2 _ 2 _ 2
a41 = 6e15k2k5 Y ; a43 = e33 Y + 24e15k2k5 ; a44 =-(Y + 246nk5 ).
2
Дисперсионное уравнение (7) имеет вид алгебраического уравнения четвертого порядка, связывающего квадраты частоты Q и постоянной распространения у с упругими постоянными, пьезомодулями, диэлектрическими проницаемостями и поправочными коэффициентами. Его решения совпадают с соответствующими ветвями частотного спектра точной теории для больших длин волн и частот, меньших частоты запирания первой из тех мод, которыми мы пренебрегаем. Чтобы найти эти решения, нужно определить поправочные коэффициенты k¡ (i — 1 + 5). Четыре поправочных коэффициента ki,k2,кз,k4 находятся из условий равенства частот запирания второй и третьей ветвей частотного спектра и кривизн этих же ветвей на частотах запирания в точной [4] и приближенной теориях. Коэффициент k5 определяется из условия совпадения при нулевой частоте четвертых ветвей, являющихся чисто мнимыми. (Наличие чисто мнимой ветви спектра обусловлено составляющей общего решения для электростатического потенциала). Для пьезокерамики PZT-4 значения поправочных коэффициентов следующие: ki = 4,511; k 2 = 2,703;kз = 4,214; k4 = 2,зз1; k5 = 0,541.
Выполненные численные вычисления по сопоставлению решений приближенного и точного дисперсионных уравнений показали, что для больших длин волн приближенные решения хорошо отражают поведение соответствующих им точных решений.
Литература
1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электроупругость. - Т.5. Киев.: Наукова Думка. 1989, - 5б9 с.
2. Mindlin R.D., McNiven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods. // Trans.ASME., J. Appl. Mech.-1960.- №27.- Р.145-151.
3. Партон B.3., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел.- М.: Наука. 1988.- 472 с.
4. Бобылева Т.Н. Распространение осесимметричных волн в пьезокерамических цилиндрах. // Вестник МГСУ. - 2007. №1. - С.2з-2б.
Literature
1. Grinchenko V.T. , Ulitko A.F., Shulga N.A. Coupled field mechanics in constructional elements. - T.5.- Kiev.: Naukova Dumka. 1989.-569p.
2. Mindlin R.D., McNiven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods. // Trans.ASME. J. Appl. Mech.-1960.- №27.- Р.145-151.
3. Parton V.Z., Kudryavcev B.A. Electromagnetic elasticity of piezoelectric and electroconductive solids.. - M.: Nauka. 1988.- 472 p.
4. Bobyleva T.N. Axially symmetric waves propagation in piezoceramic cylinders.// Vestnik MGSU.- 2007.№1.-Р.2з-26.
Ключевые слова: пъезокерамический цилиндр, дисперсионное уравнение, осесимметричные волны, частотный спектр, электроупругость, осевая поляризация
Key words: piezoceramic cylinder, dispersion equation, axially symmetric waves, frequency content, electroelastisity, axial polarization
129337Москва, Ярославское шоссе, 26, МГСУ, тел.: (499)183-30-38,
e-mail: [email protected]
Рецензент: Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н., проф. МГУ им. М.В.Ломоносова
