Построение решений уравнения минимальных поверхностей Эйлера-Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

УДК 517.9

С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О. Н. Черепанова Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА*

Рассмотрено уравнение минимальных поверхностей Эйлера-Лагранжа. При помощи контактного преобразования Лелсандра исходное уравнение сведено к линейному, для которого найдены решения. Эти решения в свою очередь позволяют получить новые точные решения уравнения Эйлера-Лагранжа.

Поверхность, заданную уравнением г = / (х, у), назовем минимальной поверхностью, если она удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа

(1 + и1)ихх - 2ихиуиху = (1 + и1)иуу = 0. (1)

Уравнение (1) выведено в 1768 г. и с тех пор его исследованию и решению посвящено множество работ. Его изучали Ж. Лагранж, Л. Эйлер, Г. Монж, С. Пуассон, С. Ли и другие известные ученые. Уравнение (1) часто возникает при исследовании и решении задач механики жидкости, теории пластичности, в архитектуре и т. п. Несмотря на долгую историю, для уравнения осталось много нерешенных задач. Точных решений уравнения (1) известно сравнительно немного. Наиболее известные из них:

и (х, у) = х\.§у,

cos y' u (х, y) = arcch( x2 + y2) (геликоид, поверхность Шерка, катеноид соответственно).

С помощью контактного преобразования Лежанд-

Ра

ux = X, uy = h, W = x, wh = y, u(x, y) = xX + yh = y, уравнение (1) сводится к линейному уравнению

(1 + X2)wxt + 2XhWxh + (1 + h2)Uhh = 0, (2) для которого строятся решения.

Применяя обратное контактное преобразование к уравнению (2) и его решениям, получим новые точные решения уравнения (1).

S. I. Senashov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

O. N. Cherepanova Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

EQUATION DECISIONS' CONSTRUCTION OF THE EULER-LANRANZHA

MINIMAL SURFACES

The equation of the minimal surfaces of Euler-Lagranzha is considered. By means of contact transformation of Lel-sandra the initial equation is converted to linear for which decisions are found. These decisions, in their turn, allow receiving new exact decisions of the equation of Euler-Lagranzha.

© Сенашов С. И., Черепанова О. Н., 2010

* Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (код проекта П1121).