Гомотопия решений уравнения минимальных поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

С. И. Сенашов, О. Н.Черепанова ГОМОТОПИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построены новые точные решения уравнений минимальных поверхностей.

Ключевые слова: минимальные поверхности, точные решения, контактные преобразования.

Уравнение минимальных поверхностей известно уже Поскольку (7) удовлетворяет линейному уравнению более 200 лет, но его точных решений до сих пор постро- (4), то их гомотопия также является решением уравнения

ено всего три. Это такие поверхности, как катеноид, по- (4). Тогда

верхность Шерка и семейство геликоидальных поверхностей.

Рассмотрим поверхность вида

г = и(х, у). (1)

Это уравнение описывает минимальную поверхность, если и(х,у) удовлетворяет уравнению второго порядка

I1 + иХ ) иуу - 2ихиуиху +11 + иУ ) ихх = °. (2)

С помощью контактного преобразования Лежандра

их = £, иу = п ^ = x, = y,

и( х, у) = х£ + уц - w(£, п) уравнение (2) сводится к линейному:

(1 + £ 2 ) + 2£п^ +(1 + П ) wпп = 0,

при условии, что якобиан преобразования

+п

(3)

(4)

(5)

wlK = а(п arctg £) + (1 - a) х

1\ + £ 2

-£ arctg £ + п arctg п + ln

wl = а(п arctg £) +

+ (i - а )х

^2 + ^4 + (£2 + V[ ) - 1пх

(8)

2+"\4+(£2+п) + 2у2+■*!4+(£2+п)

£2 + п2

-£ arctg £ + п arctg п + ln

•у/1 + £ 2

V1 +п2

Нетрудно проверить, что поверхности

= arcch (x2 + y2),

, cos x

u = x tg y, u = ln------------------. u

(6)

cos y

т. е. геликоид, поверхность Шерка и катеноид соответственно, являются решениями уравнения (2) и удовлетворяют условию (5).

Применим преобразование (3) к соотношениям (6), тогда они запишутся в виде

w(£,п) = п arctg £,

w(£, п) = -£ arctg £ +

.Vi+F

+ (i - a)> yj2 +-^4 + (£2 + п2) 7- 1nx

2 +^4 + ( £2 + п2) + 2y2 + \j4 + (£ 2 + п2)

(7)

£2 + п2

V 0

где wlн, w2, wiн - новые решения уравнения (4); а - вещественный параметр, ° < а < 1.

Действуя обратным преобразованием, из (8) получим новые семейства решений уравнения (2).

+п arctg п + ln

V1

+ п

- ln

2 +

w (£, п)^ 2 +^47(£W)

^ + (£2 + п2 )2 +:

J4+(£ 2 + п2 )2

£2 + п2

S. I. Senashov, O. N. Cherepanova HOMOTOPY OF MINIMAL SURFACES EQUATION SOLUTIONS

The new exact solutions of minimal surfaces equations are constructed in this work.

Keywords: minimal surfaces, exact solutions, contact transformations.

x