Построение развёртки конуса с недоступной вершиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18:76

И.Н. Мельникова, Т.В. Шустикова

МЕЛЬНИКОВА Ирина Николаевна - старший преподаватель кафедры инженерной графики Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: irnikmel@mail.ru, ШУСТИКОВА Татьяна Валентиновна - старший преподаватель кафедры инженерной графики Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).Е-таД: shustikova-tv@mail.ru © Мельникова И.Н., Шустикова Т.В., 2012

Построение развёртки конуса с недоступной вершиной

Предлагается способ построения развёртки листовых конструкций, основанный на свойстве подобия фигур. Развёртка рассматривается как взаимно-однозначное геометрическое преобразование поверхности в плоскость. Рассматриваемый способ применяется при построении развёрток конических поверхностей с недоступной вершиной.

Ключевые слова: развёртка листовых конструкций, подобие фигур, геометрическое преобразование поверхности, коническая поверхность с недоступной вершиной.

Construction of scanning of a cone with a inaccessible summit. Irina N. Melnikova, Tatiana V. Shustikova -School of Engineering (Far Eastern Federal University, Vladivostok).

It is proposed method of construct the scanning sheet structures based on the ability of the similarity of shapes. Scanning is considered as one to one geometric transformation of the surface in to a plane. The considered method is used to construct scans of conical surfaces with inaccessible summit.

Key words: scanning sheet structures, similarity of shapes, geometric transformation of the surface, conical surface with inaccessible summit.

Построение развёрток поверхностей представляет важную техническую задачу. В промышленности используют трубопроводы, резервуары, бункеры и другие разнообразные конструкции, сделанные из листового материала путем изгибания и совмещения их с плоскостью.

Целью данной работы является рассмотрение способа построения развёрток фасонных деталей из листового материала, обеспечивающего точный и рациональный раскрой листа.

Развертку можно определить как геометрическое преобразование поверхности в плоскую фигуру, ко -торое является взаимно-однозначным и обладает рядом важных свойств. На развёртке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности; величины углов между линиями на поверхности и ее развертке; площади фигур, образованных замкнутыми линиями.

К числу развёртывающихся криволинейных поверхностей, которые формируют многие технические формы, относятся цилиндрические, конические и торсовые. Их развёртки являются приближенными, которые

строятся аппроксимацией соответствующими многогранными поверхностями, имеющими точные развертки [1, 2].

Построение развёртки цилиндра и конуса вращения хорошо известны из курса стереометрии, где установлены аналитические зависимости между параметрами поверхности и ее развертки. Например, развёрткой боковой поверхности конуса вращения (рис. 1) является сектор радиуса Я и углом а

R=Vr2 + h2

Рис. 1. Развёртка боковой поверхности конуса вращения

с углом и=2.лг1{ гу-360 \т^ + к2, где г - радиус направляющей окружности конуса, Ь - высота конуса.

Рис. 2. Развёртка конуса вращения с недоступной вершиной

Такой графоаналитический способ может быть применен в случае, когда задан полный конус с вершиной S. Если же вершина недоступна, то можно применить способ, основанный на условии, что развёртки подобных конусов тоже подобны.

Рассмотрим пример построения развёртки конуса вращения с недоступной вершиной (рис. 2).

Обозначим Б - диаметр окружности нижнего основания заданного усеченного конуса (верхнее основание можно не рассматривать) и 1 - длина его образующей.

Строим вспомогательный конус с вершиной S, подобный заданному с недоступной вершиной. Диаметр окружности основания вспомогательного конуса ^ Вспомогательный конус может быть построен, как показано на рис. 2 или вне усеченного. Построим развертку этого вспомогательного конуса, которая представляет собой круговой сектор (принцип построения кругового сектора радиуса Я и углом а был рассмотрен выше). Его дуга А030 является преобразованием 1/2 окружности вспомогательного конуса диаметром ^

При развертывании заданного усеченного конуса преобразованием 1/2 окружности нижнего основания диаметром Б будет дуга А131, пропорциональная дуге А030, с коэффициентом пропорциональности равным

к=Ш .

Коэффициент к является коэффициентом подобия кривых А030 и А131, который позволяет строить кривую в к раз больше заданной. Целесообразно задавать коэффициент к целым числом, для этого выбирается соответствующее значение диаметра d вспомогательного конуса.

На оси развёртки вспомогательного конуса задаем произвольно точку К. Разбиваем дугу А030 на части точками А 1 2 3 Через точку К и точки кривой А 1 2 30 проводим лучи КА0, К1 К20, К30. От точки К на лучах откладываем отрезки КА^кхКА К11=к^К10, К21= к*К20, К31 =к*К30. Получаем точки А 1!, 21, 31, принадлежащие развертке окружности нижнего основания усеченного конуса диаметром Б. Через точки А1, 11, 21, 31 проводим прямые, соответственно параллельные образующим S0A0, S010, S020, S030 на развёртке вспомогательного конуса. На этих прямых из точек А1, 11, 21, 31 откладываем длину образующей 1 заданного усеченного конуса и получаем соответственно точки А2, 1 22, 32, которые определяют развёртку окружности верхнего основания.

Развёртки верхнего и нижнего оснований заданного конуса - лекальные кривые, проходящие через точки А2, 1 22, 32 и А1, 11, 21, 31 соответственно.

Вторая половина развёртки может быть построена так же или на основании симметрии относительно

оси S030.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. М.: Выс. шк., 1973. 416 с.

2. Гордон В.О., Семенцов-Огневский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Выс. шк., 2004. 272 с.