CC BY
130
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ИБН 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Построение псевдослучайных функций
на основе обобщенных клеточных автоматов
# 10, октябрь 2012
Б01:10.7463/1112.0496381
Ключарёв П. Г.
УДК 519.713+004.056.55
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]
1. Введение
Псевдослучайные функции находят большое применение в криптографии. Во многих случаях они являются основой блочный шифров и хеш-функций. В частности, их можно использовать в качестве S-блоков [18,20]. В настоящее время большинство блочный шифров, хэш-функций, а также ряд поточнык шифров, основаны на S-блоках [11,15]. Зачастую, для построения криптографических алгоритмов требуются достаточно большие S-блоки — с рязрядностью входа 32, 64 и более бит. Такие S-блоки, как правило, комбинируют из небольших S-блоков. Например, в алгоритме AES [13] используется S-блок с разрядностью входа 8 бит, а в ГОСТ 28147-89 [1] используются S-блоки с разрядностью входа 4 бита. Такой подход плох тем, что невозможно обеспечить псевдослучайность составного S-блока, кроме того, малые S-блоки возможно подвергнуть различным видам разностного и линейного криптоанализа. Построение больших S-блоков другими способами затруднено, их нельзя задать в виде таблицы, в силу слишком большого ее обыема. Поэтому их надо задавать в виде некоторого алгоритма, причем достаточно эффективно реализуемого. Разработке методики построения псевдослучайных функций, на основе которых можно строить S-блоки, и посвящена эта работа.
В этой работе для построения псевдослучайных функций используются обобщенные клеточные автоматы. Алгоритмы, основанные на клеточнык автоматах, могут быть эффективно реализованы аппаратно. Впервые обобщенные клеточные автоматы были использованы для построения поточного алгоритма шифрования в работах [8,7]. Эти подходы были развиты автором в работах [6,4,5,3,2].
2. Постановка задачи
Основной задачей этой работы является разработка методов построения псевдослучайных функций.
С формальной точки зрения, псевдослучайная функция — это функция вида
F: Bk х Bn ^ Bm, (1)
такая, что не существует алгоритма полиномиальной сложности, способного отличить оракул для функции g: Bn ^ Bm: g(x) = F(key,x) для случайно выбранного key G Bk от оракула для случайной функции h: Bn ^ Bm. Здесь и далее B = {0, 1}.
Однако существование функций, отвечающих этому определению не доказано. В то же время, на практике широко используются функции, которые не удается отличить от случайный с помощью известнык методов. Например, все современные блочные шифры являются такими «практически» псевдослучайными функциями. Поэтому, в данной работе мы удовлетворимся практической псевдослучайностью и будем называть псевдослучайными функции вида (1), для которых выполняются следующие условия:
1) должен иметь место строгий лавинный эффект (инвертирование одного бита входа должно приводить к тому, что каждый бит выхода инвертируется с вероятностью 0,5);
2) нелинейность функции [10] (т.е. расстояние Хемминга до множества аффиннык функций) должна быть как можно выше;
3) должно быть невозможно отличить функцию от случайной с помощью стандартного набора статистических тестов.
Построение этой функции будет производиться с помощью обобщенных клеточных автоматов.
3. Обобщенные клеточные автоматы
Назовем обобщенным клеточным автоматом ориентированный мультиграф A = (V, E) (здесь V = {v\, ..., vN} — множество вершин, E — мультимножество ребер). С каждой его вершиной Vi ассоциированы:
• булева переменная mi, называемая ячейкой;
• булева функция fi(xi,..., xdi), называемая локальной функцией связи i-й вершины.
При этом для вершины vi, входящие в нее ребра пронумерованы числами 1.. .di.
Опишем теперь работу обобщенного клеточного автомата. В начальный момент времени
каждая ячейка памяти mi, i = 1, ..., N, имеет некоторое начальное значение mi(0). Далее автомат работает по шагам. На шаге с номером t с помощью локальной функции связи вычисляются новые значения ячеек:
mi(t) = fi(mv(i,i)(t - 1), m4(i,2)(t - 1),... ,mv(i,di)(t - 1)), (2)
где ) ------ номер вершины, из которой исходит ребро, входящее в вершину і и имеющее
номер ]. Заполнением клеточного автомата М (і) на шаге і будем называть набор значений ячеек (ті (і), т2(і), ..., тм (і)).
Периодом клеточного автомата будем называть период последовательности его заполнений.
Назовем однородным обобщенным клеточным автоматом обобщенный клеточный автомат, у которого локальная функция связи для всех ячеек одинакова и равна /, т.е. для любого і Є {1, ..., N} выполняется ¡і = f. Степени захода вершин такого клеточного автомата, очевидно, одинаковы: ¿1 = = ... = dN = ^.
Назовем обобщенный клеточный автомат неориентированным, если для любого ребра (и, у) в его графе существует и ребро (у, и). Граф такого автомата можно рассматривать как неориентированный, если заменить каждую пару ребер (и, у) и (у, и) на неориентированное ребро {и, у}. Он является регулярным. Далее мы будем использовать только неориентированные однородные обобщенные клеточные автоматы, для краткости называя их просто обобщенными клеточными автоматами.
Некоторый набор ячеек клеточного автомата будем называть выходом. Выходной последовательностью клеточного автомата А назовем функцию ^Д: Вм х N ^ Вм, аргументами которой является начальное заполнение и номер шага, а значением — значение выхода на этом шаге.
4. Конструкция псевдослучайной функции
В этом разделе мы предложим способ построения псевдослучайных функций, основанный на обобщенных клеточнык автоматах.
Пусть требуется построить псевдослучайную функцию S: Bk х Bn ^ Bm.
Рассмотрим обобщенный клеточный автомат A, содержащий k + n + t вершин, где t — некоторая величина, зависящая от n, которую будем называть количеством скрытых вершин клеточного автомата. Вопрос о выборе числа t будет обсужден ниже.
Построим псевдослучайную функцию следующим образом:
SA(key,x) = prm(Fa(x II key || c,r)),
где x | y — конкатенация x и y; r — число шагов клеточного автомата; prm: B* ^ Bm — функция, возвращающая младшие m элементов аргумента; c G B1 — некоторая константа, для веса которой справедливо соотношение
{-, t — четное; t + i t
----, t — нечетное.
2 ’
Константа с предназначена для того, чтобы обеспечить отсутствие неподвижнык точек, а также для улучшения лавинного эффекта.
Число шагов клеточного автомата г и число скрытых вершин Ь выбираются так, чтобы функцию нельзя было отличить от случайной при помощи статистических тестов.
Ясно, что для того чтобы каждый бит выхода функции зависел от всех битов входа, необходимо, чтобы выполнялось г ^ О, где О — диаметр графа. Для того чтобы функция была псевдослучайной, обычно требуется несколько большее число шагов. Более точно на вопрос о числе шагов можно ответить посредством статистического тестирования, проведенного в разделе 7. Основные его результаты отражены ниже (см. табл. 1). Кроме того, проведенные тесты показали, что для того чтобы функция была псевдослучайной, необходимо, чтобы: Ь ^ 1,4N, где N — число вершин в графе.
5. Граф обобщенного клеточного автомата
Граф обобщенного клеточного автомата выберем из следующих соображений:
• граф должен иметь хаотическую структуру;
• диаметр графа должен быть мал;
• граф должен быть регулярным;
• граф не должен иметь петель и кратных ребер;
• граф должен иметь как можно меньшую степень (чтобы снизить коммуникационную сложность клеточного автомата);
• степень графа должна быть не меньше четырех.
Этим требованиям удовлетворяют так называемые графы Рамануджана [12,14,17].
Рассмотрим отсортированный по убыванию спектр графа (т.е. совокупность собственных чисел его матрицы смежности): А1 ^ Л2 ^ ^ Ап. Графом Рамануджана называется
граф, для которого справедливо неравенство
А2 ^ 2^<1 - 1, (3)
где d — степень графа.
Как известно из спектральной теории графов [9], для диаметра графов Рамануджана справедливо соотношение О = 21с^-:1 п + 0(1).
Известно два способа построения небольших графов Рамануджана:
1) случайная генерация с последующей проверкой значения Л2;
2) построение при помощи известного детерминируемого алгоритма.
В случае использования первого подхода требуется выработать случайный регулярный граф. Это можно сделать, например, используя метод, изложенный в работе [19], либо более быстрый алгоритм, изложенный в работе [25]. Известно [14], что случайный регулярный граф с большой вероятностью является графом Рамануджана. Тем не менее, необходимо проверить выполнение условия (3), получив значение Л2 методами линейной алгебры.
Второй способ состоит в том, чтобы воспользоваться каким-либо известным семейством графов Рамануджана. При этом, такой способ должен давать достаточную свободу в выборе
числа вершин графа в достаточно широком диапазоне. По-видимому, наиболее подходящим семейством является так называемое семейство графов Любоцкого — Филипса — Сарнака ур,д [17, 16,21]. Для таких графов доказано, что они являются графами Рамануджана. Построение таких графов производится следующим образом.
Выберем простые числар и q, для которых выполняются условия:
Чд/
Мы будем строить неориентированный мультиграф С = (V, Е). Множеством вершин мультиграфа V является проективная прямая над конечным полем ¥д, другими словами, V = ¥д и {то}. Мультимножество ребер Е состоит из всех пар (и, у), для которых
При этом і Є ¥д, такое, что і2 + 1 = 0. Степенью графа является количество решений уравнения (5), равное р +1.
В построенном таким образом графе могут быть кратные ребра (в том случае, когда (4) выполняется и для (и, у), и для (у, и)) и петли. Как показали статистические тесты, это ухудшает показатели лавинного эффекта. Поэтому необходимо избавиться от кратных ребер и петель, причем так, чтобы граф остался регулярным.
Кратные ребра обработаем следующим способом. Рассмотрим две пары кратных ребер: кратные ребра (и1,у1) и кратные ребра (и2,у2). Удалим по одному ребру каждой пары из графа и добавим ребра (и1,и2) и (у1,у2). Таким способом можно обработать все кратные ребра в графе (если количество пар кратных ребер четное, что всегда имеет место для рассматриваемого графа). Эта процедура, очевидно, не нарушит регулярность графа и не уменьшит коэффициенты реберного и вершинного расширения.
Петли удалим следующим образом. Пусть у вершин и1, и2, . .., и* имеются петли. Удалим эти петли из графа и добавим в граф ребра (и1, и2), (и2, и3), .. ., (и*-1, и*) (если при этом появятся кратные ребра, вершины и1, и2, .. ., и* следует переупорядочить так, чтобы кратных ребер не появлялось). Ясно, что такая процедура также не нарушит регулярность графа и не уменьшит коэффициенты реберного и вершинного расширения.
р =1 (mod 4); д = 1
где (-) — символ Лежандра.
' (ао + га{)и + (а,2 + газ)
(а>2 — іаз)и = ао — іа1, и = ^о;
(а>2 — іаз)и = ао — іа1, и = ^о;
а2 = іа3, и = то;
у=
(—а2 + газ)и + (ао — га 1) то, а0 + га1
(4)
—а2 + газ
то,
а2 = іа3, и = то,
для всех четверок а0, а1, а2, а3 Е 2!, таких, что:
1) ао — нечетное положительное;
2) а1, а2, а3 — четные;
3) выполняется условие
2222 ао + а1 + а2 + аз — р.
2 і 2 і 2
(5)
6. Локальная функция связи
Важным является правильный выбор локальной функции связи обобщенного клеточного автомата. В этом разделе мы сформулируем требования к такой функции.
Будем говорить, что обобщенный клеточный автомат вычисляет булеву функцию ф(х\,... ,xM), если существуют такие j0 £ {1, ..., N}, t0 £ Z+ и набор (ji, ..., jM) £ £ {1, ..., N}M, элементы которого попарно различны, что выполняется mj0(to) = = ф(т^1 (0),..., mjn (0)), где mi(t) — значение i-й ячейки на шаге t.
Заметим сначала, что если локальная функция связи не имеет слагаемых первой степени в своей АНФ, то АНФ функций, вычисляемых обобщенным клеточным автоматом после двух тактов работы, не будут иметь слагаемых первой и второй степеней. После трех шагов — не имеют слагаемых по третью степень включительно и т.д. Из этого следует, что если АНФ локальной функции связи обобщенного клеточного автомата не имеет слагаемых первой степени, то функции, вычисляемые обобщенным клеточным автоматом, быстро вырождаются в функцию х1х2 ... xn.
Если уже по виду локальной функции связи можно определить, что обобщенный клеточный автомат не может вычислить некоторый класс булевых функций, то криптоанализ систем шифрования, основанных на таких автоматах, упрощается. Заметим, что для того, чтобы однородный клеточный автомат мог вычислить произвольную функцию, необходимо, чтобы локальная функция связи являлась шефферовой.
Кроме того, как показано в работе [8], равновесность локальной функции связи является необходимым и достаточным условием для равномерности распределения выходной последовательности обобщенного клеточного автомата.
Наконец, важным свойством является нелинейность криптографического преобразования. Дабы обеспечить большую его нелинейность, потребуем, чтобы локальная функция связи была как можно более нелинейной.
Итак, для локальной функции связи должны выполняться следующие условия:
1) функция должна быть равновесной;
2) алгебраическая нормальная форма функции должна содержать хотя бы одну переменную в первой степени;
3) функция должна быть шефферовой;
4) функция должна быть как можно более нелинейной.
Этим условиям удовлетворяют функции из семейства, построенного автором [5]. Так, в случае нечетного числа переменных используется функция
к
gi(u,xi,yi,... ,хк, у к) = 0 Xiyi 0 Si(xi, ... ,Хк) ® u,
i=1
где si(xi,..., xk) — произвольная булева функция, причем k + ti = 1 (mod 2), где ti — число ненулевых коэффициентов в алгебраической нормальной форме функции si и при этом свободный член равен 1 .
В случае четного числа переменных используется функция:
g2(v,u,xi,yi,.. .,xk,Ук) =
= (1 0 v)(ei(xi,yi,... ,Хк, У к) 0 u) 0 v(e3(xi,yi,... ,Хк, У к) 0 u) =
к
= xiyi 0 si(xi,... ^к) 0 v(si(xi,... ^к) 0 S3(xi, . . . ,xк)) 0 u,
i=i
где si(xi,... ^) и s3 (x-\^,. . . ,x]t) — произвольные булевы функции, причем k + t3 = 1 (mod 2), где t3 — число ненулевых коэффициентов в алгебраической нормальной форме функции s3 и при этом свободный член АНФ функции si равен 1.
Примером такой функции может служить:
f (xi,x2,x3,x4,x5,x6) = xix3x5 0 x3x4 0 x5x6 0 x3x5 0 xix5 0 xi 0 x2 0 1. (6)
7. Статистическое тестирование
С целью эмпирического подтверждения гипотезы о псевдослучайности построенных функций проводилось статистическое тестирование с помощью набора статистических тестов NIST Statistical Test Suit [24,22]. При этом используется методика, приведенная в [23]. Методика включает в себя тестирование лавинного эффекта по ключу и по аргументу (открытому тексту, по используемой в [23] терминологии), корреляции входа и выхода, итерации функции и др. Тесты были проведены для функций, параметры которых приведены в табл. 1 (во всех случаях использовалась локальная функция связи, заданная формулой (6). В ней же приведено минимальное число шагов, после которого функция является псевдослучайной по результатам тестов.
Таблица 1
Параметры клеточных автоматов, задающих протестированные функции
Длина входа Длина ключа Длина выхода Число вершин Степень графа Диаметр графа Число шагов
1 64 64 64 282 6 6 7
2 128 128 128 390 6 6 8
3 256 256 256 810 6 6 9
Для всех функций из табл. 1 были пройдены все статистические тесты, что подтверждает гипотезу о том, что функции, построенные с помощью клеточного автомата так, как указано в настоящей статье является псевдослучайными.
8. Заключение
Таким образом, в статье предложена методика построения псевдослучайных функций, основанных на обобщенных клеточных автоматах. Такие функции могут найти широкое
применение в области криптографии, в частности, их можно использовать в качестве S-блоков.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-07-31012).
Список литературы
1. ГОСТ 28147-89. Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования. Введ. 1990-07-01. М.: Изд-во стандартов, 1996. 28 с.
2. Ключарев П.Г. Клеточные автоматы, основанные на графах Рамануджана, в задачах генерации псевдослучайных последовательностей // Наука и образование. МГТУ им.
Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. №10. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/ doc/241308.html (дата обращения 22.11.2012).
3. Ключарев П.Г. О вычислительной сложности некоторых задач на обобщенных клеточных автоматах // Безопасность информационных технологий. 2012. №1. Режим доступа: http://www.pvti.ru/data/file/bit/2012_1/part_4.pdf (дата обращения 22.11.2012).
4. Ключарев П.Г. О периоде обобщенных клеточных автоматов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. №2. Режим доступа: http://technomag. edu.ru/doc/340943.html (дата обращения 22.11.2012).
5. Ключарев П.Г. Обеспечение криптографических свойств обобщенных клеточных автоматов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. №3. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/358973.html (дата обращения 22.11.2012).
6. Ключарев П.Г. NP-трудность задачи о восстановлении предыдущего состояния обобщенного клеточного автомата // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 1. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/312834.html (дата обращения 22.11.2012).
7. Сухинин Б.М. Высокоскоростные генераторы псевдослучайных последовательностей на основе клеточных автоматов // Прикладная дискретная математика. 2010. № 2. С. 34-41.
8. Сухинин Б.М. О некоторых свойствах клеточных автоматов и их применении в структуре генераторов псевдослучайных последовательностей // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2011. №2. С. 68-76.
9. Chung F. Spectral graph theory. American Mathematical Society, 1997. (CBMS Regional Conference Series in Mathematics, No. 92).
10. Cusick T., StanicaP. Cryptographic Boolean functions and applications. Academic Press, 2009. 232 p.
11. Daemen J., Rijmen V. The design of Rijndael: AES-the advanced encryption standard. Springer, 2002.
12. Davidoff G., Sarnak P., Valette A. Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs. Cambridge University Press, 2003. 144 p. (London Mathematical Society Student Texts, vol. 55.)
13. Federal Information Processing Standard (FIPS) Pub. 197. Advanced Encryption Standard (AES). Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, Information Technology Laboratory (ITL). 2001. 47 p. Available at: http://csrc.nist.gov/publications/fips/ fips197/fips-197.pdf, accessed 22.11.2012.
14. Hoory S., Linial N., Wigderson A. Expander graphs and their applications // Bulletin of the American Mathematical Society. 2006. Vol. 43, no. 4. P. 439-562.
15. KnudsenL., RobshawM. The block cipher companion. Springer, 2011.
16. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Explicit expanders and the ramanujan conjectures // STOC ’86 Proceedings of the eighteenth annual ACM symposium on Theory of computing. NY: ACM, 1986. P. 240-246. DOI: 10.1145/12130.12154.
17. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Ramanujan graphs // Combinatorica. 1988. Vol. 8, no. 3. P. 261-277.
18. Luby M., Rackoff C. How to construct pseudorandom permutations from pseudorandom functions // SIAM Journal on Computing. 1988. Vol. 17, no. 2. P. 373-386.
19. McKay B., Wormald N. Uniform generation of random regular graphs of moderate degree // Journal of Algorithms. 1990. Vol. 11, no. 1. P. 52-67.
20. Mister S., Adams C. Practical s-box design // Workshop on Selected Areas in Cryptography, SAC / Citeseer. 1996. Vol. 96. P. 61-76.
21. Sarnak P. Some applications of modular forms. Cambridge University Press, 1990. Vol. 99.
22. Soto J. Statistical testing of random number generators // Proceedings of the 22nd National Information Systems Security Conference / NIST Gaithersburg, MD. Vol. 10. 1999. P. 12.
23. Randomness testing of the advanced encryption standard finalist candidates: Rep. / DTIC Document; Executor: J. Soto, L. Bassham: 2000.
24. A statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications: Rep. / DTIC Document; Executor: A. Rukhin, J. Soto, J. Nechvatal et al.: 2001.
25. Steger A., Wormald N. Generating random regular graphs quickly // Combinatorics Probability and Computing. 1999. Vol. 8, no. 4. P. 377-396.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Construction of pseudo-random functions based on generalized
cellular automata
# 10, October 2012
DOI: 10.7463/1112.0496381
Klyucharev P. G.
Russia, Bauman Moscow State Technical University
The paper presents a method of constructing pseudo-random functions based on the generalized cellular automata. The graphs of the automata are Ramanujan graphs. The proposed method can be used to construct S-blocks, designed for operation in cryptographic algorithms.
References
1. GOST28147-89. Sistemy obrabotki informatsii. Zashchita kriptograficheskaia. Algoritm krip-tograficheskogo preobrazovaniia [State Standard 28147-89. Information processing system. Cryptographic Security. Cryptographic transformation algorithm]. Moscow, Standards Publishing House, 1996. 28 p.
2. Kliucharev P.G. Kletochnye avtomaty, osnovannye na grafakh Ramanudzhana, v zadachakh generatsii psevdosluchainykh posledovatel’nostei [Cellular automations based on Ramanujan graphs in the field of the generation of pseudorandom sequences]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 10. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/241308.html, accessed 22.11.2012.
3. Kliucharev P.G. O vychislitel’noi slozhnosti nekotorykh zadach na obobshchennykh kle-tochnykh avtomatakh [On the computational complexity of some problems on generalized cellular automata]. Bezopasnost’ informatsionnykh tekhnologii [Security of information technologies], 2012, no. 1. Available at: http://www.pvti.ru/data/file/bit/2012_1/part_4.pdf, accessed 22.11.2012.
4. Kliucharev P.G. O periode obobshchennykh kletochnykh avtomatov [About the period of generalized cellular automatons]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 2. Available at: http://technomag.edu.ru/ doc/340943.html, accessed 22.11.2012.
5. Kliucharev P.G. Obespechenie kriptograficheskikh svoistv obobshchennykh kletochnykh av-tomatov [On cryptographic properties of generalized cellular automatons]. Nauka i obrazo-vanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 3. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/358973.html, accessed 22.11.2012.
6. Kliucharev P.G. NP-trudnost’ zadachi o vosstanovlenii predydushchego sostoianiia obob-shchennogo kletochnogo avtomata [NP-hard of step backward problem in generalized cellular automaton]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 1. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/312834.html, accessed 22.11.2012.
У. Sukhinin B.M. Vysokoskorostnye generatory psevdosluchainykh posledovatel’nostei na os-nove kletochnykh avtomatov [High-speed generators of pseudorandom sequences based on cellular automata]. Prikladnaia diskretnaia matematika, 2010, no. 2, pp. 34-41.
8. Sukhinin B.M. O nekotorykh svoistvakh kletochnykh avtomatov i ikh primenenii v strukture generatorov psevdosluchainykh posledovatel’nostei [Some properties of cellular automata and their application in the structure of pseudorandom sequences generators]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrumentation], 2011, no. 2, pp. 68-У6.
9. Chung F. Spectral graph theory. American Mathematical Society, 199У. (CBMS Regional Conference Series in Mathematics, no. 92).
10. Cusick T., Stanica P. Cryptographic Boolean functions and applications. Academic Press, 2009. 232 p.
11. Daemen J., Rijmen V. The design ofRijndael: AES-the advanced encryption standard. Springer, 2002.
12. Davidoff G., Sarnak P., Valette A. Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs. Cambridge University Press, 2003. 144 p. (London Mathematical Society Student Texts, vol. 55.)
13. Federal Information Processing Standard (FIPS) Pub. 197. Advanced Encryption Standard (AES). Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, Information Technology Laboratory (ITL). 2001. 4У p. Available at: http://csrc.nist.gov/publications/fips/ fips197/fips-197.pdf, accessed 22.11.2012.
14. Hoory S., Linial N., Wigderson A. Expander graphs and their applications. Bulletin of the American Mathematical Society. 2006. Vol. 43, no. 4. P. 439-562.
15. Knudsen L., Robshaw M. The block cipher companion. Springer, 2011.
16. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Explicit expanders and the ramanujan conjectures. STOC ’86 Proceedings of the eighteenth annual ACM symposium on Theory of computing. New York, NY: ACM, 1986. P. 240-246. DOI: 10.1145/12130.12154.
17. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Ramanujan graphs. Combinatorica. 1988. Vol. 8, no. 3. P. 261-277.
18. Luby M., Rackoff C. How to construct pseudorandom permutations from pseudorandom functions. SIAM Journal on Computing. 1988. Vol. 17, no. 2. P. 373-386.
19. McKay B., Wormald N. Uniform generation of random regular graphs of moderate degree. Journal of Algorithms. 1990. Vol. 11, no. 1. P. 52-67.
20. Mister S., Adams C. Practical s-box design. Workshop on Selected Areas in Cryptography, SAC. Citeseer. 1996. Vol. 96. P. 61-76.
21. Sarnak P. Some applications of modular forms. Cambridge University Press, 1990. Vol. 99.
22. Soto J. Statistical testing of random number generators. Proceedings of the 22nd National Information Systems Security Conference. NIST Gaithersburg, MD. Vol. 10. 1999. P. 12.
23. Randomness testing of the advanced encryption standard finalist candidates: Rep. DTIC Document; Executor: J. Soto, L. Bassham: 2000.
24. A statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications: Rep. DTIC Document; Executor: A. Rukhin, J. Soto, J. Nechvatal et al.: 2001.
25. Steger A., Wormald N. Generating random regular graphs quickly. Combinatorics Probability and Computing. 1999. Vol. 8, no. 4. P. 377-396.
