CC BY
150
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Криптографические хэш-функции,
основанные на обобщенных клеточных автоматах
# 01, январь 2013
Б01:10.7463/0113.0534640
Ключарёв П. Г.
УДК 519.713; 004.056.55
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана pk.iu8@yandex.ru
1. Введение
Криптографические хэш-функции являются одним из важнейших классов криптографических алгоритмов. Они широко используются в задачах обеспечения информационной безопасности. Сейчас существует большое количество разнообразных хэш-функций. Обзор наиболее известных из них можно найти, например, в книге [23], а обзор современных методов построения хэш-функций — в работе [9].
Все возрастающие требования, предъявляемые к производительности, а также необходимость реализации в системах с малыми вычислительными ресурсами, приводят к необходимости разработки новых, высокопроизводительных, криптоалгоритмов. Данная работа посвящена применению подхода, основанного на использовании обобщенных клеточных автоматов, для синтеза криптографических хэш-функций. Использование этого подхода позволяет построить хэш-функции, которые могут быть с большой эффективностью реализованы аппаратно. Впервые он был предложен для создания поточных шифров в работах [7, 8], а затем развит автором в работах [1, 2, 3, 4, 6].
В работе [5] автором было предложено семейство псевдослучайных функций, основанных на обобщенных клеточных автоматов. Эти функции могут быть использованы в качестве основы для криптографических хэш-функций.
2. Постановка задачи
Задачей данной работы является построение семейства криптографических хэш-функций, основанных на обобщенных клеточных автоматах. Напомним, что хэш-функцией называется функция вида
Н : В* ^ В3, (1)
являющаяся однонаправленной и устойчивой к коллизиям первого и второго рода (здесь и далее, В = {0; 1}). За более подробной информацией о хэш-функциях можно рекомендовать обратиться, например, к работе [9].
3. Основные термины и определения
Используемое в качестве основы семейство псевдослучайных функций основано на обоб-щеных клеточных автоматах. В этом разделе мы приведем основные определения, в основном, следуя работе [5].
Назовем обобщенным клеточным автоматом ориентированный мультиграф А = (V, Е) (здесь V = {^1,..., ум} — множество вершин, Е — мультимножество ребер). С каждой его вершиной уг ассоциированы булева переменная тг, называемая ячейкой и булева функция /г(х1,... , х^), называемая локальной функцией связи ¿-ой вершины. Для произвольной вершины уг, входящие в нее ребра пронумерованы числами 1.. .¿г.
Обобщенный клеточный автомат работает следующим образом. В начальный момент времени каждая ячейка памяти тг, I = 1... N, имеет некоторое начальное значение тг(0). Далее работа осуществляется по шагам. На шаге с номером т с помощью локальной функции связи вычисляются новые значения ячеек:
тг(т) = /г(тп(г,1)(т - 1),тч(г,2)(т - 1),... ,тп(г,й1)(т - 1)), (2)
где ^(1,]) — номер вершины, из которой исходит ребро, входящее в вершину I и имеющее номер ].
Назовем однородным обобщенным клеточным автоматом обобщенный клеточный автомат, у которого локальная функция связи для всех ячеек одинакова и равна /. Степени захода вершин такого клеточного автомата, очевидно, одинаковы и равны ¿.
Назовем обобщенный клеточный автомат неориентированным, если для любого ребра (и, у) в его графе существует и ребро (у, и). Такой граф можно рассматривать как неориентированный, если заменить каждую пару ребер (и, у) и (у,и) на неориентированное ребро {и, у}. Далее мы будем использовать только неориентированные однородные обобщенные клеточные автоматы, для краткости называя их просто обобщенными клеточными автоматами.
Некоторый набор ячеек клеточного автомата будем называть выходом. Ячейки не входящие в этот набор будем называть скрытыми ячейками, а соответствующие им вершины графа — скрытыми вершинами. Таким образом, длина выхода равна N — £ двоичных разрядов, где £ — количество скрытых ячеек. Выходной последовательностью клеточного автомата А назовем функцию : Вм х N ^ Вм-*, аргументами которой является начальное заполнение и номер шага, а значением — значение выхода на этом шаге (здесь и далее В = {0; 1}).
Большое значение имеет выбор графа обобщенного клеточного автомата. В работе [5] обосновано, что в качестве графа клеточного автомата, применяемого для криптографических целей, хорошо подходят графы Рамануджана [15, 16, 19].
Рассмотрим отсортированный по убыванию спектр графа (то есть собственные числа его матрицы смежности [12]): Ai > Л2 > ■ ■ ■ > An. Графом Рамануджана называется граф, для которого справедливо неравенство Л2 < 2 Vd — 1, где d — степень графа.
Как и в работе [5], мы будем использовать семейство графов Любоцкого — Филипса — Сарнака Yp'q [18, 19, 22]. Построение графов из этого семейства производится следующим образом.
Выберем простые числа p и q, для которых выполняются условия:
г
p =1 (mod 4); q =1 (mod 4);
p = q;
(3)
1,
где — символ Лежандра.
Построим неориентированный мультиграф С = (V, Е). Множеством вершин V является проективная прямая над полем ¥я, т.е., V = ¥я и (то). Мультимножество ребер Е состоит из всех пар (и, у), для который выполняется
' (ао + iai)u + (а,2 + га3) (—а2 + ia3)u + (а0 — ia1)
ж, а0 + ia1
—а2 + iaз' ,
(а2 — ia3)u = а0 — ia1, u = ж; (а2 — ia3)u = а0 — ia1, u = ж; а2 = ia3, u = ж;
(4)
а2 = ia3, u
,
для всех четверок а0,а\,а2,а3 € Ъ, таких, что ао нечетное положительное, а\,а2, а3 четные и выполняется условие:
а0 + а2 + а2 + а2 = р. (5)
При этом, г € ^, такое, что ъ2 + 1 = 0.
Построенный таким образом граф является (р + 1)-регулярным. В нем существуют кратные ребра и петли, от которых следует избавиться, причем так, чтобы граф остался регулярным. Алгоритмы для этого приведены в работе [5].
Важным является правильный выбор локальной функции связи обобщенного клеточного автомата. Требования к такой функции сформулированы автором в работе [5].
Мы будем использовать функции из семейства, построенного автором в работе [4]. Так, в случае нечетного числа переменных используется функция:
Q1(u,X1,y1, . . .,xv ,yv) = ф Xiyi 0 S1(X1, ...,XV) Ф u,
i=1
(6)
V
где si(xi,..., xv) — произвольная булева функция, причем v + ^ = 1 (mod 2), где ti —число ненулевых коэффициентов алгебраической нормальной формы функции s1, для которой s1 (0,..., 0) = 1.
В случае четного числа переменных используется функция
g2(v,U,Xi,yi, . . . ,Xv,Vv) =
= (1 0 v)(ei(xi,yi, . . . ,Xv ,Vv) 0 u) 0 v(e3(xi,yi, . . . ,Xv, Vv) 0 u) =
v
= ф XiVi 0 Si(Xi, . . . ,Xv) 0 v(si(xi, . . . ,Xv) 0 S3(xi, . . . ,Xv)) 0 u, (7) i=i
где si(xi,... ,xv) и s3(xi,... ,xv) — произвольные булевы функции, причем v + t3 = 1 (mod 2), где t3 — число ненулевых коэффициентов в алгебраической нормальной форме функции s3 и при этом si(0,..., 0) = 1.
Примером такой функции может служить функция
f (xi, X2, X3, X4, X5, X6) = XiX3X5 0 X3X4 0 X5X6 0 X3X5 0 XiX5 0 Xi 0 X2 0 1. (8)
4. Построение семейства хэш-функций
В этом разделе вводится семейство хэш-функций, которое является основным результатом настоящей работы.
В работе [5] автором предложен метод синтеза псевдослучайных функций вида Sc : Bk х Bn ^ Bm. Эти функции основываются на обобщенных клеточных автоматах и могут быть заданы формулой
ScA(kev,x) = prm(FA(x || fcey || c,r)), (9)
где x || у — конкатенация x и y; r — число шагов клеточного автомата; prm : B* ^ Bm — функция, возвращающая младшие m элементов аргумента; A — обобщенный клеточный автомат; c G B4 — некоторая константа, вес которой близок к значению - .
Константа c в формуле (9) необходима для улучшения лавинного эффекта и обеспечения отсутствия неподвижных точек. Число шагов клеточного автомата r и число скрытых вершин t выбираются так, чтобы функцию нельзя было отличить от случайной при помощи статистических тестов.
В работе [5] автором обосновано и подтверждено экспериментально, что такие функции неотличимы от случайных при правильном выборе параметров (числа шагов клеточного автомата r и числа скрытых вершин t).
Известен целый ряд способов, позволяющих построить хэш-функцию из псевдослучайной однонаправленной функции. Например, можно указать схему Меркля — Дамгарда [14, 21], которая часто используется на практике (например, в хэш-функциях MD5 и SHA-1), а также разнообразные ее варианты, такие как Wide pipe, Double pipe [20, 25], 3C [13]
и др. Еще одной известной схемой является так называемая Губка (Sponge) [24], используемая в алгоритме Keccak [17], выигравшим в конкурсе SHA-3 и ставшим новым стандартом США. Эти схемы, по-видимому, можно использовать для создания хэш-функций на основе однонаправленной функции (9). Однако в связи с тем, что вопрос о лавинном эффекте по начальному заполнению в обобщенном клеточном автомате при большом числе итераций является недостаточно исследованным, применение этих схем недостаточно обосновано. Поэтому мы будем использовать схему построения хэш-функций, не связанную с большим количеством итераций — вариант древовидной схемы, являющийся дальнейшим развитием схемы, предложенной в [10] и схемы PMAC для ключевых хэш-функций [11].
Схема, предложенная в [10], описывается формулой
n
Оh(i II Xi), (10)
i=1
где h — псевдослучайная функция, Xi — блок сообщения, а © — некоторая групповая операция.
Преимуществом такой схемы является возможность получения некоторых теоретических результатов о стойкости. В частности, в работе [10] доказана теорема о стойкости данной схемы при использовании умножения в конечном поле в качестве групповой операции, в предположении о псевдослучайности h и о высокой сложности задачи о дискретном логарифме.
Недостатками этой схемы является то, что далеко не всякая групповая операция подходит — например, при использовании сложения в конечном поле, схема оказывается неустойчивой к коллизиям. Те операции, которые подходят, имеют относительно высокую сложность. При этом, стойкость в такой схеме доказана в предположении высокой сложности задачи о дискретном логарифме, что, вообще говоря, не доказано.
Похожая схема используется и в алгоритме PMAC [11]. Однако этот алгоритм предста-ляет собой ключевую хэш-функцию, для которой свойства однонаправленности и стойкости к коллизиям обеспечиваются только в предположении, что противнику не известен ключ. Поэтому схема, используемая в алгоритме PMAC, напрямую не применима для синтеза хэш-функций.
Мы воспользуемся тем, что функция S44 представляет собой семейство однонаправленных псевдослучайных функций и сформируем хэш-функцию следующим образом.
Разобьем сообщение X на блоки длины n: X = (x1,x2, ... ,Xn) (если сообщение не кратно дине блока, дополним его до длины блока нулями). Хэш, имеющий длину s, будем вычислять по формуле:
H(X) = pr/S4 (оз, 0 SA(i, Xi))) , (11)
^ i=1 '
где c1,c2 £ B1 — различные константы, вес которых близок к значению [t/2]; c3 £ Bk — константа, вес которой близок к значению [к/2]; t — число скрытых вершин графа.
Обобщенный клеточный автомат А должен иметь граф, построенный в соответствии с приведенными выше соображениями. Число скрытых вершин графа должно удовлетворять условию: £ > —. Значение параметра к следует выбирать таким, чтобы максимальный номер блока помещался в к разрядов. Например, можно рекомендовать к = 64. Значение параметра т функции (9) должен быть не меньше длины хэша 5.
Такая схема отличается от схемы, описанной в [10] тем, что в качестве комбинирующей функции используется функция Б^ от поразрядной суммы по модулю два, а не некоторая групповая операция. От алгоритма РМАС схема отличается тем, что вместо функции зашифрования симметричного шифра используется функция БД а с каждым блоком конкатенируется его номер (в РМАС используется сложение с некоторой функцией, зависящей от номера блока). Эти различия, очевидно, приводят к тому, что предложенная схема имеет существенно меньшие схемную сложность и глубину. Учитывая, что функция Б^, является псевдослучайной, можно утверждать, что такая схема безопасна.
Отметим, что выражением (11) задано целое семейство хэш-функций. Конкретная хэш-функция определяется набором следующих параметров:
• число вершин графа;
• степень графа;
• локальная функция связи;
• константы с1, с2 и с3;
• число скрытых вершин графа
• длина блока п;
• параметр т;
• число шагов клеточного автомата г;
• длина хэша 5.
Все эти параметры должны выбираться в соответствии с вышеприведенными условиями, такими как (3), (6), (7) и др.
Преимуществом предложенного семейства хэш-функций является возможность параллельного вычисления функции Б^ от различных блоков, что, в сочетании с эффективностью аппаратной реализации обобщенных клеточных автоматов, делает возможной весьма эффективную аппаратную реализацию хэш-функции.
5. Криптографическая стойкость
Согласно [5], функция Б^А является псевдослучайной. Также она имеет высокую нелинейность, а каждый двоичный разряд ее выхода зависит от всех разрядов входа. Кроме того, как показано автором в работе [6], задача о восстановлении предыдущего состояния обобщенного клеточного автомата, в общем случае, является КР-полной. Все это позволяет рассматривать эту функцию как однонаправленную и устойчивую к коллизиям.
Предложенная хэш-функция использует древовидную схему, основанную на функции Б^. Каждый разряд выхода хэш-функции сложным образом нелинейно зависит от всех разрядов сообщения. Различные виды криптоанализа, которые могут быть использованы для обращения хэш-функции или построения коллизий, применить затруднительно, в связи с большой длиной входа функции Б. Исходя из вышесказанного можно утверждать, что предложенная хэш-функция является криптостойкой.
Кроме того, стойкость предложенной хэш-функции может быть усилена методом, аналогичным известному [21 ] методу усиления схемы Меркля — Дамгарда, который заключается в том, что сообщение конкатенируют с дополнительной информацией, включающей в себя длину сообщения.
6. Заключение
В статье предложено новое семейство криптографических хэш-функций, основанное на использовании обобщенных клеточнык автоматов. Дальнейшие исследования направлены, в частности, на анализ предложенного семейства и дальнейшее обоснование его криптографической стойкости.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-07-31012).
Список литературы
1. Ключарёв П.Г. Клеточные автоматы, основанные на графах Рамануджана, в задачах генерации псевдослучайный последовательностей // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 10. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/ docZ241308.html (дата обращения 19.12.2012).
2. Ключарёв П.Г. О вычислительной сложности некоторый задач на обобщенный клеточных автоматах // Безопасность информационных технологий. 2012. № 1. Режим доступа: http://www.pvti.rn/data/file/bit/2012_1/part_4.pdf (дата обращения 19.12.2012).
3. Ключарёв П.Г. О периоде обобщенный клеточных автоматов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 2. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/340943.html (дата обращения 19.12.2012).
4. Ключарёв П. Г. Обеспечение криптографических свойств обобщенных клеточных автоматов// Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 3.Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/358973.html (дата обращения 19.12.2012).
5. Ключарёв П.Г. Построение псевдослучайных функций на основе обобщенных клеточных автоматов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 10. Б01: 10.7463/1112.0496381.
6. Ключарёв П.Г. КР-трудность задачи о восстановлении предыдущего состояния обобщенного клеточного автомата // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон.
журн. 2012. № 1. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/312834.html (дата обращения 19.12.2012).
7. Сухинин Б.М. Высокоскоростные генераторы псевдослучайных последовательностей на основе клеточных автоматов // Прикладная дискретная математика. 2010. № 2. С. 34-41.
8. Сухинин Б.М. О некоторых свойствах клеточных автоматов и их применении в структуре генераторов псевдослучайных последовательностей //ВестникМГТУим. Н.Э. Баумана. Серия: Приборостроение. 2011. № 2. С. 68-76.
9. Al-Kuwari S., Davenport J., Bradford R. Cryptographic hash functions: recent design trends and security notions. The University of Bath, 2010. Available at: http://opus.bath.ac.uk/20815, accessed 10.01.2013.
10. Bellare M., Micciancio D. A new paradigm for collision-free hashing: Incrementality at reduced cost // Advances in Cryptology - EUROCRYPT97. Springer Berlin Heidelberg, 1997. P. 163-192. DOI: 10.1007/3-540-69053-0_13 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 1233).
11. Black J., Rogaway P. A block-cipher mode of operation for parallelizable message authentication // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2002. Springer Berlin Heidelberg. 2002. P. 384-397. DOI: 10.1007/3-540-46035-7_25 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 2332).
12. ChungF. Spectral graph theory. American Mathematical Society, 1997.207p. (CBMS Regional Conference Series in Mathematics; No. 92).
13. Constructing secure hash functions by enhancing merkle-damgard construction / P. Gauravaram, W. Millan, E. Dawson, K. Viswanathan // Information Security and Privacy. Springer Berlin Heidelberg. 2006. P. 407-420. DOI: 10.1007/11780656_34 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 1233).
14. Damgard I. A design principle for hash functions // Advances in Cryptology - CRYPTO'89 Proceedings. Springer New York. 1990. P. 416-427. DOI: 10.1007/0-387-34805-0_39 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 435).
15. Davidoff G., Sarnak P., Valette A. Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 154 p. (London Mathematical Society Student Texts; vol. 55).
16. Hoory S., Linial N., Wigderson A. Expander graphs and their applications // Bulletin of the American Mathematical Society. 2006. Vol. 43, no. 4. P. 439-562.
17. Bertoni G., Daemen J., Peeters M., Van Assche G. Keccak specifications. Submission to NIST (Round 2). 2009. Available at: http://keccak.noekeon.org/Keccak-specifications-2.pdf, accessed 19.12.2012.
18. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Explicit expanders and the Ramanujan conjectures // STOC'86 Proceedings of the eighteenth annual ACM symposium on Theory of computing. New York, NY, ACM, 1986. P. 240-246. DOI: 10.1145/12130.12154.
19. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Ramanujan graphs // Combinatorica. 1988. Vol. 8, no. 3. P. 261-277. DOI: 10.1007/BF02126799.
20. Lucks S. A failure-friendly design principle for hash functions // Advances in Cryptology -ASIACRYPT2005. Springer Berlin Heidelberg. 2005. P. 474-494. DOI: 10.1007/11593447_26 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 3788).
21. Merkle R. One way hash functions and DES // Advances in Cryptology - CRYPTO'89 Proceedings. Springer New York. 1990. P. 428-446. DOI: 10.1007/0-387-34805-0_40 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 435).
22. Sarnak P. Some applications of modular forms. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Tracts in Mathematics; vol. 99).
23. Schneier B., Sutherland P. Applied cryptography: protocols, algorithms, and source code in C. John Wiley & Sons, Inc., 1995.
24. Bertoni G., Daemen J., Peeters M., Van Assche G. Sponge functions // ECRYPT Hash Workshop 2007. May 2007.
25. Yasuda K. A double-piped mode of operation for macs, prfs and pros: Security beyond the birthday barrier // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2009. Springer Berlin Heidelberg. 2009. P. 242-259. DOI: 10.1007/978-3-642-01001-9_14 (Lecture Notes in Computer Science; vol. 5479).
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Cryptographic hash functions based on generalized cellular
automata
# 01, January 2013
DOI: 10.7463/0113.0534640
Klyucharev P. G.
Russia, Bauman Moscow State Technical University
pk.iu8@yandex.ru
In this paper the author introduces a family of cryptographic hash functions based on using generalized cellular automata. The structure of the proposed functions is a dendrogram which includes a one-way pseudorandom function built with the use of a generalized cellular automaton whose graph is a Ramanujan graph. The local link function of the cellular automata is a balanced function with large nonlinearity and some additional properties. The family of proposed hash functions may find practical application in a number of information security tasks, including authentication, integrity, digital signature, etc.
References
1. Kliucharev P.G. Kletochnye avtomaty, osnovannye na grafakh Ramanudzhana, v zadachakh generatsii psevdosluchainykh posledovatel'nostei [Cellular automations based on Ramanujan graphs in the field of the generation of pseudorandom sequences]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 10. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/241308.html, accessed 19.12.2012.
2. Kliucharev P.G. O vychislitel'noi slozhnosti nekotorykh zadach na obobshchennykh kle-tochnykh avtomatakh [On the computational complexity of some problems on generalized cellular automata]. Bezopasnost' informatsionnykhtekhnologii [Security of information technologies], 2012, no. 1. Available at: http://www.pvti.ru/data/file/bit/2012_1/part_4.pdf, accessed 19.12.2012.
3. Kliucharev P.G. O periode obobshchennykh kletochnykh avtomatov [About the period of generalized cellular automatons]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 2. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/340943.html, accessed 19.12.2012.
4. Kliucharev P.G. Obespechenie kriptograficheskikh svoistv obobshchennykh kletochnykh av-tomatov [On cryptographic properties of generalized cellular automatons]. Nauka i brazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 3. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/358973.html, accessed 19.12.2012.
5. Kliucharev P.G. Postroenie psevdosluchainykh funktsii na osnove obobshchennykh kletochnykh avtomatov [Construction of pseudorandom functions based on generalized cellular automata]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 10. DOI: 10.7463/1112.0496381.
6. Kliucharev P.G. NP-trudnost' zadachi o vosstanovlenii predydushchego sostoianiia obob-shchennogo kletochnogo avtomata [NP-hard of step backward problem in generalized cellular automaton]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2012, no. 1. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/312834.html, accessed 19.12.2012.
7. Sukhinin B.M. Vysokoskorostnye generatory psevdosluchainykh posledovatel'nostei na osnove kletochnykh avtomatov [High-speed generators of pseudorandom sequences based on cellular automata]. Prikladnaia diskretnaia matematika, 2010, no. 2, pp. 34-41.
8. Sukhinin B.M. O nekotorykh svoistvakh kletochnykh avtomatov i ikh primenenii v strukture generatorov psevdosluchainykh posledovatel'nostei [Some properties of cellular automata and their application in the structure of pseudorandom sequences generators]. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Bulletin of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering], 2011, no. 2, pp. 68-76.
9. Al-Kuwari S., Davenport J., Bradford R. Cryptographic hash functions: recent design trends and security notions. The University ofBath, 2010. Available at: http://opus.bath.ac.uk/20815, accessed 10.01.2013.
10. Bellare M., Micciancio D. A new paradigm for collision-free hashing: Incrementality at reduced cost. Advances in Cryptology - EUROCRYPT97. Springer Berlin Heidelberg, 1997, pp. 163-192. DOI:10.1007/3-540-69053-0_13 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 1233).
11. Black J., Rogaway P. A block-cipher mode of operation for parallelizable message authentication. Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2002. Springer Berlin Heidelberg, 2002, pp. 384-397. DOI: 10.1007/3-540-46035-7_25 (Lecture Notes in Computer Science, vol.2332).
12. Chung F. Spectral graph theory. American Mathematical Society, 1997. 207 p. (CBMS Regional Conference Series in Mathematics, no. 92).
13. Gauravaram P., Millan W., Dawson E., Viswanathan K. Constructing secure hash functions by enhancing Merkle-Damgard construction. Information Security and Privacy. Springer Berlin Heidelberg, 2006, pp. 407-420. DOI: 10.1007/11780656_34 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 1233).
14. Damgard I. A design principle for hash functions. Advances in Cryptology - CRYPTO'89 Proceedings. Springer New York, 1990, pp. 416-427. DOI: 10.1007/0-387-34805-0_39 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 435).
15. Davidoff G., Sarnak P., Valette A. Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs. Cambridge, Cambridge University Press, 2003. 154 p. (London Mathematical Society Student Texts, vol. 55).
16. Hoory S., Linial N., Wigderson A. Expander graphs and their applications. Bulletin of the American Mathematical Society, 2006, vol. 43, no. 4, pp. 439-562.
17. Bertoni G., Daemen J., Peeters M., Van Assche G. Keccak specifications. Submission to NIST (Round 2). 2009. Available at: http://keccak.noekeon.org/Keccak-specifications-2.pdf, accessed 19.12.2012.
18. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Explicit expanders and the ramanujan conjectures. STOC '86 Proceedings of the eighteenth annual ACM symposiumon Theory of computing. New York, NY, ACM, 1986, pp. 240-246. DOI: 10.1145/12130.12154.
19. Lubotzky A., Phillips R., Sarnak P. Ramanujan graphs. Combinatorica, 1988, vol. 8, no. 3, pp. 261-277. DOI: 10.1007/BF02126799.
20. Lucks S. A failure-friendly design principle for hash functions. Advances in Cryptology - ASI-ACRYPT2005. Springer Berlin Heidelberg, 2005, pp. 474-494. DOI: 10.1007/11593447_26 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 3788).
21. Merkle R. One way hash functions and DES. Advances in Cryptology - CRYPTO'89 Proceedings. Springer New York, 1990, pp. 428-446. DOI: 10.1007/0-387-34805-0_40 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 435).
22. Sarnak P. Some applications of modular forms. Cambridge, Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 99).
23. Schneier B., Sutherland P. Applied cryptography: protocols, algorithms, and source code in C. John Wiley & Sons, Inc., 1995.
24. Bertoni G., Daemen J., Peeters M., Van Assche G. Sponge functions. ECRYPTHash Workshop 2007. May 2007.
25. Yasuda K. A double-piped mode of operation for macs, prfs and pros: Security beyond the birthday barrier. Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2009. Springer Berlin Heidelberg, 2009, pp. 242-259. DOI: 10.1007/978-3-642-01001-9_14 (Lecture Notes in Computer Science, vol. 5479).
