Построение ортомодулярных решеток первичных структур событий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОСТРОЕНИЕ ОРТОМОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТОК ПЕРВИЧНЫХ СТРУКТУР СОБЫТИЙ

И. Б. Вирбицкайте, Е. К. Ерофеев

Институт систем информатики им. А. П. Ершова СО РАН, 630090, Новосибирск, Россия

УДК 519.7

Изучены взаимосвязи базовых отношений (причинной зависимости, параллелизма, альтернативного выбора (конфликта)) между событиями параллельных систем, представленных моделями первичных структур событий. В частности, предложены и исследованы техники построения ортомодулярных решеток (комбинаторного представления пространства-времени) конфигураций (вычислений) структур событий.

Ключевые слова: структуры событий, конфигурации, решетки, ортомодулярность.

The intention of the paper is to study the interconnections of basic relations (causal dependency, concurrency, and alternative choice (conflict)) between events of concurrent systems represented as prime event structures. In particular, we propose techniques for constructing orthomodular lattices of configurations, which are a space-time combinatoric representation of the behaviour of the model under consideration.

Key words: event structures, configurations, lattices, orthomodularity.

Введение. В теории параллельных систем и процессов разработан ряд абстрактных моделей (например, сети-процессы, частично упорядоченные множества, структуры событий и т. д.), предназначенных для представления и изучения поведения параллельных и распределенных систем. Известно, что существует три базовых отношения между событиями параллельных систем: причинная зависимость, параллелизм и альтернативный выбор (конфликт). Поэтому проводятся исследования в теории параллелизма с целью установления временных и пространственных взаимосвязей этих отношений. Например, в работе [1] приведен ряд "аксиом параллельности" (в частности, свойства Х-плотности, Ж-плотности, ^-непрерывности и т. д.), которые в дальнейшем изучались в контексте сетей-процессов [2-5] и частично упорядоченных множеств [6, 7], основанных на двух базовых отношениях причинной зависимости и параллелизма между событиями моделируемых систем. Полученные результаты обобщены в работе [8] на класс сетей-процессов с причинной зависимостью и недетерминированным выбором. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах [9, 10], в которых определен смысл "аксиом параллельности" в контексте более общих моделей первичных и локальных структур событий.

Альтернативным подходом к изучению взаимосвязей базовых отношений событий параллельных систем является представление семантики моделей систем в виде ортомодуляр-ных решеток. В работе [11] исследованы ортомодулярные решетки частично упорядоченных

Работа выполнена при финансовой поддержке DFG-РФФИ (грант № 436 RUS 113/1002/01, код проекта 09-01-91334).

множеств, ассоциированных с сетями-процессами, наделенными отношениями причинной зависимости и параллелизма.

В данной работе предлагаются способы построения ортомодулярных решеток — комбинаторного представления пространства-времени — конфигураций первичных структур событий, которые являются обобщением моделей частично упорядоченных множеств и сетей-процессов и представляют собой множества событий моделируемых систем, связанных отношениями причинной зависимости, параллелизма и конфликта. Структуры событий используются для установления взаимосвязей между различными моделями параллельных процессов [12-14] и определения денотационной и операционной семантик формальных и программных языков параллельных процессов [14, 15].

1. Элементы теории множеств и теории решеток. В данном пункте приводятся некоторые базовые понятия теории множеств и теории решеток, используемых в работе.

Рассмотрим определение муровского семейства.

Определение 1. Пусть X — произвольное множество. Муровское семейство подмножеств множества X — это семейство подмножеств, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) содержит множество X;

2) содержит пересечение Р| 1а, если все 1а С X принадлежат семейству (т. е. если оно замкнуто относительно пересечений).

Пусть X — множество. Тогда Р^) — множество всех подмножеств X.

Определение 2. Отображение С : Р^) — Р^) называется оператором замыкания на X, если для всех А С X, В С X выполнены следующие условия:

1) А С С(А);

2) А С В ^ С(А) С С(В);

3) С(С(А)) = С(А).

Множество А С X называется замкнутым относительно С, если С (А) = А.

В работе [16] устанавливается совпадение множества замкнутых подмножеств и муров-ского семейства.

Теорема 1. Подмножества множества X, замкнутые относительно некоторого оператора замыкания, образуют муровское семейство, и наоборот.

Определение 3. Решеткой называется частично упорядоченное множество £ = (Ь, (Ь — множество, "— частичный порядок), любые два элемента которого имеют точную нижнюю грань ("пересечение") и точную верхнюю грань ("объединение").

Решетка £ называется полной, если точная нижняя и точная верхняя грани существуют для любого подмножества множества Ь.

Определение 4. Ортодополняемым множеством называется частично упорядоченное множество Р = {Р, <, 0,1, (.)'), содержащее минимальный и максимальный элементы, обозначенные соответственно 0 и 1, и наделенное отображением (.)' : Р — Р, удовлетворяющим следующим условиям:

1) (х')' = х;

2) х < у ^ у' < х';

3) х Л х' = 0 и х V х' = 1.

Здесь V — супремум по <, если такой существует, и Л — инфимум по <, если такой существует.

Ортодополняемая решетка называется также орторешеткой.

Рис. 1. Пример ортомодулярной решетки

Определение 5. Ортомодулярным множеством называется частично упорядоченное множество Р = {Р, <, 0,1, (.)'), в котором все элементы х и у из Р удовлетворяют следующим условиям:

1) (х1)1 = х;

2) х < у ^ (у' < х' & у = х V (у Л х'));

3) х < у' ^ х V у е Р;

4) х Л х' = 0.

Условие х < у ^ у = х V (у Л х') обычно называется ортомодулярным законом.

Пример ортомодулярной решетки приведен на рис. 1.

2. Структуры событий. В данном пункте определяются базовые понятия теории (первичных) структур событий, введенные и исследованные в работе [12] как абстрактные представления поведения безопасных сетей Петри. Структуры событий описывают параллельную систему в виде множества событий, представляющих выполнения некоторых действий. При этом для двух событий верно, что либо одно событие является причиной другого, либо одно событие исключает другое, т. е. конфликтует с ним. Два события, не связанные ни отношением причинной зависимости, ни отношением конфликта, параллельны друг другу. Поведение структур событий описывается в терминах конфигураций, т. е. множеств событий, которые произошли в системе. Также конфигурацию можно понимать как состояние, которого достигла система, после того как произошли все события из этой конфигурации.

Определение 6. Структура событий — это тройка ЕБ = (Е, X, #), где:

1) Е — множество событий;

2) X С Е х Е — отношение частичного порядка (причинной зависимости), удовлетворяющее принципу конечности причин: Уе е Е о {в е Е | в X е} — конечное множество;

3) # С Е х Е — симметричное иррефлексивное отношение (отношение конфликта), удовлетворяющее принципу наследования конфликта: Уе1)е2)е3 е Е о в1 # е2 X е3 ^ е1 # е3.

Отношением параллелизма между событиями из множества Е называется бинарное отношение ^ = (Е х Е) \ (X и У и#).

В качестве примера рассмотрим структуру событий, представленную на рис. 2. Множество событий структуры включает девять событий: г, в, ..., у, г. Нетрудно заметить, что г -< в -< Ь, и -< в -< Ь, и -< V -< ш, и -< у -< г и х -< у -< г. Очевидно, что принцип конечности

причин выполнен. Также на рис. 2 видно, что в # V # у. Из принципа наследования конфликта следует, что в # ш, Ь # ш, Ь # V и т. д. Кроме того, например, события г, и, х не являются конфликтными и не связаны причинной зависимостью, а поэтому параллельны, т. е. г — и — х — г.

Введем вспомогательные отношения на событиях в1 Е Е, в2 Е Е:

— б1 еов2 ^^ в! — в2 V в! = в2;

— в! с/ в2 ^^ в1 # в2 V в! = в2;

— в1 и в2 ^^ в1 ^ в2 V в2 ^ в1.

Заметим, что отношения И, с/, со, — и # являются симметричными и нетранзитивными.

Структура событий функционирует, переходя из одного состояния в другое. Состояния структуры событий называются конфигурациями. Будем рассматривать два типа конфигураций: СЕЕ-конфигурации, состоящие из событий, связанных отношениями причинной зависимости и параллелизма, и СОЕ-конфигурации, включающие события, находящиеся в отношениях причинной зависимости и конфликта.

Определение 7. Множество С С Е называется:

— СОЕ-конфигурацией, если С — левозамкнутое (т. е. в Е С Л 1 ^ в ^ 1 Е С) и свободное от параллелизма множество (т. е. для любых в Е С,1 Е С верно отрицание — (в — 1));

— СЕЕ-конфигурацией, если С — левозамкнутое и свободное от конфликта множество (т. е. для любых в Е С, 1 Е С верно отрицание —(в # 1)).

3. Ортомодулярные решетки, порождаемые конфигурациями структур событий. В данном пункте разрабатываются и исследуются способы построения ортомодулярных решеток конфигураций структур событий. Здесь и далее (за исключением случаев, оговоренных особо) под С будем понимать *-конфигурацию структуры событий ЕБ = (Е, #), где * Е {СОЕ, СЕЕ}.

Для * Е {СОЕ, СЕЕ} определим оператор дополнения (.)х* : Р(С) ^ Р(С), действующий по следующему правилу: У Б Е Р(С) о

— = {х Е С | У у Е Б : х # у};

— Б±срр = {х Е С I У у Е Б : х — у}.

Обозначим = ((.)х*. Верным является

Предложение 1. является оператором замыкания на С.

Доказательство. Проверим для выполнение условий 1-3 определения 2 оператора замыкания. Доказательство проведем для случая СО^-конфигурации (случай (7^1^1-конфи-гурации доказывается аналогично).

Выберем произвольное множество Б С С .В силу определения Б±сор = {у Е С | Ух Е Б у # х} имеем Б'с ор = {г Е С | У у Е Б±сор г # у}. Покажем, что Б С Б'с ор. Для элемента

х Е Б верно, что х # у для всех у Е Б±сор, что является условием принадлежности х множеству Б±сор. Таким образом, имеем Б С Б^ор.

Необходимо показать, что для А С С, В С С выполняется условие А С В ^ А'сор С ВСор. Для этого достаточно доказать, что А С В ^ В±сор С А±сор. Пусть А С В. Известно, что А±сор = {у Е С | Ух Е А у # х} и В±сор = {Ь Е С | Уд Е В г # д]. Выберем Ь Е В±сор. Для всех д Е В верно, что Ь # д, а следовательно, поскольку А С В, для всех х Е А выполняется Ь # х. Это означает, что Ь Е А^сор. Таким образом, для А С В и произвольного Ь верно, что если Ь Е В±сор, то Ь Е А^сор, т. е. В±сор С А^сор. Следовательно, А С В ^ В±сор С А±сор, т. е. А С В ^ А'сор С В'сор.

Необходимо доказать, что (А'сор)'сор = А'сор. Предположим противное: существует элемент х, такой что х Е (А'сор)'сор и х Е А'сор. В этом случае существует элемент у Е А^сор, такой что х 1г у. Из сказанного выше следует, что А±сор С (А'сор)±сор, т. е. у Е (А'сор)±сор. Тогда х # у, т. е. получено противоречие. Таким образом, (А'сорУсор = А'сор.

Определение 8. Множество Б С С называется замкнутым относительно оператора (.)±*, если Б', = Б.

Пусть Ь,(С) обозначает множество всех замкнутых (в рассматриваемом смысле) подмножеств Б *-конфигурации С. На Ь,(С) определим следующие операции:

- Л{Бг С С : 1Е1} = П Бг;

- У{Бг С С : г Е I} = (и Бг),.

га

В используемых обозначениях справедлива

Лемма 1. Пусть Б С С. Тогда Б Л Бх* = 0.

Доказательство. Согласно определению Б Л Б= Б П Бх*. Пусть существует х Е Б П Б. Из определения Бследует, что х#х (х ^ х) в случае СОВ-конфигурации (СВВ-конфигурации). Получено противоречие, поскольку отношение конфликта (параллелизма) иррефлексивно. Лемма доказана.

Рассмотрим важное свойство СВВ-конфигураций. СВВ-конфигурация С называется N плотной, если для всех х,у,у,т Е С выполнено следующее утверждение: если (у ^ х) Л (у ^ у) Л (т ^ у) Л (у ^ т ^ х ^ у), то существует элемент г Е С, такой что (у г ^ у) Л (т ^ г ^ х). Далее будем рассматривать только N-плотные СВВ-конфигурации.

Для СОР-конфигурации С справедлива

Лемма 2. Пусть х,у, г Е С. Если х 1г у, х 1г г и у # г, то х — у и х — г.

Доказательство. Заметим, что возможность совпадения х с г или у исключается определением отношения #. Рассмотрим остальные возможные случаи:

1. г — х. Если у — х, то г # у — х. Из принципа "наследования конфликта" следует г # х, что противоречит условию х 1г г. Если х — у, то из транзитивности отношения — следует г — у, что противоречит условию г # у.

2. х — г. В случае если у — х, из транзитивности отношения — следует у — г, что противоречит условию г # у. Следовательно, х — у.

Лемма доказана.

Далее потребуются следующие понятия и обозначения. Для Б С Е определим его "прошлое" и "будущее" соответственно:

| Б = {х Е Е I х Е Б, Зу е Б : х — у], | Б = {х Е Е | х Е Б, Зу Е Б : у — х].

Через | Би | Ббудем обозначать соответственно "прошлое" и "будущее" для множества Б ^.

В используемых обозначениях справедливо

Предложение 2. Для всех Б Е Ь*(С) верны равенства I Б = I Би | Б = | Б.

Доказательство. Доказательство проведем для СОЕ-конфигурации С. Случай СЕЕ-конфигурации доказывается аналогично. Пусть Б Е Ьсор(С). Предположим, что х Е I Б. Тогда существует элемент у Е Б, такой что х -— у, а значит, х Е Б±сор. Ясно, что существует элемент г Е Б±сор, такой что верно отрицание — (х # г), поскольку в противном случае х Е Б±сор±сор = Б. Кроме того, выполняется отрицание —(х Е | Б±сор), иначе в силу транзитивности отношения — нашлись бы элементы д Е Б и г Е Б±сор, такие что г — д. Поэтому х Е [ Б±сор и | Б С Б±сор. Так как Б±сор±сор = Б, то в силу тех же рассуждений | Б±сор Б. Для случая х Е | Б доказательство проводится аналогично.

Предложение доказано.

Сформулируем и докажем основной результат работы.

Теорема 2. Пусть * Е {СОЕ,СЕЕ}. Тогда £(С) = {Ь*(С), С, 0,С, (.)±*) — ортомоду-лярная решетка.

Доказательство. Пусть С — СО^-конфигурация. Из теоремы о муровских семействах и определения Ьсор (С) следует, что для любых А, В Е Ьсор (С) их пересечение А П В (по построению это точная нижняя грань) принадлежит Ьсор (С).

Проверим справедливость условий 1-4 ортомодулярности (см. определение 5).

1. Тот факт, что (Б±сор)±сор = Б для всех Б Е Ьсор(С), следует из определения Ьсор(С).

2. Докажем справедливость следующего факта: А С В ^ [В±сор С А±сор] и [В = А V (В Л А±сор)].

2.1. При доказательстве предложения 1 показано, что А С В ^ В±сор С А±сор.

2.2. Докажем справедливость следующего утверждения: А С В ^ В = (А V (В Л А±сор)) = (аи (ВП А±сор))'сор. Так как А С В и (В П А±сор) С В, то (Аи (В П А±сор)) С В. Поскольку из свойства 2 оператора замыкания следует, что (А и (В П А±сор))'сор С В'сор, то, используя замкнутость множества В, получаем (А V (В Л А^сор)) С В.

Покажем справедливость равенства В С (А V (В Л А^сор)) = (А и (В П А^сор))'сор. Для произвольного элемента х В рассмотрим все возможные случаи.

Ясно, что если х А, то х Аи(В ПА±сор). Используем свойство 1 оператора замыкания: (А и (В П А±сор)) С (А и (В П А±сор))'сор. Это означает, что х Е (А V (В Л А±сор)).

Случай, когда х (В П А±сор), проверяется аналогично.

Рассмотрим случай, когда х Е В, х Е А, х Е А±сор. Проверим, принадлежит ли х множеству (Аи (ВП А±сор))'сор. Поскольку х Е А±сор, существует элемент у Е А, такой что х Ну. Покажем, что существует элемент г Е А±сор , такой что х И г. Предположим обратное, т. е. х # г для всех х Е А±сор. Тогда х Е А±сор±сор, а так как А — замкнутое множество, то это противоречит тому факту, что х Е А. Следовательно, х Е (А и (В П А±сор))±сор. Покажем, что х Е (А и (В П А±сор))'сор. Предположим, что существует элемент V Е (А и (ВПА±сор))±сор, такой что —(V # х). Значит, V Ы х, т. е. либо V ^ х, либо V У х. Заметим, что А С А и (В П А±сор). Из доказанного выше свойства следует А±сор Э (А и (В П А±сор ))±сор. Тогда V Е А±сор. Значит, V / В. Так как у Е А и V Е А±сор, то у # V. В силу леммы 2 х -— V. Поскольку В — замкнутое множество, V Е В±сор±сор. Значит, существует элемент ш Е В±сор, такой что ш Ы V. С учетом того что х Е В, согласно определению оператора дополнения верно х # ш. Тогда в силу принципа наследования конфликта получаем V # ш, поскольку х V. Получено противоречие. Таким образом, х Е (А и (В П А±сор))±сор±сор, так как х # V для любого V Е (А и (В П А±сор))±сор.

Рис. 3. Структура Об из доказательства теоремы 2

3. Если A, B Е Lcof(C) и A С B±COF, то согласно определению операции V верно, что A V B — элемент множества Lcof(C).

4. Выполнение условия 4 определения 5 следует из леммы 1.

Рассмотрим случай, когда C является CFF-конфигурацией. Покажем, что L(C) — ор-торешетка. Для этого проверим условия 1-3 определения 4.

1. Выполнение равенства (S±CFF)±CFF = S для всех S Е Lcff(C) следует из определения Lcff (c ).

2. Тот факт, что если A С B, то B±CFF С A±CFF, следует из предложения 1.

3. Из леммы 1 следует, что для любого S Е Lcff (C) выполнено равенство SAS±CFF = 0. Остается показать, что для всех S Е Lcff (C) верно равенство S V S±CFF = C, а для этого достаточно, чтобы выполнялось условие (S U S±CFF)±CFF = 0. Если существует элемент q Е (S U S±CFF)±CFF, то для всех x Е S имеем q ^ x. Это означает, что q Е S±CFF. Однако известно, что q Е (S U S±CFF)±CFF. Следовательно, q ^ q, т. е. получено противоречие.

Используем свойство, установленное в [17]: если Об (рис. 3) не является подалгеброй в орторешетке, то такая решетка является ортомодулярной. Выберем элементы A, B Е Lcff(C), такие что A С B, и покажем, что B A A±CFF = 0.

Поскольку A С B, существует b Е B \ A. Если b Е (B A A±CFF ), то B A A±CFF = 0 и L(C) — ортомодулярная решетка. Пусть b Е B A A±CFF, т. е. b Е B \ (A U A±CFF ), а следовательно, существует элемент a Е A, такой что a li b. Пусть b -— a. В силу предложения 2 1 A =1 A±CFF, а значит, существует элемент d Е A^CFF, такой что b — d. Если d Е B±CFF, то получаем противоречие, поскольку b Е B. Таким образом, d Е A±CFF \ B±CFF.

Если d Е B A A±CFF, то B A A±CFF = 0. Это означает, что результат получен. Пусть d Е B A A±CFF, т. е. dЕ A±CFF \ (B U B±CFF). Из предложения 2 следует, что | B = B±CFF, а значит, существует элемент g Е B±CFF, такой что g -— d. Тогда в силу свойства Ж-плотности для a, b, g, d существует элемент h Е C, такой что b — h — d, a ^ h, h ^ g. Если h Е B П A±CFF, то результат получен. В противном случае верно либо h Е B \ A±CFF, либо h Е A±CFF \ B.

Рассмотрим случай, когда h Е B \ A±CFF. Так как h Е A±CFF, то существует элемент ai Е A, такой что a1 li h. При этом h a1, поскольку h d Е A±CFF. В силу свойства Ж-плотности

{8,Ь, и, V, ш}

и

8 -

#

V -

{8,1}

ш

{'V, ш}

0

Рис. 4. Пример СО^-конфигурации (а) и ее ортомодулярной решетки (б)

{г,8,и,х,у}

и

х

{и, Г, 8}

{и, х, у}

Рис. 5. Пример С^^-конфигурации (а) и ее ортомодулярной решетки (б)

для Н, аг, д, 1 существует элемент Нг Е С, такой что а ^ Нг ^ д, Н — кг — 1. В случае если кг Е В П А^срр, результат получен. Если кг Е А^срр, то с учетом предложения 2 и того факта, что кг Е | В, верно, что кг Е В±срр. Это означает, что существует элемент дг Е В±срр, такой что дг -— кг. Если кг Е В, то, учитывая, что кг Е I А±срр, получаем кг Е I Л±срр. Это означает, что существует элемент а2 Е А, такой что кг -— а2. Рассуждая аналогично, в силу свойства Ж-плотности и принципа конечности причин получаем, что в цепочке Ь — ... — 1 существует элемент из множества В и А^срр, а значит, 06 (см. рис. 3) не является подалгеброй в решетке £(С). Таким образом, £(С) — ортомодулярная решетка.

Теорема доказана.

В СОР-конфигурации {8, Ь, и, V, ш}, показанной на рис. 4,а, замкнуты множества событий 0, {8,Ь,и^,ш}, {8,Ь}, При этом {8,Ь}±сор = и {V,ш}±сор = {8,Ь}. На рис. 4,б

показана ортомодулярная решетка данной СОР-конфигурации.

В приведенной на рис. 5,а СРР-конфигурации г,8,и,х,у замкнутыми являются множества {г}±срр = {и,х,у}, {и}±срр = {г,х}, {х}±срр = {и, Г, 8}, {т,8}±срр = {х,у} и {г, 8,и,х,у}±срр = 0. На рис. 5,б показана ортомодулярная решетка этой СРР-конфи-гурации.

а

а

Г

8

у

Заключение. Для моделей первичных структур событий разработано комбинаторное пространственно-временное представление их поведения в терминах ортомодулярных решеток, что позволяет изучать взаимосвязи базовых отношений (причинной зависимости, параллелизма, конфликта) между событиями параллельных процессов, протекающих в реальных параллельных системах. В дальнейшем предполагается распространить полученные результаты на обобщение первичных структур событий — локальные структуры событий.

Список литературы

1. Petri C. Concurrency as a basis for system thinking / St. Augustin: Gesellschaft fur Mathematik und Detenverarbeitung. ISP-Rep. 1978. V. 78, N 06.

2. Best E. The relative strength of K-density // Lecture Notes Comput. Sci. 1980. V. 84. P. 261-276.

3. Best E. A theorem on the characteristics of non-sequential processes // Fund. Inform. 1980. V. 3. P. 77-94.

4. Fernandez C., Thiagarajan P. S. D-continuous causal nets: A model of non-sequential processes // Theoret. Comput. Sci. 1984. V. 28. P. 171-196.

5. Kummer O., Stehr M.-O. Petri's axioms of concurrency — a selection of recent results // Lecture Notes Comput. Sci. 1997. V. 1248. P. 195-214.

6. Best E., Fernandez C., PlUnnecke H. Concurrent systems and processes. / GMD, Sankt Augustin, FDR. Final Report on the Foundational Part of the Project BEGRUND. FMP-Studien. 1985. V. 107.

7. PlUnnecke H. K-density, N-density and finiteness properties // Lecture Notes Comput. Sci. 1984. V. 188. P. 392-412.

8. Cherkasova L. A., Kotov V. E. Descriptive and analytical process algebras // Lecture Notes Comput. Sci. 1989. V. 424. P. 77-104.

9. Virbitskaite I. Some characteristics of nondeterministic processes // Parallel Proc. Lett. 1993. V. 3, N 1. P. 99-106.

10. Virbitskaite I., Bozhenkova E. Unified characterization of some properties of event structures // RISC-Linz Report Series. 1994. V. 94-48. P. 29-32.

11. Bernardinello L., Pomello L., Rombola S. Closure operators and lattices derived from concurrency in posets and occurrence nets // Fund. Inform. 2010. V. 105, N 3. P. 211-235.

12. Nielsen M., Plotkin G., Winskel G. Petri nets, event structures and domains // Theor. Comput. Sci. 1981. V. 13, N 1. P. 85-108.

13. Nielsen M., Rozenberg G., Thiagarajan P. S. Behavioural notions for elementary net systems // Distributed Comput. 1990. V. 4, N 1. P. 45-57.

14. Winskel G. Events in computation: PhD thesis. Edinburgh, 1980.

15. Darondeau Ph., Degano P. Event structures, causal trees, and refinement // Lecture Notes Comput. Sci. 1990. V. 452. P. 239-245.

16. БиРКГОФ Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

17. Kalmbach G. Orthomodular lattice. N. Y.: Academ. Press, 1983.

Вирбицкайте Ирина Бонавентуровна — д-р физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Института систем информатики СО РАН; e-mail: virb@iis.nsk.su;

Ерофеев Евгений Константинович — магистрант Новосибирского государственного университета; e-mail: eugnke@gmail.com

Дата поступления — 30.01.12 г.