CC BY
33
МАТЕМАТИКА
А. П. БОЩЕНКО (Волгоград)
ОРТОРЕШЕТКИ КОНГРУЭНЦИЙ УНАРОВ
В [1] дано описание унаров - алгебр с одной унарной операцией, решетка конгруэнций которых является решеткой с дополнениями или булевой алгеброй. В работах [2;3] приводятся описания унаров, решетка конгруэнций которых является решеткой с псевдодополнениями и копсевдодополнениями. Ниже дано описание унаров, решетка конгруэнций которых - орторешетка.
Решетка < Ь, л , V ,1, 0, 1) с нулем 0 и единицей 1, а также унарной операцией 1 называется орторешеткой, если для любых а,Ь& Ь выполняются условия
а л а1 = 0; а V а1 = 1; а1 1 = а; (а лЬ)1= а1 V Ь1; (<гvZ))1=дiлЛ1.
Элемент а1 называется ортодополнением элемента а.
Очевидно, что любая орторешетка является решеткой с дополнениями и на ней истинно квазитождество
(ух,у)(х<у -» у1 <х±). (*)
Через Соп1] будем обозначать решетку конгруэнций унара ( и/). Результат п-кратного применения операции Г к элементу х обозначается через Г"(х), при этом предполагается, что Р (х)=х. Унар, порожденный элементом а с определяющим соотношением Г,+' (а)=Г' (а) (5>0, /X)), обозначается через С,' . Унар С® называется циклом длины Л Элемент унара называется циклическим, если подунар, порожденный им, является циклом. Множество всех циклических элементов унара ( и,Г) обозначим через С(и).
Объединение непересекающихся унаров ( А,Г) и < В^) обозначается через А+В, при этом А и В называются компонентами унара А+В. Если унар не представляется в таком виде, то он называется связанным.
Наименьшая конгруэнция, «склеивающая» элементы непустого множества X данного унара, обозначается через <9(Х).
Лемма 1. Если Соп\] - решетка с дополнениями и унар { и,Г) имеет более одной связной компоненты с неодноэлементным циклом, то Сопи не является орторешеткой.
Доказательство. Предположим, что СопМ является орторешеткой. По теореме 1 [1, с. 28] все циклы унара ( и/) имеют одну и ту же длину п (п свободно от квадратов) и Г(х) 6 С(Ц) для любого хеи. Коатомы решетки разобьем на два непересекающихся класса.
I класс - конгруэнции, каждый смежный класс которых содержит элементы каждого цикла унара ( и/).
II класс - конгруэнции вида <9 (X) V в(У), где и=Х+У.
Из квазитождества (*) следует, что ортодополнениями коатомов решетки Соп\] являются ее атомы, и только они.
Пусть унар ( и/) содержит элементы а^Ь такие, что Т(а)=Т(Ь). Рассмотрим конгруэнцию а = в{а,Ь). Она является атомом решетки Соп\] и, очевидно, а 1 = Р -конгруэнция класса I.
С другой стороны, а < у для любой конгруэнции у класса I. Следовательно, Р = а V Р = а ч а 1=\. Равенство /? = 1 противоречит тому, что р - коатом.
Таким образом, все связанные компоненты унара ( и,Г) являются неодноэлементными циклами длины п, где п свободно от квадратов. Возможны такие случаи:
1) п - составное число. Рассмотрим атом 8 = в(а,Ь) решетки Сопи, где офЬ -элементы, принадлежащие одному циклу унара ( и,Г). Тогда 8 1 - конгруэнция класса I. В решетке Соп\] найдется конгруэнция М из класса II такая, что 3 < М ■ Имеем равенства 1 —0 х =( <5 1 л I1)1 = 8 1 1 V М 1 = 8 у ^ 1. Заметим, что конгруэн-
ция Ц 1 имеет вид в(х,у), где х,у - элементы различных компонент унара { и,Г). Так как п - составное число, то конгруэнция 8 не «склеивает» все элементы цикла, порожденного элементом а. Следовательно, равенство 8 V /<1=1 невозможно.
2) п - простое число. Тогда конгруэнция 8 , введенная выше, «склеивает» все элементы цикла, порожденного элементом а. Ортодополнением 8 является конгруэнция вида 6*(Х), где X - минимальное множество порождающих унара ( и,0. Следовательно, если зафиксировать элемент и унара ( и,Г), то каждому минимальному порождающему множеству (содержащему элемент и) соответствует атом решетки СопМ -ортодополнение конгруэнции, определенной этим множеством. Непосредственной проверкой устанавливается, что это соответствие не может быть взаимно однозначным.
Таким образом, решетка Соп\} не является орторешеткой.
Лемма 2. Если Соп\} - решетка с дополнениями и связанный унар и/ имеет более одного нециклического элемента, то СопМ не является орторешеткой.
Доказательство. Предположим, что Соя и является орторешеткой. Пусть а, Ь - различные нециклические элементы унара ( и,О. Возможны такие случаи.
1) Г(а)=Д6). Рассмотрим конгруэнцию а = в(а,Ь). Ортодополнением а является одна из двух конгруэнций: Р , - «склеивающая» все элементы унара, кроме элемента а; Р , - «склеивающая» все элементы унара, кроме элемента Ъ. Среди этих же конгруэнций находятся ортодополнения конгруэнций а , = О (а, с) и а 2 = в(Ь,с), где с - циклический элемент унара такой, что Г(с)=Г(а). Получили противоречие.
2) Г(о)*Дй). Рассмотрим конгруэнции а = 6{а,Ь), р = в (\]\{а,Ь}), у-ач р, £ = #(и\{а}), <т = в (и\{6}), а =(а,с), -(Ь,с1), где с,й - циклические элементы унара такие, что Г(с)=Г(а) и ((сГ)=ЦЬ). Конгруэнции у, 5, а являются коатомами в решетке Сопи, ортодополнения которых лежат в множестве {а, ,а,}. Получили противоречие. Следовательно, Сопи не является орторешеткой.
Лемма 3. Если Соп\3 - решетка с дополнениями и унар и,Г имеет более двух компонент, множества циклических элементов которых одноэлементны, то Сопи не является орторешеткой.
Доказательство. Пусть и=А+В+0, где С(А) и С(В) - одноэлементные циклы. Предположим, что Со«и является орторешеткой. По теореме 1 [1, с. 28] циклическая часть любой связанной компоненты подунара О,Г одноэлементная. Разобьем множество всех коатомов решетки Соп\] (так же, как в лемме 1) на два непересекающихся класса. Если любой элемент данного унара циклический, то класс I будет пустым. В противном случае, любая конгруэнция из класса I «склеивает» все элементы унара и,Г, кроме одного нециклического элемента.
Если класс I - пустой, то решетка СопИ изоморфна решетке разбиений множества, содержащего более двух элементов, и поэтому не является орторешеткой.
Если класс I - непустой, то между атомами этой решетки и ее коатомами не может быть установлено взаимно однозначное соответствие, поскольку каждый коатом класса I имеет единственное дополнение во множестве атомов. Взаимно однозначное соответствие между остальными атомами и коатомами класса II не может быть установлено по причинам, изложенным в предыдущем абзаце. Следовательно, Соп\] не является орторешеткой.
Теорема. Решетка СопМ конгруэнций унара ( и,Г) является орторешеткой тогда и только тогда, когда ( и,Г) - подунар одного из унаров: С|’+ СС^ , где п свободно от
квадратов.
Необходимость. Если унар( и/) связанный, то по теореме 1 [1, с. 28] он либо является подунаром унара С [, либо его цикл имеет длину п (п свободно от квадратов) и Дх)еС(и) для любого хеи. Из леммы 2 следует, что он имеет вид С* (^<1), где п свободно от квадратов. Если унар не является связанным, то (по леммам 2 и 3) имеет только две компоненты, циклы которых одноэлементны. Поскольку решетки конгруэнций унаров такого вида устроены достаточно просто, то прямая проверка показывает, что эти унары являются только подунарами унара С"+ С [.
Достаточность. Из теоремы 2 [1, с. 39] и того факта, что любая булева решетка является орторешеткой, следует, что решетки конгруэнций подунаров унаров С°+ С[; С П{п свободно от квадратов) являются орторешетками.
Следствие 1. Решетка Соп\J конгруэнций у пара (и/) является орторешеткой тогда и только тогда, когда она булева.
Орторешетка ( Ь, а , V ,1, 0, 1 ) называется ортомодулярной решеткой, если для любых а,Ье Ь из условия а<Ь следует ау(а1 д Ь) = Ь.
Следствие 2. Решетка СопМ конгруэнций унара { и/) является ортомодулярной тогда и только тогда, когда СопМ булева.
Следствие 3. Класс орторешеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров, совпадает с классом булевых решеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров.
Литература
1. Егорова, Д.П. О структуре конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова, Л.А. Скорняков // Упорядоченные множества и решетки: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. Вып.З. С. 28-40.
2. Бощенко, А. П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров/ А.П. Бощенко // Алгебраические системы: межвуз. сб. науч. работ. Волгоград, 1989. С. 23-36.
3. Бощенко, А.П. О копсевдодополнениях в решетках конгруэнций унаров / А.П. Бощенко // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. Междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 39-44.
В. Л. УСОЛЬЦЕВ (Волгоград)
О ПОДПРЯМО НЕРАЗЛОЖИМЫХ УНАРАХ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
Унаром с мальцевской операцией [1] называется алгебра (А,/р) с унарной операцией /" и тернарной операцией р, на которой истинны тождества
р(х,у, у) = р(у,у,х) = х, (1)
/( р( х, у ,2 )) = р(/( х)4 (у),/( г)). (2)
В работе В.К.Карташова [1] доказано, что на любом унаре (А/) можно ввести тернарную операцию р так, что алгебра (А, /, р) становится унаром с мальцевской операцией. Требуемая операция р определяется в [1] следующим образом: пусть (А,/) -произвольный унар, х.уеА, N - множество натуральных чисел, N(,=N^/0,*. Положим Мх,. =/ие'Ы01/"(х) = /"(у)}, а также к(х,у) = ттМХА. если Мхгф0 и к(х,у) = оо, если Мху=0.
Положим далее
(г, если к(х,у)<к(у,г) р(х, V, :) = < ПЧ
[х.'если к(х,у) > к(у, г). ' '
В дальнейшем подразумевается, что операция р определена указанным способом, а основные определения и обозначения, связанные с унарами, используются в соответствии с [2] и [3]. Напомним некоторые из них.
Через СопА обозначается решетка конгруэнций алгебры А , через V и А - ее единичная и нулевая конгруэнции соответственно. Через аб обозначается класс конгруэнции 0, порожденный элементом а.
Если х - периодический элемент унара (А,/), то наименьшее из чисел ?, для которых (х) = (,+"(х) при некоторых п>0, называется глубиной элемента х и обозначается через к(х). Наибольшая из глубин элементов называется глубиной унара. Понятие узлового элемента унара трактуется несколько шире, чем в [2]; элемент а называется узловым, если найдутся такие несовпадающие элементы Ь,с, отличные от а, что /(Ь) = а = Г (с).
Пусть X *0, а $ X. Обозначим В = Хи{а}. Определим на В операцию ( как [(х)=а для любого хеВ. Обозначим полученный унар через Vх .
