Построение ортогонального дерева Штейнера модифицированным методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Емел ичев В А., Мельников (ХМ., Сарванов В. И.,Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 384с.

2. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М.: ОГИЗ. 1947.

3. Кудин ЗА. Некоторые малоизвестные факты из геометрии треугольника.

4. Файзуллин Р.Т. Радиоэхо с длительными задержками: новый подход к проблеме. Омский государственный университет.

УДК 621.396

В.В. Курейчик, Р.С. Калашников

ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ДЕРЕВА ШТЕЙНЕРА МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ

.

при решении оптимизационных задач. Они способны не только решать и сокращать перебор в сложных задачах, но и легко адаптироваться к изменению проблемы [1]. Генетический алгоритм - это простая модель эволюции в природе, реализованная в виде компьютерной программы. В нем используются как аналог механизма генетического наследования, так и аналог естественного отбора. При этом сохраняется биологическая терминология в упрощенном виде. Структура генетического алгоритма сводится к следующим этапам [1]:

1. . -ся из произвольно выбранных альтернативных решений (хромосом). Это отличается от стандартных методов, когда начальное состояние всегда одно и то же.

2. ( ).

( ) , целевой функции.

3. . , , -

ходят в потомки (которые затем могут мутировать) с большей вероятностью. Потомок - это результат обмена частями в родительских хромосомах. Этот процесс называется «кроссинговер».

4. Следующее поколение. Если новое поколение содержит решение, достаточно близкое к ответу, то задача решена. В противоположном случае процесс продолжается итерационно до достижения заданного значения целевой функции.

Важными оптимизационными задачами на графах являются задачи построения кратчайших связывающих деревьев. Для минимизации суммарной длины ребер графа в кратчайших связывающих деревьях предложено при соединении множества деревьев использовать дополнительные точки (вершины). Задачу построения минимального дерева при помощи введения дополнительных точек называют задачей Штейнера. Задача Штейнера является КР-полной. Поэтому является целесообразным использование генетических алгоритмов для решения указанной задачи.

Описание генетического алгоритма построения дерева Штейнера.

Предлагается комбинированный эвристический алгоритм построения дерева , , триангуляции, и модифицированный точечный оператор кроссинговера.

Основной сложностью применения генетических алгоритмов для построения прямолинейных деревьев Штейнера является оптимальное кодирование хромосом в популяции. Предлагаемый автором метод кодирования состоит в следующем. Данное множество вершин в ортогональной плоскости разбивается на триады [4] в соответствии с расположением вершин на координатной плоскости. Далее происходит построение деревьев Штейнера для каждой из триад методом горизонтальных или вертикальных столбов (метод определяется случайным образом). Ген в хромосоме будет содержать информацию об одной из триад: номера вершин, вид столба (горизонтальный/вертикальный) и номер вершины, через которую проходит столб. Хромосома, соответствующая дереву Штейнера на рис.1 будет выглядеть следующим образом:

Р11 = (123Я2)(345Г5)(567Я6)

Так, случайным образом получим популяцию из четырех хромосом. На следующем этапе проводим отбор. Две хромосомы, имеющие наименьшее значение целевой функции (суммарной длины ребер) будут участвовать в воспроизводстве .

, -

ный точечный оператор кроссинговера. Получение потомков получается путем замены одного из генов родителей (например, третий ген первого родителя становится на место третьего гена второго родителя, а тот в свою очередь на место первого родителя, в результате, получив двух потомков).

Из полученной популяции, состоящей из двух хромосом, производится отбор хромосомы имеющей наименьшее значение целевой функции. В результате получим решение задачи Штейнера в ортогональной метрике. Временная сложность алгоритма 0(п2).

Пример работы алгоритма. Пусть дано множеств о вершин в ортогональ-.

триады дерево Штейнера способом описанным выше. Процедуру повторим четыре раза. В результате получим популяцию Р1 = {Р11, Р21, Р31, р1}, каждый элемент

( .2-5).

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Кодирование каждой хромосомы в популяции проведем способом описанным выше. Выберем в качестве элитных хромосом (критерий Б—>шіп) первый и

Р 1 . -

дифицированный оператор кроссинговера на отобранных хромосомах.

Р1 = (123В2)(345Г5)(567Г6) р1 = (123Г2)(345Г4)(567В6)

Р2 = (12352)(345Г4)(567Г6)

Р22 = (123Г2)(345Г5)(56756)

В результате работы кроссинговера получим деревья Штейнера (рис.6,7).

Рис.6

Рис.7

Из полученной популяции Р2, состоящей из двух хромосом, проведем отбор хромосомы имеющей наименьшее значение целевой функции. Таким образом,

результатом работы алгоритма является дерево Штейнера с суммарным весом ребер Б=13 (см. рис.7).

Заключение. Предложен генетический алгоритм построения дерева Штейнера в ортогональной метрике объединяющий в себе методы триангуляции и модифицированный точечный оператор кроссинговера Основной сложностью применения генетических алгоритмов для построения ортогональных деревьев Штейнера является оптимальное кодирование и выбор эффективных генетических операторов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кантор КА. Введение в ГА и Генетическое Программирование. Шр://а^оИ51тапиа1. ш/а^а/шИо.рЬр

2. Курейчик В.В. Эволюционные методы решения оптимизационных задач: Монография. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. - 95с.

3. Куре йчик В.М. Генетические алгоритмы и их применение. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, издание второе, дополненное, 2002. - 242с.

4. Кристофидес Н. Теория графов. - М.: Мир, 1978. - 432с.

УДК: 621.315; 539.2

СВ. Арзуманян, АХ. Захаров, А.Б. Колпачев, НА. Мисюра

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО СТРОЕНИЯ ГЕТЕРОСТРУКТУР КРЕМНИЙ-МЕТАЛЛ-КРЕМНИЙ ДЛЯ САПР ПЕРСПЕКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

Современное производство интегральных микросхем невозможно представить без систем автоматизированного проектирования (САПР). В последние годы особое развитие получили САПР электрофизических характеристик полупроводниковых структур и элементов СБИС. Это обусловлено сложностью протекающих физических процессов, их многомерностью, нестационарным и неравновесным характером. Кроме ,

электрофизическими характеристиками элементов ИС и технологическими режимами их изготовления. Согласно общепринятой методологии подсистема проектирования элементов занимает нижний уровень иерархической САПР СБИС [1]. Этот уровень иерархии покрывает задачи проектирования новой элементной базы, включая разработку приборов с учетом новых физических принципов.

В настоящее время основными объектами исследования все большей степени становятся тонкие пленки, многослойные гетерогенные наноструктуры, а также квантовые нити и точки. В таких системах наблюдается изменение большинства электронных свойств, объясняемое законами квантовой механики. При этом существенно меняется наиболее фундаментальная характеристика электронной системы - ее энергетический спектр. Гетерогенные наноструктуры могут служить основой для создания как новых дискретных полупроводниковых приборов, так и активных элементов наноэлектроники [2,3]. Тонкие слои (от моноатомного до нескольких атомных слоев) переходных металлов (титан, никель, хром, вольфрам, и др.) и их силицидов используются как для создания перспективных активных элементов сверхскоростных ИС, в частности, транзистора с металлической (проницаемой) базой, так и для формирования соединительных проводников в элементах экстремальной электроники.