ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА НА ОСНОВЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

https://doi.org/10.38013/2542-0542-2020-4-95-100 УДК 004.932

Построение ортогонального базиса на основе псевдослучайных последовательностей

Г. В. Светлов1, Н. А. Суменков1, Б. В. Костров1, Н. Н. Гринченко1, Е. А. Трушина2

1 Акционерное общество «Рязанское производственно-техническое предприятие «Гоанит», Рязань, Российская Федерация

2 Рязанский государственный радиотехнический университет, Рязань, Российская Федерация

Рассмотрен процесс построения ортогонального преобразования на основе псевдослучайных последовательностей в целях обеспечения помехоустойчивого кодирования. Данный подход позволяет гарантировать отсутствие перегрузок в канале и решить задачу ограничения доступа в конфиденциальных системах.

Ключевые слова: псевдослучайная последовательность, ортогональный базис, помехоустойчивое кодирование, системы цифровой передачи информации

Для цитирования: Светлов Г. В., Суменков Н. А., Костров Б. В., Гринченко Н. Н., Трушина Е. А. Построение ортогонального базиса на основе псевдослучайных последовательностей // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2020. № 4. С. 95-100. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2020-4-95-100

For citation: Sumenkov N. A., Kostrov B. V., Grinchenko N. N., Trushina E. A. Construction of an orthogonal basis based on pseudorandom sequences // Vestnik Koncerna VKO "Almaz - Antey". 2020. No. 4. P. 95-100. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2020-4-95-100

Поступила 24.11.2020 Отрецензирована 04.12.2020 Одобрена 04.12.2020 Опубликована 30.12.2020

Задача обеспечения помехоустойчивого кодирования в системах цифровой передачи информации остается и будет еще долго оставаться весьма актуальной. Снижение вероятности передачи ошибочных бит позволяет снижать мощности передающих устройств, уменьшать габариты систем. Особенно это актуально в системах, допускающих определенную вероятность ошибки передачи, не влияющую на потребительское качество получаемой информации. В системах передачи изображений [1-3], например, можно допустить определенные искажения, не влияющие на их восприятие. В таких системах применяют протоколы сжатия и помехоустойчивое кодирование на основе ортогональных преобразований

© Светлов Г. В., Суменков Н. А., Костров Б. В., Гринченко Н. Н., Трушина Е. А., 2020

с кусочно-постоянными базисными функциями [4-6]. Несмотря на простоту и понятность использования таких преобразований, они обладают и рядом недостатков. В качестве основного можно привести неравномерное распределение энергии по базису преобразования, что приводит к существенным пульсациям энергии в канале передачи.

В данной работе предлагается построить ортогональное преобразование на основе псевдослучайных последовательностей (далее -ПСП), порождаемых регистром сдвига с линейной обратной связью. Случайность смены состояний (шумоподобность) в таких последовательностях гарантирует отсутствие резких перепадов мощности на интервале преобразо- —

га

вания и позволит гарантировать отсутствие | перегрузок в канале. Кроме того, применение § такого подхода может решить задачу ограни- ^ чения доступа в конфиденциальных системах.

0

о см о см

< I

со та

г |

о ^

со

о.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

Исходной информацией для построения ПСП является образующий многочлен

N _

М(х) = £ягхг', (1)

1=1

где ан, а1 = 1; аг е {0,1}; N - число разрядов регистра сдвига.

Образующий многочлен должен быть неприводимым и примитивным. Среди множества полиномов, отвечающих этим требованиям, наиболее удобны полиномы, имеющие наименьшее число нулевых членов, что обеспечивает минимальную конфигурацию формирователя ПСП с наименьшим числом суммирований по модулю два в обратных связях. При этом необходимо, чтобы полином задавал начальное состояние (а1 = 1) в младшем разряде, в противном случае образуется нулевая последовательность.

Любому образующему полиному можно поставить в соответствие генератор Фибоначчи [7]

' N

+ =

¿=1

G(k +1) = ¥ • G(k ),

где Ч* =

«1 а2

1 0 . . 0 0

0 1 . . 0 0

0 0 . . 1 0

0 1 Г

1 0 0 • 82 (*)

0 1 0

(2)

gi(k + l) = gj-Mj = 2,N,

где gi(t) - состояние /-го разряда регистра сдвига на такте к; / = 1, N k = 1, 2N - 1.

В матричном виде алгоритм формирования последовательности будет

(3)

Рассмотрим пример.

М(х) = х3 + х2 +1. В соответствии с (2) можно записать:

gl(к +1) = ^^к) + а^(к) + ^з(к);

g2(k +1) = gl(кУ; (4)

gз(k +1) = g2(k).

Или в матричном виде:

(5)

Таблица состояний разрядов регистра, построенная в соответствии с (4) и (5), приведена ниже.

Как видно из таблицы, полный цикл последовательности состоит из 8 тактов, 7 из которых не повторяются, 8-й такт является началом нового периода. ПСП снимается с разряда g3. Ее период равен 2N - 1, N - число разрядов.

Рассмотренные последовательности обладают следующими свойствами.

1. Период ПСП, формируемый в соответствии с образующим полиномом М(х), равен

М = 21 - 1. (6)

2. Для заданного М(х) существует М различных ПСП, полученных путем цикличного сдвига исходной последовательности.

3. Число единичных символов на периоде ПСП равно 21 - 1, а нулевых 21 - 1 - 1.

4. В ПСП серии из одного символа раз, из двух одинаковых символов - 21 - 3 раз и так далее. Серии из N - 1 нулей и N единиц присутствуют только один раз.

5. Автокорреляционная функция полученной последовательности определяется выражением:

Таблица

встречаются 2N

Состояния разрядов регистра сдвига

k gl g2 gз

1 1 0 0

2 0 1 0

3 1 0 1

4 1 1 0

5 1 1 1

6 0 1 1

7 0 0 1

8 1 0 0

RM{r)=

fl, при z - 0; [- 1/М, при т 0.

(7)

6. Децимация последовательности по четному индексу ] = М - 1 приводит к инверсии исходной последовательности, которая соответствует последовательности, порождаемой полиномом М~1(х), обратным М(х). {Ь= {с_г}, где Ь, - инверсная ПСП, с - прямая.

Рассмотренные ПСП принято называть последовательностями максимального периода, или М-последовательностями.

Количество различных полиномов М(х) порождающих М-последовательность, зависит от ее периода М = 2п - 1. Оно быстро возрастает с увеличением п. Для п = 8 количество порождающих полиномов равно 16 [8]. Конкретный вид получаемой последовательности будет зависеть еще и от начальных условий, заданных для инициализации формирования последовательности. При п = 8 количество начальных условий равно 255. Таким образом, при заданном п = 8 количество разновидностей М-последовательностей составляет 16 (2п - 1) ~ 4000. С увеличением п это число быстро возрастает (при п = 10, например, до 60 000).

Таким образом, используя механизм формирования [7] последовательностей максимального периода, можно построить достаточно большое количество ортогональных преобразований, которые можно использовать для преобразования сигналов при передаче их по каналам связи [9].

Рассмотрим процесс формирования матрицы преобразования. Как следует из свойства 2, необходимое количество строк матрицы может быть получено путем цикличного сдвига исходной последовательности. Количество строк в такой матрице будет равно периоду М = 2п - 1, и матрица будет иметь размер М* М. Все строки и столбцы данной матрицы будут представлять собой М-последовательности. Пример формирования такой матрицы представлен на рисунке 1а. Данная матрица обладает свойством симметричности строк и столбцов в соответствии со свойством 5. Автокорреляционная функция при совпадающих строках и столбцах равна 1. Однако при несовпадении строк и столбцов значение автокорреляционной функции равно -1/М. Результат произведения матрицы М на Мт, где Мт - транспонированная матрица, приведен на рисунке 1б. Результат умножения не является единичной матрицей, что не соответствует признакам ортогонального преобразования.

Для выполнения условий ортогональности необходимо:

- выровнять количество нулевых и единичных символов на периоде ПСП, сделав его равным 2п - 1;

- внести знакопеременность в ПСП для обеспечения нулевой постоянной составляющей в строках и столбцах матрицы.

Сформированная таким образом матрица преобразования М0 и соответствующее ей произведение на транспонированную М^ приведены на рисунке 2.

м =

0 0 1 0 1 1 1 "7-1-1 -1

0 1 0 1 1 1 0 -1 7 -1 -1

1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 7 -1

0 1 1 1 0 0 1 ; М Мт = -1 -1 -1 7

1 1 1 0 0 1 0 -1 -1 -1 -1

1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1

-1 -

-1 -

-1 -

7 --1

7 -

аб Рис. 1. Матрица получения сдвигом влево последовательности при М(х) = х3 + х2 +1 и начальном состоянии 100(4) (а) и результат умножения на транспонированную матрицу (б)

те

<я

г ф

о ем о ем

М§

Мп МоТ - -и и 8

8 0 0 0 0 0 0 0

0 8 0 0 0 0 0 0

0 0 8 0 0 0 0 0

0 0 0 8 0 0 0 0

0 0 0 0 8 0 0 0

0 0 0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 0 0 8 0

0 0 0 0 0 0 0 8

а б

Рис. 2. Ортогональная матрица, соответствующая М(х) = х3 + х2 +1 и начальному состоянию 100(4) (а),

и результат умножения М0-Мо (б)

■'. '-лН'^'-,-: ■ ад1? ■ 'Ч. .й^Д1^^'! У

\-У-\.. -к

г/А - —л _ .-• '

а б в

Рис. 3. Использование ортогонального преобразования для передачи спутникового изображения по каналу с шумами: исходное изображение (а), результат воздействия шумов (СКО = 40) при передаче без преобразования (б)

и результат передачи с преобразованием (СКО = 2,55) (в)

ф н

X <

1

«

п

2

с; <

О т

а

ф

о

н

о ф

т

ем ^

ю о

ем ^

ю ем

(О (О

Как видно из рисунка 2, матрица МЦ, построенная для примера, приведенного выше, соответствует требованиям ортогональности и может быть использована для преобразования сигналов. Количество таких матриц зависит от необходимого числа п и соответствует количеству М-последовательностей, которые могут быть построены на основе разнообразных образующих полиномов. В общем случае можно записать пару преобразования:

| = МцВ" - прямое преобразование; I В° = Р"МдТ - обратное преобразование,

(8)

где Р - матрица (матрица-строка) коэффициентов преобразования сигнала; В; - матрица (матрица-столбец) сигнала; МПТ - транспонированная матрица преобразования.

На рисунке 3 представлен результат использования данного подхода для моделирования процесса передачи спутниковых изображений [10-12] по каналу связи. Образующий полином М(х) = х7 + х5 + х4 + х3 +1, начальное состояние 10101101(173). В качестве сигнальной матрицы ВП выступает матрица яркостей изображения. Поскольку матрица М0 - симметричная, то в операции транспонирования необходимости нет.

Б; = МП ВП; в; р; = Б; МПТ

(9)

Приведенный пример показывает, что применение шумоподобных ортогональных преобразований имеет перспективу для построения систем помехоустойчивого кодирования и защиты информации в конфиденциальных системах.

Список литературы

1. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде МАТЬАВ. М.: Техносфера, 2006. 616 с.

2. Злобин В. К., Костров Б. В., Саблина В. А. Место и роль методов секвентного анализа в обработке аэрокосмических изображений // Радиотехника. 2012. № 3. С. 64-72.

3. Костров Б. В., Саблина В. А. Адаптивная фильтрация изображений со структурными искажениями // Цифровая обработка сигналов. 2008. № 4. С. 49-53.

4. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов / под ред. И. Б. Фоменко. М.: Связь, 1980. 248 с.

5. Злобин В. К., Костров Б. В., Свирина А. Г. Спектральный анализ изображений в конечных базисах. М.: КУРС: ИНФРА, 2016. 172 с.

6. Костров Б. В., Бастрычкин А. С. Сжатие изображений на основе ортогональных преобразований // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 9. С. 113-118.

7. Гарифуллина З. Р., Иванов М. А., Рябков В. Е., Чугунков И. В. Способ формирования нелинейных М-последовательностей //

Безопасность информационных технологий. 2011. № 2. С. 31-36.

8. Захаров И. Д., Ожиганов А. А. Использование порождающих полиномов М-после-довательностей при построении псевдослучайных кодовых шкал // Известия вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54. №. 6. С. 49-55.

9. Костров Б. В., Соломенцева Н. И. Моделирование канала связи // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 2. С. 95-100.

10. Костров Б. В. Особенности формирования аэрокосмических изображений радиотехническими системами // Проектирование и технология электронных средств. 2011. № 1. С. 4143.

11. Костров Б. В., Гринченко Н. Н., Степанов Д. С., Упакова А. Г. Алгоритм передачи изображения с восстановлением постоянной составляющей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 244-249.

12. Костров Б. В., Упакова А. Г. Квазидвумерная фильтрация синхронных помех на изображении // Проектирование и технология электронных средств. 2012. № 1. С. 32-35.

Об авторах

Светлов Геннадий Валентинович - кандидат экономических наук, генеральный директор Акционерного общества «Рязанское производственно-техническое предприятие «Гранит», Рязань, Российская Федерация. Область научных интересов: системы повышения качества разработки и эксплуатации сложных систем.

Суменков Николай Александрович - доктор технических наук, заместитель генерального директора - главный инженер Акционерного общества «Рязанское производственно-техническое предприятие «Гранит», Рязань, Российская Федерация

Область научных интересов: эксплуатация сложных радиотехнических комплексов.

Костров Борис Васильевич - доктор технических наук, профессор, заместитель начальника отдела автоматизированной системы управления Акционерного общества «Рязанское производственно-техническое предприятие «Гранит», Рязань, Российская Федерация.

Область научных интересов: обработка изображений, искусственный интеллект, информационные технологии.

Гринченко Наталья Николаевна - кандидат технических наук, доцент, ведущий инженер-программист КБ «Сигма» Акционерного общества «Рязанское производственно-техническое предприятие «Гранит», Рязань, Российская Федерация. Область научных интересов: обработка изображений, искусственный интеллект, информационные технологии.

Трушина Евгения Александровна - аспирант Рязанского государственного радиотехнического университета,

Рязань, Российская Федерация. |

Область научных интересов: применение информационных технологий и мультимедийных систем в обработке й

изображений. Е.

те

те

0

| MaTeMaTMKa |

Construction of an orthogonal basis based on pseudorandom sequences

Svetlov G. V.1, Sumenkov N. A.1, Kostrov B. V.1, Grinchenko N. N.1, Trushina E. A.2

1 Ryazan Industrial and Technical Enterprise 'Granit', Ryazan, Russian Federation

2 Ryazan State Radio Engineering University, Ryazan, Russian Federation

In this paper, we consider an approach to constructing an orthogonal transform based on pseudorandom sequences with the purpose of providing noiseless coding. This approach ensures the absence of congestion in the channel thus allowing the problem of restricted access in confidential systems to be solved.

Keywords: pseudorandom sequence, orthogonal basis, noiseless coding, digital information transmission systems

Information about the authors

Svetlov Gennady Valentinovich - Cand. Sci. (Economics), General Director, JSC Ryazan Industrial and Technical Enterprise 'Granit', Ryazan, Russian Federation

Sumenkov Nikolay Aleksandrovich - Dr. Sci. (Engineering), Deputy General Director, Chief Engineer, JSC Ryazan Industrial and Technical Enterprise 'Granit', Ryazan, Russian Federation Research interests: operation of complex radio engineering systems.

Kostrov Boris Vasilievich - Dr. Sci. (Engineering), Professor, Deputy Head, Automated Control System Department, JSC Ryazan Industrial and Technical Enterprise 'Granit', Ryazan, Russian Federation. Research interests: image processing, artificial intelligence, information technologies

o

CM

o

CM

Grinchenko Natalya Nikolaevna - Cand. Sci. (Engineering), Assoc. Prof., Leading Software Engineer, Sigma Design Bureau, JSC Ryazan Industrial and Technical Enterprise 'Granit', Ryazan, Russian Federation. Research interests: application of information technologies and multimedia systems in image processing

Trushina Evgeniya Aleksandrovna - Postgraduate Researcher, Ryazan State Radio Engineering University, Ryazan, Russian Federation.

Research interests: application of information technologies and multimedia systems in image processing.

< i

(0 TO

5

O CÛ

Q.

V

O

o

V CQ

CM ■Clio 9

CM ■Clio

CM

w w