CC BY
16Построение кубического сплайна для сигналов измеренных
в неравных интервалах
Х.Н.Зайнидинов1, Б.Р.Азимов2
1Ташкентский университет информационных технологий 2Андижанский государственный университет
Аннотация. Эта статья посвящена построению сплайн-моделей для сигналов, измеренных в неравномерных интервалах. При проведении научных исследований и испытаний, при автоматизированной обработке результатов измерений в вычислительных системах и комплексах вследствие трудностей единого аналитического описания функциональных зависимостей большой размерности естественным образом возникает подход, использующий разбиение областей на сегменты и кусочное описание моделей сигналов. Проблемы выявления реальных зависимостей усложняются, если информация неполная, сильно искажена помехами, функции определены в неравномерных интервалах или носят многоэкстремальный характер и т.д. Сплайны как класс кусочных функций вследствие универсальности алгоритмов обработки отсчетов, хороших дифференциальных и экстремальных свойств, высокой сходимости оценок приближений, простоты вычислений форм и параметров, слабого влияния ошибок округления находят все более широкое применение при создании аппаратных и программных средств анализа и восстановления одномерных и многомерных сигналов, расширяя рамки традиционных подходов. Кубические сплайн-модели, построенные для неравномерных интервалов, имеют высокую точность интерполяции сигналов, что позволяет профессионалам принимать обоснованные и точные решения в результате цифровой обработки таких сигналов. В качестве примера была построена интерполяционная модель кубического сплайна для цифровой обработки геофизических сигналов, измеренных в неравномерных интервалах. Представлен алгоритм решения системы линейных уравнений для определения параметров интерполяционного кубического сплайна. В статье также представлены результаты сравнения методов прогонки и Гаусса по количеству требуемых арифметических операций для решения систем уравнений.
Ключевые слова: геофизический сигнал, сейсмический сигнал, магниторазведка, гравиразведка, сплайн-функция, кубический сплайн, интерполяция, неравный интервал, классический полином, коэффициенты.
Введение
Во многих геофизических исследованиях усилия учёных направлены на поиски надёжных предвестников месторождений полезных ископаемых и сейсмической опасности. Предвестниками называются скачкообразные изменения, выбросы или аномалии в том или другом параметре, с помощью которых можно осуществить принцип прогнозирования - предсказание месторождения и количество полезных ископаемых, а также места, силы и времени будущего сейсмического события. Предвестниками могут служить аномальные изменения электромагнитного, гравитационного полей, аномальные возмущения в ионосфере, сейсмические шумы, различные акустические колебания и другие [1, 6, 14, 15].
В последние годы предложены десятки новых методов прогнозирования полезных ископаемых и сейсмических событий. Результаты, полученные этими методами, совершенно необходимы и для понимания физических процессов, приводящих к сейсмическому событию и сопровождающих его, для построения физических и математических моделей взаимосвязи протекающих процессов, нужных для практического воплощения принципов
прогнозирования [4, 6, 12, 16].
Магниторазведкой называется метод исследования строения земной коры, поисков и разведки полезных ископаемых, изучающих
распределение в пространстве изменений магнитного поля, возникающих вследствие неодинаковой намагниченности различных горных пород.
Одним из методов магнитной разведки является аэромагнитная съемка. Аэромагнитной съемкой (АМС) называются измерения напряженности магнитного поля Земли с летящего самолета или вертолета. Результаты этих измерений используются для геологического изучения земной коры и поисков полезных ископаемых. Основным преимуществом АМС по сравнению с наземной является ее высокая производительность.
В процессе проведения площадных съемок самолет пролетает над заданной территорией через равные расстояния (например, 30-50 м) и с помощью магнитометра измеряет магнитные явления. Если измеряемая земля является неровной (горы, высокие холмы), то измерения будут неравномерными [5,12,13].
Широкая популярность сплайн-методов в задачах анализа и обработки сейсмических и геофизических сигналов объясняется тем, что они служат универсальным инструментом приближения и по сравнению с другими математическими методами при равных с ними информационных и аппаратных затратах обеспечивают большую точность [1, 2, 3, 4].
1. Постановка задачи
Мы знаем, что функция /(х), которая соответствует функции /(х), и что , функция
5" (х), которая проходит через узлы, считается
интерполированным кубическим сплайном и отвечает следующим условиям [2, 4, 5]:
1) на каждом сегменте \х,, х ^ ] ( = 0, п) функция 5 (х) является многочленом третьей степени;
2) функция 5(х), а также ее первая и вторая производные непрерывны на интервале [а, Ь];
3) 5(х,) = /(х,), , = 0, п .
Последнее условие называется условием интерполяции, а функция, удовлетворяющая условиям 1-3, называется также интерполяционным кубическим сплайном [11, 8].
Мы рассмотрим построение сплайн-модели на основе указанных условий. Основным преимуществом сплайнов по сравнению с классическими полиномами является локальность сплайнов, то есть построение сплайна между двумя узлами. Мы можем видеть это на Рис. 1.
slm(x)
Х1 Х2 V, Хп_1 Хп
Рис.1. Вид неровных интервалов при построении (х) кубического сплайна
Итак, рассмотрим построение конструкции кубической сплайн-функции 5, ,+1 (х), как показано
на Рис. 1.
На каждом из отрезков \х,, х+1 ] ( = 1, п -1), будем искать функцию 5(х) = 5, (х) в виде многочлена третьей степени
Ci 2
Sj (x) = Qj + bj (x — Xj ) + — (x — Xj ) +
+ (x — X ) 6 1
x-_[ < x < xj,i = 1,2,...,N,
(1)
Здесь а,, Ь,, с,, - коэффициенты, подлежащие определению.
2. Метод решения
Эти коэффициенты определяются следующим образом.
d 7 5 (х) = Ь, + с, (х - х,) + (х - х, У ,
(х) = с 1 + ¿1 (х - х1) 5¡ (х) = ¿1 Запишем коэффициенты на основе предыдущего
а = 5 ,(х\ Ь, = 5 (хX с = 5'(хX = 5 (х).
Мы 5(х{) = /(х,), , = 1,2,■■■,N, согласно условию интерполяции,
а, = / (х,), , = 1,2,..., N. определим коэффициенты а0 = / (х0).
Кроме этого, мы запишем непрерывность функции следующим образом:
5, (х,) = 5,+1 (х ,), , = 1,2,..., N -1.
Следовательно, учитывая выражения для кубического сплайна 5(х), уравнения
, = 1,2,..., N -1 выражаются следующим образом:
ci+1
Л
а , = а,+1 + Ь,+1(х, - х,+1) + —(х, - х+) +
^ ¿1+1, л3
+—(х ,- х,+1)
Если мы обозначим — х- хг-1, общим
случаем получим уравнение (2).
2 3
к
-ус, + ^¿1 = А - Г-1> , = N (2)
6
Теперь запишем условие непрерывности для производной первого порядка
5', х ) = 5',+1( х,), , = 1,2,..., N -1 После вышеуказанной замены появляются уравнения в виде (3)
d 2
hc — = bj — bj—i, i = 2,3,...,N .
(3)
Из условия непрерывности производной второго порядка получаем уравнения (4)
= с, - с,, = 2,3,..., N. (4) Комбинируя (2) - (4), мы получим систему из 3М - 2 уравнений для неизвестного Ь,, с,, ¿,, I = 1,2N из 3К
Для двух отсутствующих уравнений можно получить, установив то или иное условие границы для кубического сплайна 5(х).
Например, предположим, что функция /(х)
к и
удовлетворяет условие / (а) = f (Ь) = 0 .
Тогда должно быть естественно ясно, 5 (а) = 5 (Ь) = 0,. Отсюда получим
(х0) = 0, SN () = 0, то есть,
с1 - ¿1к1 = 0, cN = 0 .
Заметим, что условие с1 - Схкх = 0, совпадает с уравнением (4) при , = 1, если поставить с0 = 0 . Таким образом, приходим к закрытой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:
к,с, = С -С-ъ , = 1,2,..., N, со = см = ° (5)
к2
к,с, - = Ь, - Ъ,-1, , = 1,2,..., N, (6) к2 к?
к,Ъ, - -к- С, + с, = /г - /г-1, , = 1,2,..., N. (7) 2 о
Посмотрим, что эта система имеет решение [8, 10, 11, 13].
Исключим из (5) - (7) переменные Ь, С1, г = 1,2,..., N -1, и получим систему, содержащую только с,, г = 1,2,..., N -1. Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7):
= ^ - к2 с, + А-[к±, , 2 , 6 , к
h.
h
2
b-1 = ^ С,--! - h-1 di- +
2
6
fi-1 ~ fi -h-1
и вычтем второе уравнение из первого.
1 12 2
Ъ, - Ъ-1 = Т (к,С, - к,-1С,-1) ^ (к, - к,-1а,-1) + 2 6
-1 Ji-\ Ji-2
h,-i
Поменяем вместо (6) левой части уравнения
b, - b, -i и упростим .
hici + h,-ici-i -
'¿-1 3
di-1
2h 2
-di =
fi - fi-1 fi-1 - fi-2 = 2( Л
hi
hi-1
Далее, запишем уравнение (5) следующим образом
кс, = к(с - с,-Д Ь2-1ё1 -1 = к,-1(с,-1 - с,-2) и заменим уравнение (8), упростим
к,-_1с,-_9 + 2(к,-1 + к1 )с/_1 + к,с, =
t/i fi-1 fi-1 fi-2 Л = 6(---)•
hi
hi-1
Наконец для определения коэффициентов с, получаем систему уравнений
hici-1 + 2(hi + hi+1)ci + hi+1Ci+1 =
fi+1 - fi fi - fi~1 ч = 6(---).
(9)
hi+1
h
i = 1,2,..., N, cQ = cN = 0.
2
3
2
h
A1 B1 C1 0 Л 0 0 0 0
0 A2 B2 C2 Л 0 0 0 0
0 0 A3 B3 Л 0 0 0 0
M M M M о M M M M
0 0 0 0 Л Bn-2 Cn-2 0 0
0 0 0 0 Л An-1 Bn-1 Cn-1 0
0 0 0 0 Л An Bn Cn _
c0
c1
c2
c3 M
cn-3 cn-2 cn-1 n
Cr,
h1(f2 - f1) - h2(f - fo)
i +1 г M
i(f - f i)-h (f i - f n) -1V7 n 7n - 1y nyj n -1 7n - 2'
h. , ,h.
i +1 i
h
n
6
В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение. Поскольку матрица системы имеет три диагонали, решение получается методом прогонки. Для удобства выражения в уравнении (9) запишем следующее.
А,с,-1 + В,с, + С,с,+1 = 6( '+1 ' - \ ").
hi+1
h
Вычисляя матрицу, показанную выше, мы получаем коэффициенты съ (/ = 1,..., п) и определяем
другие коэффициенты следующим образом [4, 8]
к к2 /. - /. Л. = ^с, -+ Л Л-1 , (10) ' 2 ' 6 ' к
-i-1
, = 1,2,..., N.
Таким образом, доказано, что построение кубического сплайна, определяется условиями
(о) = 5"(Ъ) = 0 [3, 4, 8].
з. Пример моделирования
ГЕОФИЗИЧЕСКОГО СИГНАЛА
В Таблице 1 приведены значения геофизического сигнала, полученного в результате аэромагнитной разведки. Отсчеты этого сигнала измерены в неравномерных интервалах.
h
Рис. 2. Результаты интерполяции геофизического сигнала
Таблица. 1.
Значения геофизических сигналов с неравными интервалами
№ Расстояние, км Магнитное поле, нТс
1. 6.5 10
2. 6.7 10.6
3. 6.9 12
4. 7.2 13.7
5. 7.7 15
6. 7.9 15.5
7. 8 15.4
8. 9.4 15.1
9. 9.6 15.4
10. 9.8 16
11. 10.2 17.1
12. 10.3 19.2
13. 10.7 22.29
14. 10.9 24.79
15. 11.3 25.7
16. 11.5 25.6
17. 11.8 24.9
18. 12 23.1
19. 12.3 20.2
20. 12.40 17
21. 12.6 15.4
22. 12.7 14.6
23. 12.9 13.4
24. 13.2 13.1
25. 13.5 12.7
26. 13.8 12.4
27. 13.9 12
28. 14.2 12.1
29. 14.5 12.3
30. 14.7 12.6
сплайнами
Результаты сравнения методов решения системы линейных уравнений по количеству необходимых _действий_
№ Методы решения линейных систем линейных уравнений Количество требуемых действий (и-количество узлов) n=30
1. Гаусс 3 n 3 9000
2. Прогонка 8n 240
Была разработана программа построения кубического сплайна для неравных интервалов в программной среде МЛТЬЛБ. Алгоритм этой программы показан на Рис. 3.
Известно, что линейная система уравнений для построения кубического сплайна или построения классических полиномов решаются с помощью методов Прогонки и Гаусса, соответственно [4, 8, 12, 13, 15].
Проводились сравнения методов по количеству требуемых арифметических операций результаты приведены в Таблице 2. Было определено, что использование метода прогонки требует в 37,5 раза меньше арифметических операций, чем метод Гаусса, при п = 30 (п-количество узлов).
Таблица 2.
Рис. 3. Алгоритм программы интерполяции кубическими сплайнами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой статье была построена модель кубического сплайна для неравных интервалов геофизического сигнала.
В результате метод сплайн-функций имеет высокую точность при интерполяции сигнала (Рис. 2). Кубический сплайн обладает следующими возможностями:
- хорошее приближение к объекту при интерполяции геофизических сигналов;
- простота построения модели по сравнению с классическими полиномами;
- простота создания алгоритма определения параметров сплайна.
Таким образом, модели кубического сплайна, построенные для неравных интервалов, могут широко использоваться для решения проблем цифровой обработки и восстановления сигналов, поскольку они имеют высокую точность и требуют меньшего количества арифметических операций для определения параметров сплайна [4, 8].
Литература
[1] Баркалов К.А. Образовательный комплекс «Параллельные численные методы». Лекционные материалы. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики. Нижний Новгород. 2011.
[2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука. 1987.
[3] Богданов В.В., Волков Ю.С. Условия фор-мосохранения при интерполяции кубическими сплайнами. 2019. https://www.researchgate.net/publication/333602092.
[4] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л., Методы сплайн-функций. Москва.: Наука, 1980. 352 с.
[5] Зайнидинов Х.Н., Бахромов С.А., Азимов Б.Р. Биомедицина сигналларни интерполяцион кубик сплайн моделини куриш. Мухаммад ал-Хоразмий авлодлари, № 4 (10), декабрь 2019. 14-17 с.
[6] Зайнидинов Х.Н., Махмуджанов С.У., Тожибоев Г.О. Сплайн-вейвлеты и их применение в задачах восстановления сигналов. Автоматика и программная инженерия. 2019, №2 (28). С.71-78.
[7] Огородникова О.М. Вычислительные методы в компьютерном инжиниринге, Учебное пособие, Екатеринбург УрФУ. 2013. 130 с.
[8] Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы, Москва «Наука», главная редакция Физико-математической литературы. 1989.
[9] Кукушкин Ю.А., Майстров А.И., БогомоловА.В. методы аппроксимации ритмокардиограмм для расчета оценок спектральных показателей вариабельности сердечного ритма. Журнал медицинская техника. 2010. № 3 (261).
[10] Черкашина Ю. А. Применение кубической сплайн интерполяции в задачах прогнозирования функционального состояния здоровья детей. Национальный исследовательский Томский политехнический университет. Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 4 (часть 5) С. 887-890.
[11] Шарый С.П. Курс вычислительных методов. Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирский государственный университет. Новосибирск. 2020.
[12] Шумилов А.В. Анализ существующих и разработка новых программных комплексов обработки и интерпретации информации о геофизических исследованиях скважин. Вестник ПНИПУ Геология. Нефтегазовое и горное дело. 2019. Т.19.№2. С.162-174. DOI: 10.15593/2224-9923/2019.2.6.
[13] Djananjay Singh., Madhusudan Singh., Hakimjon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines. Springer Briefs in
Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore, ISBN-978-981-13-2238-9. 2019.
[14] Steven R.T. Cubic Interpolation with Irregularly Spaced Points. Brigham Young University BYU Scholars Archive. August 23, 2018.
[15] Tom Lyche and Knut Morken. Spline Methods Draft. Department of Informatics Centre of Mathematics for Applications University of Oslo. May 19, 2008.
[16] Ю.Н. Фомин, В.А. Жмудь, В.М. Семибаламут, Д.О. Терешкин, С.В. Панов, Л.В. Димитров. Применение метода эмпирической модовой декомпозиции для обработки результатов деформографических измерений. Автоматика и программная инженерия. 2019, №1 (27). С. 87-98.
Хакимжон Насиридинович Зайнидинов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий Ташкентского университета
информационных технологий имени Мухам-мада ал-Хорезми. E-mail: tet2001 @rambler.ru
Бунёд Рахимжонович Азимов - докторант Андижанского государственного университета имени
Захириддина Мухаммада Бабура. E-mail:
bunyodbekazimov@mail.ru Bunyod Raximjonovich Azimov
Статья поступила 05.02.2020
Construction of a Cubic Spline for Signals Measured at Unequal
Intervals
Kh.N. Zainidinov1, B.R. Azimov2 1 Tashkent University of Information Technology. 2Andijan State University
Abstract. This paper is devoted to the construction of spline models for signals measured in uneven intervals. When conducting scientific research and testing, in the automated processing of measurement results in computer systems and complexes due to the difficulties of a single analytical description of the functional dependencies of large dimension, an approach naturally arises that uses the division of regions into segments and a piecewise description of signal models. The problems of revealing real dependencies are complicated if the information is incomplete, greatly distorted by noise, the functions are defined in uneven intervals or are of a multi-extreme nature, etc. Splines as a class of piecewise functions due to the versatility of sample processing algorithms, good differential and extreme properties, high convergence of approximation estimates, ease of calculating shapes and parameters, and the weak influence of rounding errors are finding wider application in the creation of hardware and software for analysis and reconstruction of one-dimensional and multidimensional signals expanding the scope of traditional approaches. Cubic spline models built for uneven intervals have a high accuracy of signal interpolation, which allows professionals to make informed and accurate decisions as a result of digital processing of such signals. As an example, a cubic spline interpolation model was constructed for digital processing of geophysical signals measured in non-uniform intervals. An algorithm for solving a system of linear equations for determining the parameters of the interpolation cubic spline is presented. The article also presents the results of comparing the sweep and Gauss methods by the number of required arithmetic operations to solve systems of equations..
Key words: geophysical signal, seismic signal, magnetic exploration, gravity exploration, spline function, cubic spline, interpolation, unequal interval, classical polynomial, coefficients.
References
[1] Barkalov K.A. Obrazovatel'nyy kompleks «Parallel'nyye chislennyye metody». Lektsionnyye materialy. Nizhegorodskiy gosudarstvennyy universitet im. N.I. Lobachevskogo Fakul'tet vychislitel'noy matematiki i kibernetiki. Nizhniy Novgorod. 2011.
[2] Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel'kov G.M. Chislennyye metody. - M.: Nauka. 1987.
[3] Bogdanov V.V., Volkov YU.S. Usloviya for-mosokhraneniya pri interpolyatsii kubicheskimi splaynami. 2019.
https://www.researchgate.net/publication/333602092.
[4] Zav'yalov YU.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko V.L., Metody splayn-funktsiy. Moskva.: Nauka, 1980. 352 s.
[5] Zaynidinov KH.N., Bakhromov S.A., Azimov B.R. Biomeditsina signallarni interpolyatsion kubik splayn
modelini kurish. Mukhammad al-Khorazmiy avlodlari, № 4 (10), dekabr' 2019. 14-17 s.
[6] Zaynidinov KH.N., Makhmudzhanov S.U., Tozhiboyev G.O. Splayn-veyvlety i ikh primeneniye v zadachakh vosstanovleniya signalov. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2019, №2 (28). S.71-78.
[7] Ogorodnikova O.M.Vychislitel'nyye metody v komp'yuternom inzhiniringe, Uchebnoye posobiye, Yekaterinburg UrFU. 2013. 130 s.
[8] Samarskiy A. A., Gulin A. V. Chislennyye metody, Moskva «Nauka», glavnaya redaktsiya Fiziko-matematicheskoy literatury. 1989.
[9] Kukushkin YU.A., Maystrov A.I., BogomolovA.V. metody approksimatsii ritmokardiogramm dlya rascheta otsenok spektral'nykh pokazateley variabel'nosti serdechnogo ritma. Zhurnal meditsinskaya tekhnika. 2010. № 3 (261).
[10] Cherkashina YU. A. Primeneniye kubicheskoy splayn interpolyatsii v zadachakh prognozirovaniya
funktsional'nogo sostoyaniya zdorov'ya detey. Natsional'nyy issledovatel'skiy Tomskiy politekhnicheskiy universitet. Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovaniy. 2016. № 4 (chast' 5) S. 887-890.
[11] Sharyy S.P. Kurs vychislitel'nykh metodov. Institut vychislitel'nykh tekhnologiy SO RAN Novosibirskiy gosudarstvennyy universitet. Novosibirsk. 2020.
[12] Shumilov A.V. Analiz sushchestvuyushchikh i razrabotka novykh programmnykh kompleksov obrabotki i interpretatsii informatsii o geofizicheskikh issledovaniyakh skvazhin. Vestnik PNIPU Geologiya. Neftegazovoye i gomoye delo. 2019. T.19.№2. S.162-174. DOI: 10.15593/2224-9923/2019.2.6.
[13] Djananjay Singh., Madhusudan Singh., Hakimjon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore, ISBN-978-981-13-2238-9. 2019.
[14] Steven R.T. Cubic Interpolation with Irregularly Spaced Points. Brigham Young University BYU Scholars Archive. August 23, 2018.
[15] Tom Lyche and Knut Morken. Spline Methods Draft. Department of Informatics Centre of Mathematics for Applications University of Oslo. May 19, 2008.
[16] YU.N. Fomin, V.A. Zhmud', V.M. Semibalamut, D.O. Tereshkin, S.V. Panov, L.V. Dimitrov. Primeneniye metoda empiricheskoy modovoy dekompozitsii dlya
obrabotki rezul'tatov deformograficheskikh izmereniy. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2019, №1 (27). S. 87-98.
Xakimjon Nasriddinovich Zaynidinov - Doctor of Technical Sciences,
Professor, Head of the Department of Information Technology of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi. E-mail: tet2001 @rambler.ru
Bunyod Raximjonovich
Azimov - PhD student, Andijan State University named after Zakhiriddin Muhammad Babur. E-mail:
bunyodbekazimov@mail.ru
lift
The paper has been received on 05/02/2020
