Научная статья на тему 'Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред'

Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
40
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред»

Г Е О Ф И З И К А

УДК 550.837

ПОСТРОЕНИЕ КЛАССА ПЕРЕМЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД

© 2011 г. В.П. Губатенко

Саратовский государственный технический университет

Успех современных методов электроразведки, применяющих постоянные и переменные электромагнитные поля, существенно зависит от точности интерпретации полевых наблюдений. Различают качественную (экспрессную) интерпретацию и количественную. В качественной интерпретации применяют замену сложного геоэлектрического разреза некоторой простой моделью среды (однородным проводящим полупространством, проводящей плоскостью и т. д.). В результате такой замены находят эффективные (кажущиеся) параметры изучаемого геоэлектрического разреза, позволяющие грубо, с большой погрешностью оценить истинные электромагнитные параметры среды. В количественной интерпретации полевых наблюдений находят решения обратных задач геоэлектрики [1-4]. Математические постановки этих задач сводятся к определению параметров среды в некоторой области V трехмерного евклидова пространства R3 по заданным на поверхности S области V тангенциальным компонентам напряженности электрического E и магнитного H поля. Обратные задачи геоэлектрики являются некорректными, и поэтому они дополняются различной априорной информацией о строении геоэлектрического разреза (например, полагают, что магнитная проницаемость среды постоянна и т. д.). Различные методы численного решения обратных задач приводят, как правило, к разным результатам. Выяснить же какой метод лучше не удается из-за отсутствия аналитических решений уравнений Максвелла для трехмерных сред. Расширение круга аналитических решений уравнений Максвелла необходимо как для качественной интерпретации, так и для количественной. В случае качественной интерпретации это позволит подобрать модели сред, наиболее соответствующие строению изучаемого геоэлектрического разреза. Наличие же тестов (аналитических решений) для обратных задач создаст возможность отбраковки неэффективных количественных методов интерпретации. В настоящей работе предложен новый метод нахождения аналитических решений однородных уравнений Максвелла для анизотропных и изотропных сред.

Постановка обратной задачи для анизотропных сред и ее решение

Уравнения Максвелла для анизотропной среды в частотной области ш в системе единиц СИ в ограниченной односвязной и свободной от источников области V ^ R3 имеют вид:

rot H = d E , (1)

rot E = /юД H , (2)

где d и Д - симметричные тензоры электропроводности и магнитной проницаемости; E и H - напряженности электрического и магнитного поля; / - мнимая единица.

Не будем пока налагать какие-либо ограничения на параметры среды ст , Д и векторы электромагнитного поля E, H, предположим лишь, что они имеют в системе СИ соответствующие размерности, зависят от параметра о (круговой частоты), эрмитово симметричны и являются непрерывно дифференцируемыми функциями прямоугольных декартовых координат х, у, z до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, ст Ф 0 и Д Ф 0 в области V, откуда, в частности, следует, что rot E Ф 0 , rot H Ф 0 , E Ф 0 , H фО, при о Ф 0 в той же области.

При таких ограничениях на параметры среды и векторы поля возникает следующий вопрос: всякие ли векторные поля E и H будут решениями уравнений (1) и (2)? Очевидно, если параметры среды ст и Д являются в этих уравнениях заданными тензорными функциями, то ответ на этот вопрос отрицательный. Поэтому, уточняя первый вопрос, сформулируем второй: существуют ли для наперед заданных векторных полей E и H такие параметры среды ст и Д , что подстановка семейства функций {E , H , Д , ст} в уравнениях (1) и (2) обращает их в тождества? Для ответа на второй вопрос поставим следующую обратную задачу.

Задача 1. Пусть в области V заданы произвольные векторные поля E и H. Найти в этой области отличные от нуля симметричные тензоры ст и Д , обращающие в тождества уравнения (1) и (2) при о Ф 0.

Изложим метод решения этой задачи. Задавая произвольно векторы E и H (конечно, с учетом сделанных ограничений), получаем систему линейных уравнения для нахождения ст и Д:

ст E = je ,

Л тт •;

гоД H = -j ,

где je = rot H ф 0 , jm = — rot E ф 0 . Записывая эту систему в координатной форме, получаем:

ст1А + ст12Еу + ст13Ez = Л , Д11Нх + Д12Hy + Д13 Н: = — — Г ,

г го

ст21Ех + ст22Еу + ст23Е = J , (3) Д21Нх + Д22Hy + Д1ЪН z = -- ft , (4)

го

ст31 Ех + ст32Еу + ст33Е: = Л , Д31НХ + Д32Ну + ДззН2 = --^ ,

го

где <jjj, <jjj = cji, i, J = 1, 2, 3 и Ду, Ду = д^-, i, j = 1, 2, 3 - компоненты симметричных тензоров ст и Д в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z; E = (Ех, Еу, Е:);

H =(Нх, Ну, Hz); je = (Л , J, j:) ; j m = (J , j;, J ) .

Соотношения (3) и (4) представляют собой две независимые системы линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно 6 неизвестных, причем система (3) определяет искомые ст77, ст12, ст13, ст22, ст23, ст33, а система (4) - неизвестные д77, д12, д13, д22, Д23, Дзз.

Поскольку E ^ 0, H ^ 0, то легко заметить, что для каждой системы уравнений ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, и поэтому, в соответствии с известной в линейной алгебре теоремой Кронекера-Капелли, системы (3) и (4) совместны. Кроме того, поскольку количество неизвестных в системах (3) и (4) превышает число уравнений, то решение этих систем, в общем случае, не единственно.

Таким образом, решение задачи 1 допускает произвольное задание векторов E и H, при этом система функций {E, H , Д, аj , где О и Д - найденные из систем (3) и (4) симметричные тензоры, обращает в тождества уравнения (1) и (2).

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:

1. Всевозможные пары произвольных векторных полей E и H позволяют построить для анизотропных сред множество всех электромагнитных полей в свободной от источников области V пространства.

2. Если векторы E и H заданы аналитическими выражениями, то из систем уравнений (3) и (4) всегда можно в аналитическом виде найти симметричные тензоры а и Д , при этом семейство функций {E , H , Д, аj обращает уравнения (1) и (2) в тождества. Тем самым, в случае анизотропной среды возможно нахождение различных аналитических решений однородных уравнений Максвелла. Такой способ нахождения аналитических решений уравнений Максвелла основан не на решении известных краевых задач математической физики, а на отыскании решения обратной задачи 1.

Условия существования решения обратной задачи геоэлектрики для линейных изотропных сред Рассмотрим теперь линейные изотропные среды, для которых Оу = обу, Ду = дбу, i,j = 1, 2, 3, где 8у - символ Кронекера; о и д - скалярные функции координат x, y, z и круговой частоты ш, называемые соответственно электропроводностью и магнитной проницаемостью. В этом случае однородные уравнения Максвелла в области V примут вид:

rot H = а E , (5)

rot E = ¿шд H . (6)

Очевидно, что в отличие от анизотропных сред, произвольно заданные векторные поля E и H не могут быть решениями этих уравнений. В самом деле, если E и H решения системы уравнений (5), (6) для некоторых скалярных функций о и д, то эти уравнения обращаются в области V в тождества. Так как о и д скаляры, то из тождественного равенства левых и правых частей соотношений (5) и (6) следует, что rot H и E - коллинеарные векторы, так же, как и векторы rot H и E, т. е. E x rot H = 0, H x rot E = 0. Читателю нетрудно убедиться в том, что этим двум условиям удовлетворяет далеко не каждая пара E, H векторных полей.

Будем говорить, что векторы E и H принадлежат классу электромагнитных полей, если существуют такие скалярные функции о и д, зависящие от координат x, y, z и, быть может, от параметра ш, что подстановка семейства функций {E , H, д , oj в соотношения

(5) и (6) обращает их в тождества. Для построения класса электромагнитных полей для линейной изотропной среды поставим следующую обратную задачу геоэлектрики:

Задача 2. Пусть в области Vпроизвольно задан вектор E (или H). Найти в этой области отличные от нуля скалярные функции ст и д, а также вектор H (или E), обращающие соотношения (5) и (6) в тождества.

Вначале рассмотрим электромагнитное поле постоянного электрического тока (о = О). В этом случае соотношения (5) и (6) примут вид:

rot H = ст E ,

rot E = 0, (7)

div д H = 0 .

Тогда обратную задачу 2 переформулируем следующим образом:

Задача 3. Пусть в области Vзадан произвольно вектор E (или H). Найти в этой области отличные от нуля скалярные функции ст и д, а также вектор H (или E), обращающие соотношения (7) в тождества.

Для этой задачи справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Пусть в области Vзадан вектор E. Решение задачи 3 существует тогда, и только тогда, когда E является произвольным отличным от нуля потенциальным вектором, причем это решение не единственно.

Утверждение 2. Пусть в области Vзадан вектор E. Решение задачи 3 существует и не единственно тогда, и только тогда, когда вектор H удовлетворяет в области V нелинейному дифференциальному уравнению (rot H, rot rot H) = 0, и при этом rot H Ф 0.

Не утомляя читателя доказательством этих утверждений, заметим лишь, что они основаны на применении теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [5-9]. Кроме того, методы доказательства являются конструктивными и позволяют находить всевозможные решения уравнений Максвелла для постоянных токов в аналитическом виде.

Рассмотрим теперь условия существования решения обратной задачи 2 для переменных электромагнитных полей (о Ф 0).

Утверждение 3. Пусть в области V произвольно задан вектор E и о Ф 0. Тогда для существования решения обратной задачи 2 необходимо и достаточно, чтобы искомая скалярная функция д являлась решением уравнения:

E х rot

'1 Л -rot E

чД у

0

за исключением случая, когда д - решение уравнения:

rot

Л

-rot E

чД у

= 0 .

Доказательство этого утверждения очевидно так же, как и следствие из этого утверждения:

Следствие. Пусть обратная задача 2 решается при дополнительном условии: магнитная проницаемость д задана и не зависит от координат, т. е. д = д0 (¿ш). Такое распределение магнитной проницаемости горных пород составляет основную модель среды в структурной электроразведке. В этом случае из утверждения 3 сразу следует, что решение этой обратной задачи существует тогда, и только тогда, когда заданный вектор E удовлетворяет в области V нелинейному уравнению E x rot rot E = 0, и при этом rot rot E * 0. Если эти условия выполнены, то искомые величины а и H определяются соотношениями:

1

X =

Д 0E

1 X

(E,rotrot E), o = -

H =

rot E

¿ш

¿ШД 0

Утверждение 4. Решение обратной задачи 2 для заданного вектора E и о ^ 0 существует тогда, и только тогда, когда всюду области вектор удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) rot^

1

(rot E,rot rot E)

div

(rot E,rot rot E)

E

rot E +

1

(E,rot E)

(E x rot rot E)l = 0 ,

(E,rot E) (E,rotE)* 0 , (rotE,rot rotE)* 0 ;

2) (E,rotE) = 0, (rotE,rot rotE)= 0, rotE *0.

Доказательство данного утверждения следует из утверждения 3 и теории совместности дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Кроме того, из доказательства утверждения вытекает метод решения обратной задачи 2.

При выполнении первого условия утверждения 4 решение обратной задачи 2 имеет

вид:

д = д 0 (i ш) exp

M

J Ff dx + Ff dy + Ff dz

V M 0

О = ■

¿ш E2

r

E , rot

1

Л

- rot E vl

H = ■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

JJ

¿ЮД

■ rot E .

(8)

(9)

где д = ДоО'ш) - независящая от координат произвольная эрмитовая функция частоты ш;

вектор

F * = ( FE , fE , FE )

определяется выражением:

FE =

(rotE, rot rotE)

div

(rot E,rot rot E) (E, rot E)

E

rot E +

(E,rot E)

(E x rot rot E)

1

1

1

1

Если же выполняется второе условие утверждения 4, то магнитная проницаемость находится из системы дифференциальных уравнений

'е. ^ + Е.. ^ + Е. ^

v x dx y dy z dz у

fE, ^ + Ev ^ + Ez ^

v dx dy dz у

Qx =-ц(еyRz - EzRy) ,

Qy =-^(EzRx - EXRZ) , (10)

Ex^ + Ey^ + Ez^k = -u(ER -EyRx) , x dx y dy z dz J z V x y y x/

meQ = (Qx, Qy Q ) = rot E , R = (Rx, Ry, Rz ) = rotrot E = rot Q .

Здесь возможны следующие два случая: в области V или E x R ^ 0, или E x R = 0. Нетрудно показать, что в первом случае лишь одно уравнение системы (10) является независимым, остальные же уравнения можно исключить. Например, если Qx ^ 0, то система уравнений (10) эквивалентна уравнению:

Ex * + Ev * + Ez * = - ц E yRz - E z Ry . (11)

x dx y dy z dz Qx

Общее решение такого уравнения существует [8] и может быть найдено с помощью соответствующей характеристической системы уравнений:

dx dy dz Qxdд

Ex Ey Ez (Ey Rz - E z Ry V ^

При этом общее решение уравнения (11) в неявной форме имеет вид:

Ф (Л1, Л2, Л3) = 0 (13)

где Ф (л ъ, Л2, Лз) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция; С = л 1 (х, У, z, д, /ш), С2 = Л2 (х, У, z, д, /ш), С3 = Лз (х, у, z, д, /ш) - независимые первые интегралы характеристической системы (12). Уравнение (13), в силу независимости функций л 1, Л2, Лз и структуры характеристической системы (12) относительно переменной д, всегда разрешимо относительно неизвестной функции д. Определив из уравнения (13) функцию д, находим с помощью формул (9) оставшиеся неизвестные а и Н.

Во втором случае (Е х R = 0 в области V) функция д является решением уравнения:

„ du „ du „ du л

Ex — + E y — + Ez — = 0 (14)

dx dy dz

Общее решение этого уравнения так же существует [3] и находится с помощью характеристической системы уравнений:

dx dy dz — = — = — (15)

Ех Еу

Если Сх = ; (х, у, z , /о) , С 2 = С 2 (х , у , z , /о ) - независимые первые интегралы системы (15), то общий интеграл уравнения (14) примет вид:

ц = Ф 1 (; 1 (х, у , z, /о), ; 2 (х, у, z, /о)) (16)

где Ф 1 ( С 1 , ; 2 ) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Очевидно, что в этом семействе решений содержится также решение:

ц = цо(/о).

Подставляя теперь ц и E в формулы (9), нетрудно найти функции а и H .

Применяя принцип перестановочной двойственности, следующий из симметрии уравнений (5) и (6) относительно замен E о- Н, /оц о- а можно сформулировать условия существования решения обратной задачи 2 для заданного вектора ^ Эти условия в точности повторяют условия утверждения 4, если в нем выполнить замену Е ^ Н.

Утверждение 5. Решение обратной задачи 2 для заданного вектора H и о ^ 0 существует тогда, и только тогда, когда всюду области V вектор H удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) rot ^т-1-rdiv

(rot H,rot rot H)

(rot H,rot rot H)

H

rot H + 7-1-г (H x rot rot H )l = 0,

(H,rot H у 7J

(H, rot H) (H,rotH)* 0, (rotH,rot rotH)* 0;

2) (H,rotH) = 0, (rotH,rot rotH) = 0, rotH * 0.

При выполнении условий утверждения 5 решение обратной задачи 2 для заданного вектора H находится по формулам (8)-(16), если в них провести замену E о- Н, ¿шд о- о.

Из утверждений 4 и 5 следует, что в случае линейных изотропных сред множество всех переменных электромагнитных полей в свободных от источников областях пространства делится на два подкласса. Первому подклассу принадлежат электромагнитные поля с неортогональными векторами E и H, а второму - соответствуют ортогональные E и H. Векторы E и H из первого подкласса подчиняются первым условиям утверждений 4 и 5, а векторы E и H из второго подкласса - вторым условиям этих утверждений. Каждый подкласс электромагнитных полей описывается соответствующими нелинейными уравнениями в частных производных. Всевозможные решения этих уравнений позволяют построить класс электромагнитных полей в линейных изотропных средах, т. е. найти семейства функций {E, H, д , oj, обращающие уравнения (5) и (6) в тождества. Если решения нелинейных уравнений представлены в аналитическом виде, то, определяя параметры среды д и o из решения обратной задачи 2 и формируя тем самым семейство функций {E, H, д, oj , обращающее соотношения (5) и (6) в тождества, можно найти различные аналитические решения однородных уравнений Максвелла.

Изложенные в настоящей работе результаты могут быть использованы в электроразведке как для нахождения новых аналитических решений, так и для решения новых, более эффективных обратных задач геоэлектрики, применяемых для количественной интерпретации полевых материалов.

Различные применения предложенного метода аналитического решения однородных уравнений Максвелла для линейных изотропных сред будут рассмотрены в следующей статье автора.

Работа выполнена благодаря финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 10-05-00753-а).

Л ит ер ат у ра

1. Дмитриев В.И. О единственности обратной задачи электромагнитного зондирования слоистых сред //Физика Земли. - 1994. - № 6. - С.30-34.

2. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1984.

3. Страхов В.Н. О решении обратной задачи в методе вертикальных электрических зондирований //Известия АНСССР. Физика Земли. - 1968. - № 4. - С.77-84.

4. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию теорем электромагнитных зондирований //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т.156. - № 3. -С.545-548.

5. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. - Л.-М.: ОНТИ. Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934.

6. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. - М.: Наука, 1966.

7. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными. - Л.: Артиллерийская академии РККА им. Дзержинского, 1934.

8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. - М.: Физматлит, 2003.

УДК 528.2:629. 78

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДАННЫХ СПУТНИКОВОЙ ГРАВИМЕТРИИ ПРИ ВЫДЕЛЕНИИ СКВОЗНЫХ СЕЙСМОГЕНЕРИРУЮЩИХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ЗЕМЛИ

© 2011 г. В.А. Огаджанов, А.В. Огаджанов

Сектор сейсмического мониторинга Поволжского региона ГС РАН

Введение

Сквозные неоднородности часто рассматриваются во взаимосвязи со сквозными глубинными разломами, которые пересекают как геосинклинали, так и платформы (плиты и стыки плит). Впервые гипотеза о единых для континентальных плит тектонических поясах, охватывающих области самого раннего геологического строения, была высказана Н.С. Шатским (1948 г.) и доказана на примере зоны субмеридионального направления, прослеживающейся от реки Камы в Саратовское Поволжье, Кавказ и далее в пределы Аравийской и Африкан-

ской плит. Подобные пояса имеют сверхглубокое заложение и значительно превышающую глубину заложения элементов складчатых (геосинклинальных) систем [1]. Разрывные нарушения в пределах этих поясов могут проявляться в верхах земной коры, с ними связана новейшая и современная геодинамическая активность, в том числе и сейсмичность.

Постановка задачи

Пояса сейсмичности, обусловленные сквозными неоднородностями, могут быть выражены активными разломами, которые являются лишь одним из признаков потен-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.