Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г Е О Ф И З И К А

УДК 550.837

ПОСТРОЕНИЕ КЛАССА ПЕРЕМЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД

© 2011 г. В.П. Губатенко

Саратовский государственный технический университет

Успех современных методов электроразведки, применяющих постоянные и переменные электромагнитные поля, существенно зависит от точности интерпретации полевых наблюдений. Различают качественную (экспрессную) интерпретацию и количественную. В качественной интерпретации применяют замену сложного геоэлектрического разреза некоторой простой моделью среды (однородным проводящим полупространством, проводящей плоскостью и т. д.). В результате такой замены находят эффективные (кажущиеся) параметры изучаемого геоэлектрического разреза, позволяющие грубо, с большой погрешностью оценить истинные электромагнитные параметры среды. В количественной интерпретации полевых наблюдений находят решения обратных задач геоэлектрики [1-4]. Математические постановки этих задач сводятся к определению параметров среды в некоторой области V трехмерного евклидова пространства R3 по заданным на поверхности S области V тангенциальным компонентам напряженности электрического E и магнитного H поля. Обратные задачи геоэлектрики являются некорректными, и поэтому они дополняются различной априорной информацией о строении геоэлектрического разреза (например, полагают, что магнитная проницаемость среды постоянна и т. д.). Различные методы численного решения обратных задач приводят, как правило, к разным результатам. Выяснить же какой метод лучше не удается из-за отсутствия аналитических решений уравнений Максвелла для трехмерных сред. Расширение круга аналитических решений уравнений Максвелла необходимо как для качественной интерпретации, так и для количественной. В случае качественной интерпретации это позволит подобрать модели сред, наиболее соответствующие строению изучаемого геоэлектрического разреза. Наличие же тестов (аналитических решений) для обратных задач создаст возможность отбраковки неэффективных количественных методов интерпретации. В настоящей работе предложен новый метод нахождения аналитических решений однородных уравнений Максвелла для анизотропных и изотропных сред.

Постановка обратной задачи для анизотропных сред и ее решение

Уравнения Максвелла для анизотропной среды в частотной области ш в системе единиц СИ в ограниченной односвязной и свободной от источников области V ^ R3 имеют вид:

rot H = d E , (1)

rot E = /юД H , (2)

где d и Д - симметричные тензоры электропроводности и магнитной проницаемости; E и H - напряженности электрического и магнитного поля; / - мнимая единица.

Не будем пока налагать какие-либо ограничения на параметры среды ст , Д и векторы электромагнитного поля E, H, предположим лишь, что они имеют в системе СИ соответствующие размерности, зависят от параметра о (круговой частоты), эрмитово симметричны и являются непрерывно дифференцируемыми функциями прямоугольных декартовых координат х, у, z до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, ст Ф 0 и Д Ф 0 в области V, откуда, в частности, следует, что rot E Ф 0 , rot H Ф 0 , E Ф 0 , H фО, при о Ф 0 в той же области.

При таких ограничениях на параметры среды и векторы поля возникает следующий вопрос: всякие ли векторные поля E и H будут решениями уравнений (1) и (2)? Очевидно, если параметры среды ст и Д являются в этих уравнениях заданными тензорными функциями, то ответ на этот вопрос отрицательный. Поэтому, уточняя первый вопрос, сформулируем второй: существуют ли для наперед заданных векторных полей E и H такие параметры среды ст и Д , что подстановка семейства функций {E , H , Д , ст} в уравнениях (1) и (2) обращает их в тождества? Для ответа на второй вопрос поставим следующую обратную задачу.

Задача 1. Пусть в области V заданы произвольные векторные поля E и H. Найти в этой области отличные от нуля симметричные тензоры ст и Д , обращающие в тождества уравнения (1) и (2) при о Ф 0.

Изложим метод решения этой задачи. Задавая произвольно векторы E и H (конечно, с учетом сделанных ограничений), получаем систему линейных уравнения для нахождения ст и Д:

ст E = je ,

Л тт •;

гоД H = -j ,

где je = rot H ф 0 , jm = — rot E ф 0 . Записывая эту систему в координатной форме, получаем:

ст1А + ст12Еу + ст13Ez = Л , Д11Нх + Д12Hy + Д13 Н: = — — Г ,

г го

ст21Ех + ст22Еу + ст23Е = J , (3) Д21Нх + Д22Hy + Д1ЪН z = -- ft , (4)

го

ст31 Ех + ст32Еу + ст33Е: = Л , Д31НХ + Д32Ну + ДззН2 = --^ ,

го

где <jjj, <jjj = cji, i, J = 1, 2, 3 и Ду, Ду = д^-, i, j = 1, 2, 3 - компоненты симметричных тензоров ст и Д в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z; E = (Ех, Еу, Е:);

H =(Нх, Ну, Hz); je = (Л , J, j:) ; j m = (J , j;, J ) .

Соотношения (3) и (4) представляют собой две независимые системы линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно 6 неизвестных, причем система (3) определяет искомые ст77, ст12, ст13, ст22, ст23, ст33, а система (4) - неизвестные д77, д12, д13, д22, Д23, Дзз.

Поскольку E ^ 0, H ^ 0, то легко заметить, что для каждой системы уравнений ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, и поэтому, в соответствии с известной в линейной алгебре теоремой Кронекера-Капелли, системы (3) и (4) совместны. Кроме того, поскольку количество неизвестных в системах (3) и (4) превышает число уравнений, то решение этих систем, в общем случае, не единственно.

Таким образом, решение задачи 1 допускает произвольное задание векторов E и H, при этом система функций {E, H , Д, аj , где О и Д - найденные из систем (3) и (4) симметричные тензоры, обращает в тождества уравнения (1) и (2).

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:

1. Всевозможные пары произвольных векторных полей E и H позволяют построить для анизотропных сред множество всех электромагнитных полей в свободной от источников области V пространства.

2. Если векторы E и H заданы аналитическими выражениями, то из систем уравнений (3) и (4) всегда можно в аналитическом виде найти симметричные тензоры а и Д , при этом семейство функций {E , H , Д, аj обращает уравнения (1) и (2) в тождества. Тем самым, в случае анизотропной среды возможно нахождение различных аналитических решений однородных уравнений Максвелла. Такой способ нахождения аналитических решений уравнений Максвелла основан не на решении известных краевых задач математической физики, а на отыскании решения обратной задачи 1.

Условия существования решения обратной задачи геоэлектрики для линейных изотропных сред Рассмотрим теперь линейные изотропные среды, для которых Оу = обу, Ду = дбу, i,j = 1, 2, 3, где 8у - символ Кронекера; о и д - скалярные функции координат x, y, z и круговой частоты ш, называемые соответственно электропроводностью и магнитной проницаемостью. В этом случае однородные уравнения Максвелла в области V примут вид:

rot H = а E , (5)

rot E = ¿шд H . (6)

Очевидно, что в отличие от анизотропных сред, произвольно заданные векторные поля E и H не могут быть решениями этих уравнений. В самом деле, если E и H решения системы уравнений (5), (6) для некоторых скалярных функций о и д, то эти уравнения обращаются в области V в тождества. Так как о и д скаляры, то из тождественного равенства левых и правых частей соотношений (5) и (6) следует, что rot H и E - коллинеарные векторы, так же, как и векторы rot H и E, т. е. E x rot H = 0, H x rot E = 0. Читателю нетрудно убедиться в том, что этим двум условиям удовлетворяет далеко не каждая пара E, H векторных полей.

Будем говорить, что векторы E и H принадлежат классу электромагнитных полей, если существуют такие скалярные функции о и д, зависящие от координат x, y, z и, быть может, от параметра ш, что подстановка семейства функций {E , H, д , oj в соотношения

(5) и (6) обращает их в тождества. Для построения класса электромагнитных полей для линейной изотропной среды поставим следующую обратную задачу геоэлектрики:

Задача 2. Пусть в области Vпроизвольно задан вектор E (или H). Найти в этой области отличные от нуля скалярные функции ст и д, а также вектор H (или E), обращающие соотношения (5) и (6) в тождества.

Вначале рассмотрим электромагнитное поле постоянного электрического тока (о = О). В этом случае соотношения (5) и (6) примут вид:

rot H = ст E ,

rot E = 0, (7)

div д H = 0 .

Тогда обратную задачу 2 переформулируем следующим образом:

Задача 3. Пусть в области Vзадан произвольно вектор E (или H). Найти в этой области отличные от нуля скалярные функции ст и д, а также вектор H (или E), обращающие соотношения (7) в тождества.

Для этой задачи справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Пусть в области Vзадан вектор E. Решение задачи 3 существует тогда, и только тогда, когда E является произвольным отличным от нуля потенциальным вектором, причем это решение не единственно.

Утверждение 2. Пусть в области Vзадан вектор E. Решение задачи 3 существует и не единственно тогда, и только тогда, когда вектор H удовлетворяет в области V нелинейному дифференциальному уравнению (rot H, rot rot H) = 0, и при этом rot H Ф 0.

Не утомляя читателя доказательством этих утверждений, заметим лишь, что они основаны на применении теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [5-9]. Кроме того, методы доказательства являются конструктивными и позволяют находить всевозможные решения уравнений Максвелла для постоянных токов в аналитическом виде.

Рассмотрим теперь условия существования решения обратной задачи 2 для переменных электромагнитных полей (о Ф 0).

Утверждение 3. Пусть в области V произвольно задан вектор E и о Ф 0. Тогда для существования решения обратной задачи 2 необходимо и достаточно, чтобы искомая скалярная функция д являлась решением уравнения:

E х rot

'1 Л -rot E

чД у

0

за исключением случая, когда д - решение уравнения:

rot

Л

-rot E

чД у

= 0 .

Доказательство этого утверждения очевидно так же, как и следствие из этого утверждения:

Следствие. Пусть обратная задача 2 решается при дополнительном условии: магнитная проницаемость д задана и не зависит от координат, т. е. д = д0 (¿ш). Такое распределение магнитной проницаемости горных пород составляет основную модель среды в структурной электроразведке. В этом случае из утверждения 3 сразу следует, что решение этой обратной задачи существует тогда, и только тогда, когда заданный вектор E удовлетворяет в области V нелинейному уравнению E x rot rot E = 0, и при этом rot rot E * 0. Если эти условия выполнены, то искомые величины а и H определяются соотношениями:

1

X =

Д 0E

1 X

(E,rotrot E), o = -

H =

rot E

¿ш

¿ШД 0

Утверждение 4. Решение обратной задачи 2 для заданного вектора E и о ^ 0 существует тогда, и только тогда, когда всюду области вектор удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) rot^

1

(rot E,rot rot E)

div

(rot E,rot rot E)

E

rot E +

1

(E,rot E)

(E x rot rot E)l = 0 ,

(E,rot E) (E,rotE)* 0 , (rotE,rot rotE)* 0 ;

2) (E,rotE) = 0, (rotE,rot rotE)= 0, rotE *0.

Доказательство данного утверждения следует из утверждения 3 и теории совместности дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Кроме того, из доказательства утверждения вытекает метод решения обратной задачи 2.

При выполнении первого условия утверждения 4 решение обратной задачи 2 имеет

вид:

д = д 0 (i ш) exp

M

J Ff dx + Ff dy + Ff dz

V M 0

О = ■

¿ш E2

r

E , rot

1

Л

- rot E vl

H = ■

JJ

¿ЮД

■ rot E .

(8)

(9)

где д = ДоО'ш) - независящая от координат произвольная эрмитовая функция частоты ш;

вектор

F * = ( FE , fE , FE )

определяется выражением:

FE =

(rotE, rot rotE)

div

(rot E,rot rot E) (E, rot E)

E

rot E +

(E,rot E)

(E x rot rot E)

1

1

1

1

Если же выполняется второе условие утверждения 4, то магнитная проницаемость находится из системы дифференциальных уравнений

'е. ^ + Е.. ^ + Е. ^

v x dx y dy z dz у

fE, ^ + Ev ^ + Ez ^

v dx dy dz у

Qx =-ц(еyRz - EzRy) ,

Qy =-^(EzRx - EXRZ) , (10)

Ex^ + Ey^ + Ez^k = -u(ER -EyRx) , x dx y dy z dz J z V x y y x/

meQ = (Qx, Qy Q ) = rot E , R = (Rx, Ry, Rz ) = rotrot E = rot Q .

Здесь возможны следующие два случая: в области V или E x R ^ 0, или E x R = 0. Нетрудно показать, что в первом случае лишь одно уравнение системы (10) является независимым, остальные же уравнения можно исключить. Например, если Qx ^ 0, то система уравнений (10) эквивалентна уравнению:

Ex * + Ev * + Ez * = - ц E yRz - E z Ry . (11)

x dx y dy z dz Qx

Общее решение такого уравнения существует [8] и может быть найдено с помощью соответствующей характеристической системы уравнений:

dx dy dz Qxdд

Ex Ey Ez (Ey Rz - E z Ry V ^

При этом общее решение уравнения (11) в неявной форме имеет вид:

Ф (Л1, Л2, Л3) = 0 (13)

где Ф (л ъ, Л2, Лз) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция; С = л 1 (х, У, z, д, /ш), С2 = Л2 (х, У, z, д, /ш), С3 = Лз (х, у, z, д, /ш) - независимые первые интегралы характеристической системы (12). Уравнение (13), в силу независимости функций л 1, Л2, Лз и структуры характеристической системы (12) относительно переменной д, всегда разрешимо относительно неизвестной функции д. Определив из уравнения (13) функцию д, находим с помощью формул (9) оставшиеся неизвестные а и Н.

Во втором случае (Е х R = 0 в области V) функция д является решением уравнения:

„ du „ du „ du л

Ex — + E y — + Ez — = 0 (14)

dx dy dz

Общее решение этого уравнения так же существует [3] и находится с помощью характеристической системы уравнений:

dx dy dz — = — = — (15)

Ех Еу

Если Сх = ; (х, у, z , /о) , С 2 = С 2 (х , у , z , /о ) - независимые первые интегралы системы (15), то общий интеграл уравнения (14) примет вид:

ц = Ф 1 (; 1 (х, у , z, /о), ; 2 (х, у, z, /о)) (16)

где Ф 1 ( С 1 , ; 2 ) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Очевидно, что в этом семействе решений содержится также решение:

ц = цо(/о).

Подставляя теперь ц и E в формулы (9), нетрудно найти функции а и H .

Применяя принцип перестановочной двойственности, следующий из симметрии уравнений (5) и (6) относительно замен E о- Н, /оц о- а можно сформулировать условия существования решения обратной задачи 2 для заданного вектора ^ Эти условия в точности повторяют условия утверждения 4, если в нем выполнить замену Е ^ Н.

Утверждение 5. Решение обратной задачи 2 для заданного вектора H и о ^ 0 существует тогда, и только тогда, когда всюду области V вектор H удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) rot ^т-1-rdiv

(rot H,rot rot H)

(rot H,rot rot H)

H

rot H + 7-1-г (H x rot rot H )l = 0,

(H,rot H у 7J

(H, rot H) (H,rotH)* 0, (rotH,rot rotH)* 0;

2) (H,rotH) = 0, (rotH,rot rotH) = 0, rotH * 0.

При выполнении условий утверждения 5 решение обратной задачи 2 для заданного вектора H находится по формулам (8)-(16), если в них провести замену E о- Н, ¿шд о- о.

Из утверждений 4 и 5 следует, что в случае линейных изотропных сред множество всех переменных электромагнитных полей в свободных от источников областях пространства делится на два подкласса. Первому подклассу принадлежат электромагнитные поля с неортогональными векторами E и H, а второму - соответствуют ортогональные E и H. Векторы E и H из первого подкласса подчиняются первым условиям утверждений 4 и 5, а векторы E и H из второго подкласса - вторым условиям этих утверждений. Каждый подкласс электромагнитных полей описывается соответствующими нелинейными уравнениями в частных производных. Всевозможные решения этих уравнений позволяют построить класс электромагнитных полей в линейных изотропных средах, т. е. найти семейства функций {E, H, д , oj, обращающие уравнения (5) и (6) в тождества. Если решения нелинейных уравнений представлены в аналитическом виде, то, определяя параметры среды д и o из решения обратной задачи 2 и формируя тем самым семейство функций {E, H, д, oj , обращающее соотношения (5) и (6) в тождества, можно найти различные аналитические решения однородных уравнений Максвелла.

Изложенные в настоящей работе результаты могут быть использованы в электроразведке как для нахождения новых аналитических решений, так и для решения новых, более эффективных обратных задач геоэлектрики, применяемых для количественной интерпретации полевых материалов.

Различные применения предложенного метода аналитического решения однородных уравнений Максвелла для линейных изотропных сред будут рассмотрены в следующей статье автора.

Работа выполнена благодаря финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 10-05-00753-а).

Л ит ер ат у ра

1. Дмитриев В.И. О единственности обратной задачи электромагнитного зондирования слоистых сред //Физика Земли. - 1994. - № 6. - С.30-34.

2. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1984.

3. Страхов В.Н. О решении обратной задачи в методе вертикальных электрических зондирований //Известия АНСССР. Физика Земли. - 1968. - № 4. - С.77-84.

4. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию теорем электромагнитных зондирований //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т.156. - № 3. -С.545-548.

5. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. - Л.-М.: ОНТИ. Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934.

6. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. - М.: Наука, 1966.

7. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными. - Л.: Артиллерийская академии РККА им. Дзержинского, 1934.

8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. - М.: Физматлит, 2003.

УДК 528.2:629. 78

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДАННЫХ СПУТНИКОВОЙ ГРАВИМЕТРИИ ПРИ ВЫДЕЛЕНИИ СКВОЗНЫХ СЕЙСМОГЕНЕРИРУЮЩИХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ЗЕМЛИ

© 2011 г. В.А. Огаджанов, А.В. Огаджанов

Сектор сейсмического мониторинга Поволжского региона ГС РАН

Введение

Сквозные неоднородности часто рассматриваются во взаимосвязи со сквозными глубинными разломами, которые пересекают как геосинклинали, так и платформы (плиты и стыки плит). Впервые гипотеза о единых для континентальных плит тектонических поясах, охватывающих области самого раннего геологического строения, была высказана Н.С. Шатским (1948 г.) и доказана на примере зоны субмеридионального направления, прослеживающейся от реки Камы в Саратовское Поволжье, Кавказ и далее в пределы Аравийской и Африкан-

ской плит. Подобные пояса имеют сверхглубокое заложение и значительно превышающую глубину заложения элементов складчатых (геосинклинальных) систем [1]. Разрывные нарушения в пределах этих поясов могут проявляться в верхах земной коры, с ними связана новейшая и современная геодинамическая активность, в том числе и сейсмичность.

Постановка задачи

Пояса сейсмичности, обусловленные сквозными неоднородностями, могут быть выражены активными разломами, которые являются лишь одним из признаков потен-