Некоторые примеры аналитических решении трехмерных задач геоэлектрики для монохроматического электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г Е О Ф И 3 И К А

УДК 550.837

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ ДЛЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

© 2013 г. И.Г. Московский1, В.П. Губатенко2

1 - Саратовский государственный технический университет

2 - Саратовский госуниверситет

Введение

Электромагнитные параметры реальный геологических разрезов имеют весьма сложное трехмерное пространственное распределение, что осложняет интерпретацию поле-вык данных электроразведки, основанную преимущественно на применении одномерных математических моделей. В связи с этим необходимой является задача разработки и накопления банка трехмерных аналитических решений задач геоэлектрики. Кроме того, разработка программных пакетов восстановления трехмерного распределения электромагнитных свойств изучаемой среды по результатам электромагнитных зондирований неизбежно связана с тестированием программного продукта на трехмерных аналитических решениях, выфаженнык в элементарный функциях.

В работах [1-3] предложен метод нахождения аналитических решений уравнений Максвелла для стационарных и переменных электромагнитных полей, а также приведены несколько примеров таких решений, представляющих собой зависимости относительно некоторого набора произвольных функций. В настоящей статье на основе пакета решений [3] разработаны аналитические решения переменных монохроматических электромагнитных полей в градиентных средах, имеющих трехмерное распределение электромагнитных параметров, выраженное в элементарных функциях и допускающее физическую реализацию таких сред. Полученные модели удобны для выполнения различного рода теоретических оценок и при тестировании программ численного решения прямых и обратных задач геоэлектрики.

1. Методика построения трехмерных аналитических решений для переменного монохроматического электромагнитного поля

Метод построения аналитических решений уравнений Максвелла, представленный в работах [1-3], состоит в следующем. Пусть V - односвязная область евклидова пространства Я3. Рассмотрим в этой области переменные электромагнитные поля в частотной

области для линейной изотропной среды. В случае отсутствия в области V источников электромагнитного поля уравнения Максвелла имеют вид

rot H = оЕ , rot E = ia/H , (1)

где E и H - комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля; о и / - скалярные комплекснозначные электропроводность и магнитная проницаемость, зависящие от координат x, y, z и круговой частоты a ; i - мнимая единица.

Рассмотрим следующую обратную задачу для переменного электромагнитного поля: по заданному в области V вектору E (или H) найти в этой области скалярные функции о и а также вектор H (или E), обращающие соотношения (1) в тождества.

Если геологическая среда немагнитная ( / = /0 = 4^-10-7 Гн/м), что обычно имеет место в задачах электроразведки, то поставленная обратная задача имеет решение тогда, и только тогда [1], когда заданное векторное поле E является решением нелинейного уравнения

E x rot rot E = 0. (2)

Кроме того, если заданный вектор E удовлетворяет уравнению (2), то для немагнитной среды имеем

H =-^rotE , о>Г°'Г*Е . (3)

ia/u0 ia/u0E

Таким образом, если вектор E является решением уравнения (2), то семейство функций {e, H, /, о} , где H и о определяются равенствами (3), обращает уравнения (1) в тождества.

Приведем примеры [3] таких решений. Заметим, что в этих примерах произвольные функции Ф, Y и их производные являются непрерывными комплекснозначными функциями своих аргументов; a, b, c - комплекснозначные функции круговой частоты a. В примерах 1.1 и 1.2 векторы Е и H не являются взаимно ортогональными, а в примере 1.3 - ортогональны.

Пример 1.1

Е = Ф(^ ©)[bebz sin by i + aj] ,

H = {- abebz cos by Ф^ i + b 2ebz sin by (Ф+ ebz cos by Ф^) j + ia/u0

■2 bz___/1ч , / , 7^2 2bz _ • 2

+ [-b2ebz cos by Ф + (a2 + b2e2bz sin2 by) Ф^ ] k}

1 (a2 + b2e2bz) Ф"т

о = —

ia/0 Ф где v = ax + ebz cos by.

Пример 1.2

Е = Ф(;,ю)[а(ау + bz)i - (а2 + Ь2) х|] , [2Ь(а2 + Ь2)(ау + bz)х Ф'; i + аЬ(ф+ 2(ау + bz)2 Ф,)) -

¡ю/0

-((2а2 + Ь2) Ф+ 2[(а2 + Ь2)2 х2 + а \ау + Ьг)2] Ф'; )к ] ,

4(а2+ь2)[2 ф;+; ф;,]

о — —

¡ю/и0 Ф

где V = (а 2 + Ь 2 ) х 2 + (ау + Ьг ) 2 . Пример 1.3

Е = [Ф(и, ;,ю) + + Ь\ + ск ]

а_ (а2 + Ь2) Ф' + 2Ьс Ф: + (а2 + с2) Ф^

О —--5

1Ю/и0( Ф+ Ч) где и = Ьх - ау , ; = сх - аг , = ах + Ьу + сг .

2. Физически реализуемые трехмерные аналитические решения

уравнений Максвелла

Для математического моделирования электромагнитных полей, измеряемых при проведении электроразведочных работ, потребуем выполнение следующих условий для семейства функций {Е, Н, а}

1. / _ /о ;

2. а > 0 и не зависит от <ю (квазистационарная модель) или же а = а0 - ¡юе (ао > 0, е > 0), где ао и е не зависят от ю (модель несовершенного диэлектрика);

3. Е и Н рассматриваются в области ю > 0, продолжение этих функций в область ю < 0 основано на условии эрмитовости;

4. для неограниченной области V поля Е ^ 0 и Н ^ 0 при бесконечном удалении от границы этой области.

На следующих примерах покажем, что из множества решений 1.1-1.3 можно получить в частных случаях аналитические решения, удовлетворяющие условиям 1-4, для трехмерных моделей геологических сред.

Пример 2.1

Пусть в примере 1.1: Ф(;,ю) _С(ю)• (А + ;)", где А - константа, независящая от ю,

1 -л 1 - 41ю/л0 ^

С (ю) - произвольная функция круговой частоты ю, п _---, ^ > 0, а Ф 0, Ь Ф 0,

причем а, Ь, s - независящие от ю константы.

Тогда решение имеет вид

а2 + Ь 2е2Ъ

о = 5

(А + ах + вЪг ^ Ъу)2 Е = Ф(^ю)[ЪеЪг sinЪу i + aj] ,

Н = {- аЪвы cos Ъу Ф[ i + Ъ2вЪг sin Ъу(Ф+ вЪг cos Ъу Ф[)j + ¡ю/л0

+ [-Ъ2вЪ cos Ъу ф+ (а2 + Ъ2в2Ьг sin2 Ъу)Ф[] к} .

Если выбрать Re п < 0, то при х ^ да поля Е ^ 0 и Н ^ 0. Пример 2.2

Пусть в примере 1.3: ч^, ю) = 0 , Ф(и, V, ю) = С(ю) • (А + и)п(В + у)т , где А и В -константы, независящие от ю, С (ю) - произвольная функция круговой частоты ю,

п = 1 + у]1 Мщх^^ , т = 1—л/1 4/юД:5 (причем пт = ¡ю/л05), 5 > 0, а Ф 0, Ъ Ф 0, с Ф 0, 2 2 причем а, Ъ, с, 5 - независящие от ю константы.

Тогда решение имеет вид

о = 5-

(л л \ (

а 2

1 1

- + -

+

Ъ

(А + Ъх - ау) (В + сх - аг) ) ^ А + Ъх - ау В + сх - аг

Е = Ф(и, v,ю)[ai + Ъ] + ск ] ,

Н = —\(аЪФ'у -асФ:)i - (ЪсФ: + (а2 + с2Ж)] + ((а2 + Ъ2)Ф'и + ЪсФ'у)к] . гюц0

Если выбрать Re т < 0, то при г ^ да поля Е ^ 0 и Н ^ 0. Пример 2.3

Пусть в примере 1.2: Ф^, ю) = С(ю) • Vп, где С (ю) - произвольная функция круговой -1 -, Д - 4/юл0 5

частоты ю, п =---, 5 > 0, а Ф 0, Ъ Ф 0, причем а, Ъ, 5 - независящие

2

от ю константы.

Тогда решение имеет вид

4(а2 + Ъ2)

о = 5 •

(а + Ъ )х + (ау + Ъг)2 Е = Ф(у,ю)[а(ау + Ъz)i - (а2 + Ъ2)х]] ,

Н = [2Ъ(а2 + Ъ2)(ау + Ъг)х ФV i + аЪ(ф+ 2(ау + Ъг)2 ФV)]

гю/,

0

-((2а2 + Ъ2)ф+ 2[(а2 + Ъ2)2х2 + а2{ау + Ъг)к]. Если выбрать Re п < 0, то при х ^ да (или г ^ да) поля Е ^ 0 и Н ^ 0.

2

с

Пример 2.4

Пусть в примере 1.1: Ф(у,®) = C(a)e_ia"°f(v), Где f (v) - произвольная действительная дважды дифференцируемая функция с неотрицательной второй производной, a, b - независящие от а ненулевые константы. Тогда решение имеет вид

а = (а2 + b 2e2bz )f » - rnßo(a2 + b 2e2bz )[f '(v)]2 , E = Ф^, a)[bebz sin by i + aj] ,

H = {- abebz cos by ФV i + b2ebz sin Ьу(Ф+ ebz cos by ФV)j + io¡u0

+ [-b2ebz cos by Ф+ (a2 + b2e2bz sin2 by) ФV ] k} .

Например, если f (v) = v ■ (A + B arctg v) - B ■ InVl + v2 , f "(v) = , где B > 0 и

1 + v2

A - независящие от а константы, то электропроводность а описывается функцией

а = а0 - ias ,

(a2 + b2e2bz) 1 + (ax + ebz cos by)

где а = B ■-—--bZZ-TT- , s = ß0(a2 + b 2e2bz )[A + B arctg(ax + ebz cos by)]

При соответствующем выборе параметров примеры 2.1-2.4 могут описывать двумерные и одномерные среды. Так, например, решение в примере 2.1 можно привести к модели Като-Кикучи [4] одномерной градиентной среды с электропроводностью а = ст0(1 + pzу, р > 0 (случай q = -2), если выполнить циклическую замену переменных:

х ^ z ^ у ^ х и положить Ь = 0, А = 0, а = р, ^ = — . Аналогично пример 2.2 в

Р

частном случае так же можно свести к той же модели Като-Кикучи.

Примеры 2.1-2.3 могут быть использованы для моделирования электромагнитных полей в полупространстве, так как поля Е и Н стремятся к нулю при неограниченном возрастании одной из координат, которую в этом случае следует принять за глубину залегания пород относительно дневной поверхности. Пример 2.4 можно использовать для описания полей при исследовании верхней части разреза и в задачах георадиолокации.

Заметим, что рассмотренные в примерах 2.1-2.4 электромагнитные поля Е и Н, а также параметры среды а и ц, являются физически реализуемыми, что дает основанием для их дальнейшего изучения.

2

Г Е О Ф И 3 И К А

Работа выполнена благодаря финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 10-05-00 753-а).

Л и т е р а т у р а

1. Губатенко В .П. Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред //Недра Поволжья и Прикаспия. - 2011. - Вып.66. - С.70-77.

2. Губатенко В.П. Нахождение аналитических решений задач геоэлектрики на основе решения обратной задачи //Недра Поволжья и Прикаспия. - 2011. - Вып.67. - С.34-46.

3. Губатенко В.П., Московский И.Г. Применение обратной задачи для нахождения аналитических решений уравнений Максвелла //Известия Сарат. ун-та. Новая серия. - 2012. - Т.12. - Серия Науки о Земле. - Вып.2. - С.62-68.

4. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Магнитотеллурическое зондирование горизонтально-однородных сред. - М.: Недра, 1992. - 250 с.

УДК 550.34

ОЩУТИМЫЕ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ ВОЛГО-ПРИКАСПИЙСКОГО РЕГИОНА И ИХ ТЕКТОНИЧЕСКАЯ ПОЗИЦИЯ

© 2013 г. В.А. Огаджанов1, М.Ю. Маслова2, A.B. Огаджанов3

1 - ОАО "Атомэнергопроект"

2 - ФГУП "Нижне-Волжский НИИ геологии и геофизики"

3 - Геофизическая служба РАН

В тектоническом отношении рассматриваемая территория относится к восточной части древней Восточно-Европейской платформы, ограниченной с востока и юго-востока герцинскими геоструктурами Уральской геосинклинали, Туранской и Скифской плит. Соответственно Туранская и Скифская плиты с юго-запада ограничены Альпийскими складчатыми структурами Кавказа и Копет-Дага. В пределах этой части платформы отмечена значительная ощутимость землетрясений как от очагов, расположенных в пределах альпийской складчатой области Кавказа, Каспийского моря, Западной Туркмении, так и от очагов, расположенных в областях герцинской и докембрийской систем. Ниже приводится описание наиболее ощутимых землетрясений, произошедших на региональных, по отношению к сейсми-

ческим станциям Саратовского геодинамического полигона (СГП), территориях.

Землетрясение 8 июля 1895 года В карточном каталоге землетрясений (1991) сообщается о землетрясении 1895 г., охватившем большую площадь.

Астрахань. В начале 3 ч ночи, 27 июня (по старому стилю). Ряд коротких и слабых сотрясений, продолжительностью не более 2 с. Направление с юго-запада на северо-восток или с востока на запад. Качание висячих предметов, соборный колокол ударил 4 раза. Домашние птицы с криком просыпались. Суда, находившиеся в воде, испытывали как бы легкие удары в нижнюю часть корпуса. В некоторых домах со столов падали инструменты.

Оренбург. 3 ч ночи, 27 июня (по старому стилю). Заметное сотрясение почвы.