Нахождение аналитических решений задач геоэлектрики на основе решения обратной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г Е О Ф И З И К А

УДК 550.837

НАХОЖДЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

© 2011 г. В.П. Губатенко

Саратовский государственный технический университет

В работе [ 1] для линейных изотропных сред, применяемых в теории электроразведки, даны критерии принадлежности произвольных векторных функций классу электромагнитных полей. На этой основе предложен метод нахождения аналитических решений однородных уравнений Максвелла. Целью настоящей работы является изложение алгоритма построения аналитических решений для постоянных и переменных электромагнитных полей. Будут отмечены трудности и особенности, встречающиеся при решении этой математической задачи, а также приведены примеры, иллюстрирующие возможности предлагаемого метода.

Аналитические решения для постоянного тока

Метод нахождения аналитических решений однородных уравнений Максвелла для постоянного тока основан на решении следующей обратной задачи геофизики [1]: найти по вектору E (или H), заданному в ограниченной и односвязной области V евклидова пространства R3, скалярные функции а и а также вектор H (или E), обращающие в тождества соотношения

rot H = а E , (1)

rot E = 0 , (2)

div | H = 0 . (3)

Здесь соотношения (1) - (3) есть однородные уравнения Максвелла для постоянных электромагнитных полей; а и | - соответственно электропроводность и магнитная проницаемость.

Показано [1], что в случае заданного вектора E решение этой задачи существует тогда, и только тогда, когда вектор E потенциальный. Поэтому для нахождения аналитического решения уравнений (1) - (3) по заданному (потенциальному) вектору E выберем в области Vлюбую достаточно гладкую скалярную функцию ф (x, у, z) ф const прямоугольных декартовых координат x, y, z и положим E = grad ф (x, y, z).

Тогда из уравнения (1) получаем линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка

дф да + Эф да + Эф да

дх дх ду ду dz dz

д2 ф + д 2ф + д 2ф

дх ду дz

2

а (4)

для искомой функции а. Общее решение этого уравнения обычно находят [2] с помощью соответствующей характеристической системы

dx dy dz da

Эф Эф Эф Эх Эу Эz

Э 2ф Э 2ф Э 2ф + —+ —a

(5)

Эх Эу Эz2

у

Поскольку ф (х, у, z) Ф const, то всегда существуют [2] независимые первые интегралы этой системы: Q = Е, (х, у, z, a), C2 = л (х, у, z, a), C3 = С (х, у, z, a), и тогда можно записать общий интеграл уравнения (4) в виде

Ф & л, С) = 0 , (6)

где Ф - произвольная дифференцируемая функция.

В силу независимости первых интегралов, всегда существует решение уравнения (6) относительно искомой функции a, а поскольку функция Ф (£, л, С) произвольная, то решение задачи определения a по заданному вектору E = grad ф (х, у, z) не единственно.

Рассмотрим частный случай, когда div E = V 2ф = 0 , т. е. будем считать, что заданный вектор E не только потенциальный, но и вихревой. Так как div aE = 0, то из условия div E = 0 следует, что (grad a, E) = 0. Физический смысл условия div E = 0 заключается в том, что векторные линии напряженности E электрического поля и, следовательно, плотности тока J = aE лежат на поверхностях уровня электропроводности a. В соответствии с выражением (5) имеем в данном случае характеристическую систему

dx dy dz da Эф Эф Эф 0 Эх Эу Эz

Откуда находятся независимые первые интегралы Q = a, C2 = л (х, у, z), C3 = С (х, у, z), где C2 = л (х, у, z), C3 = С (х, у, z), и тогда

a = Ф (л, С) ,

где Ф - произвольная дифференцируемая функция. В частности, полагая Ф = a0 = const, видим, что семейство решений a = Ф (л, С) содержит решение a = a0. Если же div E Ф 0, то никаким выбором функции Ф в формуле (6) получить решение a = a0 невозможно.

Выберем из множества решений, определяемых выражением (6), некоторое решение a = a (х, у, z). Тогда в уравнении (1) определена правая часть и получаем уравнение rot H = a Е относительно вектора H. В векторном анализе общее решение этого уравнения хорошо известно:

H = H0 + grad у , (7)

при этом у z

p(xу,z) = -J jz(xу,z)dy + J jy(xУо,z)dz ,

Уо z0

Q (x , У, z ) = 0 , (8)

у

r(xy,z)=Jjx(xy,z)Лу ,

уо

где у - произвольная дифференцируемая функция; Но = (P Q, R) ; (x0 , у0 , z0 ) е V ;

jx(x,у,z)=g(x,у,zУz) , jy(x,y,z) = g(.xy,z,

ox ду

/ ч / \d^x, у, z) / (x,у,z)=g(x,у,z) v ' t ^ n

- z ■ 7 ■ 7 Oz - компоненты плотности тока J = gE. Заметим, что

из выражений (7) и (8) следует тождество (rot Н, rot rot Н) = 0.

Задавая нужным образом функцию у в выражении (7), найдем некоторый вектор

Н = (Нx, Ну, Нz), определяющий напряженность магнитного поля в области V. Применяя

теперь уравнение (3) в координатной форме, имеем

Н * + Ну ^ + Н ^

x ^ у ^ z /•s

ox ду oz

дНх ОН ОН,

x + —- + ■

v

dx Оу dz

Ц . (9)

Решение уравнения (9) относительно неизвестной магнитной проницаемости | находится тем же методом, что и решение уравнения (4), т. е. находятся три независимых первых интегралов С = £1 (х, у, г, |), С2 = Л1 (х, у, г, |), С3 = (х, у, г, |) характеристической системы

ах ау аг аи

- - - , (10)

Н Н Н ^ Л

' x у z

Ц

к дх ду дг у после чего записывается общий интеграл уравнения (9):

Ф1 (£1, Л1, С1) = 0 , (11)

где Ф1 - произвольная функция. Соотношение (11) определяет множество функций | для выбранного вектора Н из семейства векторов (7). Тем самым семейство функций {Е, Н, а}, где Е = grad ф (х, у, г), вектор Н определяется выражениями (7) и (8), а а и | находятся соответственно из уравнений (6) и (11), обращает в тождества соотношения (1) - (3). Следовательно, векторы Е и Н, входящие в это семейство, являются аналитическим решением уравнений Максвелла (1) - (3), если а и | принадлежат тому же семейству Отличие данного метода от традиционных способов решения уравнений (1) - (3) состоит в том, что параметры среды а и | не являются заданными функциями в этих уравнениях, а находятся из решения обратной задачи.

Применение изложенного метода рассмотрим на следующем примере. Пусть в одно-связной области V, расположенной в области х > 0, у > 0, z > 0, задана потенциальная

функция ф = a ер ^ z, где а = const, Р = const, [а] = , [р ] = м 3 , и, следовательно, задана

м

напряженность электрического поля

E = grad ф = ар е^ (yzi + xzj + xyk ) , (12)

где i, j, k - орты прямоугольной декартовой системы координат x, y, z. Найдем параметры среды а и а также вектор H такие, что семейство функций {E, H, а} обращает соотношения (1) - (3) в тождества.

Электропроводность а является решением уравнения (4). Это уравнение, применительно к нашему примеру, имеет вид

5а 5а 5а п/ 2 2 2 2 2 2\ yz — + xz — + xy — = -р(y z + x z + x y )а . (13)

5x 5y 5z v '

Для нахождения общего решения этого уравнения составим соответствующую характеристическую систему уравнений

dx dy dz d а

^ хг ху ра( у2 г2 + х2 г2 + х2 у2) Нетрудно отыскать независимые первые интегралы этой системы: С = а еРху г, = х2 - у2,

С3 = г2 - у2, что позволяет записать общее решение уравнения (13) в неявном виде

Ф (а еР ху г, х2 - у2, г2 - у2) = 0 , где Ф - произвольная дифференцируемая функция. Учитывая независимость первых интегралов, легко также записать общее решение уравнения (13) в явном виде

а = а0 е-р ху г Ф* (х2 - у2, г2 - у2), где Ф* - произвольная безразмерная дифференцируемая функция соответствующих аргументов; ао - постоянная, [ао] = См/м. Положим, например, Ф* = 1. Тогда

а = а0 е-Р ху г , (14)

и компоненты плотности тока определяются выражениями

]х = ара0 Уг, .}у = аРа0 xг, jz = ара0 ху.

Подставляя эти компоненты в формулы (7) и (8), полагая при этом у = 0 и (х0, у0, г0) = (0, 0, 0), находим

а ра0 Г „ ( „2 , ,2 \ . , _ , 2,

H = H 0 = [ x ( z 2 - y2 ) i + zy 2k "

(15)

2

Тогда уравнение (9) для отыскания магнитной проницаемости ц примет вид

х(г2 - у2 + гу2 ^ = -г2 ц. (16)

Составляя характеристическую систему, соответствующую данному уравнению, и находя ее независимые первые интегралы, нетрудно записать общее решение уравнения (16) в явном виде

Ц = Ц e Ф*

y , xze 2y

(17)

где Ф1 - произвольная безразмерная дифференцируемая функция; ц0 = const, [ц0] = ГН/м.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что семейство функций {E, H, ц, а}, определяемое выражениями (12), (14), (15), (17), обращает соотношения (1) - (3) в тождества. Поэтому можно считать, что векторы E и H из данного семейства являются аналитическими решениями однородных уравнений Максвелла с параметрами среды а и ц из того же семейства.

Приведенный пример показывает, что основным препятствием для нахождения аналитического решения уравнений Максвелла по заданному потенциальному вектору E является отыскание интегрируемых комбинаций характеристических систем (5) и (10). Однако в большом числе случаев все же удается найти независимые первые интегралы этих систем.

Отметим также большую роль произвольной функции у в выражении (7). С одной стороны, удачный выбор этой функции позволяет упростить отыскание независимых первых интегралов характеристической системы (10), а с другой, - преобразовать вектор H в вихревой вектор (div H = 0) и тем самым включить в число решений уравнения (11) важнейший для структурной геоэлектрики случай немагнитной среды (ц = const).

Рассмотрим теперь другой способ нахождения аналитических решений для постоянных электромагнитных полей. Пусть в области V задан в аналитическом виде вектор H и требуется найти в этой области скалярные функции а и ц, а также вектор E такие, чтобы семейство функций {E, H, ц, а} обращало соотношения (1) - (3) в тождества. В работе [1] показано, что решение этой задачи существует и не единственно тогда, и только тогда, когда вектор H удовлетворяет в области V нелинейному дифференциальному уравнению

(rot H, rot rot H) = 0, (18)

при дополнительном условии rot H Ф 0.

Найдем решение обратной задачи, полагая, что вектор H является решением уравнения (18). Из уравнения (2) следует, что E = grad ф (x, y, z), где ф (x, y, z) Ф const - произвольная скалярная дифференцируемая функция. Тогда соотношение (1) примет вид:

rot H = а grad ф. (19)

Отсюда получаем уравнение относительно а уравнения

'1 Л

rot

rot H

ча у

= 0 . (20)

z 2

Введем обозначение J = rot Н = (jx,j у, jz), новую неизвестную функцию p = 1/ g ф 0 (удельное электрическое сопротивление среды). Записывая уравнение (32) в координатной форме, получаем систему уравнений

dp dp

J — - J — +

J z ^ J у ^

ду dz

djz dJy

ду dz

p = 0 ,

(21)

i dP ^ i dP ^ I djx djz

Jz--^ ]x--^---

dx dz I dz dx

dp dp

j — - j — +

у ^ J x *

dx Оу

]-dj

л

dx dy

p = 0 ,

p = 0 .

(22) (23)

Поскольку для заданного вектора Н выполнено условие (18), т. е. ( J , rot J ) = 0 в области V, и хотя бы одна компонента вектора J = rot Н = (j x, j у, j z) отлична от нуля, то одно из уравнений системы (21) - (23) можно исключить. Полагая, что J z ф 0 и исключая уравнение (23), запишем уравнения (21) и (22) в канонической форме

dp - ] dp — + dz 1 djy ^

ду Jz Jz v°y dz j

dp Jx dp 1 Idix J)

dx Jz dz Jz ч dz dx j

p = 0 p = 0

(24)

(25)

Так как ( J, rot J ) = 0 , то система уравнений (24), (25) является инволюционной. Следовательно, она имеет общее решение, которое может быть найдено с помощью методов Якоби или способа Майера. Общее решение системы (24), (25) определяет множество функций p, и, следовательно, функций g, соответствующих заданному вектору Н.

Определив g из системы уравнений (24) - (25), находим напряженности электрического поля:

E = - rot Н , g

после чего магнитная проницаемость ц определяется из уравнения (3) уже рассмотренным методом. Тем самым, искомое семейство функций {E, Н, ц, g} определено.

Заметим, что метод нахождения аналитических решений уравнений Максвелла, основанный на задании вектора E, обладает большей общностью и простотой, чем только что рассмотренный метод. Действительно, применение метода нахождения аналитического решения по заданному вектору Н возможно, если Н является решением уравнения (18) при условии rot Н ф 0. Однако различные решения этого уравнения могут быть найдены с помощью уравнения (18), полагая E = grad ф, решая уравнение (4) относительно электропроводности g и применяя формулы (7), (8).

Аналитические решения уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля

В случае линейной изотропной среды и переменного электромагнитного поля можно рассмотреть метод нахождения аналитических решений уравнений Максвелла, применяя решение обратной задачи [1] по заданному вектору E или H. В силу принципа перестановочной двойственности уравнений Максвелла относительно замен E о- Н, /ш|1 о- а достаточно изложить этот метод только для заданного вектора E.

Пусть в ограниченной односвязной области V евклидова пространства R3 задано в аналитическом виде векторное поле E (x, y, z, /ш), где x, y, z - прямоугольные декартовы координаты; ш - круговая частота; i - мнимая единица. Будем считать поле E эрмитовой функцией относительно параметра ш. Потребуем также, чтобы вектор E был достаточно гладкой функцией координат x, y, z. Найдем по вектору E скалярные функции а и а также вектор H, обращающие в тождества соотношения

rot H = а E , (26)

rot E = /ш| H . (27)

В работе [ 1] приведено утверждение, в соответствии с которым решение этой задачи существует тогда, и только тогда, когда вектор E удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) rot F E = 0 , (E, rotE)* 0 , (rot E, rot rot E) Ф 0 ,

где F

1

(rot E, rot rot E)

div

(rot E, rot rot E)

E

rot E +

1

(E, rot E)

( E x rot rot E ) ;

(E, rot E)

2) (E, rot E ) = 0 , (rot E, rot rot E ) = 0 , rotE ф 0 .

Пусть вектор E подчиняется первому условию. Тогда решение обратной задачи определяется [1] выражениями

| = 10 (ш)ехр

м

J FxE dx + Ff dy + Ff dz

V M 0

а =

/ш E2

E,rot

rot E

I

H =

/У

rot E

(28)

(29)

где |0 (/ш) - независящая от координат произвольная эрмитова функция частоты ш; F E = (FE , FyE , Fze ) ; M ( x, y, z) e V, M0 (x0 , y0 , z0 ) e V В этом случае семейство функций {E, H, а} обращает в тождества соотношения (26) и (27). Следовательно, векторы E и H являются аналитическими решениями уравнений Максвелла (26) и (27) для параметров среды, определяемых выражениями (28) и (29).

Единственным препятствием для успешного применения данного метода является отыскание векторов E, удовлетворяющих нелинейному уравнению rot FE = 0 при условии (E, rot E) Ф 0, (rot E, rot rot E) Ф 0. Множество таких векторов в соответствии с формулами

1

1

1

(28) и (29) порождает семейства {E, H, а} с не ортогональными векторами E и H. Этому множеству принадлежат, например, Е- и Н-поля общего вида [3].

Заметим, что уравнение для нахождения допустимых векторов E значительно упрощается [1], если постановку обратной задачи дополнить заданием магнитной проницаемости | = |о = const в области V. В этом случае F E = 0, а вектор E является решением нелинейного уравнения E x rot rot E = 0 при условии, что rot rot E Ф 0.

Пусть теперь вектор E, заданный аналитическим выражением, подчиняется второму условию утверждения. В этом случае при решении обратной задачи возможны следующие два варианта [1]: или E x R = 0, или E x R Ф 0, где R = (R x , Ry , R z) = rot rot E = rot Q;

Q = (Q x , Q y , Q z) = rot e ф 0.

В случае E x R = 0 магнитная проницаемость | удовлетворяет уравнению

E. ^ + Ey + E. £1 = 0

y £y

£x

£z

(30)

(31)

Общее решение этого уравнения имеет вид [1]

| = Ф 1 (с; 1 (x, y , z, /ю), q 2 (x, y, z, /ю)) , где C1 = q 1 (x , y , z , /ю ) , C 2 = q 2 (x , y , z , /ю) - независимые первые интегралы характеристической системы, соответствующей уравнению (30); ФД;^q 2 ) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Семейство решений (31) включает в себя важный для электроразведки случай | = | 0 = const.

В случае E x R Ф 0 магнитная проницаемость | удовлетворяет системе уравнений

fE, £l + Ev £l + Ez £|Л

£x £y £z

Qx =-|(EyRz - EzRy)

E Ф + e Ф + e £l

y £y

£x

£z

Qy =-|(EzRx - ExRz)

(32)

Ф + Ey Ф + e £l

y £y

£x

£z

Qz =-|(ExRy - EyRx) .

Некоторые уравнения этой системы, но не все, обращаются в тождества, если соответствующие компоненты Q х , Q у , Q 2 вектора Q равны нулю, а оставшиеся уравнения совпадают. Тогда, если например Q х Ф 0, то система (32) эквивалентна уравнению

Ех^ + е„ ^ + Е, *=-цЕуК': Е*К> . (33)

£x

£y

£z

Qx

Общее решение уравнения (33) в неявной форме имеет вид

Ф (Л1, Л2» Лз) = 0,

где Ф (Ль Л2> Лз) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция; Q = Л1 (x, y, z, д, /ш), C2 = Л2 (x, У, z, д, /ш), C3 = Лз (x, y, z, д, /ш) - независимые первые интегралы характеристической системы, соответствующей уравнению (33). В силу независимости функций Ль Л2> Лз из уравнения (34) можно найти функцию д в явном виде. Как в первом, так и во втором случае оставшиеся неизвестные а и H нетрудно записать, применяя формулы (29). Полученное семейство функций {E, H, д, а} обращает в тождества соотношения (26), (27), и, следовательно, векторы E и H из этого семейства являются аналитическими решениями уравнений Максвелла для найденных при решении обратной задачи параметров среды а и д.

Множество векторов электромагнитных полей E, подчиняющихся условиям (E, rot E) = 0, (rot E, rot rot E) = 0, rot E Ф 0, определяют подкласс электромагнитных полей с ортогональными векторами E и H. К числу таких полей относятся Е- и Н-поля специального вида [3]. Покажем это для Е-поля специального вида. Тогда тот же результат для Н-поля специального вида будет следовать из принципа перестановочной двойственности.

Рассмотрим в области V ^ R3 криволинейную ортогональную систему координат qi, q2, q3 с коэффициентами Ламе hi, hi, h3, не зависящими от координаты qi. Пусть в этой области задана напряженность E электрического поля

E = eiEi fe q3, iш), (35)

где ei - единичный вектор, входящий в тройку базисных векторов ei, e2, e3 криволинейной

ортогональной системы координат qi, q2, q3; Ei - не зависящая от координаты qi компонента вектора E в той же системе координат. Предположим также, что функция Ei эрмитова и не зависит от координаты qi. Найдем для такого вектора E решение обратной задачи.

Покажем вначале, что решение обратной задачи существует. Учитывая, что коэффициенты Ламе, как и вектор E, определяемый формулой (35), не зависят от координаты qi, имеем:

i ) i d(h,E,)

rot E =--^^ e 2---^^ e3 , (36)

hih3 dq3 hih2 dq2

rot rot E i

h2 h3

Э Г h3 d(hiEi + Э f h2 d(hiEi)

dq2

v hih2 dq2 J dq3 ^ hih3 dq

V 1"з ^3 J

ei . (37)

Отсюда

(E , rot E) = 0 , (rot E, rot rot E) = 0 .

Следовательно, заданный вектор E удовлетворяет второму условию существования решения обратной задачи.

Так как из выражений (35) и (37) следует, что E х rot rot E = 0 , то уравнение (30) в системе координат qi, q2, q3 имеет вид

т^Ei(42,q3) =0 . h 8q1

Следовательно,

Д = Д (q2, 43,iш), (38)

где д (q2, 43 /ш) - произвольная эрмитова функция, не зависящая от координаты qi. Применяя формулы (29), окончательно получаем

а

= (E,rot(g ' rot e)) = _ /шЕ2 _

1 1

/шЕ1 h2 h3

a

h3 a(h1 E1)

+ -

a

dq3

H

1

rot E

1

aq2 aq2 у

1 a(h1 e1 ) 1 a(h1 e1 )

h2 a(h1 E1 ) ^h3 8q

3 У

/ШД

e,

(39)

(40)

/шд|_ h1hз дq3 h1h2 Выражения (38) - (40) дают общее решение обратной задачи для заданного формулой (35) вектора E. Нетрудно заметить, что электромагнитное поле с векторами E, H и параметрами среды д, а, определяемыми соответственно формулами (35), (40) и (38), (39), является Е-полем специального вида по отношению к координате ql, т. е. E, ^ д и а связаны соотношениями

1

h2 h3

8 8 8 (hИъ H2)

8q2 1

8

h1h3 8q3 1 8

8q3

(h1 E1) = /шд H2

(h1 E1 ) = /шд H3

= aE1

(41)

где Е1, Е2, Е3 и #1, Н2, Н3 - соответственно компоненты векторов E и H в криволинейной ортогональной системе координат ql, q2, qз.

Таким образом, в результате решения обратной задачи мы показали, что произвольно заданная выражением (35) однокомпонентная напряженность E электрического поля формирует семейство функций ^ д, а}, определяемое формулами (35), (38) - (40) и обращающее в тождества уравнения Максвелла. В этом семействе векторы E и H ортогональны и составляют Е-поле специального вида. Формулы (35), (38) - (40) для произвольных функций Е1 ^2, qз) и д = д ^2, qз /ш) определяют всевозможные частные решения уравнений Максвелла для Е-полей специального вида.

Приведем пример. Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z цилиндр V с образующими, параллельными оси ОХ и проходящими через замкнутую

линию, целиком лежащую в координатной плоскости YOZ при условии y > 0, z > 0. Пусть в этом цилиндре задана напряженность электрического поля

E = у exp(- у/- /ю Р yz)i, (42)

где у и Р > 0 - постоянные, для которых [у] = В/м, [Р] = с"1 м-4; Re у/ - /ю Р > 0 . Найдем решение задачи 3 в цилиндре V.

Полагая q1 = x, q2 = y, q3 = z, h1 = h2 = h3 = 1, e1 = i, e2 = j, e3 = k в формулах (35) - (40), видим, что вектор E удовлетворяет условию (35), поэтому магнитная проницаемость | в соответствии с формулой (38) может быть произвольной функцией координатy и z. Положим, например,

I = 10, (43)

где |0 = const, [|0] = Гн/м.

По формулам (39) и (40) находим

а = — (y2 + z2) , (44)

10

H = —rotE = exp(- д/- /юРyz)(y j - z k) . (45)

/ю| |0 V /ю

Таким образом, для заданной формулой (41) напряженности E электрического поля решение обратной задачи определяется, в частности, формулами (43) - (45). Подставляя выражения (42) - (45) в соотношения (41), которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

£H £Hy

- ah ,

£y £z £E

£z £E

= mvHy , (46)

= /®|Hz ,

ду

видим, что они обращаются в тождества. Следовательно, векторы Е и Н, определяемые выражениями (42) и (45), являются аналитическими решениями системы уравнений (46) для магнитной проницаемости | и электропроводности а, заданными соответственно выражениями (43) и (44). Иными словами, если параметры среды | и а в цилиндре V заданы выражениями (43) и (44), то векторы Е и Н определяют по формулам (42) и (45) плоское Е-поляризованное поле по отношению к координате х.

Не следует, однако, думать, что Е- и Н-поля специального вида исчерпывают подкласс электромагнитных полей с ортогональными векторами Е и Н. Покажем это на следующем простом примере.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z в области Vзадан эрмито-вый однокомпонентный вектор

Е = 1 Ех (х, у, z, /ш), (47)

где компонента Ех зависит от всех трех декартовых координат и частоты ш. Отсюда

_ dEx. дЕх rot E = —- j--- k

rot rot E = -

Ад2 E

x

+

dz

д2 E

x

dy

2

i +

д2 E д2 E "-j + "

дхду dxdz

k

(48)

(49)

Следовательно,

( „ дЕ д2 E

(rot E,rot rot E)- x x

(E, rot E) = 0,

дЕ д2 E

гдЕх Л2 д

дz дхду ду дxдz

дz

дх

ду

'¿E

дz

(50)

Поскольку (E, rot E) = 0, то вектор E, в соответствии со вторым условием существования решения обратной задачи, не может принадлежать первому подклассу электромагнитных полей с не ортогональными векторами E и H. Для того чтобы вектор E принадлежал второму подклассу (электромагнитным полям с ортогональными E и H) необходимо и достаточно, чтобы в области V выполнялось тождество (rot E, rot rot E) = 0. Как следует из формулы (50), данное тождество имеет место при выполнении условия

дх

дE ^E

ду / дz

0

Отсюда в самом общем виде получаем

Ех = Ех (х, и (у, z, /ш), /ш) , где и (у, z, /ш) - произвольная функция координат у, z и параметра ш.

Будем считать условие (51) выполненным. Тогда вектор

Е = 1 Ех (х, и (у, z, /ш), /ш) удовлетворяет второму условию существования решения обратной задачи. Найдем ее решение.

С учетом выражения (52) запишем

(51)

(52)

^ дE rot E = —^

ди

E х rot rot E = - E

ди . дил —j--k

дz ду

д2 E

дхди

ди . ди, —j--k

дz ду

(53)

(54)

Подставляя выражения (53) и (54) в уравнение (33), получаем

дд

— = д—

дх дх

дЛ дЕхЛ

1п х

Следовательно,

д = Х(у, г, /ш)

ди дЕ

_х_

ди

где X (у, г, /ш) - произвольная функция координат у, г и параметра ш. Окончательно, применяя выражения (29), (52) и (55), находим комплексную электропроводность а и вектор &

1

а

/шЕ

Н

д_ ду

1

/шХ

диЛ

Хду.

ди . дг

+

д

дг ди

1 ди X дг

ду

(56)

(57)

Векторы E и H из данного примера принадлежат второму подклассу множества электромагнитных полей, но не являются Е- и Н-полями специального вида, поскольку E и а зависят от всех трех координат. Эти векторы будут решениями уравнений Максвелла, если магнитная проницаемость д и электропроводность а определены соответственно выражениями (55) и (56). Заметим, что хотя напряженность E электрического поля и параметры среды а и д зависят в общем случае от всех трех декартовых координат, однако, напряженность H магнитного поля не зависит от координаты х.

Предложенный в настоящей работе метод позволяет существенно расширить множество аналитических решений уравнений Максвелла для сложно построенных геологических сред. Пополнение множества таких решений создает надежную основу не только для тестирования прямых и обратных задач геоэлектрики, но также и для разработки качественной и количественной интерпретации полевых электроразведочных данных.

Работа выполнена благодаря финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 10-05-00753-а).

Л ит ер ат у ра

1. Губатенко В.П. Построение класса переменных электромагнитных полей для линейных изотропных сред //Недра Поволжья и Прикаспия. - 2011. - Вып.66. - С.70-77.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

3. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. - М.: Наука, 1988.