Построение интегральных моделей в рамках нечеткой экспертной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ченным при анализе распадов пиона, каона, а также широко известных в литературе.

На рис. 11 приведена гистограмма, где по вертикали отложено количество реакций, в которых наблюдается упомянутое соответствие, а по горизонтали - номер числа Фидия. Наибольший пик образуют реакции типа Ре с распадом на две частицы равной массы, затем пик а для случаев, когда векторы равны числу Фидия (0,618...), и так далее. Проведенное сравнение с рядом случайных чисел с равномерным распределением подобного статистически значимого эффекта не обнаружило.

Заключение

Найдено, что распады ряда элементарных частиц - пион, каон, лямбда, сигма, кси, омега - энергетически соответствуют принципу «золотого сечения». Таким образом, из всего многообразия форм существования простейших энергетических структур природа отбирает наиболее устойчивые, время существования которых достаточно для их регистрации приборами. Такое совершенство соотношения частей и целого

элементарных кирпичиков материи проецируется на те объекты окружающего нас мира, которые нами признаются образцами, будь они природными созданиями или творениями рук и ума людей. Наиболее величественные и известные из них, называемые чудесами света, относятся к гигантским постройкам - пирамидам, храмам, маякам, плотинам.

Список литературы

1. Саврухин А.П. Корпускулярная спектроскопия // ФМР. - 2001. -№ 2. - С. 62-67.

2. Саврухин А.П. Электрон, пион, мюон: соотношение масс // ФМР. - 2001. - № 3. - С. 42-45.

3. Саврухин А.П. Определение точных значений масс пиона и мюона // Лесной вестник / МГУЛ. -2002. -№ 1(21).-С. 157-161.

4. Саврухин А.П. Распад пиона и золотое сечение. IV Всероссийская конференция «Физика элементарных частиц и атомного ядра»: Сб. науч. тр. -М.: МИФИ, 2003.-С. 72.

5. Саврухин А.П. Золотое сечение и элементарные частицы // Лесной вестник / МГУЛ. - 2003. - № 1.

6. Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с.

7. Hagiwara K. et al. Phys. Rev. D66, 010001 (2002).

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В РАМКАХ НЕЧЕТКОЙ

ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О.М. ПОЛЕЩУК, доц. каф. высшей математики МГУЛа, канд. физ.-мат. наук

Методы обработки и анализа нечеткой экспертной информации можно разбить на три этапа. Первый этап называется этапом фаззификации (формализации) информации и состоит в построении моделей экспертного оценивания или описания признаков в рамках семантических пространств [1]. Семантические пространства представляют собой подмножество лингвистических переменных с фиксированным терм-множеством. В последнее время выделено подмножество семантических пространств - полные ортогональные семантические пространства (ПОСП) [2], функции принадлежности которых обеспечивают адекватное отображение знаний и опыта экспертов. Разработаны ме-

тоды построения ПОСП в рамках качественных и количественных признаков [2].

Этап формализации нечеткой информации обеспечивает возможность применения аппарата теории нечетких множеств в рамках формализованной информации и является своего рода фундаментом для построения моделей уже непосредственно в рамках этого аппарата.

Задачи построения таких моделей решаются в рамках второго этапа обработки и анализа нечеткой информации.

Третий этап является обратным к первому этапу и называется этапом дефаз-зификации.

Ситуация сложилась таким образом, что первый этап не получил столь существенного развития, как следующие этапы обработки и анализа нечеткой экспертной информации, хотя именно он обеспечивает их адекватность. На этапе формализации информации не разработаны методы, позволяющие делать предварительную обработку этой информации и только после этого применять методы теории нечетких множеств с целью построения различных моделей.

В настоящей работе рассматриваются задачи, состоящие в построении интегральных моделей экспертного оценивания или описания признаков, которые могут быть использованы на следующих этапах обработки нечеткой информации.

Обозначим через Н* множество, элементами которого являются модели - формализации - экспертного оценивания качественного признака или описания в лингвистических термах физических значений количественного признака, построенные в виде ПОСП -х,= {ц„(*),/ = йп\, i--Tjc,

[а;',а"] - интервал толерантности; a[,al - соответственно левый и правый параметры нечеткости.

Пусть к экспертов оценивают проявление качественного признака у совокупности объектов, моделями этого оценивания являются элементы множества 5*. Будем

предполагать, что дополнительно известна информация относительно оценивания экспертами каждого из объектов совокупности. Оценками являются уровни - терм-множества - вербальной шкалы, в рамках которой проводилось оценивание объектов. Таким образом, если оценка, выставленная I-М экспертом (i = l,¿) И-My (п= ÍJV) объекту является l-м уровнем вербальной шкалы, то эта оценка однозначно отображается на функцию принадлежности ц,7(х) /~го терм-

множества ПОСП Xni = \,к. Обозначим через ц;(х) ( ц("(х)= п = 1,N, I = 1,т ) оценку, выставленную г-м экспертом i = l,к, п-му представителю совокупности.

Обозначим набор формализованных оценок г-го эксперта через

м, = {ц‘(4и,2(4-^Г^)}5

ц;=(<^аГ,^п = ЦУ, ^

где ц,"(х) = ц„(х), п = \,Ы, I = \,т ,Х/ = (ц„(х),/ = 1,т\ - /-й элемент множества Е*, 1 = 1,к .

Будем называть М,а = \,к моделью результатов оценивания г-м экспертом совокупности объектов в рамках качественного признака.

Множество, элементами которого являются Л/.,г = 1 ,к, обозначим через 0*.

В теории экспертного оценивания сформулировано условие оптимальности группового выбора по Парето [3]. Это условие означает, что, если я = р(я,,К2,...,як) -групповое ранжирование, являющееся

функцией индивидуальных ранжирований

к к , то п^сйсий,.

Пусть 5* = |л'., ( = 1,к\, где X/, 1 = 1,к -ПОСП с функциями принадлежности терм-множеств |ц.((*),/ = 1,т}, &к =\мп1 = 1,к}, где

М, ■= {\1“,п = 1,ы\ - модель результатов оценивания г-м экспертом качественного признака у совокупности N объектов

(ц;(х)= ц„(х), п = 1,М,/ = 1,т).

На основе моделей Х„1 = 1,к экспертного оценивания качественного признака или описания в лингвистических термах физических значений количественного признака будем определять интегральную модель X (ПОСП) с функциями принадлежности терм-множеств \fXx\l = 1^г\, /1(х)^{а'1,а12,а[,а1я).

На основе моделей А/у = 1,к результатов оценивания к экспертами совокупности N объектов в рамках качественного признака будем определять интегральную модель М^\1",п = \и\, ц*(х)=

Сформулируем условие Парето для оптимальной интегральной модели X оценивания качественного признака или описания в лингвистических термах физических значений количественного признака, построенной на основе моделей Х:,1 = 1,к:

пХ, с X <= иЛГ

М ' ~ — (-1 1

ИЛИ

пиг^ц, (4ц2, (4-.Цм (*)) ^Ф)<

<тах(ц1((4й2,(4-.^/М)

\// = 1,т,\7хе[

Сформулируем условие Парето для оптимальной интегральной модели М результатов оценивания совокупности N объектов в рамках качественного признака, построенного на основе моделей М,1 ~\,к: к к

:и М,

г\М. с М (

м ' ~~

ИЛИ

тпк' (4^" (4-» и*" и" (4 *

<: шах(ц," (х),ц2л (4-, р.; (л:))

Ул = ЩУ*е[о,1].

Назовем шумами параметров а,", а", я", а", 1 = 1~т,1 = \,к элементов множества 2* соответственно разницы а?-О,'; а"-а\; \ а"-в';/ = 1,от; 1 = 1,*.

Назовем шумами параметров а;", а'”, а"', а*, / = 1Д,п = 1,АГ элементов множества 0* соответственно разницы а;" - а,"; а” - а’1; а* -а^;г = 1Д ; я = 1.ДГ.

Будем предполагать, что функции принадлежности терм-множеств интегральной модели экспертного оценивания или описания признака и функции принадлежности интегральной модели результатов оценивания качественного признака у совокупности объектов принадлежат тому же классу функций, которому принадлежат функции принадлежности элементов множества Е‘.

Предположим, что определены весовые коэффициенты Ш,,г = \,к элементов множества Е‘ и 0‘. Параметры функций принадлежности а[,а[,а[,а‘й, I = 1,т терм-множеств интегральной модели экспертного оценивания качественного признака или описания в лингвистических термах физических значений количественного признака будем искать из условия:

^=ХХш-[(а'" ~а>У+(а"-аЯ+

/=1 м

+ (а‘[-а[)2 + (К-а',)2}-

■ гшп.

Неизвестные параметры находятся из системы нормальных уравнений:

дР

да[

дР

да[

дР_

да[

дР

да'

= 2

-а,

= 2

= 2

2>'в

. м

к

Х®'в

. М

ы

к

-а,

= 0,1 = 1 ,т ; = 0,1 = 1 ,т ; = 0,1 = 1 ,т ; = 0,1 = 1 ,т .

Получаем решения: к ____ к

а[ = = 1 ,т, а[ = = 1 ,т ;

/=1 1=1

——. &

= а* =ХСй^’/ = 1’т'

М /=1

Поскольку функции принадлежности интегральной модели экспертного оценивания или описания признака принадлежат тому же классу функций, что и функции принадлежности элементов множества Е*, то согласно решениям оптимизационной задачи интегральная модель является линейной комбинацией элементов множества

Е* .Таким образом, получаем

X = \fXx\l = 1,и»} = {/,(*) = Хю'ц"(4/ = 1>'"1 =

Параметры а,'" , а'"> <" >л = 1, ЛГ функций принадлежности интегральной модели экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов будем искать из условия

ф=£2>1<-<м<-«:)2+

и=*1 М

+ (а!-а1У+(а:-а;)2]-+ тт.

Параметры находятся из системы нормальных уравнений:

дР да•

= 2

=-0,п-\,Ы;

да;

Е-

даI

дР

да;

= 2

= 2

= 2

Ы\

м

*

= О, И = 1, ;

= 0,и=1^; : О, И = 1,ЛА .

(=1

Получаем решения:

а; = ^\»,.я[\и = 1.ЛГ, я2" = ^со,а‘“,п = 1,ЛГ;

Ы

к

< = 2>(«г,«= 1,^, «; = = 1.ЛГ.

М 1*1

Таким образом, интегральная модель экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов, построенная в рамках элементов множества 0*, является линейной комбинацией этих элементов.

Легко проверить, что найденные интегральные модели удовлетворяют условиям Парето.

Определим потерю информации между интегральной моделью Х = \/1(х),1 = 1,т\ и элементом X, = {ц„(;с),/ = 1,т}г = 1,А: множества Е* следующим образом:

2 ы •'

Потерей информации при построении интегральной модели в рамках множества Е‘ назовем среднее значение потерь информации между элементами множества Е‘ и интегральной моделью:

с =^^(Х„Х), / = Ц.

* ы

ат ~ а1 аП2 > ат > ®:74 ~ °2 * >

ап ~ а\ ~ ап =а1’ а13 = а2> аи ~ аг + ак ■

Так как а1и = 0,яш = 0, г = 1,*, то полагается я„ = 0,ап =0. Так как ам = 1 ,аш = 1,1 = Ц,

то полагается а,.

=ия4 = 1.

Потерей информации в рамках границ /-го и (/ + 1)-го терм-множеств между элементами множества Е* и интегральной моделью будем называть полусумму интеграла от модуля разности соответствующих правых границ функций принадлежности /-го терм-множества элемента множества Е* и интегральной модели и интеграла от модуля разности соответствующих левых границ функций принадлежности (/ + 1)-го терм-множества элемента множества Е* и инте-

гральной модели, / = 1, т -1.

Рассмотрим различные случаи расположения границ функций принадлежности соседних терм-множеств г-го элемента множества Ек и границ функций принадлежности этих же терм-множеств интегральной модели. В зависимости от расположения границ функций принадлежности найдем потери информации.

Если а,з > а„з, я;4 > ам, то потеря информации в рамках границ /-го и (/ + 1)-го терм-множеств равна площади трапеции с основаниями ап -ап\ я(4 -я„4 и единичной высотой, то есть 1

;(ап ~аи

74 //4

Будем считать, что нечеткие числа с функциями принадлежности

г = и, /,{х) = {а[,а,1,а[,а[), / = 1 ,т, соответствующие терм-множествам элементов множества Е* и терм-множествам интегральной модели, являются Г-числами, или нормальными треугольными числами.

Введем новые параметры функций принадлежности терм-множеств элементов множества Е* и функций принадлежности терм-множеств интегральной модели, которые являются абсциссами точек изломов графиков этих функций принадлежности:

Если а,з < а„з, я,4 < я„4, то потеря информации на границе /-го и (/ + 1)-го терм-множеств равна площади трапеции с основаниями а1П -я/3; я(74 -я(4 И единичной ВЫСОТОЙ, то есть

—(-а,з + аи-я,4+а„4).

Если 0/3 “ а“3’ а'А ~ а,м, то потеря информации в рамках границ /-го и (/ + 1)-го терм-множеств равна сумме площадей двух треугольников. Один треугольник имеет основание а„3 - а;з, другой треугольник тоже имеет основание я;4-я„4. Найдем высоты этих треугольников.

Так как треугольники с основаниями а,„ - ап и а/4 - ajl4 подобны, то имеем

«■ ...а,- п -а» h2

А, +А, =1,

где к\ я кг - высоты соответствующих треугольников. Откуда получаем, что высота треугольников с основанием айъ -ап равна

^ _ а,пан ~аюап ~апат ^пРаз ~аиан ап ~^апам ~апат _ (ЯМ ~а!ъкаи ~аЦ ~аил Щп)

Высота треугольников с основанием а/4 равна

А,= 1-

В этом случае потеря информации

равна

{ап-а,пУ +(д1Гда<У 2(й/4 — а114 + ааз — ап)

Если а,ъ>ат\ а14 < аи4, то потеря информации равна

(а)3 - адз)2 + (а/4~-д;,4 )2

2(в,4-ви+«и-а,)) ’

Таким образом, общая потеря информации равна

1 т-1 к

a =IVV

2 v

й/з-^/з +alt-ail4) +

+ 5;

(а/3 fll73 ) + (а /4 а»4 )

I2 Л

2(а,4-«„

-«/з)

s,;=^

I, ап > ат, а14 > ат ,

— 1, а(3 <ain,al4 < all4 ;

О, ап > ain, alf < я|74 или ап < я;п, я(4 > а114 ,

S,'

1, ап < ajn, а14 > ail4 ,

— 1, ап > я,73, я,4 < а114 ,

О, ап > ап, а,4 > а„4 или а„ < а,та,4 < аа4 .

Неизвестные параметры ап,аи,

I = 1,т-\ являются решениями оптимизационной задачи

+ 8;

(д/з-а//з)2 +(дн-ди1

■а„з +а,4-а„4)+

2 Л

-> min.

Решения находятся в рамках известных методов [4].

Построенная в рамках элементов множества S* интегральная модель экспертного оценивания качественного признака, или описания в лингвистических термах физических значений количественного признака, сохраняет максимум информации, заложенной в элементах этого множества. Однако, в отличие от модели, построенной на основе минимума зашумленности параметров элемента множества 3‘, в общем случае не удовлетворяет условию Парето. В конкретных практических задачах выполнение условия Парето для интегральной модели, построенной на основе минимума потери информации, проверяется непосредственным образом.

Таким образом, в работе построены интегральные модели экспертного оценивания, или описания признака, и интегральная модель результатов экспертного оценивания качественного признака у совокупности объектов.

Построенные модели предлагается использовать на этапе обработки и анализа нечеткой информации в рамках применения непосредственно аппарата теории нечетких множеств.

Список литературы

1. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998,- 116 с.

2. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Моск. гос. ун-та леса -Лесной вестник. - 2002. - № 5 (25). - С. 198 -216.

3. Гофман О.Г. Экспертное оценивание. - Воронеж.: ВГУ, 1991.- 152 с.

4. Coleman T.F., Li Y. A reflective newton method for minimizing a quadratic function subject to bounds on some of the variables // SIAM J. Optim. - 1996. - V.

6,-№4.-P. 1040- 1058.