Построение геометрической модели антенны с использованием триангуляции Делоне Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.677:519.711.3

О. Н. Балуков, А. Н. Якимов

ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АНТЕННЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ

Аннотация. Рассмотрен процесс построения геометрической модели зеркальной параболической антенны, основанный на триангуляции Делоне, позволяющей приблизиться к равносторонности треугольных конечных элементов разбиения ее излучающей поверхности. Предложенная модель позволяет решить электродинамическую задачу излучения антенны.

Ключевые слова: антенна, модель, Делоне, излучение.

Abstract. Process of construction of geometrical model of the mirror parabolic antenna, based on a triangulation Delone, allowing to come nearer to equilateral triangular finite-elements of its radiating surface, is considered. The offered model allows to solve an electrodynamic task of radiation of an antenna.

Keywords: antenna, model, Delone, radiation.

Введение

Наиболее важная задача, решаемая при построении геометрической модели, заключается в задании области исследования таким образом, чтобы уравнения, описывающие данный процесс или явление, имели корректную формулировку.

При проектировании микроволновой параболической антенны методом конечных элементов одной из основных проблем является синтез ее геометрической модели с приемлемой степенью точности. При этом построенная геометрическая модель обычно является результатом компромисса между слишком большими вычислительными затратами при малом шаге дискретизации и погрешностью модели, вызывающей нарушение адекватности реальным физическим процессам при большом шаге.

1 Постановка задачи

Бурное развитие математической теории и вычислительной техники способствовало развитию численных методов, среди которых наибольшее распространение получили проекционно-сеточные методы. Их использование предполагает предварительное построение так называемой «сетки», т.е. некоего топологического множества точек, связанных между собой отрезками прямых, а в некоторых случаях и кривых линий, таким образом, что исходная область разбивается на элементы определенной формы.

Так как излучающая поверхность зеркальной антенны находится в дальней зоне электромагнитной волны, то на ограниченном участке этой поверхности ее можно считать плоской, и появляется возможность численного решения задачи излучения антенны путем деления (декомпозиции) ее поверхности на треугольные элементы первого порядка (плоские). По сравнению с прямоугольными элементами, они аппроксимируют излучающую поверхность более точно.

В целом построение геометрической модели можно описать следующим образом. Во-первых, определяется геометрия рассматриваемой поверх-

ности, которая задается различными способами: от аналитической формы записи до построения в среде специализируемых программных пакетов. Далее производится дискретизация поверхности и формирование необходимых данных для последующих вычислений. И наконец, строится геометрическая модель.

2 Построение модели

Рассмотрим параболоид вращения (рис. 1), описываемый формулой

2 , 2

- = , (1)

4 у ’ ^

где х,у, г - пространственные координаты; у - фокусное расстояние.

Рис. 1 Параболоид вращения

В основе дискретизации лежит принцип построения сетки из треугольных элементов, называемый триангуляцией. Все методы триангуляции по принципу построения можно разбить на две большие группы: прямые и итерационные методы [1, 2].

В прямых методах сетка строится за один этап, причем ее топология и координаты всех узлов известны изначально. Главными преимуществами прямых методов являются скорость работы и надежность. Сетка строится практически «мгновенно», при минимальной затрате ресурсов и с минимальным риском ошибки. Фактически, эффективно использовать прямые методы можно только для триангуляции самых простых областей - шара, параллелепипеда, цилиндра и т.п. Впрочем, нередко такие области являются частью некоторых сложных областей, и использование прямых методов в этом случае позволяет существенно экономить машинные ресурсы и время. Кроме того, прямые методы могут использоваться также для триангуляции и геометрически сложных областей, преимущественно описываемых гладкими функциями, что, однако, требует индивидуального подхода к каждой задаче.

Важной особенностью сеток, построенных с помощью прямых методов, является их структурированность. Структурированные сетки имеют четкую топологию и позволяют ввести особую индексацию вершин, что дает возможность легко определить всех соседей, а также вычислить координаты.

Сетки, построенные с помощью прямых методов, могут быть использованы и в итерационных методах. Таким образом, несмотря на все ограничения, прямые методы все равно находят свое применение в дискретизации пространственных областей.

В итерационных методах сетка строится последовательно; на каждом шаге добавляется один или несколько элементов, причем изначально неизвестны ни координаты узлов, ни топология сетки. Кроме того, координаты узлов и топология могут меняться прямо в процессе построения. Итерационные методы, напротив, универсальны и, как правило, применимы для областей достаточно произвольной формы. Именно поэтому итерационные методы в основном и используются в автоматических программных комплексах. Недостатком этого класса методов являются ресурсоемкость, существенно более медленная скорость работы (по сравнению с прямыми методами) и меньшая надежность. Итерационные методы из-за своей универсальности получили наибольшее развитие.

Существенным фактором, оказывающим значительное влияние на трудоемкость алгоритмов, а также на скорость конкретной реализации, является выбор структуры для представления триангуляции. Кроме того, выбор структуры может зависеть от цели дальнейшего использования дискретизации. В триангуляции можно выделить три основных вида объектов: узлы, ребра и треугольники [3].

В работе многих существующих алгоритмов построения триангуляции и алгоритмов ее анализа часто возникают следующие структуры для представления триангуляции [4, 5]:

1. Треугольник - узлы: получение для данного треугольника координат образующих его узлов.

2. Треугольник - ребра: получение для данного треугольника списка образующих его ребер.

3. Треугольник - треугольники: получение для данного треугольника списка соседних с ним треугольников.

4. Ребро - узлы: получение для данного ребра координат образующих его узлов.

5. Ребро - треугольники: получение для данного ребра списка соседних с ним треугольников.

6. Узел - ребра: получение для данного узла списка смежных ребер.

7. Узел - треугольники: получение для данного узла списка смежных треугольников.

Среди множества методов, позволяющих произвести триангуляцию, наиболее широкое распространение получили методы Делоне. Триангуляция Делоне не является оптимальной, но она строит набор треугольников, которые стремятся к равноугольности (или равносторонности), что очень важно при конечно-элементном анализе излучения антенны, и имеет некоторые важные свойства:

- обладает максимальной суммой минимальных углов всех своих треугольников среди всех возможных триангуляций на заданном наборе точек;

- обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций на заданном наборе точек.

Ввиду особенностей использования данной геометрической модели в задачах электродинамики (излучения поверхности), указанных выше, наложим на нее ряд требований. Во-первых, необходимо получить треугольные элементы, близкие к равносторонним, для того, чтобы фазовый центр излучения и геометрический центр треугольника совпадали. Во-вторых, необходимо, чтобы стороны правильного треугольника не превышали размер, равный половине длины волны, что позволит ввести допущение, позволяющее рассматривать треугольник как элементарный излучатель.

Решать данную задачу будем следующим образом. На первом этапе определим координаты узловых точек. На втором этапе полученные точки объединим в группы. И на последнем этапе сформируем геометрическую модель рассматриваемой поверхности.

Параболоид является осесимметричной поверхностью, т.к. получается вращением параболы вокруг оси 02 (рис. 2). Тогда при сечении плоскостью Х02 получим параболу, т.е.

2

г =-

4/

(2)

Далее проведем аппроксимацию параболы линейно-одномерной функцией. В итоге получаем массив координат узловых точек X и Z. При этом для дальнейших расчетов используется матрица Z, которая определяет уровни секущих плоскостей, параллельных ХОУ . Матрица значений X определяет радиусы окружностей, образующихся при сечении параболоида плоскостями ХОУ с координатами, определяемыми матрицей Z (рис. 2).

Рис. 2 Параболический профиль зеркала в главном сечении

В сечении параболоида любой плоскостью, параллельной ХОУ, как было отмечено выше, получается окружность, радиус которой определяется следующим образом:

= Я = .

(3)

В полученную окружность вписываем правильный «-угольник (рис. 3). При этом необходимо выполнить некоторые условия. Во-первых, необходимо, чтобы длина стороны правильного «-угольника не превышала размер половины длины волны. Во-вторых, необходимо, чтобы число сторон правиль-

ного «-угольника было кратно четырем. Последнее условие необходимо для того, чтобы соблюсти условие симметричности и расчет вести только для четвертой части окружности. При этом возможны два варианта расположения вписанных многоугольников четного и нечетного порядков.

Выбор того или иного варианта определяется из задачи, которую нужно решить. На рис. 4 показаны результаты дискретизации при первом (рис. 4,а) и втором (рис. 4,б) случаях. Как видно, для получения более равномерной сетки имеет смысл использовать второй вариант взаимного расположения многоугольников.

Рис. 3 Точки пересечения многоугольников четных порядков с осями координат: а - вершины; б - середины сторон

Рис. 4 Примеры дискретизации параболоида вращения при различном взаимном расположении многоугольников

Рассмотрим сектор, лежащий в первом квадранте декартовой системы координат (рис. 5). Здесь приняты следующие обозначения: Рм - узловая точка, являющаяся вершиной правильного многоугольника, расположенного на N -й окружности; М - порядковый номер узловой точки; - радиус

N -й окружности; 0N - центральный угол N -го многоугольника.

Рис. 5 Дискретизация сектора параболоида

Координаты М -х узловых точек N -го многоугольника для нечетных N определяются следующими выражениями:

\хМ = ^ 0О8(М -0N), {уМ = ^ 8Ш(М -0N).

(4)

Для нечетных N координаты точек, лежащих на оси ОХ, определяются по формулам

у\ = 0,

(0N Л

(5)

а точки, лежащие на оси ОУ, как

хМ+2 = 0,

уМ+2 = Я СО8

(N -1)0N +0

N Л

(6)

Координаты остальных точек получаются из следующих выражений:

N ^

Хм+1 = Я СО8

уМ+1 = ^ яп

( 0 N Л

(м -1)0N +02

0 N Л (М -1)0N +----

(7)

Здесь М +1, М + 2 - порядковые номера дополнительных узловых точек, необходимых для построения геометрической модели параболоида.

Таким образом, получаем массив координат узловых точек, определяющих геометрию параболоида и составляющих основу сетки. Далее, используя алгоритмы, соединяющие треугольники в поверхности, производим сшивание поверхности. В большинстве математических программных пакетов имеются встроенные процедуры, позволяющие произвести трассировку узловых точек, используя различные алгоритмы сшивания и объединения. Например, в программной среде Ма1ЬаЬ можно объединить узловые точки в общую поверхность с помощью встроенной процедуры триангуляции, вызываемой командой delaunay [7].

3 Анализ результатов

Используя выражения (2)...(7), можно производить соответствующие построения и вычисления. При этом следует обратить внимание на то, что при дискретизации параболы шаг разбиения в радиальном направлении будет определяться выражением

1 = Й0 - СО8

К

(8)

где «о - размер стороны равностороннего треугольника.

Учитывая, что « является высотой правильного треугольника, можно построить геометрическую модель фрагмента параболоида, конечными элементами которого являются равносторонние треугольники (рис. 6).

Рис. 6 Результат дискретизации сектора параболоида вращения

Используя свойство симметрии, получим полную поверхность параболоида вращения (рис. 7).

г

0.008 0 006 0.004 0 002 О

■0.1 -0.1

Рис. 7 Результат дискретизации параболоида вращения Заключение

Таким образом, предложенный в данной работе алгоритм позволяет произвести дискретизацию параболической поверхности антенны, получить совокупности точек, образующих конечные элементы в виде равносторонних треугольников и, соответственно, координаты этих точек. Полученной информации оказывается достаточно для решения внешней задачи электродинамики, задачи излучения антенны. Кроме того, появляется возможность оптимизации конструкции антенны с учетом внешних воздействий.

Список литературы

1. Галанин, М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: прямые методы / М. П. Галанин,

И. А. Щеглов // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2006. -

http://www.keldysh.ru/papers/ 2006/ргер09/ prep2006_09.html.

2. Галанин, М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуля-

ции сложных пространственных областей: итерационные методы / М. П. Галанин, И. А. Щеглов // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2006. -

http://www.keldysh.ru/papers/ 2006/prep10/ prep2006_10.html

3. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение / А. В. Скворцов. -Томск : Изд-во Томск. ун-та, 2002. - 128 с.

4. Скворцов, А. В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне / А. В. Скворцов // Вычислительные методы и программирование. - 2002. - № 3. -С. 14-39.

5. Дижевский, А. Ю. Общий подход к реализации методов построения триангуляции неявно заданных поверхностей, использующих разбиение пространства на ячейки / А. Ю. Дижевский // Вычислительные методы и программирование. -2007. - Т. 8. - С. 286-296.

6. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : монография / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. -260 с.

7. Дьяконов, В. П. MatLAB 5.3.1 с пакетами расширений / В. П. Дьяконов, И. В. Абраменкова, В. В. Круглов ; под ред. В. П. Дьяконова. - М. : Нолидж, 2001. -880 с.

Балуков Олег Николаевич аспирант,

Пензенский государственный университет

Balukov Oleg Nikolaevich the post-graduate student, the Penza state university

E-mail: kipra@pnzgu.ru

Якимов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор, кафедра конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет

Yakimov Alexander Nikolaevich a Dr. Sci. Tech., the professor, chair of designing and radio equipment manufacture, the Penza state university

E-mail: kipra@pnzgu.ru

УДК 621.396.677:519.711.3 Балуков, О. Н.

Построение геометрической модели антенны с использованием триангуляции Делоне / О. Н. Балуков, А. Н. Якимов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. -№ 1 (9). - С. 109-117.