Построение функций формы для изопараметрических оболочечных конечных элементов общего вида Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV

19 8 3

№ 6

УДК 519.3

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ФОРМЫ ДЛЯ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОБЩЕГО ВИДА

Л. Б. Кудряшов

Рассматривается вопрос о построении функций формы изопара-метрических конечных элементов общего вида, имеющих произвольное расположение и количество узлов, лежащих как на границах, так и внутри элемента. Для элементов, геометрическая форма и поле перемещений которых описываются с помощью предлагаемых функций формы, доказывается выполнение необходимых для сходимости МКЭ условий движения элементов как твердых тел и совместности перемещений вдоль границ.

При расчетах оболочечных конструкций методом конечных элементов часто используются изопараметрические конечные элементы, предложенные в [1]. Основной идеей их построения является введение В элемент криволинейной системы координат 7), область изменения которых на элементе представляет собой квадрат —Свойства элементов при этом определяются расположением его узлов и выбором соответствующих им функций формы ЛГ,(5, ?]), обладающих свойством

где /, й = 1, 2, . . . , п; п — число узлов элемента; 1к, у\к — координаты узла к.

По функциям формы производится аппроксимация кинематических и геометрических параметров элемента в виде

Согласно [2] необходимыми условиями сходимости конечноэлементных моделей в варианте метода перемещений является выполнение условий возможности движения элементов как твердого тела, возможности реализации в элементе постоянной дефор-

NI (?*» Г1 к) —

(1)

П

Ф(5, 7])= 2°^’ г‘)-

(2)

мации и согласованности конечно-элементных моделей, выражающееся в совместности перемещений вдоль границ конечного элемента.

Там же показано, что для изопараметрических конечных элементов два первых условия обеспечиваются, если для совокупности функций формы элемента выполняется условие

П

£>/(«, Ч)= 1. (3)

1 = 1

Оно выполняется в том случае, если аппроксимация (2) для точек, лежащих на какой-либо стороне элемента, сводится к аппроксимации по узлам, принадлежащим также этой стороне.

В настоящее время наибольшее распространение в практическом использовании получили два семейства изопараметрических конечных элементов, удовлетворяющих этим условиям — сирен-дипово и лагранжево.

Сирендипово семейство (рис. 1, а) характеризуется расположением узлов только по границам элементов. В наиболее общем

виде это семейство рассмотрено в [3], где проводится построение функций формы для элементов, число узлов на каждой из сторон которых может быть произвольным.

Лагранжево семейство характеризуется наличием у элементов также внутренних узлов, однако, в отличие от сирендипова семейства количество узлов на противоположных границах элементов должно быть одинаковым. Внутренние узлы должны при этом располагаться в каждой из точек пересечения узловых линий, проходящих через соответствующие граничные узлы (рис. 1, б).

В данной работе рассматривается общее семейство изопараметрических элементов, характеризуемое произвольным количеством узлов на каждой из границ элемента, а также произвольным количеством и расположением его внутренних узлов (рис. 2).

На этом же рисунке показана нумерация границ элемента, принятая в работе, и нумерация узлов, которая ведется последовательно вдоль каждой из границ элемента, затем нумеруются внутренние узлы. Число узлов, принадлежащих границе а элемента равно та; число его внутренних узлов равно т0. Общее коли-

4

чество узлов элемента п = У. та — 4, количество его граничных

а = 0

4

узлов т = \лт,а—4.

а=1

ф

т+1

©

©

т.,+т2+т}~2.

Рис. 2. Изопараметрический конечный элемент общего вида. Показана нумерация сторон и угловых узлов элемента.

Общая схема построения функций формы рассматриваемых элементов заключается в следующем.

Для каждой из сторон элемента выберем совокупность функций Ь\ (С), обладающую свойствами

та

2 £7(9 = 1.

/= 1

(4)

где у, к= 1, ..., ма; а—1, 2, 3, 4 —номер стороны элемента; С == т] для а = 1, 3; С = £ для а = 2, 4. и функции Ра (С), обладающие свойствами

(5)

Р1(-1) = Р2(1) = Р3(1) = Р4(—1)= 1; М1) = Р2(-1) = Рз(-1) = Р4(1) = 0;

Р1(С) + Р3(д=1;

р2(С) + р4( 0 = 1,

где С = ? для а =1,3; С — ■»] для а =2,4.

Для граничных узлов введем в рассмотрение совокупность функций {?, т)) (г=1, 2, . . ., от), определяемых соотношениями: для узлов элемента, не лежащих в его углах,

5,(5, г!) = 11 Я;

для узлов, лежащих в углах элемента на пересечении его сторон аи^,

5Д1, г1) = 1?аРа + Ь%Р9 - Р.Рр;

Л» Ур—-номера узлов на сторонах а и (3, которым соответствует узел г элемента. Правило выбора аргументов функций и Р« было определено выше.

^Функции у\) удовлетворяют (1) и являются фактически

обобщением функций формы для элементов, обладающих только граничными узлами*.

Докажем, что для них выполняются условия движения твердого тела (3).

т /И;—1 т,-1 та— 1 т4—1

^)= £^ + £^2р> + 2^ +

» = 1 / = 2 / = 2 /=2 /=;2

+ (^Р1 + ^Я4-Я,Р4) + (^1Р, + 1\Рг-Рх Р2) +

+ (Г^2 А + 13тз Р3 - Р2 Рв) + (£*, Р4 + I? Р3 _ Р4 Рз) =

т1 т2 т3 т1

=Р121) + р2 Е ^+р3 X ^+р* X - (л + яз) (р,+р4) =

/=1 у=1 /=1 /=1

= (Р1 + Рз) -Н (Р2 + 1\) - (Р, + Рз) (Р2 + Р4) = 1,

т. е.

т

Е-ад ч)=1- (6)

«=1

Докажем, что для совокупности функций 5;($, 7]) выполняется условие совместности для границы 1 элемента (I = — 1). Примем обозначения у ■=т1^г I—1, £ = тх-\- т2 + т3 — I—1, 1 = т^ + т2 + 4- тъ + т4 — г — 2. С учетом соотношений (4) и (5), принятой нумерации узлов и введенных обозначений имеем

т т!—1 т2— 1

5>Л(-1. ч) = 2 ф^!ыЛ(-1)+ Еф^?(-1)/,2(ч) +

(=1 /=2 г=2

т3—1 т4—1

+ 1>*^3(^з(-1)+ £ Ф/^(-1)Р4(7]) +

1=2 г=2

+ Фх [I! (7!) Р, (-1) + й (- 1) Р4 (7]) - Р, (- 1) Р4 (7,)] +

+ Ф». [С, (71) Л (- 1) + I? ( - 1) Р2 (7!) - Р, (- 1) Р2 (7))] +

+ Фт1 + тг-1 [£*, (■»!) Рв(—1) + ^г(-1)Р2(г()-Р3(-1)Р2(7])] +

+ Фт1 + т2+т3-2 [А? (71) Р3 (-1) + С, (-1) Р4 (71) - Р8 ( - 1) Р* (V))] =

тх—1

= £ Ф^/ Ы + Фа [^1 (71) + Р4 (71) - Р4 (7,)] + Ф», [IV (71)+ Р2 (71)- Р2 (7])],

2 = 2

откуда получается

т

2Ф/5П-1, 71)=2ф<-^(^ (7)

1=1 1=1

что соответствует выполнению условия совместности для стороны 1 элемента. Аналогично доказывается это свойство и для других сторон элемента.

* Если потребовать равномерного расположения узлов вдоль каждой из сторон элемента и выбрать в качестве функций £“(£) полиномы Лагранжа, в качестве Ра (С) функции (1— £)/2 и (1 +- С)/2 можно получить сирендиповы элементы и соответствующие им функции формы, которые были получены в [3] на основании иного подхода, дающего более сложные их выражения.

Помимо узлов, лежащих на границах элемента, рассмотрим также т0 внутренних узлов, имеющих координаты (5,-, ги) (1==т+1, . . ., п).

Введем функцию Р0(5, у), обращающуюся в 0 на границах элемента и не равную 0 внутри элемента.

Яо(-1, Ч) = Я0(1, ч) = />„(£, 1) = Р0а -1)-0. (8)

Функции формы внутренних узлов элемента представим в виде

N*(5, т)) = Ро(5, 7]) К{ (5, к]) (* = от + 1, л),

где г — номер внутреннего узла.

Для удовлетворения (1) функции /(; (5, т)) должны, очевидно, удовлетворять соотношению

ч ( 1/Рой. для г'=у,

1 ^ >' I 0 для I фу,

(/, у = /п + 1, . . ., /г).

Очевидно, что построение функций Р0(5, т]), удовлетворяющих

(8), и совокупности функций Кг(5, т]) возможно всегда, причем

неединственным образом.

Функции формы граничных узлов такого элемента представим в виде

Ш, т)) = 5,(5, т))+ (2,(5, т))А^0(5, т]),

где

П

Аго(5, 7]) = Ро(5, 7)) 2 гд, (9)

/=т+1

а Рг(5, 7]) (г=1, 2, ..., та) — совокупность функций, обладающая свойствами

£<?,(5. 71) = — 1;

/=1

(10)

7]^) = — 5,(5;-, т]Д

где 5;-, т];.(/ = /и + 1, ..., и) — координаты внутренних узлов элемента.

Очевидно, что как и Р0(5, ч),

7У0(-1, 71) = ТУ0(1, ч) = ^о(5, 1) = ЛА0(Е, — 1) = 0. (11)

За счет этого обеспечивается выполнение (1) для всех г.ранич-ных узлов элемента. Докажем, что такой выбор функций формы обеспечивает выполнение необходимых условий сходимости.

В силу (9), (10) и доказанного ранее свойства (6) имеем

пт п

*|)=2>,(е, т])+ 2 ад7]) =

/=1 /=1 1 = т+1

т

= ХД5/(5, 7])+ С, (5, 7))А^0($, 7])] + Д/о (5, 7]) =

;=1

= 1+ад ч)2 С/(5. ч)+^0(5, ч)=1,

/=1

что соответствует выполнению условия движения твердого тела. Кроме этого для стороны 1 элемента в силу (7), (9) и (11)

пт п

2>*л/.(-1, т,)=£ф,лг,(- 1, ч)+ X ф|^,(-1, ч) =

* = 1 1=1 1 = т +1

т

= 2фЛ5г(— 1, ■»!) + (3,(-1, ч)Л/о(-1, *))] =

1=1

т т\

=2ф,^(-1, ч)=2^^<7»).

г=1 1=1

что соответствует выполнению условия совместности для границы 1 элемента. Аналогично доказывается это свойство и для дру-

гих его сторон.

Следовательно, при построении функций формы элемента с заданным расположением узлов, существует некоторый произвол, который заключается в выборе следующих функций:

а) (С) (а = 1, 2, 3, 4; г = 1, 2, . . ., та) — для узлов, лежащих на границах элемента;

б) Ро(£, ч), обеспечивающей обращение в 0 на границах элемента функций формы внутренних узлов;

в) Л'Д?, ч) (/=/га + 1, . . ., /г) — для внутренних узлов элемента; Г) <3,-(6, ч) (г = 1, 2, . . ., л?г)-—для узлов, лежащих на границах

элемента.

Эти функции могут выбираться из различных условий, например из условия минимизации порядка полиномов, реализующих функции формы, но в целом вопрос о выборе системы этих функций, наилучшей по каким-либо признакам и соображениям, является открытым и требует специального рассмотрения.

Рассмотрим два примера применения изложенной схемы построения функций формы элемента.

I. Элемент с равномерным расположением узлов (рис. 3, а). Если в качестве 1“(С) выбрать полиномы Лагранжа, а также принять

а — соответствующий лагранжеву элементу с полнкубической аппроксимацией;

б — четырехугольный элемент с тремя внутренними узлами и узлами в углах элемента

Рис. 3. Изопараметрические конечные элементы

6—«Ученые записки ЦАГИ» № 6 81

р0(6, ч) = (1-£*)(!-V).

0, = 4-(1-90 д2==__1-(1.-5) (1-ач),

4

<2.=--г (1-е)(1 + Зч),

4

—£) С1 +4),

СВ = --г(1-35)(1 + ^),

<?6=- 4~о + 3’)(!+4).

4

^=Т(1 + -)(1 + т,)’

Ре =—гЧ1 + «)(! +3ч),

4

<Э9 = - ±(1+£)(1_34),

4

(310=^О + 90-*)),

<?,,=-4 о +ад-4).

4

<2»=—г(1-36)(1-ч),

а в качестве функций /(*(£, ч) для внутренних узлов взять

1 \

ч + т!'

#СМЛ ч)-Ш(«+т)(,' + Т

Г1 -

то будет получена совокупность функций формы, характерная для хорошо известного лагранжева элемента с поликубическими функциями формы [2].

2. Элемент с расположением и координатами внутренних узлов, показанными на рис. 3, б (ранее такой элемент не рассматривался).

Примем

1Л (С) = -^-(1 — С); /.2(С) = у(1+С) (« = 1, 2, 3, 4),

Р0$, 4) = (1-5*)(1-1*),

ч)=-5,(5, г() (/= 1, 2, 3, 4),

]

^в(?» т1) =

к,а ’1)=ти +т

К,(6, 11)--=- 2Е-ч + т),

что приводит к совокупности функций формы элемента

ад 4)^-7-(1-9(1-4)

4

ЛГа(£, 4) = 4-0+у1)

4

Ц-_£.(1_£2)(1_Ч2)(21]_7) 1 + А(1_52)(^_,12,(21Г1_7)

Ns (6, ч) = -J(1 + £)(! + ri) [i + J-(i _ 52) (1 _ Yj2) (2y] - 7)],

ад ^=4- (t+1) (i—vj) [i+4- (i—s2) d—^ - 7)i,

4 L 9

A^5 (S, 4) = - Y (1 - F) (1 - r?) (25 + 4 “) * w6(S. 4) = -|-(1-W-’i*) (^т)’ ад 4) == -f- (1 — S*) (1 — 4s) (2S — ч + -|") -

ЛИТЕРАТУРА

1. Irons В. М., Zienkiewicz О. C. The isoparametric finite element system — a new concept in finite element analysis. — Int. J. Solids and Structure, 1968, N 4.

2. 3 e н к e в и ч О. С. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975.

3. В а 11 A. A. The interpolation function of a general serendipity rectangular element. — Int. J. Num. Meth. Eng., 1980, vol. 15, N 5.

Рукопись поступила 15\1V 1982 г.