CC BY
57
Antsev Vitaliy Yurievich, doctor of technical science, professor, manager of department, Russia, Tula, Tula State University,
Tolokonnikov Alexander Sergeevich, candidate of technical science, docent, Russia, Tula, Tula State University,
Potapov Sergey Aleksandrovich, candidate of technical science, docent, Russia, Tula, Tula State University,
Kalabin Pavel Yurievich, graduate student, Russia, Tula, Tula State University.
Получено 28.06.2013 г.
УДК 539.3:534.1
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
З.М. Борискина, О.О. Барышникова, А.А. Шубин
Проведено исследование математических моделей конечноэлементных методик и программного комплекса для расчета колебаний оболочечных конструкций с учетом перемещений и напряжений при вращении. Математические модели построены на базе трехмерных конечных элементов с повышенной степенью аппроксимирующих полиномов.
Ключевые слова: оболочечная конструкция, метод конечных элементов, матрицы, полиномы, перемещения, напряжения, декартовые координаты.
При исследовании процессов колебаний элементов конструкций, представляющих собой толстостенные сильно искривленные оболочки, с помощью треугольных и плоских четырехугольных оболочечных элементов возникают значительные погрешности в аппроксимации геометрии [1, 2]. Для устранения этой проблемы необходимо использовать трехмерные конечные элементы, которые базируются, как правило, на квадратичных изопараметрических аппроксимациях [3, 4]. Использование трехмерных элементов дает ряд преимуществ: значительно облегчается обмен данными с CAD - программами; появляется возможность моделирования сложной геометрии как охлаждаемых лопаток турбины воздухом, так и лопаток сверхзвуковых компрессоров; обеспечивает достаточно подробное моделирование области перехода от лопатки к хвостовику, диску и далее к ротору.
Однако применение трехмерных элементов обладает и рядом недостатков: значительные затраты на генерацию конечноэлементной сетки; очень быстро возрастающее количество степеней свободы; так называемый «Locking» - эффект при расчетах в частности тонкостенных конструкций.
Целью работы является разработка математических моделей, конечноэлементных методик и программного комплекса для расчета колебаний оболочечных конструкций с учетом перемещений и напряжений при вращении. Математические модели построены на базе трехмерных конечных элементов со смешанной аппроксимацией перемещений полиномами высоких порядков [4, 5]. В качестве базового подхода предлагается использовать семейство конечных элементов с повышенной степенью аппроксимирующих полиномов.
Использование методов типа Г алеркина, когда аппроксимирующие функции удовлетворяют всем граничным условиям, как геометрическим (главным), так и силовым (естественным), при решении неконсервативных задач требует повышения степени полинома. Только такие полиномы могут также обеспечить требуемый уровень точности вычислений за счет гладких перемещений и полей напряжений. Для n -го элемента функции формы, аппроксимирующие поля перемещений, записывают в виде полиномов степени n . При аппроксимации полей криволинейных элементов зачастую определить однозначно вид полинома достаточно сложно, а также возникают трудности в связи с необходимостью обращения матрицы, составленной из членов этого полинома.
Другой способ заключается в явной записи выражений для функций формы, исходя из некоторых свойств этих функций. Перемещения точек внутри элемента |Л} можно представить в виде
{Д}=№}. (1)
Элементами матрицы [N] являются функции формы. Здесь и далее
все соотношения записаны (если нет специального указания) для элемента. В трехмерном случае, когда в каждом узле содержится по три степени свободы в виде линейных перемещений u, v, w вдоль осей х, y, z декартовой системы координат, деформации в точке можно выразить с помощью уравнений Коши. Во-первых, из анализа выражения (1) видно, что оно справедливо для всех {Л}. Следовательно, [Ni] = 1 в i-м узле и обращается в нуль во всех остальных узлах. Во-вторых, функции формы должны быть выбраны такими, чтобы перемещения, а для квадратичных элементов и деформации, были бы непрерывны на границе между элементами. Непрерывность перемещений автоматически обеспечивается непрерывностью функций формы.
Обычно геометрия криволинейного элемента описывается в местных криволинейных координатах X, h, Z, причем границы элемента совпа-
дают с координатными поверхностями Х = ±1, Л = ±1, С = ±1. Если предположить, что криволинейный элемент получен путем деформирования топологически ему соответствующего базисного элемента с прямолинейными сторонами, то для установления взаимно однозначной связи между местными криволинейными и общими декартовыми координатами достаточно использовать функции формы (1), которые были введены для аппроксимации полей перемещения. Обозначив такие функции формы, выраженные в местных координатах, через [Ы'], получим координаты произвольной точки внутри элемента
х п 1 N о о 1 Хі '
у = I о о <
ї 1=1 1 о о Ы1 1
(2)
где п - число узловых точек элемента; Хі , Хі , ї - декартовые координаты узловых точек.
Такой подход, при котором для аппроксимации полей перемещений внутри элемента применяются те же функции, что и для описания геометрии элементов, следует использовать при построении изопараметрических элементов. При решении задач динамики и прочности машин методом конечных элементов функции формы должны быть выражены в криволинейных координатах. Это приводит к необходимости двух предварительных преобразований:
- необходимо выразить производные по общим декартовым координатам в выражении для определения матрицы [в] через производные в криволинейных координатах;
- при интегрировании элементарный объем йУ необходимо представить в криволинейных координатах и соответственно изменить пределы интегрирования.
Такие преобразования проведены в работе, где показано, что первое преобразование легко осуществляется при помощи матрицы Якоби
Эх Эу дї
[л ]=
эх
Эх
э^
Эх
эх
дї
э^
дї
(3)
ЭХ Эу
Эл
_ Эу _ д э^ э^
Элементарный объем можно найти с помощью определителя матрицы Якоби
йУ = йх йу ^ [3] dХ йц . (4)
Записав интеграл по объему в виде
[А]= | [^(х,у,2)] йУ, (5)
У
и изменив переменные и пределы интегрирования, получим
1 1 1
[а]= I I I [<^(х,у,2)]ёй [з] $Х (6)
-1 -1 -1
В большинстве случаев использование изо- и суперпараметриче-ских элементов высоких порядков (2) - (6) приводит к значительно более точным результатам при одинаковом числе степеней свободы, чем расчеты с применением линейных элементов. Казалось бы, криволинейные изопа-
раметрические элементы можно непосредственно применять в расчетах
оболочек, таких, например, как перо лопатки газовой турбины. Достаточно лишь уменьшить размер элемента в направлении толщины оболочки. Однако при этом возникают следующие трудности:
- наличие трех степеней свободы в каждом узле приводит к большим коэффициентам жесткости для перемещений по толщине оболочки, что связано с появлением в матрице жесткости компонентов, которые характеризуют избыточную энергию деформации сдвига. Это затрудняет проведение расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности системы линейных уравнений,
- использование элементов высоких порядков предполагает наличие дополнительных узлов по толщине оболочки. При этом не учитывается тот факт, что даже в случае толстых оболочек нормали к срединной поверхности после деформации остаются практически прямыми. Тем самым вводятся лишние степени свободы, что влечет за собой увеличение затрат машинного времени.
Главным критерием при выборе элемента для проведения расчетов является точность полученных результатов. Поэтому наиболее простым и объективным выглядит следующий выбор базового элемента для конструкций конкретного класса. Типичную тестовую конструкцию аппроксимируют различными элементами таким образом, чтобы число степеней свободы рассматриваемых дискретных моделей было бы одинаковым. Более точный результат будет соответствовать элементу, наиболее пригодному для конструкций данного класса. Для проведения такого рода численного эксперимента было выбрано четыре типа элементов: гексаэдры сирендипового семейства второго и третьего порядка и элементы со смешанной аппроксимацией перемещений - линейной в направлении одной из координатных осей (по толщине оболочки) и квадратичной или кубической в остальных двух.
Запишем теперь функции формы для квадратичного 20-узлового элемента: для его угловых узлов, а также узлов на ребрах при Х/ = 0, % = 0
и С/ = 0 соответственно имеем (здесь Х0 = ХХ/ Л0 = ЛЛ/ С 0 = СС /)
(7)
+ Хо )(1 + ло )(1 + Со ХХо +ло + Со - 2)
N = 4(1 -Х2)(1+Ло )(1 + С о)
N = 4(1 -л2)(1 + С о )(1+Хо)
N = 4(1 -С 2)(1+Хо )(1+Ло)
Функции формы для смешанного линейно-квадратичного элемента имеют вид
1
Ы1 =- (1 + Хо )(1 + Ло )(1 + Со )(Хо + Ло -1) О
N = -4(1 -х2)(1+Ло )(1 + Со)
1
N = 4(1 -Л2)(1 + С о )(1 + Хо )
(О)
соответственно для его угловых узлов и узлов на ребрах при Хї = 0 и Лі = 0.
Функции формы кубического 32-узлового элемента: для его угловых узлов, а также узлов на ребрах при Хі =±1/3, Лі =±1/3 и Сі =±1/3 соответственно равны
1
ы, =± (*+Хо )(1+Ло )(1+С о )(9(Х2 +л2 + С2) -19)
64
9 2
ы, = -(1 -Х2)(1+9Х0)(1+Ло )(1 + С о)
64 92
ы, = ^('-Л2)(! + 9Л0 )(1 + С о )(1 + Хо)
64 92
ы, = -(1 -С 2)(1+9С0)(1+Хо )(1+Ло)
64
Функции формы для смешанного линейно-кубического элемента имеют вид
(9)
1
N =^~ (1 + Хо )(1 + Ло )(1 + С о )(9(Х2 + л2) -10) 64
9 2
N1 = —(1 -Х2)(1 + 9Хо)(1 + Ло )(1 + С о)
64 92
Nі = ^(* - Л2)(' + 9Ло)(1 + Со )(1 + Хо)
64
соответственно для его угловых узлов и узлов на ребрах при ! =±1/3 и Л/ =±1/3. Производные функций формы могут быть получены в явном виде путем дифференцирования выражений (7) - (10).
Простой и универсальный способ получения трехмерных функций формы любого порядка состоит в перемножении соответствующих полиномов Лагранжа. Они записываются в виде
¡п (х)=п . (11)
]=1-х I)
] &
Таким образом, если для трехмерного случая пометить узел номером столбца, номером строки и номером слоя, на пересечении которых он расположен, то получим
%=¡п (х) ¡т (л) & ю, (12)
где п, т, I - число разбиений в каждом направлении.
В соответствии с изложенным подходом (11) - (12) разработано программное обеспечение для ряда конечных элементов.
В качестве примера проанализируем собственные колебания модельной лопатки турбины с бандажной полкой [6], геометрические данные характеристики материала которой приведены в таблице.
Геометрические данные и характеристики материала
модельной лопатки
№ п/п Параметры Значение
1 Высота лопатки, мм 150
2 Ширина лопатки, мм 20
3 Толщина лопатки, мм 8,8
4 Ширина полки и замка, мм 23
5 Толщина полки, мм 3
6 Толщина замка, мм 10
7 Длина полки, мм 20
8 Угол установки лопатки, град 20
9 Угол установки полки, град 20
10 Модуль Юнга, ГПа 210
11 Плотность материала, кг/м 7900
12 Коэффициент Пуассона 0,3
На рисунке показаны погрешности расчетов низших собственных частот по различным методикам по сравнению с известными экспериментальными результатами [6]. Отклонения для отдельной лопатки составляют при использовании трехмерного изопараметрического элемента с 36 узлами составили в среднем 2,5 %.
Погрешности расчета низших собственных частот: а - конечный элемент с 36 узлами; б - квадратичный 20 - узловой
конечный элемент
Анализ приведенных результатов показывает высокую эффективность применения трехмерных конечных элементов со смешанной аппроксимацией перемещений полиномами высоких порядков по сравнению с широко распространенным во всех программных комплексах квадратичным 20-узловым конечным элементом. Использованный в рассматриваемом случае трехмерный элемент позволяет в 3.. .4 раза снизить количество элементов, необходимых для получения достоверных результатов.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгим использованием классических положений механики и математического аппарата, проверкой разработанного программного комплекса на большом числе тестовых задач и соответствием полученных результатов экспериментальным данным.
1. Wächter J., Wolfs H., Boriskin O.F. Einfluss der Deckbänder und Deckplatten auf das Schwingungsverhalten von Dampf - und Gasturbinenbeschaufelungen. VDI-Berichte, 1980, N 361. S. 93 - 101.
2. Sälzle P. Schwingungsverhalten der Laufräder von Radialventilationen, Dissertation, Universität Stuttgart, 2001. 129 S.
а
б
Список литературы
3. Petrov E.P., Ewins D.J. Analysis of the worst mistuning patterns in bladed disc assemblies // Proceedings of ASME TURBO EXPO 2001 June 4-7, 2001, New Orleans, Louisiana, USA, ASME Paper 2001-GT-0292. p. 9.
4. Борискин О.Ф. Суперэлементный расчет циклически симметричных систем. Калуга: «Эйдос», 1999. 230 с.
5. Борискин О.Ф., Лошкарев Д.Г., Барышникова О.О. Моделирование трубчатых манометрических пружин в кинематических и силовых вибромеханизмах // Вестник МГТУ. Машиностроение. 2000. № 2. С. 40 -52.
6. Барышникова О.О., Борискина З.М. Численное исследование и проектирование металлоконструкций // Труды МГТУ им.Н.Э. Баумана № 591. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2005. С.51-57.
7. Lange W. Experimentelle Untersuchungen von Schwingungen einer Modellaxialbeschaufelung mit unterschiedlichen Rundumbindungen, Dissertation, Universität Stuttgart, 1987. 148 s.
Борискина ЗягряМихайловна, к.т.н., доцент, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,
Барышникова Ольга Олеговна, к.т.н., доцент, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Шубин Александр Анатольевич, к.т.н., доцент, зав. кафедрой, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана,
STUDY OF OSCILLATIONS ОБОЛОЧНЫХ STRUCTURES BY THE METHOD OF
FINITE ELEMENTS
A study of mathematical models offinite element methods and software for the calculation of vibrations of shell structures subject to displacement and stress during rotation. Mathematical models are based on three-dimensional finite elements with a high degree of approximating polynomials.
Key words: shell design, finite element method, matrices, polynomials, displacements, stresses, cartesian coordinates.
Boriskina Zyagrya Mihailovna., candidate of technical science, docent, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Bauman Moscow state technical University,
Baryshnikov Olga Olegovna, candidate of technical science, docent, Russia, Moscow, Bauman Moscow state technical University
Shubin Alexander Anatolievich, candidate of technical science, docent, head. chair, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University
Получено 28.06.2013 г.
