CC BY
35
УДК 536.12 1Старостин И.Е.
гООО Экспериментальная мастерская «НаукаСофт», Москва, Россия
ПОСТРОЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОДСИСТЕМ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ КИНЕТИЧЕСКИХ МАТРИЦ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
В настоящее время для описания динамики протекания неравновесных процессов существуют два подхода [1]: макроскопический и микроскопический. Микроскопический подход основан на статистической физике и кинетической теории и базируется на кинетических уравнениях, например, кинетическом уравнении Паули, кинетическом уравнении Больцмана [1, 2]. Использование этого подхода подразумевает знание моделей молекул, на основе которых составляются эти уравнения [1 - 3]. В рамках макроскопического подхода состояние системы характеризуется макроскопическими переменными, связанными между собой уравнениями баланса, а причиной протекания неравновесных процессов являются термодинамические силы [4 - б]. Для составления математической модели динамики протекания неравновесных процессов необходимо знать связь термодинамических сил со скоростями протекания неравновесных процессов (скоростями изменения независимых переменных состояния) [5] . В работе [7] на основе
анализа кинетического уравнения Паули [2], было показано, что особенности протекания неравновесных процессов помимо термодинамических сил определяются еще и кинетическими свойствами системы, определяемыми вероятностями перехода [2], входящими в уравнение Паули. Т.к. макроскопические параметры системы, в том числе и энтропия, а значит и термодинамические силы [4 - б], определяются вероятностями состояния системы, то эти параметры не зависят от вероятностей перехода [2, 3, 7].
Таким образом, связь термодинамических сил со скоростями определяется кинетическими свойствами системы [7].
Для связи термодинамических сил со скоростями в работах [8, 9] была введена матрица восприим-
чивостей (или кинетическая матрица [7]), характеризуемая кинетическими свойствами системы [7]. На основе этой матрицы был в [8, 9] разработан в общем случае математического моделирования неравновесных процессов потенциально-потоковый метод, уравнения которого имеют вид [8, 9]:
уу=A(x (t )> у(t ),U (t))X (x (t ),у (t ),U (t))+ут ,
X (xy,U) = —VyF (x у (x P ),u )| P=P( - y),
(1)
dy (t) _ f ду (У,P) dt dx1
ду (x, P) ^
dx (t)
dxm
J
y_ x(t)
p_p( y(t), m)
V
dt
d(e) xd(e) у
---- +----
dt J dt
где x , у - координаты состояния системы; P
параметры баланса системы
d (e)x (t) dt
d(e) у (t) -
dt
внешние составляющие скоростей изменения координат состояния системы x и у соответственно; U -внешние условия, в которых находится рассматриваемая система; F (x, y,U) - свободная энергия системы; X (x,у,и) - термодинамические силы, движущие неравновесные процессы внутри системы;
A (x, у,и) - положительно определенная матрица восприимчивостей системы к термодинамическим силам.
В работах [10, 11] на основе кинетической матрицы делается качественный анализ динамики протека-
ния неравновесных процессов.
Но в систему уравнений (1) входят только параметры состояния системы, однако на практике удобно пользоваться величинами, не являющимися параметрами состояния системы, например, количеством теплоты. С этой целью в [8, 9] рассматривается замена термодинамических координат x величинами
приращений Dx , не являющихся параметрами состояния системы. Это дает возможность записать потенциально-потоковые уравнения (1) в более практичном виде [8, 9].
В работе [8, 9] рассматривается декомпозиция системы на простые подсистемы, несопряженные между собой (системы отдельных протекающих процессов, несопряженных между собой). Приращение векторов x и у в сложной системе связано с независимыми приращениями dAjx в j -й совокупности сопряженных процессов ( j -й простой подсистемы) и представляется следующим образом [8, 9]
dx _ Z
j_i
djX
djx
\
dA jxi dA jXm
dA fx + d(e)x
где матрицы
dd
dd
dA jxi
d jxm,
dy _ Z
j_1
dd
dj:y
dA jx d,у
djf
dAjxm, J
dAjx + d(e)у , (2)
dA jx
(1), (2) и в силу независимости приращений dAjx
djУ djУ ^ ду (x, P) ду (x, P) djx djx
dA jx dAjxmj j dx^ dxm J P_P( xd) dA jx dAjxmj J
получаются из уравнений баланса [8]
j _ 1,N . (3)
Согласно
Термодинамические силы AXj (x,y,U) , j _ 1,N в [8, 9] согласно
f JT7(y У T~l\'\ f JT7(y У T~l\'\
AXj (x,y,U) _ —
dF (x, y,U)
dA jxi
dF (x, y,U)
d jxmJ
простых подсистемах определяются в соответствие с
j _ 1,N , (4)
d Jxm
имеем
P.U
P.U
\XJ (x, y,U ) =
d JX S\ X
dx
x
(X,y,U) , J = 1N ■ (5)
В силу несопряженности простых подсистем запишем потенциально-потоковые уравнения простых подсистем [8, 9]
^dXr- = A (x (‘ )■ y (‘ ),U (‘ '))dXj (x (‘ )■ у (‘ ),U (‘)), J =1N, (6)
где Aj (x,y,U) - матрица восприимчивостей простой J -й подсистемы. Из (2), (5), (6) видно, что
A(x, y,U) определяется в соответствие с [8, 9] в силу
матрица восприимчивостей сложной системы N Ґ ^ Л Ґ
А( X, y,U )= 2 j=1
djX djX AJ (y,U) djX djX
d\ jXi SDJXmj j d\ jX JXmj /
(7)
Из уравнений (2) - (7) несложно получить систему уравнений (1)■ Таким образом, уравнение (7)
показывает, каким образом зная из эксперимента матрицы восприимчивостей простых подсистем (имея известную из эксперимента базу данных матриц восприимчивостей простых подсистем (отдельных процессов) , входящие в различные сложные системы), можно определить матрицу восприимчивостей сложной системы, а значит, потенциально-потоковые уравнения (1).
Задачей, рассматриваемой в настоящей работе, является разработка методики построения матриц
восприимчивостей простых подсистем
aj (x, y,U)
из экспериментальных данных.
Построение матриц восприимчивостей простых подсистем
В работах [4, 6] рассматривается применения формализма Онзагера - частного случая уравнений
потенциально-потокового метода [8, 9] к различным видам неравновесных процессов. В этих работах
[4, 6] на основе перекрестных коэффициентов матрицы Онзагера (частного случая матрицы восприимчивостей в случае линейной околоравновесной области [8, 9]) вводятся коэффициенты увлечения термо-
динамических координат. Например, в случае термоэлектричества - теплоты Пельтье и коэффициент термоЭДС. Часть из коэффициентов увлечения строится экспериментально, а часть - определяется из матрицы Онзагера, которая строится на основе измеренных из эксперимента коэффициентов увлечения одних координат другими и коэффициентов эквивалентности термодинамических сил [4, 6] . Поэтому, для того, чтобы разработать методику построения матрицы восприимчивостей, необходимо установить связь между матрицей восприимчивостей и матрицей коэффициентов увлечения одних термодинамических координат другими и матрицей коэффициентов эквивалентности термодинамических сил в случае простых подсистем.
Исследование и анализ неравновесных процессов у современных авторов сопровождается выделением обратимой и необратимой составляющей неравновесных процессов. Увлечение теплоты диффузионным потоком и выделение или поглощение теплоты Пельтье, рассмотренные в [4, 6], является обратимой составляющей неравновесного процесса, т. к. при изменении направления увлекающей величины изменяется направление увлекаемой величины [6]. Именно, как было отмечено выше и в [6], из анализа обратимой составляющей явления термоэлектричества была определена теплота Пельтье и коэффициент термоЭДС. Таким образом, зная характеристики обратимых составляющих неравновесных процессов, а также необратимых составляющих (в случае термоэлектричества - электрического сопротивления и коэффициента теплопередачи), можно построить матрицу Онзагера - частный случай матрицы восприимчивостей [4, 6] .
Симметричная составляющая матрицы восприимчивостей является необратимой составляющей матрицы восприимчивостей, а кососимметричная - обратимой [9].
В случае рациональной термодинамики некоторая составляющая обратимой составляющей матрицы восприимчивостей может быть известна из эксперимента, например, инерционная составляющая [9]. Отсю-
A(jc, y,U) можно представить в виде
да, матрицу восприимчивостей
A (X, y,U) = A( X, y,U) + A (X, y,U)
где
(8)
имчивостей
A (X, y,U) - известная из эксперимента составляющая обратимой составляющей матрицы воспри-
A(X, y,U) (в силу сказанного выше антисимметричная матрица [9]); A( X, y,U) -
a(X,y,U) .
оставшаяся
составляющая матрицы восприимчивостей
В силу положительной определенности матрицы
a( X, y,U)
и антисимметричности матрицы
A (X, y,U)
матрица
A( X, y,U)
согласно
(8) положительно опре-
делена .
Используя разложение (8), нетрудно скорость протекания неравновесных процессов внутри системы разложить на две составляющие
dX d^e)X
dt dt
где
dX dX
= — + — ; (9)
dt dt
—X = A(X,y,U)x(X,y,U), —— = A(X,y,U)x(X,y,U). (10)
dt
Т
jXm
Т
dX
Составляющая — обусловлена известной из эксперимента обратимой составляющей неравновесных
dt
dX
процессов; составляющая — - оставшимися эффектами протекания неравновесных процессов. Из урав-
dt
нений (8) - (10) непосредственно следует первое уравнение системы (1) . Из уравнения (9) всегда
можно, используя (10), определить составляющую
dx
dt
, которая будет использована для построения
составляющей A(x,y,U) матрицы восприимчивостей А(x,y,U) ; составляющая A(x,y,U) непосредственно известна из эксперимента.
Рассмотрим увлечение одной части dx1 координат dx другой частью dx11 этих координат. Для это-
го, используя блочное представление вектороЕ
векторов —, X (X,y,U) ,
rlt V >
dt
и матрицы
A(x,y,U) ,
dx =
( dXі л
У dx11 j
, X (X, y,U ) =
(Xі (x, y,U) ^ X11 (x, y,U)
, (11)
( (I
A( x, y,U) =
A1 (x, y,U) A111 (x, y,U)
A11 -I (x, y,U) A11 (x, y,U)
, (12)
получим согласно (10) - (12)
—— = A1 (x, y,U) Xі (x, y,U)+A1 ~n (x, y,U) Xn (x, y,U), (13)
dx11 = (11-dt
—— = A111 (x,y,U)Xі(x,y,U)+A11 (x,y,U)Xі1 (x,y,U). (14)
Введя матрицу увлечения (Xі 11 (x, y,U) координат dx1 координатами dx11 b11 -і (x, y,U) термодинамических сил XI (x, y,U ) силам XII ( x, y,U) ,
A1 (x, y,U)
неувлеченной составляющей величины
матрицу эквивалентности а также матрицу восприимчивостей
dx I в
соответствие с
а~п (x, y,U ) = АІ~Іі ( jR, y,U )(An ( jR, y,U)) 1 , (15) Ьіі-і (j,y,U) = (An (x,y,U))-1 AII-I (x,y,U), (16)
Аі(x,y,U) = A(x,y,U) — a іі(x,y,U)AII і(x,y,U), (17)
получим согласно (13) - (17)
d— = An(x,y,U)(Ьіі—і(x,y,U)Xі(x,y,U)+X11 (x,y,U)), (18)
dt
А- = Аі(x,y,U)Xі(X,y,U) + аі—іі(x,y,U)d^ . (19)
Покажем, что матрица
Аі (X,y,U) , вводимая согласно (17), положительно определена. Согласно
(12), (15)
(17) имеем:
'б -аі—іі (X, y,U)
AI (x, y,U) (x, y,U)'
( б о ^
-а1-ііт (X,y,U) Б
\
Б J\An і(x,y,U) An(x,y,U)
Xі (x, y,U) о
An (X,y,U)(Ьіі—і (X,y,U) — a1—11T (X,y,U)) An (X,y,U)
Из полученного уравнения видно, что в силу положительной определенности матрицы A(X, y,U) матрица в правой части полученного уравнения положительно определена, а значит и матрица Xі (X, y,U) также положительно определена.
Представим блочные матрицы AI —II ( x, y,U) и AII —I ( x, y,U) в виде
—іі I fr\ (і—іі ! r іі і
AI—II (x, y,U)—кі—іі ( r, y,U) = Xі—іі (x, y,U) An (x, y,U), An—і (x, y,U)+K—ііт (x, y,U) = An (x, y,U )Хі—ііт (x, y,U),
(20)
где Кі іі (X, y,U) - матрица обратимого сопряжения, а а1 іі (X, y,U) - матрица увлечения несопряженных обратимо составляющих, аналогичная матрице Xі іі (X, y,U) . Согласно (15), (16), (20) получим
(21)
Кі—іі (X,y,U) = (Xі—іі (X,y,U) — (Ьіі—і (X,y,U)) J х х A11T (x, y,U)(An (x, y,U)+A11T (x, y,U))—1 An (x, y,U);
a 11 (x,y,U) = i^1 11 (x,y,U) A11 (x,y,U') + (bIi 1 (x,y,U)) AIIT (x,y,U)jx x( A1 (x, y,U) + AnT (x, y,U ))-1.
Также введем матрицу Л1 (x, y,U) , аналогичную матрице Л1 (x, y,U)
л1 (x, y,U ) = A1 (x, y,U) - a-Ii (x, y,U) A11 (x, y,U )a-IIT (x, y,U) . (23)
(22)
Согласно (12), (20), (23) получим.
Хт i
A( x, y,U) =
(e a-11 (x,y,U)'( л1 (x,y,U)
0
E
о A11 (x, y,U)
( E 0 ^
a-iit (x, y,U) e
о KI-Ii (x, y,U) ^
CKI-IIT (x, y,U) о y
Согласно (10) - (12), (24) получим
dx1 dt
(24)
—----K -I (x, y,U) Xй (x, y,U)-a1 11 (x, y,U )f ——+ K 1IT (x, y,U) Xі (x, y,U) | = ЛІ (x, y,U) Xі (x, y,U),
(25)
—=A11 (xx, y,U )(bIi -I (x, y,U) Xі (x, y,U)+Xі1 (x, y,U)).
Из уравнений (25) виден физический смысл матриц a 1^
г(x,y,U) , K 11 (x,y,U) .
Из уравнения (24) видно, что матрица A( x, y,U) положительно определена тогда и только тогда,
Ті/
когда положительно определены матрицы
Л1 (x, y,U) и A11 (x,y,U) . В работах [5, 6] было доказано, что
матрица восприимчивостей, входящая в потенциально-потоковые уравнения может быть построена положительно-определенной тогда и только тогда, когда произведение термодинамических сил на скорости протекания неравновесных процессов положительно [8, 9]. Положительность этого произведения гарантируется вторым началом термодинамики, отсюда матрица восприимчивостей положительно определена.
Отсюда, для того, чтобы матрица восприимчивостей A( x, y,U) была положительно определенной, необходимо и достаточно выполнения условий
XIT(x,y,U)i-KI-Ii(x,y,U)Xі1 (x,y,U)-a-Ii(x,r,U)(—A+K1 -IIT(x,y,U)Xі(x,y,U)'ll>о, (26)
0
+
(b11 -I (x, y,U) Xі (x, y,U) + Xі1 (x, y,U ))T — > 0
dt
(27)
причем знак равенства относится к случаям
Xі (x, y,U ) = 0
и bII-i (x, y,U) Xі (x, y,U) + Xі1 (x, y,U) = 0
соответственно. Условия (26) и (27) - условия корректности задания матриц увлечения термодинами-
ческих координат и матриц эквивалентности термодинамических сил.
Для любой простой подсистемы сложной системы, как видно из (1) и (6), можно выполнить преобразования, аналогичные (8) - (27). Поэтому, для каждого блочного разбиения матрицы (12), можно, используя уравнения (8) - (12), (21) - (25) разработать методику построения матрицы восприимчивостей простой подсистемы сложной системы. Условия (26) и (27) гарантируют положительную определен-
ность матриц
Л1 (x,y,U) , A11 (x,y,U)
а значит
и матрицы восприимчивостей
A ( x, y,U ) .
Заключение
Итак, в настоящей статье мы получили формализм построения кинетической матрицы простых подсистем (8) - (12), (21) - (27). Для построения этой матрицы необходимо знать из экспериментальных
данных термодинамические силы, скорости протекания неравновесных процессов, а также матрицы увлечения термодинамических координат и матрицы эквивалентности термодинамических сил в этой простой подсистеме. В работе [12] рассматривается пример определения коэффициентов матрицы восприимчивостей .
ЛИТЕРАТУРА
1. Старостин И.Е., Халютин С.П. Потенциально-потоковый метод - инструмент качественного анали-
за и моделирования динамики неравновесных процессов // Материалы X Всероссийской научнотехнической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского». - М.:
Издательский дом Академии им. Н.Е. Жуковского, 2013. - С. 40 - 45.
2. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т.3: Теория неравновесных систем. -
М.: Едиториал УРСС, 2002. - 432 с. В 3-х т.
3. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т.2: Теория равновесных систем: Статистическая физика. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 432 с. В 3-х т.
4. Агеев Е.П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. -136 с.
5. Эткин В. А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - СПб.: Наука, 2008. - 409 с.
6. Гроот. С.Р. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956. -281 с.
7. Старостин И.Е., Халютин С.П., Быков В.И. Связь матрицы восприимчивостей потенциально -
потоковых уравнений с физическими свойствами неравновесной системы // Инновации на основе инфор-
мационных и коммуникационных технологий: Материалы Х международной научно-практической конференции «Инфо-2013». - М.: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. - С. 260 - 262.
8. Халютин С.П., Старостин И.Е. Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки, 2012, Т.2. - С. 25 - 35.
9. Халютин С.П., Тюляев М.Л., Жмуров Б.В., Старостин И.Е. Моделирование сложных электроэнергетических систем летательных аппаратов. - М.: Изд-во ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. - 188 с.
10. Быков В.И., Халютин С.П., Старостин И.Е. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода // Труды международного семинара «Надежность и качество - 2012», т. 1. - Пенза: Издательство ПГУ, 2012. - С. 488 - 491.
11. Быков В.И., Старостин И.Е., Халютин С.П. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода методом обратной связи // Информатика и системы управления: кибернетическая физика, 2013, № 3(37) . - С. 75 - 89.
12. Старостин И.Е. Определение параметров схемы замещения потенциально-потоковой модели никель -кадмиевого аккумулятора методом гидрооксидных пленок // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. (Пенза, 2011). - Пенза: Издательство ПГУ, 2011. - С. 318 -324.
