Построение дискретной модели транспорта взвеси в прибрежной зоне мелководных акваторий Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. V.S. Vagin, I.V. Pavlov. Modelirovanie i optimizatsiya kvazilineynih slozhnyh system s uchetom veroyatnostnogo haraktera prioritetov. [Modeling and Optimization of quasi-linear complete systems in view of random nature of priorities.]// Vestnik RGUPS [Vestnik RGUPS], 2016, №1(61), P. 135-139. [in Russian]

3. Bogachev, V.I. Osnovy teorii mery. [Foundations of Measure Theory.] / V.I. Bogachev. - Moskva-Ijevsk: NITs Regulyarnaya i haotitcheskaya dinamika [Moscow-Izhevsk: Scientific and Publishing Center Regular and chaotic dynamics], 2006. - V. 1. - P. 584. [in Russian]

4. Krasiy N.P. Optimizatsiya kvazilineynyh modelej s nezavisimimi prioritetami. [Optimization of quasi-linear models with independent priorities] // Sovremennye metody i problemi teorii operatorov i garmonicheskogo analiza i ih prilozheniya [Modern methods and problems of operator theory and harmonic analysis and their applications] - VI, Rostov-on-Don, 24-29 April 2016, P. 134-135. [in Russian]

5. Krasiy N.P. O nekotoryh osobyh slutchayah optimizatsiyi kvazilineynyh modelej s nezavisimimi prioritetami. [On some special cases of the optimization of quasi-linear models with independent priorities] // Mejdunarodnay konferentsiya " XXVI Krymskaya osennyaya matenatitcheskaya shkola-simpozium po spektralnym i evoluzionnym zadatcham" [International Conference "KROMSH-XXVI". Abstracts.] - 2016. - P. 110. [in Russian]

DOI: 10.18454/IRJ.2016.53.206 Проценко Е.А.1, Кузнецова И.Ю.2, Проценко С.В.3

1 Кандидат физико-математических наук, Ростовский государственный экономический университет, 2Кандидат физико-математических наук, Научно-исследовательский центр «Супер-ЭВМ и нейрокомпьютеров»,

3Магистрант, Ростовский государственный экономический университет Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 15-07-08626, № 16-3716-37-00129 ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ВЗВЕСИ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

МЕЛКОВОДНЫХ АКВАТОРИЙ

Аннотация

Работа посвящена математическому моделированию процессов переноса вещества в мелководных акваториях. Представлена дискретная модель транспорта взвеси в прибрежной зоне мелководных водоемов, для построения которой использован метод сеток. Для аппроксимации задачи по временной переменной применен метод расщепления на одномерно-двумерную задачу, что сокращает время расчета численной задачи. При аппроксимации задачи подъема, переноса и осаждения взвеси по пространственным переменным учтена заполненность ячеек, что повышает точность решения в случае, если расчетная область имеет сложную геометрию. Результаты математического и численного моделирования могут быть применены на практике для прогноза формирования рельефа дна, в частности, прогнозирования транспорта взвесей.

Ключевые слова: трехмерная дискретная модель, метод сеток, разностная схема, погрешность аппроксимации.

Proysenko E.A.1, Kuznetsova I.U.2, ProysenkoS.V.3

1PhD in Physics and Mathematics, Rostov State University of Economics,

2PhD in Physics and Mathematics, Research center «Supercomputers and Neurocomputers», 3Undergraduate,

Rostov State University of Economics This work was supported by RFBR project № 15-07-08626, № 16-3716-37-00129 DISCRETE MODEL OF THE TRANSPORT OF SUSPENDED MATTER IN THE COASTAL ZONE

OF SHALLOW WATER AREAS

Abstract

The work is devoted to mathematical modeling of transport processes of substances in shallow waters. The article presents a discrete model of the transport of suspended matter in the coastal zone of shallow reservoirs, to build a where used grid method. For approximation tasks in a temporary variable splitting method applied to one-dimensional two-dimensional problem, which reduces the calculation time for the numerical tasks. In the approximation tasks of lifting, transport and deposition of suspended matter on the spatial variables taken into account, the occupancy of the cells, which increases the accuracy of the solution if the computational domain has complex geometry. The results of mathematical and numerical modelling can be applied in practice for the prediction of the formation of the bottom topography, in particular, prediction of sediment transport.

Keywords: three-dimensional discrete model, grid method, finite difference scheme, approximation error.

Модель распространения загрязняющих примесей в мелководном водоеме включает в себя гидродинамическую задачу мелкой воды и задачу переноса примеси [1]. Для описания транспорта взвешенных частиц использовано уравнение диффузии-конвекции-реакции, которое может быть представлено в виде:

DC DC DC a - b, .DC

■ + и--+v--1--(a —a )-

Dy H v '

Dt

D ( DC

Dx

Dx

Dx D

Da

+ -

Dy

D,

DC

Dy

+

a — b

\2

Da

D

DC

Da

+ F,

где С - концентрация осадка [г/л или кг/М]; V = {и,V,- составляющие поля вектора скорости [м/с];

(1)

a -

гидравлическая крупность или скорость осаждения взвеси по с-координате в вертикальном направлении [м/с]; Н -

2

глубина [м]; Д, Д - горизонтальный и вертикальный коэффициенты турбулентной диффузии [ м /сек]; X, у -

координаты в горизонтальном направлении; о -координата в вертикальном направлении; 1 - временная переменная [с]; Б - функция, описывающая интенсивность распределения источников загрязняющих веществ.

Для построения дискретной модели транспорта взвешенных частиц использован метод сеток [2-5]. Область непрерывного изменения аргументов заменена дискретным множеством точек (узлов). Вместо функций непрерывного аргумента исследованы функции дискретного аргумента, значения которых заданы в узловых точках сетки.

Покроем расчетную область сеткой, используя допущение: расчетная область представляет собой параллелепипед, либо вписана в него.

Введем равномерную прямоугольную сетку:с = схСхСхС ,

; = 0, N.. -1,

: {xt = ihx,i = 0,Nx -1,К (Nx -1) = lx} : {y = , j = 0,Ny -1,hy (Ny -1) = ly},

0 : {ak = kha, k = 0, Na-1, ha( Na-1) = la} : {tn = m, n = 0N ,rNt = lt},

где T - шаг по времени; hx, h ha - шаги по пространству; Nt - количество временных слоев; T - верхняя

граница по времени; Nx, Ny NCT - количество узлов по пространству; ^, l 1а - размеры параллелепипеда по

координатным направлениям.

Для аппроксимации уравнения (1) по временной переменной используем схемы расщепления, при этом исходная задача расщепляется на две подзадачи. Введем вспомогательную временную сетку:

' 1 "

„ , с: У 1 = 1« + " ^ « = а N ^ = Ь \

с = с с {п+2 V 2 У ^ (2)

Для обозначения изменения профиля концентрации на промежуточном временном слое t = ^ + 0,5 будем

использовать символ «~» над обозначением концентрации С.

Первую подзадачу представим одномерным уравнением диффузии-конвекции-реакции относительно расчетного временного слоя:

С — С дС дС а — Ъ, ч дС

- + и--ну--1--(со—со )-=

я,- я.. и V

г/2

дх

ду

H

да

д

дС Л д дС Л

= — D — + —

дх ^ дх ) ду ^ ду )

Dh —

a - b Л д

H ) да

D —

vda

+ F

(3)

m+V2

значение концентрации на

где С = С - значение концентрации на текущем временном слое, С = С промежуточном временном слое.

Шаблон, который использован при решении данного уравнения, представлен на рисунке 3. Относительно расчетного временного слоя данный шаблон является трехточечным. Фиктивный или нерасчетный узел обозначен пустой точкой.

С

s-m+1/2 Ci, j ,k+1

n+1/2

Т а ^ Л,к-1 4 %

Рис. 1 - Шаблон, используемый для первой подзадачи Введем вспомогательную временную сетку для второй подзадачи:

Фиктивный узел Расчетный узел

щ =mt yjcot

Для обозначения изменения профиля концентрации на следующем временном слое t = ^ +1 = использовать символ «-» над обозначением концентрации С. Вторая подзадача описана следующим уравнением:

С — С дС дС а — Ъ , Л дС

--Уи----1--(со — со )-=

т/2 дх су Н у да

(4)

будем

x

д ( „ дС Л д ( „ дС } (a - b +

дх

v дх J

D— +1 -

ду V ду ) V H

D<* v Sö-

+ F

_ ■ (5)

Я П и+1/- Г< Г<п+1

где С = С - значение концентрации на промежуточном временном слое, С = С - значение концентрации

на следующем временном слое.

Шаблон, который использован при решении данного уравнения, приведен на рисунке2. Относительно расчетного

временного слоя данный шаблон является пятиточечным.

С

n+1 i, j+1,k -1

Ci-1,j,k

/

с/

а

/

/

С

n+1

i, j,k

X

Ci+1, j+1,k

Фиктивный узел

y^m+1 Ci,j-1,k

<, у-1,^+1 • Расчетный узел

Рис. 2 - Шаблон, используемый для второй подзадачи

Согласно приведенной схеме, на первом этапе осуществляем решение системы трехдиагональных алгебраических уравнений методом прогонки в одном из направлений, в результате чего находим значения искомой функции на промежуточном (п + 1/2)-м временном слое. На втором этапе находим искомое решение на верхнем (п+1)-м временном слое.

Рассмотрим аппроксимацию задачи подъема, переноса и осаждения взвеси по пространственным переменным. Для аппроксимации задачи транспорта взвесей будем учитывать заполненность ячеек, что повысит точность решения, так как расчетная область имеет сложную геометрию.

Заполненность ячейки (I, j, к) обозначим как ^ . к. Ячейка считается заполненной полностью когда ^ ^ = 1.

Ячейки представляют собой параллелепипеды, которые могут быть заполненными, пустыми или частично заполненными. Центры ячеек и узлы разнесены на к /2 , к /2 и к^/2 по координатам х, у, <У соответственно.

Поле скоростей и концентрация рассчитывают в вершинах ячейки, затем пересчитывают для следующих ячеек. Вершинами ячейки (I, j, к) (Рис. 3) являются узлы (I, j,к), (I-1,у,к), (I, j -1,к), (I-1, j-1,к), (I-1, j, к-1),

(г, у-1, к-1), (г -1, у-1, к-1).

У

x

g 0-1,jk-1)

(i-1j,k)

(i,j-1,k-1)

(i-1,j-1,k)

Рис. 3 - Расположение ячейки относительно прилегающих к ней узлов

Для описания заполненности контрольных областей введем коэффициенты f, f, f, f, f , f, f. Значение коэффициентов характеризует заполненность областей D0, Dl , D2, D3, D4, D5, D6 соответственно (Рис.4):

f0 - D0: {x e (X-1 >X+1), y e (yj-1, yj+1), CT e (ak-X, ak+x) }, f - D1: {x e (x,x+1), y e (yj-1, yj+1), с e (ak-1, ak+1) }

/2 - Д2 {х е х, - 1,х )

/з - Дз {х е х, - 1, хг+1

/4 - Д4 {х е х, - 1, хг+1

/5 - Д5 {х е х, - 1, хг+1

/б - Дб {х е х, - 1, хг+1

, ), у е (у.-1, yJ+1), о е (°к^, ок+х) },

'е

о е( о

е( о

т (Ч.Ь-1)

| (Ц-1,к)

0+и,к) — -9

(4+1,к) 1 ¿- 4

1

ик+1)

Рис.4 - Расположение расчетных узлов относительно ячеек

В окрестности узла (г, к) лежат ячейки (/ -1, к) , (/, / -1, к), (/ + 1, к), (/, / + 1, к), (/, к -1), (/,7,к + 1) (Рис. 4). Те части области Дт , которые будут заполнены, обозначим через , где т = 0..6. Тогда коэффициенты / вычислим по следующим формулам:

/ /■ Ч _°г+1,],к + °г+и+1,к + °г+1,/, к+1 + °г+1,./+1,к+1

(/т )г,у,к = ^ ' ()1,],к = ^

Дт

(г\ °г, /, к + °г, 7+1,к + °г, /,к+1 + °г, /+1,к+1 / \

()г, 1 ,к /I ' (У3 )г, /,к

°г+1,/+1,к + °г,/+1,к + °г+1,/+1,к+1 + °г, /+1,к+1

(^ )г,/,к

()г, /,к =

4

°г, ],к + °1+1,/,к + °г,/,к+1 + °г +1, / ,к+1

°г, ],к+1 + °г+1,/,к+1 + °г+1, /+1,к+1 + °г,/+1,к+1

(/б )г, /,к

°г, / ,к + °г+1,/,к + °г+1,/+1,к + °г,/+1,к

4

( /о ) (с /■),/, +(/2 ),,, ).

■к 2'

Проинтегрируем по области О0 уравнение (3), воспользовавшись свойством линейности интеграла, в результате

получим:

||| С—^Мус1а +1|| и с1хс1ус!а +1|| (-^-с/хфс/а

дС

дС

дх

+

=ЯЩ-п» +

■Ш

д

(

Д,

дС

\

ду V ду У

дхйуйо + ||||

2

а - Ь ] д

Д

<ЗС да

>1хс1ус1а.

Н У до

Вычислим каждый из полученных тройных интегралов отдельно с учетом следующих обозначений:

1—1|| пёхйуйо, = —1—1|| уёхйуйо,

НИИ

НИИ

х

У

о

4

4

4

а - Ь Н

,,,, = -^\\\аНЬ. ' х' у' г О Н

При этом первый интеграл по области /)п запишется в виде:

т/2

Второй интеграл в выражении (3) запишем следующим образом:

дС , , , ггг дС

■т /2

!!! и ~С dxdydс^ = ¡Ц и дС dxdуdс^ + ¡Ц и ддС dxdуdс^

х у г '

дх

дх

дх

(/ и !!! и Яv У +(л ), !!! и

Яv У

ц

дх

Вычислим интегралы по областям 01 и 02:

ст4-+1/2 >7+1/2 Л^+1/2 ^^

||| и—-dxdyda = | с!а | с1у | г/—-йх —

ак-12 у,-1/2 х1 гк+1/2 У,+1/2 xi

&

&

&

Г -Г

и1+У2,],к 0 ПуПп ■

Щ/ /-^—б/лг/) 'б/сг = | 6,,сг | б/) ' | / / б/л" = / г

а с

Г -Г

1 . /,А- /-1.

гк-1/2 У,-1/2 х1-1/2

дх

_

-1/2,уЛ о У '

в результате получим:

¡¡!и а )г

С - С

,,к и+1/2,,,к 2 ПуПа +

+ ( /2 )г,

и.

С - С

, ,к

2' г, ], к г-1/2, ,,к £

(и+1,, ,к + ) /2.

Аналогично, для третьего и четвертого интеграла соответственно:

дС

КК

где и,+1/2,,,к =(и, +1,,,к + ^

!!! У — = (/3 )г

Оа

С - С

,,к Ч,+1/2,к ^ " +

+ (Л )

Vг, , к г,,-1/2,к

С - С

•а — Ъ, ч<ЗС,,, / „ ч а -Ъ

\\\—(0)-0)>)—сЫус1(Т=Ш,

дг

ш Н

2

(а-®,, )

,,к+1/2

Г -Г —1-—//.//, +

о х у

(7)

(8)

(9)

(10)

,,к-1/2

Г -Г

—---V',-

2К

Вычислим интеграл, стоящий в правой части выражения (3):

дС —[ £>й дС [[[ —[ £>й дС Зхёуёг

^ дх V дх у дх V дх у

¡¡¡¿Г °к

дх V дх у

(11)

(12)

у

а

О 2 О12

О1

Рис. 5 - Схема заполненности областей 169

О

О

О

о

2

О

О

X

У

В выражении (12) для определенности будем полагать, что > £а , выделим из области фрагмент 2, смежный с областью 02, причем £а = ^ (Рис. 5).

Ц/дх ( Д Тх У*4*=Д Сх ( Д § ] +

+Д | ( А % ) = ((/ ),,к -(/2 )г „к +

+(/2Хм Я||(Д дСУлуёа, (13)

с 2 ^ сс Л

Вычислим интеграл диффузионного переноса — I Д- I по области Д :

дх V дх )

ю! (Д§ Уяу1о= 'Г I |(Д§)Л=

До у у 0-1/2 у/-1/2 х у у

( С - С С - С Л

(Д ) Ч+ид Чм _(Д ) Чм Сг-1,-/,к КК (14)

(Д Л+1/2,/,к т, (Д Л-1/2,/,к Г. ПуП° . (14)

( Пх )

д ^ дС Л

Вычислим интеграл от функции — I Д- I по области Д :

дх ^ дх )

(Д §)хуо= /1ф I Сх(Д §]*=

Д1 у у °к-1/2 у/-1/2 хг у у

ДК)+1/2,/, Л1,1,кК ^ 1 к -(ДК)-1/2,/,к («хСг./,к + &^

Интеграл, стоящий в правой части выражения (3), равен:

|||||д СС^о=((/1 / (дх Сг+и,к -^

Оо дх I Л дх ) ' (^17^ Л/г+1/2,/,к ,

Сг,/,к - Сг-1„, _ _

'2 )г', /,к (Д Л-1/2,./,к ^ (()г,/,к (^2 Л,/,к;

X

-(./2 ) (Д) г—1/2, /,к р. — -((-А )г,/,к -(./2 )г,/,к )

Пх

( Д )г+1/2,/,к - (Д )_ 1/2,/,к («С,,к + & )Л КуКо . (15)

В случае, если £а > , результат будет аналогичным. Подставим в уравнение (3) выражения (7) - (15), в результате получим дискретный аналог уравнения расчета концентрации на промежуточном временном слое:

С -С С -С

(г\ Чм Чм 1 1 1 ,(г\ и ии +

(/0 )г,/к 12 ПхПуПо +(/1 )г,/ к /+1/2,/,к ^ ПуПо +

+ (Л )г,/, к иг-1/2, /,к г,Л 2 г-,Л ^о +(/3 X,/, к Ч,/+У2к-/+к- КК +

С - С С - С

Сг,/,к Сг-1,],киь% ^ Сг,1+1,к С1,/,к

+ (/4 )г,/,к -1/2,к С"/,к 2Сг,/-1,к КхК +

а — Ъ, ч ^г./.к

2

С -С С -С

= (( ДК )г+1/2,/Л /2)г,,к (ДК ).1/2,/Л КуКо +

С -С С -С

+(/3,(о,),,,,„ ] кп, - (л),(о),_^ ,. •1,к их+

У У

+Сй),,,„ )' (А ■^^ЧА, --(Л)ш (А -

(/),-(/г),ы|((Оп)',,«С, - + Р)КК -(Л), -(/. , ((О ), «Си.,+Р) КК+РиАКК •( Л), (16)

Разделим полученное выражение (16) на единичный объем ячейки ККК, в результате получим дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции (8) с граничными условиями третьего рода для первой подзадачи.

Н ,

Учитывая, что п =-п , получим:

а-Ъ

С -С С -С

( -'О )',,,к /1 Л, ,,к "'+1/2, „211

С -С С -С

+ (/2 л,,,кМ'--1/2,,,к 2Н +( 3 )'',,,к ,+1/2,к 2Л +

Г -Г Г -Г

+ (/4 ^,-1/2,к 2/г + (/5),,,* " )иму2 2/; +

Г -Г 2,

, ч , ч С,.,.,-С,.

=(), (о,)

'+1/2, ,,к }12

( л ) (О)

С -С С -С

+ ( /з)

',] ,к

( О,) '',,+1/2,к ^2 ^(Л), (Ок) '', ]-1/2,к

У У

С -С С -С

+ (Г) (£>) (/) _(£>) Чл* Члк-1_

Ч-'5,, ,к V ^,],к+1/2 ^2 V-'«/,,, ,к V Т'Л,] ,к- 1/2 ^2

(/1)',,, к-(/2), (О)'

«хС, ,,к +Рх

],к \->2>',],к V п/'',,,к ,

(/з)',,, к -(/4)',,, к (О), + ], к •(/о)',,, к • (17)

У

Аналогично получим дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции для второй подзадачи:

С -С С -С

( 'О Л, ] ,к Т!2 (/1 )'', ,Ли+1/2,, ,к 2к

С -С С -С

+ (/2 )'',-1/2,],к 2Ъ. +('з )'',,,к V'',1/2,к ^ + Г -Г Г -Г

+ (/4 )',,,к "'',,-1/2,к +(./5 )',,,к (а а )',],к+1/2 2/7 +

С -С _ С -С

+ (/б)и,к (" "Л: ,, "Л"2/г = (А),-+1/2,М

C - C C - C

Ci, j,k Ci-1, j,k ( Г \ / n \ Ci, j+1,k Ci, j,k

-(/2),*(Dhk j u+(/3(Dh

1/2, j,k fo 2 \->3fi,j,k\ hfi,j+1/2,k fo 2

У

С -С С -С

-( f\ (D) ; • (" /1 (D) iJM1 -

V-/4 Л, j ,k V h fi, j _ i/2,k тЛ \J5 fi, j ,k\ V,j ,k+1/2 ^2

1 "г

-( /. ) i,j ,k ( D) г\j,k-1/2 ^2

, j,k h

«A. j, k+Д

(/3L k-(/4L,k (D)i,jk y 'j,k y k•(/0Lk• (18)

hfi, j,k h i,j,k \J0>i,j,k Дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса примут вид:

Ci+1,j,k - Ci, j,k Ci, j,k - Ci-1, j,k " aC=1'2, ——+ПК—, (19)

kfl -ши^-ши^

( /1 )i, j,k-( /2 )i, j,k| ( D )i, j,k ^f1^ • (20)

Таким образом, получен дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции с граничными условиями третьего рода.

Список литературы/ References

1. Сухинов, А.И. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов / Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Дегтярева Е.Е. //Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. -№ 6 (131). -С. 57-62.

2. Сухинов, А.И. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Н.А. Фоменко // Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. -№4. - С 87-96.

3. Сухинов, А.И. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. - №8 (121). - С 32-44.

4. Сухинов, А.И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А.И. Сухинов, Е.Ф. Тимофеева, А.Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. -№8 (121). - С 22-32.

5. Сухинов, А.И. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2015. - Т. 16. № 3. - С. 328-338.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Suhinov, A.I. Matematicheskoe modelirovanie transporta donnyh otlozhenij s uchetom gidrodinamicheskih processov [Mathematical modeling of the transport of bottom sediments taking into account the hydrodynamic processes] / Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Degtjareva E.E. //Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. - 2012. - № 6 (131). - S. 57-62. [in Russian]

2. Suhinov, A.I. Metodika postroenija raznostnyh shem dlja zadachi diffuzii-konvekcii-reakcii, uchityvajushhih stepen' zapolnennosti kontrol'nyh jacheek [Methods of constructing difference schemes for the problem of diffusion-convection-reaction, taking into account the occupancy level of the control cells] / A.I. Suhinov, A.E. Chistjakov, N.A. Fomenko // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. - 2013. - № 4. - S 87-96. [in Russian]

3. Suhinov, A.I. Postroenie diskretnoj dvumernoj matematicheskoj modeli transporta nanosov [The construction of discrete two-dimensional mathematical model of sediment transport] / A.I. Suhinov, A.E. Chistjakov, E.A. Procenko // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. - 2012. - №8 (121). - S. 32-44. [in Russian]

4. Suhinov, A.I. Postroenie i issledovanie diskretnoj matematicheskoj modeli rascheta pribrezhnyh volnovyh processov [The construction and investigation of discrete mathematical models calculate coastal wave processes] / A.I. Suhinov, E.F. Timofeeva, A.E. Chistjakov // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. -2012. - №8 (121). - S 22-32. [in Russian]

5. Suhinov, A.I. Sravnenie vychislitel'nyh jeffektivnostej javnoj i nejavnoj shem dlja zadachi transporta nanosov v pribrezhnyh vodnyh sistemah [Comparison of computational efficiencies of explicit and implicit schemes for problem of sediment transport in coastal water systems] / Suhinov A.I., Procenko E.A., Chistjakov A.E., Shreter S.A. // Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tehnologii [Numerical methods and programming: new computing technology]. - 2015. - T. 16. № 3. - S. 328-338. [in Russian]