Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка

точности

11 1 2 А.А. Семенякина , Д.С. Хачунц , И.Ю. Кузнецова , С.В. Проценко

1 Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем

имени академика А.В. Каляева, г. Таганрог

2

Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ), г. Таганрог

Аннотация: Работа посвящена исследованию аппроксимации 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности. Получены аппроксимации оператора конвективно-диффузионного переноса разностной схемой, при том, что разностная схема обладает 4-ым порядком погрешности аппроксимации. Дискретный оператор диффузионного переноса рассмотрен при отсутствии влияния границы области. Было установлено, что построенная схема повышенного порядка точности аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий 3-его рода со 2-ым порядком точности.

Ключевые слова: Схемы повышенного порядка точности, диффузия, диффузионный перенос, дискретный оператор, аппроксимация, граничные условия, краевая задача, разностная схема.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение диффузии-конвекции-реакции [1, 2], которое выступает как задача транспорта веществ:

с' + < + К = (К)) + (К) y + f,

с учетом граничных условий:

с'п (x ^ t ) = апс + ßn,

где f - функция, описывающая распределение и интенсивность источников, ^ - коэффициент турбулентного обмена, u,v - компоненты вектора скорости.

Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи введем равномерную сетку:

wh = {tn = пт, x = ihx, y = jhy; n = , i = OnX, J = 0N; Ntr = T, Nxhx = lx, Nyhy = ly},

где т - шаг по времени, Их, N - границы по пространству, Ы1 - верхняя

граница по времени, кх, ку - шаги по пространству,

В случае частичной заполненности ячеек дискретные аналоги 2-ого порядка погрешности аппроксимации операторов конвективного пс'х и

диффузионного (цс'х) х переноса выглядят следующим образом [3,4]:

(Чо \,} ЩС'х = (Ч \,} Щ+1/2,7 С, 7 + (Я I,} Щ-1/2,, ^, 7 2С-1,7 , (1)

(Чо \,7 (ИС'х )'х = (Ч1 ^,7 Н+1/2,7 - (Ч2 \,7 ^-1/2,7 ^^ - (2)

х х

(q)/, 7 ,7

x г, /

¡,7 7

hx

где qt - коэффициенты «заполненности» контрольных областей [5].

Для аппроксимации третьей краевой задачи диффузии-конвекции

достаточно рассмотреть оператор диффузионного переноса (¡uc') . Построим

аппроксимацию оператора диффузионного переноса (¡uc') разностной схемой четвертого порядка точности, аппроксимируя оператор

(¡uc') - ¡uc(IV}h2 /12 - ¡uc"h2 / 4 - ¡u'cmh2 / 6 - ¡umc'h2 / 6 вторым порядком точности [6, 7].

3-я краевая задача

Рассмотрим случай, когда ¡и = const. Тогда для получения схемы четвертого порядка погрешности аппроксимации достаточно будет

рассмотреть выражение (uc') - ¡uc^IV)h2/12.

Для этого доопределим задачу вычислительными граничными условиями cП = 0. Для этого обозначим:

Ь(с) = Ь, (с) - Ь2 (с), Ь, (с) = (Мс')', Ьг (с) = (Мс'")' И2 /12 Запишем аппроксимацию оператора Ь1 (с):

(9о),Ь(с) = (9,),М^-(«2),М^ "К?,), "(92),|М^

Аппроксимация оператора Ь2 (с) с учетом граничного условия = 0 и

5 = с":

(9о )Ь2(с) = (9, -(9), М ,2

(?о), 5 = (9, Г-^И-Р- "(92 "|(9, ),-(?2 ),|

I асг + в

И у И2 |Ч 1/г 4 2/г| И Подставим (3) в выражение (4), в результате чего получим:

(9о )Ь2 (с) ^ (9,) М

( 9, )г+, сг+2 " сг+,

( 92 )г +, сг+, " с

(9о)+, ,2И2 (90)+, ,2И

и г+, (92 ) г+, I асг+, + в

"2 (9о ) М

(9о )г+, ,2И

'(9,)

_____,)<-(92)г| асг +в

(9о )г ,2И2 (9о )г ПИ2 (9о )г Ш

г сг+, " сг

(92)

гсг " сг-,

+

+

(92 ) М

(9,)м с " с(92)гс- с-2 |(9,)г-,-(92У асг-, + в (9о ,2И2 (9о ,2И2 (9о,2И

или

(9о )Ь2 (с) ^ ( 92 )1

М^(9 ) —М ^ (9о )+, (9l )г ,2И2

с

г+2

(9,),

3И

2 сг+, +

+

М

,2И

4^0/ г+,

(9о) -(92) М

(9, )г + 4 (9о )г +(92 \

(9,)м (9о)

с -

3И

2 с-, -

-(92 )г

М (92 )г-, ,2И2 (9о )м

г- /

Л

(3)

(4)

"г-2

-(9, )г а,

(9о )г+,

,2И

/ ч / \\асг + в , ч |(Ч1 )<-1 -(Ч2 асг-1 + в

(ч> )-(ч2 ^ — № А1 1

Таким образом, представление оператора диффузионного переноса (¡ис') разностной схемой, четвертого порядка точности может быть записано

в следующем виде:

+

(Чо IТ (с) -

( Я 2

(як(я ) Л

(Чо) (Ч1 А

V г +1

12Г

с

г+2

(Ч1)

4и

3г

2 сг+1 +

(5)

и

12Г

(Ч1) + 28 (Чо )+(ч2 )

^ 10 ! г+1

( Ч1 )г -1

(Чо А-1

(Ч2 ^

4и

3г

с.

2 ^-1

-(Ч2 А

и (Ч2 А-1

12Л2 (Чо )-1

с

г-2

-(Ч1 41 А+1 42 А+1| ^+1 +в +

(Чо А+1

12Г

+

7|

ас + в ( а |(Ч1А-1 -(Ч2 )г-^ асг-1 + в

(Ч1 )-(Ч21\—Г--(Ч2 Аи

Г ч*2'г" (Чо )-1 12Г

Рассмотрим аппроксимацию граничных условий. Пусть (Ч1 )г+1 = 1, (Ч1 )г = 1, (Ч2)г = о, тогда аппроксимация оператора диффузионного

переноса запишется:

Т (с\ „ ¡с+2 - 16сг +1 + 15сг _ 7 1 +в

Ь (с} - и 6Г2 3 и Г

(6)

Представим в виде ряда Тейлора функцию с в узлах г + 2, г +1

относительно г:

Г2 Ъъ , \ 4Ъъ / ч

с+1 = с + Гс\ + у <+ у сГ+ О (Г4), с+2 = с + 2Гс\ + 2Г 2<+О (Г) .(7)

Запишем сг+2 - 16сг+1 + 15сг с учетом преставлений (7):

4Г3 8Г3

с + 2 - 16с.+, + 15с . = с . + 2гс' + 2ГV +-с"- 16с . - 16Гс ' - 8Г2--сТ+

г л-2 г+1 г г г г 3 г г г г 3

+,5сг + о (и 4) = -Шс; - би2с';-^ сп;+ о (и 4).

Подставим данное выражение в уравнение (6), в результате чего получим:

ь (с)=М7 (с -3Т'-в)+М<+| И-;+ О(И'). (8)

Из полученного выражения и равенств с' = ас + в, ст = 0 следует, что схема (9) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Теперь рассмотрим случай (9,)+, =,, (9,) =,, (92) =,, (92)_, = 0, тогда

аппроксимация оператора диффузионного переноса запишется:

/ \ сг+2 - ,6сг+, + 3,сг - ,6сгасг_, + в

Ь (с) - -м—-^—т—*-^ + м—и——. (9)

v } ,2И 6И

Представим в виде ряда Тейлора функцию с в узлах г + 2, г +, г относительно г -,:

с. = с. _, + Ис.- + И2 <_, + у сг", + о (И4), (Ю)

с+, = см + 2Ис'1_1 + 2И 'с;-, + ^ с-, + о (И4), а,)

9И2 9И3 / \

с.+2 = с._, + 3Иc;_l + ^^с;-, + Ц-^ + о (И4). (,2)

Запишем с;+2 - ^с^, + 3,с; - 16cг_1 с учетом преставлений (Ю) - (,2):

9И2 9И3

сг+2 - ,6 сг+, + 3,с; - ,6см = с-, + 3Исм +~ с1, +~ Сх _ (,3)

64И3 И2 -,6с. , -32Ис', -32И2с\--с", + 3,с. , + 3,Ис', + 3,—с", +

г—, г—, г—, 3 г—, г —, г—, 2 г

+3, И3 сГ, - ^с^, + о (И4 ) = 2Иc;_1 - ,2И 2с"1_1 - ^ с;_, + о (и 4).

Выражение (9) с учетом равенства (13) запишется в следующем виде: т (с) = -и (^ --в) + 1 - + О Г ). (14)

Из полученного выражения и равенств с' = ас + в, ст = о следует, что схема (14) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Заключение

Построены схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, которые учитывают заполненность ячеек. Исследована аппроксимация третьей краевой задачи диффузии-конвекции для оператора диффузионного переноса. Схема повышенного (четвертого) порядка точности для оператора диффузионного переноса аппроксимирует данный оператор в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности. Для аппроксимации задачи по временной переменной предлагается использовать схемы с весами [8]. После дискретизации задача сводится к решению сеточных уравнений для решения которых предлагается применять адаптивный вариант попеременно-треугольного метода [9], который показал себя как наиболее эффективный метод при решении задач гидродинамики

[Ю, 11].

Работа выполнена при частичной поддержке задания №2о14/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России, РФФИ по проектам №15-о7-о8626, № 15-о1-о8619.

Литература

1. Дегтярева Е.Е., Проценко Е.А., Чистяков А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных

акваториях// Инженерный вестник Дона. 2012. Т. 23. № 4-2. С. 30. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.

2. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды// Инженерный вестник Дона. - 2012, - Т.20, №2, - С. 335-339. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/794

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

4. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование. 2014. Т. 15. №4. С. 610-620.

5. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Выч. мет. программирование, 2015. Т 16. №3. C. 328-338.

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Семенякина А.А., Никитина А.В. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности // Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16. № 2. C. 256-267.

7. Чистяков А.Е., Семенякина А.А. Применение методов интерполяции для восстановления донной поверхности // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2013. №4. - С. 21-28.

8. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Shishenya A. V. Error estimate for diffusion equations solved by schemes with weights // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 3. pp. 324-331.

9. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator //

Mathematical Models and Computer Simulations. 2012. Vol. 4, Issue 4. pp. 398409.

10. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 4. pp. 351363.

11. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Timofeeva E. F., Shishenya A. V. Mathematical model for calculating coastal wave processes // Mathematical Models and Computer Simulations. 2013. Vol. 5, Issue 2. pp. 122-129.

References

1. Degtjareva E.E., Procenko E.A., Chistjakov A.E. Inzenernyj vestnik Dona, (Rus), 2012. Vol. 23. № 4-2. pp. 30. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.

2. Nikitina A.V., Chistjakov A.E., Fomenko N.A. Inzenernyj vestnik Dona, (Rus), 2012, Vol.20, №2, pp. 335-339. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/794

3. Samarskij A.A. Teorija raznostnyh shem [The theory of difference schemes]. M. Nauka, 1989.

4. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Procenko E.A. Vychislitel'nye metody i programmirovanie, 2014. Vol. 15. №4. pp. 610-620.

5. Suhinov A.I., Procenko E.A., Chistjakov A.E., Shreter S.A. Vychislitel'nye metody i programmirovanie, 2015. Vol. 16. №3. pp. 328-338.

6. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Semenjakina A.A., Nikitina A.V. Vychislitel'nye metody i programmirovanie, 2015. Vol. 16. № 2. pp. 256-267.

7. Chistjakov A.E., Semenjakina A.A. Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki, 2013. №4. pp. 21-28.

8. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Shishenya A. V. Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 3. pp. 324-331.

9. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E. Mathematical Models and Computer

Simulations. 2012. Vol. 4, Issue 4. pp. 398-409. 10.Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical Models and

Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 4. pp. 351-363. 11. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Timofeeva E. F., Shishenya A. V. Mathematical Models and Computer Simulations. 2013. Vol. 5, Issue 2. pp. 122-129.