CC BY
32
УДК 621.372.542
И.Н. Липатов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНОГО ФИЛЬТРА НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТА ДОБЕШИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО
Рассматривается задача построения адаптивного фильтра (АФ) на основе вейвлета Добеши. АФ смоделирован на ЦВМ. Приводятся результаты моделирования, которые позволяют оценить качество работы АФ.
Рассмотрим адаптивную фильтрацию наблюдаемого сигнала, получаемого на выходе измерительного устройства (ИУ).
Предположим, что на вход АФ на основе вейвлета Добеши поступает полезный сигнал x(t), на который накладывается погрешность ИУ v(t), так что входной наблюдаемый сигнал у(t) имеет вид
Детерминированный полезный сигнал x(t) описывается выражением
где А - неизвестная амплитуда гармонического сигнала; /0 - известная частота, /0 = —; Гц; Т0 - период гармонических колебаний.
Корреляционная функция погрешности описывается соотношением
где - неизвестная дисперсия помехи v{t) ; av - неизвестный коэффициент нерегулярности помехи v{t). Таким образом, неизвест-
КОРРЕЛИРОВАННОИ ПОМЕХИ
у 01) - x(t) + v(t) .
(1)
x{t ) = Asm(2nfüt ),
(2)
(3)
ны параметр А сигнала x(t) и параметры av, av корреляционной функции Kv (х).
Необходимо путем соответствующей обработки (фильтрации) уменьшить влияние погрешности ИУ v(t).
Из соотношения (1) имеем:
y[i] = x[i] + v[i], i = 1, n2, (4)
где y[i] - y(tt); x[i] - x(tt); v[i] - v(ti); tt = iAt; At - интервал дискретности, с которым измеряется сигнал у (t) .
Из выражений (2), (3) получим
x[i] = Asm(2nf0iAt) , i = 1,п2 , (5)
KvU] = av • e-a^ , j = 0,m , (6)
где Kv[j] = Kv(tj) ; tj = jAt.
Рассмотрим построение АФ на основе ортогонального вейвлета Добеши. Вейвлетное преобразование применяется, в частности, для фильтрации сигналов. В вейвлетном преобразовании в качестве весовых коэффициентов значений сигнала выступают вейвлетные функции [1]. Вейвлеты характеризуются своим временным и частотными образами. Временной образ определяется некоторой ^sz'-функцией y(t) времени. А частотный образ определяется её Фурье-образом
А
у(ю), который задает огибающую спектра вейвлета [2]. Фурье-образ определяется выражением
л ”
у(ю) = J y(t)e~atdt, (7)
—ад
где w - круговая частота.
Выбираем для адаптивной фильтрации сигнала y\i\, i = 1, п2 вейвлет Добеши. АФ на основе вейвлета Добеши будем строить на базе пакета расширения системы MatLab 7.0 Wavelet Toolbox [3].
Функция z = wden(у,tptr, sorh,seal,N,'wname’) возвращает очищенный от шума сигнал z, полученный ограничением вейвлет-коэффициентов преобразования входного сигнала у . Строка tptr задает правило выбора порога. Было выбрано правило 'sqtwo log', что означает выбор инверсного порога. Параметр sorh принимал значение ' s',
что соответствует выбору гибкого порога для удаления шумов путем ограничения вейвлет-коэффициентов. Строка seal определяет мультипликативное пороговое перемасштабирование (если шум вне пределов [0,1] или не белый). Было выбрано значение 'sIn', что соответствует перемасштабированию с использованием единственной оценки уровня шума, основанному на коэффициентах первого уровня. Параметр ’ wname ’ задает имя вейвлета. Было выбрано значение ' ^¿10’, что соответствует вейвлету Добеши. Параметр N означает уровень декомпозиции пли количество коэффициентов вейвлет-преобразования. Было выбрано N = 5.
Таким образом, АФ на основе вейвлета Добеши в системе MatLab 7.0 реализуется программно в виде команды
z - wden(у,’sqtwo log','s','sln',5,'db\0');
Сигнал на выходе АФ z[i], i = 1, n2 представляет собой сигнал y\i\, i = 1, n2 на входе фильтра, очищенный от шума.
Процедура удаления шума состоит в подавлении составляющей шума v[i], i = 1, п2 в сигнале y\i\, i = 1, п2 и восстановлении составляющей х[г], i = 1, п2 и включает в себя три шага [2]:
1) разложение. Выбор вейвлета и уровня декомпозиции N.
Вейвлет-разложение сигнала У\.^\, i = 1, п2 ;
2) детализация. Для каждого уровня от 1 до N выбирается определенный порог и применяется гибкий порог для детализирующих коэффициентов;
3) восстановление. Вейвлет-восстановление, основанное на исходных коэффициентах аппроксимации на уровне N, модификация детальных коэффициентов на уровнях от 1 до N .
Определим ошибку фильтрации для АФ на основе вейвлета Добеши. Имеем
Обозначим через аЕ оценку среднеквадратического значения ошибки фильтрации для АФ на основе вейвлета Добеши. Величина аЕ вычисляется по формуле
в[г] = z[i\ - х[г], i = 1, п2 . м
(8)
аЕ =
(9)
Величина аЕ характеризует качество работы АФ на основе вейвлета Добеши.
АФ на основе вейвлета Добеши был смоделирован на ЦВМ с помощью программного продукта МШЬаЬ 7.0 [3]. Были приняты следующие значения параметров: А? = 0,01; /0 = 0,5; Т0 = 2; п2 = 1000; А = 5. Параметр ау принимал значения 100,60. Параметр ау принимал значения 1, 2, 5. Результаты моделирования приведены в таблице и нарис. 1-4.
Результаты моделирования
«V ' шпате' N СТе стЕ
1 ' лт 5 0,0586 17,06
100 2 ' лт 5 0,2157 9,27
5 ' ЛШ 5 1,31 3,80
1 ' ЛШ 5 0,12 8,33
60 2 ' ЛШ 5 0,46 4,35
5 ' ЛШ 5 2,83 1,77
На рис. 1 для ау = 2; ау = 100 приведены графики х[г], у[і], і = 1,п2.
Рис. 1. Графики х[і\, у[і], і = 1,и2 для о„ = 2 ; а„ = 100
На рис. 2 для ау = 2; ау = 100 показаны графики х[г], г[г\, I = 1,п2 . На рис. 3 для ау = 2; ау = 60 приведены графики х[г], у\г\, / = 1,«2 . На рис. 4 для ау = 2; ау = 60 показаны графики х[г], г[г\, I = 1,п2 .
Рис. 2. Графики х[г], г[г], г = 1,и2 для о„ = 2 ; а„ = 100
Рис. 3. Графики х[г], у[г], г = 1,и2 для о„ = 2 ; а„ = 60
Рис. 4. Графики x[i\, z[i], i = 1,и2 для cv = 2 ; av = 60
Таким образом, в статье выполнено построение АФ на основе вейвлета Добешп, произведена оценка качества работы этого фильтра.
Библиографический список
1. Пахомов Г.И., Пахомов Ю.Г. Применение вейвлетов для обработки сигналов // Вестник ПГТУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007.
2. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002.
3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова E.H. MatLab 7. -СПб.: БХВ - Петербург, 2005.
Получено 05.09.2012
