Посмотроение адаптивного фильтра на основе вейвлета Добеши для случайного гармонического полезного сигнала и помехи типа белого шума Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372.542

И.Н. Липатов

Пермский государственный технический университет

ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНОГО ФИЛЬТРА НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТА ДОБЕШИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ПОМЕХИ ТИПА БЕЛОГО ШУМА

Рассматривается задача построения адаптивного фильтра (АФ) на основе вейвлета Добеши. АФреализован на ЦВМ. Приводятся оцененные среднеквадратические значения ошибки фильтрации АФ на основе вейвлета Добеши.

Рассмотрим адаптивную фильтрацию наблюдаемого сигнала, получаемого на выходе измерительного устройства (ИУ).

Предположим, что на вход АФ на основе вейвлета Добеши поступает полезный сигнал на х(г), на который накладывается погрешность ИУ у(г), так что входной наблюдаемый сигнал у(г) имеет вид

у(0 = х(0 + у(0. (1)

Детерминированный полезный сигнал х(г) описывается выражением

х(г) = А 8т(2я/0г), (2)

где /0 = —. Здесь А - неизвестная амплитуда; /0 - известная частого

та, Гц; Т0 - период гармонических колебаний.

Корреляционная функция у(г) описывается соотношением

Кг (т) = С -8(т), (3)

где 5(т) - обобщенная дельта-функция; С - неизвестная интенсивность белого шума. Таким образом, неизвестны параметр А сигнала х(г) и параметр С корреляционной функции Ку (т) .

Необходимо путем соответствующей обработки (фильтрации) уменьшить влияние погрешности ИУ у(г).

Из соотношения (1) имеем

у [і] = х[і] + V[і], і = 1,«2, (4)

где у[і] = у(ґі); х[і] = х(ґі); V[і] = V(ґі); ґі = іАґ; Аґ - интервал дискрет-

ности, с которым измеряется сигнал у(ґ).

Сигнал у(і) есть дискретный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2 [1, 2],

о2-=Аґ ■ (5)

Следовательно, у(і) есть последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (0, о^).

Рассмотрим построение АФ на основе ортогонального вейвлета Добеши. Вейвлетное преобразование применяется, в частности, для фильтрации сигналов. В вейвлетном преобразовании в качестве весовых коэффициентов значений сигнала выступают вейвлетные функции [3]. Вейвлеты характеризуются своим временным и частотными образами. Временной образ определяется некоторой р$і-функцией у(ґ) времени. А частотный образ определяется её Фурье-образом

ф(^) , который задает огибающую спектра вейвлета [4]. Фурье-образ определяется выражением

У(^) = ]¥(ґ )е-мЖ. (6)

Выбираем для адаптивной фильтрации сигнала y[i], i = 1, n2 вейвлет Добеши. АФ на основе вейвлета Добеши будем строить на базе пакета расширения системы MatLab 7.0 Wavelet Toolbox [4]. Функция m = wden(y, tptr, sorh, seal, N, ’wname’) возвращает очищенный от шума сигнал m, полученный ограничением вейвлет-коэффициентов преобразования входного сигнала у. Строка tptr задает правило выбора порога. Было выбрано правильно ’neursure’, что означает эвристический вариант алгоритма Штейна несмещенной оценки риска. Параметр sorh принимал значение ’s’, что соответствует выбору гибкого порога для удаления шумов путем ограничения вейвлет-коэффициентов. Строка seal определяет мультипликативное пороговое перемасштабирование (если шум вне пределов [0, 1] или не белый). Было выбрано значение ’sln’, что соответствует перемасштабированию с использованием единственной

оценки уровня шума, основанного на коэффициентах первого уровня. Параметр ’^аше’ задает имя вейвлета. Было выбрано значение ’ёЪ10’, что соответствует вейвлету Добеши. Параметр N означает уровень декомпозиции или количество коэффициентов вейвлет-преобразования. Было выбрано N = 8.

Таким образом, АФ на основе вейвлета Добеши в системе Ма1-ЬаЪ 7.0 реализуется программно в виде команды

Сигнал на выходе АФ т[г], г = 1,п2 представляет собой сигнал

у[г], г = 1, п2 на входе фильтра, очищенный от шума.

Процедура удаления шума состоит в подавлении составляющей шума в сигнале у[г], г = 1,п2 и восстановлении составляющей х[г], г = 1,п2 и включает в себя три шага [4]:

1. Разложение. Выбор вейвлета и уровня декомпозиции N. Вейвлет-разложение сигнала у [г], г = 1, п2 .

2. Детализация. Для каждого уровня от 1 до N выбирается определенный порог и применяется гибкий порог для детализирующих коэффициентов.

3. Восстановление. Вейвлет-восстановление, основанное на исходных коэффициентах аппроксимации на уровне N, модификация детальных коэффициентов на уровнях от 1 до N.

Определим ошибку фильтрации для АФ на основе вейвлета До-беши. Имеем

Обозначим через 6Е оценку среднеквадратического значения ошибки фильтрации для АФ на основе вейвлета Добеши. Величина Ое вычисляется по формуле

Величина <6е характеризует качество работы АФ на основе вейвлета Добеши.

АФ на основе вейвлета Добеши был смоделирован на ЦВМ с помощью программного продукта Ма^аЪ 7.0 [5]. Были приняты

ш=’№ёеп(у, Ъеигеиге’, ’8’, ’81п’, 8, ’ёЪ10’);

е[г] = т[г] -х[г], г = 1,п2.

(7)

(8)

следующие значения параметров: А? = 0,01; /0 = 0,5; Т0 = 2;

п2 = 1000; А = 5. Параметр 6У принимал значения 1, 2, 3, 4, 5, 10. Результаты моделирования приведены в таблице и на рис. 1-4.

Результаты моделирования

6У шпате N 6 е бу / 6 е

1 ’ёЪ10’ 8 0,06 16,67

2 ’ёЪ10’ 8 0,09 22,22

3 ’ёЪ10’ 8 0,23 13,04

4 ’ёЪ10’ 8 0,33 12,12

5 ’ёЪ10’ 8 0,45 11,11

10 ’ёЪ10’ 8 2,08 4,81

15---------------,-----------,-----------,-----------,-----------,-----------,-----------,------------ I

-----------к[1]

...........УШ

10

.10-----------,--------,--------,---------,--------,---------,--------,--------,---------,--------

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Рис. 1. Графики х[г], у[г], г = 1, п2 для бу = 2

,61----,-----,-----,-----,-----,----,-----,-----,----,-----

0 100 200 300 400 500 Е00 700 800 900 1000

Рис. 2. Графики х[г], т[г], г = 1, п2 для бу = 2

6

0 _______l______l______l______l_______l______l______l______l_______l______

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Рис. 4. Графики x\i\,m[i], i = 1,n2 для cv = 5

На рис. 1 для Gv = 2 приведены графики x\i\,y\i\,i = 1,n2. На рис. 2 для ov = 2 показаны графики x\i\,m\i\,i = 1,n2. На рис. 3 для av = 5 приведены графики x\i\,y\i\,i = 1,n2. На рис. 4 для ov = 5 показаны графики x\i\,m\i\,i = 1,n2.

Таким образом, в работе выполнено построение АФ на основе вейвлета Добеши, произведена оценка качества работы этого фильтра.

Библиографический список

1. Быков В.В Цифровое моделирование в статической радиотехнике. - М.: Советское радио, 1971.

2. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - М.: Наука, 1991.

3. Пахомов Г.И., Пахомов Ю.Г. Применение вейвлетов для обработки сигналов // Вестник ПГТУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007.

4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002.

5. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. Ма1ЬаЬ 7.0. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

Получено 27.09.2010