CC BY
43
УДК 621.777.44.016.3.044
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ПРОЦЕССА ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ХОЛОДНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ
Г.М. Журавлев, Т.Ч. Нгуен
В работе рассмотрен подход к расчету операций ударного холодного выдавливания с использованием математического моделирования. Выписаны основные уравнения для построения функционала и проведено его преобразование для решения методом конечного элемента и многошагового подхода.
Ключевые слова: высокоскоростное холодное выдавливание, ударное холодное выдавливание, метод конечного элемента.
В настоящее время при изготовлении изделий бытового назначения применяют операцию объемной штамповки - ударное холодное выдавливание. Использование скоростной штамповки имеем свои определенные достоинства. Однако, несмотря на достоинства скоростной штамповки, внедрение ее в производство осуществляется весьма медленными темпами, что обусловлено отсутствием научно обоснованного анализа процессов и отсутствием рекомендаций, напрвленных на прогнозирование механических свойств готовых деталей.
Поэтому разработка метода анализа процессов объемной высоко-скоротной штамповки на базе вариационных принципов виртуальных скоростей, заключающегося в получении основных соотношений к их численному решению, позволяющего учитывать неоднородность, деформационное упрочнение материла и прогнозировать кинематические, деформационные, силовые характеристики и ожидаемые механические свойства изделий является актуальной задачей.
В статье, для решения данной задачи, сформулированы определяющие соотношения для анализа пластического формоизменения цилиндрических деталей высокоскоростным выдавливанием в условиях объемного пластического течения и построен функционал полной мощности, эквивалентный, полученной системе уравнений с учетом принятых допущений для решения динамической задачи методом конечных элементов.
Математическое моделирование высокоскоростного холодного обратного выдавливания выполнено в предположении, что материал жесткопластический, несжимаемый, изотропный, подчиняющийся условию текучести Мизеса. Основные уравнения для проведения расчета следующие:
Условие текучести запишем в виде
/(^у ) = °и + /+Хи) = 0 (1)
где интнесивность деформации определяется
еи = №иЛ (2)
’ и
І
В приведенных выражениях Хи и ои - соответственно интенсивности скоростей деформаций и напряжений, определяемые выражениями
л/2
и з М 1
(Хх ~ХУ )2 + {<Ху У + {Х ~%х )2 + у + + Цух ), (3)
°и
(°х &у) + {^у &х ) + у ^ху + ^уг +^2х ) • (4)
При построении численных решений технологических задач теории пластичности принимаем:
- уравнения движения
аи,1 -Рп, = 0 (5)
- определяющие уравнения в формулировке Леви-Мизеса
3 X
X = - — ^ (6)
’ 2 ои 1
- соотношения связи компонентов скоростей деформаций с компонентами вектора скорости перемещения
= {П,1 + 1)
условие несжимаемости
X, = 0 (8)
- начальные условия для компонентов скорости
=0=п ). (9)
В приведенных выражениях о, - компоненты тензора напряжений; я, = о,1 -д,о- компоненты девиатора напряжений; д, - символ Кронекера; - компоненты скоростей деформаций; п, - компоненты век-
тора скоростей; п - компоненты вектора ускорений; р - плотность материала; ? - время; индексы ,, 1 = 1,2,3.
Связь между инвариантами ои ,£и и Хи может определяться уравнением состояния в общем виде
ои = ои (еи, Хи, Хк) (10)
где £, - интенсивность деформаций; Хк - физико - структурные параметры, характеризующие состояние материала в рассматриваемый момент времени и определяемые соответствующими кинетическими уравнениями.
Рассмотренная система уравнений для динамической задачи является замкнутой относительно функций о1, X, и п,. Они должны быть проинтегрированы по объему V. Для построения единственного решения
14
сформулируем граничные условия в любой текущий момент деформирования t на поверхности тела Я объемом V в предположении, что поверхность S состоит из двух частей Я = и Я/
На поверхности
V = пг* - (11)
*
где п, - заданная скорость перемещения - в технологических задачах, как правило, скорость инструмента.
Если, в касательной к поверхности , к плоскости инструмета имеет место скольжение деформируемого металла со скоростью V 5, направление и величина которой известна, то граничные условия включают учет трения. Напряжение от сил трения определяется с помощью какого-
либо известного закона трения, который в общем виде определяется выра-
жением
Ч = Ч (уп V,...) - (12)
где /п - нормальное давление.
На поверхности Я/ - задается вектор поверхностного напряжения
/г = /* (13)
В частном случае, если плоскость свободна от нагрузок, то
/ * = 0
Начальное условие задачи определим в виде задания исходных координат точек тела в начальный момент времени t = t0
хг = хг (xo, Уo, ^, t) (г =1,2,3) (14)
Кроме того, в качестве начальных условий можно задавать значения механических и физико-структурных характеристик в каждой точке тела.
Решение сформулированной задачи ищется в виде совокупности функций
V = V(хУ?,t); ог1 =о,1Сx,У,^t); (г, 1 = 1,2,3К (15)
в пределах пластически деформируемого объема V, которые связаны системой уравнений (1 - 10) и граничными условиями (11 - 15).
Известно, что сформулированные выше система уравнений, для решения динамических задач может трактоваться как система управлений типа Эйлера для некоторого функционала и решение их эквивалентно исследованию на экстремум соответствующего функционала. Для решения технологических задач ОМД будем использовать принцип возможных перемещений с представлением соответствующего функционала для множенного состояний деформируемого тела. В качестве возможных перемещений принимаются величины, пропорциональные скоростям перемеще-
ний точек деформируемой среды. Для нестационарной стадии деформирования задача решается шаговым методом, т.е. функционал рассматривается справедливым на некотором достаточно малом временном отрезке At. Вводятся следующие допущения:
- весь материал в рассматриваемом объеме V находится в пластическом состоянии;
- значение интенсивности напряжений ои = <г8. (<г5 - сопротивление материала пластической деформации), в рассматриваемый момент времени, задано (или вычислено) по известному с предыдущего шага решению в соответствии с уравнением состояния (10);
- ускорение материала на текущем шаге решения задачи не варьируется, а плотность материала в процессе всего периода деформирования остается неизменной и принимается равной ее начальному значению.
Касательное напряжение трения на контактной поверхности определяется по закону Прандтля
Чк = тч $, (16)
где ¡1- коэффициент трения по напряжению текучести (0 £ т £ 1). Величина т8 принимается осредненной, а коэффициент т - постоянным, по всей поверхности контакта.
Функционал полной мощности, эквивалентный системе уравнений с учетом принятых допущений для динамической задачи принимает следующий вид
г \
ои хи + Рпг пг
и'-эи
V V
dV + | цт* п *
(17)
Г*
где у - известное напряжение на поверхности тела.
Согласно принципу Журдена действительное поле скоростей, в отличие от всех кинематически возможных, сообщает функционалу полной мощности минимальное значение. Минимум функционала (17) должен быть найден для класса функций, соответствующих условию несжимаемости. При численном решении задачи поле скоростей приближается к действительному всегда с ограниченной точностью и для жесткопластического течения условие несжимаемости должно быть выполнено в пределах этой точности. Отклонение от него в пределах заданной точности не оказывает существенного влияния на полученное решение.
При приближении поля скоростей к точному Хг, ® 0 и функционал
^ ® J, причем, ^ > J (оценка "сверху"). Данный функционал может вычисляться любым численным методом, в том числе и методом конечного элемента.
При конечно-элементной формулировке задачи непрерывное тело разбивает на множество элементов конечных размеров (конечных элемен-
тов) рассматривается как совокупность этих элементов. При этом непрерывные функции, описывающие физические и механические величины, заменяются приближенными выражениями, которые, являясь гладкими в пределах каждого конечного элемента (КЭ), будут непрерывными и кусочно-дифференцируемыми во всем теле. Построение разрешающих уравнений относительно скоростей перемещение в узлах КЭ выполним с учетом аппроксимации кинематических величин, входящих в функционал (17), через значения скоростей перемещений в узлах КЭ. При этом принцип возможных перемещений применяется к конечному элементу, находящемуся в некотором деформированном состоянии, а в качестве возможных перемещений принимаются величины, пропорциональные скоростям перемещений узлов КЭ.
Таким образом, после аппроксимации непрерывных функций, описывающих механические величины во всей области совокупностью непрерывных и кусочно-дифференцируемых функций в узлах КЭ, функционал (17) можно представить в виде совокупности функционалов для отдельных конечных элементов
Е
J1 = I ^ Кп2’ . Vк ), (18)
е=1
где Е - общее число КЭ; к - общее число компонентов скоростей перемещений в узлах КЭ; J1e - "вклад" отдельного элемента в J1, определяемый следующим выражением
е и
Vе
'2 п0,5
-{Vе}7 [ К 1л ]К}
(IV + а $({С}Т[ВеYxve}fdV +
Vе
Vе Ш 8
еТ
$
- $ {Vе}' N ]{/е ^
8е
8/
Если рассматривается нестационарная задача, то решение ее производится пошаговым методом. Величина шага выбирается так, чтобы деформации были малыми. Получив результат на первом шаге в интервале времени ^0, tl ], будем иметь начальные условия в момент времени t1 для решения задачи в последующем, достаточно малом временном интервале t- ] и т.д.
Значение величины (Ги к очередному шагу деформирования уточняется согласно уравнению состояния материала с учетом вычисленных параметров этого уравнения на текущем шаге.
Силу деформирования можно вычислить, опираясь на минимальное значение мощности функционала (18). При этом можно получить верхнюю оценку действительной силы деформации тела. Если Бк = составляет контактную поверхность инструментом, который совершает поступатель-
®*
ное движение со скоростью п , то направив одну из осей координат, например z, вдоль этого вектора, получим
І Рі V* & = V* | = м*Р,
где Р - действительная сила, которое развивает инструмент, пластически деформируя тело объемом V с поверхностью £. При этом
N
\^и | тт:к\Vs\dS
Р £------------^------------. (20)
^/z
Таким образом, для подсчета силы деформирования необходимо найти кинематически возможное поле скоростей, минимизирующее функционал (18).
В заключении отметим, что разработанный конечно-элементный метод для анализа динамических технологических процессов ОДМ, используется в общем виде без "привязки" к конкретному КЭ. Это подчеркивает универсальный характер полученных соотношений и возможность их применения при использовании различных типов КЭ и интерполяционных функций, аппроксимирующих распределение исследуемой величины в пределах элемента. В дальнейшем при проведении численных расчетов будем использовать треугольные элементы с прямолинейными сторонами и узлами в вершинах треугольников.
Список литературы
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
2. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 2006. 464 с.
3. Кононенко В.Г. Высокоскоростное формоизменение и разрушение метллов / В.Г. Кононенко. Харьков: Вища школа, 1980. 232 с.
4. Механика обработки металлов давлением. Учебник для вузов. Колмогоров В.Л. М.: Металлургия, 1986. 688 с.
5. Согришин Ю.П., Гришин Л.Г., Воробьев В.М. Штамповка на высокоскоростных молотах. «Машиностроение», 1978. 167 с.
Журавлев Геннадий Модестович, д-р техн. наук, проф.,
chuot_vans0984@yahoo.com. Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нгуен Тхань Чунг, аспирант, chuot_vang0984@yahoo.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STA TEMENT OF PROBLEM OF PROCESS HIGH VELOCITY COLD BACKWARD
EXTRUSION
G.M. Zhuravlev, T.C. Nguyen
In the work considers approach to the calculation of the operation impact cold extrusion using mathematical modeling. We write the basic equations for constructing functional and held his conversion for solutions with the method of final elements and multi-step approach.
Key words: high velocity cold extrusion, impact cold extrusion, the method of final elements.
Zhuravlev Gennady Modestovich, doctor of technical science, professor, Russia, chuot_vang0984@yahoo.com, Tula, Tula State University,
Nguyen Thanh Chung, postgraduate, chuot_vang0984@yahoo.com, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.374; 621.983
НЕОДНОРОДНОСТЬ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ ПО ТОЛЩИНЕ ТРУБНОЙ ЗАГОТОВКИ ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ОБРАТНОМ ВЫДАВЛИВАНИИ
В.И. Платонов, А.К. Талалаев, М.В. Ларина, Я. А. Соболев
Приведены результаты теоретических исследований неоднородности напряженного и деформированного состояний по толщине осесимметричных деталей при изотермическом обратном выдавливании анизотропных трубных заготовок в режиме кратковременной ползучести.
Ключевые слова: анизотропный материал, обратное выдавливание, напряжение, деформация, вязкость, ползучесть.
В работе [1] приведена математическая модель операции изотермического обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении анизотропного материала коническим пуансоном с углом конусности a и степенью деформации e = 1 - FJ F0 (рис. 1), где F0 и Fi - пло-
19
