ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В СМЕШАННОЙ ПЯТИУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ, КОГДА УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРА ПЕРВОГО ПОРЯДКА РАВЕН ЕДИНИЦЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В СМЕШАННОЙ ПЯТИУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ, КОГДА УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРА ПЕРВОГО ПОРЯДКА РАВЕН ЕДИНИЦЕ

хМ.Мамажонов, 2Х.М.Шерматова, 3Х.Б.Орифжонова

1и.о. профессора КГПИ, 2доцент ФерГУ, 3магистрант КГПИ https://doi.org/10.5281/zenodo.13894932 Аннотация. В настоящей работе ставится и исследуется одна краевая задача для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа вида

д

f ~ - л

дд

(Lu ) = 0 в пятиугольной области с двумя линиями изменения типа.

(Lu ) = 0 ko'rinishdagi parabolik-giperbolik tipdagi uchinchi tartibli

a —+ b —

/•ч Z /«ч Z /«ч

ду \ дх ду y

Доказывается однозначная разрешимость этой поставленной задачи методами построения решения, интегральных и дифференциальных уравнений, а также методом продолжения.

Annotatsiya. Ushbu maqolada tip o'zgarish chizig'i ikkita bo'lgan beshburchakli sohada

д f д } — a —+ b -

ду ^ дх ду)

tenglama uchun bitta chegaraviy masala qo 'yilgan va tadqiq etilgan. Ushbu qo'yilgan masalaning yechilishi bevosita yechimni qurish, integral va differentsial tenglamalar, shuningdek davom ettirish usullari yordamida isbotlangan.

Abstract. In this paper, we pose and investigate a boundary value problem for a third-

д f д д)

order equation of parabolic-hyperbolic type — a--+ b — (Lu) = 0 in a pentagonal domain

ду ^ дх ду)

with two lines of type change. We prove the unique solvability of this problem by methods of constructing a solution, integral and differential equations, and by the continuation method.

В 70-80-годов прошлого века начали изучать различные задачи для уравнений третьего и высокого порядков параболо-гиперболического типа. Такие задачи исследованы, в основном, Т.Д.Джураевым и его учениками (например, см. [1], [2]).

В настоящее время развивалось в широком плане изучение различных краевых задач для уравнений третьего и высокого порядков параболо-гиперболического типа в различных смешанных областях с двумя и тремя линиями изменения типа (см., например, [3]-[8]).

В настоящей статье ставится и исследуется одна краевая задача для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа вида

(1+Ь+сУи)=0 (1)

в пятиугольной области О плоскости хОу, где с е Я, О = О и О и О и ^ и , Ьи = |и1хх М1у' (х'у)е а О - прямоугольник с вершинами в точках А(0;0),

- uiyy, (x, y Gt (i = 2,3),

В (1;0), В0 (1,1), А (0,1); о - треугольник с вершинами в точках В , с(0, -1), В (-1,0) ; о3 - треугольник с вершинами в точках А , В , А0; ^ - открытый отрезок с вершинами в точках В , В ; У2 - открытый отрезок с вершинами в точках А , А0. Для уравнения (1) ставится следующая задача:

Задача-1. Требуется найти функцию и(х, у), которая 1) непрерывна в О и в области О \ ^ \ имеет непрерывные производные, участвующие в уравнение (1), причем их и и - непрерывны вплоть до части границы области О , указанные в краевых условиях; 2) удовлетворяет уравнению (1) в области О \ ^ \ /2; 3) удовлетворяет следующим краевым условиям:

и (1,у) = < (у), 0 < у < 1, (2) и|вс =¥х (х), -1 < х < 0, (3)

ди

и\СЕ =^2 (x), 0 < x< 1/2, (4) —

= ¥а (x), -1 < x < 0; (5)

DC

и 4) удовлетворяет следующим условиям склеивания:

и (x, + 0) = и (x, - 0) = T (x), -1 < x < 1, (6) иу (x, + 0) = иу (x, - 0) = N (x), -1 < x < 1,

Uyy (x, + 0) = Uyy (x, - 0) = M (x), -1 < x < 1, (8) и (+0, y) = и (-0, y) = T3 (y), 0 < y < 1

(7) , (9)

их (+0, у) = их (-0, у) = у3 (у), 0 < у < 1, (10) их (+0, у) = и„ (-0, у) = д (у), 0 < у < 1

. (11)

Здесь <(г = 1,2,3) - заданные достаточно гладкие функции,

г(х)={*■(х),0 <х < 1 ж(х) = {"■ (х),0 <х < 1 М(х) = {« 0 < х < 1

ч / [г2(х), -1 < х < 0, ч / [у2(х), -1 < х < 0, ч / [д(х), -1 < х < 0,

а гг, у1, д (г = 1,2,3) - неизвестные пока достаточно гладкие функции, п -внутренняя нормаль к прямой х + у = -1 или х - у = 1 или х - у = -1. Докажем следующую теорему: Теорема. Если <е С3 [0,1], ^ е С3 [-1,0], ^ е С3 [0,1/2], ^ е С2 [-1,0], причем

выполняются условия согласования тх (1) = < ( 0), т2 (-1 ) = ^(-1), тА( 0 )=т2( 0) ,

т[(0) =г2 (0), ^ (0) = у/2 (0), то задача-1 допускает единственное решение.

Доказательство. Теорему докажем методом построения решения. Для этого уравнение (1) перепишем в виде

и1хх - и1 у =®1 (х - у) ^ , (^ у )е О1 , (12)

и,хх - и,уу =щ(х - у)е~С , (х у)е О (г = 2,3) , (13)

где введено обозначение и (х, у ) = щ (х, у), (х, у )е С, (г = 1,3), причем щ (х - у) (г = 1,3) - неизвестные пока достаточно гладкие функции.

Сначала исследование будем провести в области С. Записываем решение уравнения (13) (г = 2), удовлетворяющее условиям (6), (7):

1 1 х+у 1 у х+у-п

щ(х, у) = 1 [Г (х + у) + Г (х - у)] +1 | N (Г) Л -1 { . (14)

х-у 0 х-у+п

Подставляя (14) в условие (5) после некоторых выкладок, находим

/ 1 Л с( у- х-1)

I х_ у_1 \ —---

а>2( х - у ) = л/ 2Щ - е 2 , -1 < х - у < 1.

V 2 У

Далее, подставляя (14) в условие (3) после некоторых упрощений, получим первое соотношение между неизвестными следами решения на линии изменения типа ^ :

Г'(х) - N(х) = ах (х), -1 < х < 1, (15)

где а (х) - известная функция.

Уравнение (15) имеет вид:

а) при 0 < х < 1 -

т"(х)-у(х) = а(х),0 < х < 1, (16)

б) при -1 < х < 0 -

т"( х )-у2( х ) = а( х), -1 < х < 0 . (17)

Подставляя (14) в условие (4), получим второе соотношение между неизвестными следами решения на линии изменения типа ^ (при -1 < х < 0 ):

т"( х ) + у( х ) = ^( х), -1 < х < 0 , (18)

где (х) - известная функция.

Из (17) и (18) находим

т2 (х) =1 [а! (х) + 3 (х)], ^2 (х) =1 (х)-а! (х)] . (19)

Интегрируя первое из равенств (19) от -1 до х, получим 1 х

Г2 (х) = -1 [а, (г) + ^ (г)] Л + щ (-1). (20)

2 -1

Уравнение (1) перепишем в виде

и + и + си - и - и - си = 0 .

1ххх 1хху 1хх 1ху 1 уу 1 у

Переходя в последнем уравнении к пределу при у ^ 0, получим второе соотношение между неизвестными следами решения тх (х), у (х) и / (х):

т""(х) + у"(х) + ст"(х) - у; (х) - / (х) - СУ1 (х) = 0, 0 < х < 1. (21)

Теперь переходя в уравнении (13) (г = 2 ) к пределу при у ^ 0, получим третье соотношение между неизвестными следами решения т (х) и / (х) : т"( х) - / (х) = ю2 (х), 0 < х < 1.

Исключая из последнего уравнения и из уравнений (16), (21) функции у (х) и д (х) , затем интегрируя полученное уравнение от 0 до х , получим уравнение

<(x)- j^1 - c x) - c Ti (x) = «2 (x) + \, 0 < x < 1,

(22)

где а2 (х) - известная функция, а ^ - неизвестная пока постоянная.

Относительно коэффициента c могут быть три случая: а) c Ф -2, c Ф 0; б) c = -2 и в) c = 0 .

Решая в каждом случае а), б) и в) уравнение (22) при условиях 1 0 1 Т (0) = -/[а, (0 + $ + у2 (-1), <( 0) = - [а, (0) + $ (0)], т (1) = < (0)

(см. (19), (20)), находим функцию т (х) .

Теперь переходим в область О3. Переходя в уравнениях (13) (г = 2 ) и (13) ( / = 3 ) к пределу при у ^ 0 в силу (6) и (8), находим соъ (х) = с2 (х), -1 < х < 0.

Далее, сначала рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

и3хх - изуу =^3 (х - у) ,

щ (х,0) = Т2 (х), щу (х, 0) = Щ (х), -1 < х < 1,

и3 (0, у) = т3 (у), и3х (^ у) = ^3 (у), 0 < у <1,

где функции Г2 (х), (х) определяются следующим образом: в промежутке -1 < х < 0 они определяются так: Т2 (х) = т2 (х), Щ (х) = у2 (х), а в промежутке 0 < х < 1 они пока неизвестны, функция (х - у) определяется так: при -1 < х - у < 0 она определяется по формуле (х - у) = о3 (х - у) = с2 (х - у), а при 0 < х - у < 1 она пока неизвестна.

Решение этой задачи, удовлетворяющее всем условиям кроме условия щх (0, у) = у (у), будем искать в виде

и (х, у) = и3! (х, у) + и32 (х, у) + ^3 (х,у), (23)

где и31 (х, у) - решение задачи

U31xx ^yy = 0,

Ui I x,

*31

(x, 0) = T (x), u3ly (x, 0) = 0, -1 < x < 1, (0, y) = Г3 (y) ,0 < y < 1;

(24)

U32, (x

(x, y) - решение задачи

U32 xx U32 yy = 0,

(x, 0) = 0, u32j (x, 0) = N (x), -1 < x < 1,

Uoo ( x,

U32 (0, y ) = 0,0 < y < 1.

(25)

Uoo ( x

( x, y) - решение задачи

U^vv U

32xx 32yy 3

= Оз (x - y) e~

(x,0) = 0, u32y (x,0) = 0, -1 < x < 1,

(26)

U32 (0, y ) = 0,0 < y < 1.

Методом продолжения находим решения задач (24), (25) и (26). Они имеют вид из1 (х, у ) = 1 [Г (х + у) + Г2 (х - у )], (27)

U

32

1 x +y

(^ y ) = - J N2 (t) dt,

(28)

x - y

x+y-q

(x

(x, y) = -Je-qdq J Q3 (£-q)

(29)

x - y+q

1Г2 (x) , -1 < x < °

где Г2 (x) = \ , , , . N2 (x)

I 2> (x)-> (-x), 0 < x < 1;

|v2(x), -1 < x < 0, -v2(-x), 0 < x < 1.

Функция П3 (х - у) определяется следующим образом. Функция (29) удовлетворяет первым двум условиям задачи (26) автоматически. Удовлетворяя третье

условие, получим

J e"q (y - 2q) dq = -03 (-y)J ecq dq .

В последнем равенстве производя некоторых преобразований и вычислений

находим

Q3 (y) = -03 (-y)Je cqdq - 303 (-y) e~cy + 203' (-y){e cqdq .

Подставляя (27), (28) и (29) в (23), имеем

1 1 x+y 1 y x+y-q

(x, y) = - [T (x + y) + T2 (x - y)] + - J N2 (t)dt - - Je-cqdq J Q3 (£-q) . (30)

x-y

— I e

0 x - y +q

Дифференцируя (30) по х и полагая х ^ 0, имеем первое соотношение между неизвестными функциями т3 (у) и у):

Уз (у ) = т3 (у )+Д (у), (31)

где Д (у) - известная функция.

Теперь переходим в область С. Переходя в уравнениях (12) и (13) (г = 3) к пределу при х ^ 0, имеем

u (y)- >3 (y) = 01 (-y), u (y)- >3(y) = 0 (-y).

Из соотношений (32) исключая функцию uu (y), находим 01 (-y) = [>'(y)->(y)]ec +03 (-y),

01 (x - y), -1 < x - y < 0,

(32)

где введено обозначение 01 (x - y) =

01 (x - y), 0 < x - y < 1.

Переходя в уравнении (12) к пределу при y ^ 0, находим

y

0

U

3

0)1 ( x ) = т"( x )-Vj( x), 0 < x < 1.

Теперь записывая решение уравнения (12), удовлетворяющего условиям (2), (6), (9) и дифференцируя это решение по x, затем устремляя x к нулю после длинных вычислений и преобразований, получим еще одно соотношение между неизвестными функциями т3 (y) и v3 (y). Исключая из полученного последнего соотношения и из (31)

функцию v3 (y), приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

относительно неизвестной функции т3' (y):

т3' (y) + ¡К(y,ri)< (l)dv = g(y), (33)

0

где К(y,i) и g(y) - известные непрерывные функции.

Решая уравнение (33), находим функцию т\ (y) и тем самым, функции v3 (y),

Oj ( x - y), u (x, y ) , u3 (x, y).

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т.Д., Мамажанов М. Краевые задачи для одного класса уравнений четвертого порядка смешанного типа. Дифференц. уравнения, 1986, т.22, №1, с.25-31.

2. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент, Фан, 1986, 220 с.

3. Mamajonov M., Shermatova X.M. On a boundary value problem for a third-order equation of the parabolic-hyperbolic type in a triangular domain with three type change lines. Journal of applied and industrial mathematics. 16, 481-489 (2022). https://doi.org/10.1134/S1990478922030127.

4. Apakov Yu.P., Mamajonov S.M. Solvability of a boundary value problem for a fourth order equation of parabolic-hyperbolic type in a pentagonal domain. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2021, 15 (4), pp. 586-596.

5. TS Kal'menov, MA Sadybekov. On a Frankl-type problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation. Siberian Mathematical Journal, 2017 - Springer, Volume 58, pages 227-231, (2017).

6. A. S. Berdyshev, E. T. Karimov, N. Akhtaeva. Boundary Value Problems with Integral Gluing Conditions for Fractional-Order Mixed-Type Equation. International Journal of Differential Equations, 26 December 2011, (2011). https://doi.org/10.1155/2011/268465. Google Scholar.

7. A Berdyshev, A Cabada, E Karimov. On the existence of eigenvalues of a boundary value problem with transmitting condition of the integral form for a parabolic-hyperbolic equation. Mathematics 2020, 5(6), 1030; https://doi.org/ 10.3390/math8061030.

8. AS Berdyshev, ET Karimov, Nazgul S. Akhtaeva. On a boundary-value problem for the parabolic-hyperbolic equation with the fractional derivative and the sewing condition of the integral form. AIP Conf. Proc. 1611, 133-137 (2014), https://doi.org/10.1063/1.4893817.

9. M. Mamajonov, Q. Rakhimov, Kh. Shermatova. On the formulation and investigation of a boundary value problem for a third-order equation of a parabolic-hyperbolic type. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics series, No. 2(114), 2024, pp. 135-146. https://doi.org/10.31489/2024M2/135-146.

10. Mamajonov, M., & Shermatova, H. M. (2017). On a boundary value problem for a third-order equation of parabolic-hyperbolic type in a concave hexagonal region. Vestnik KRAUNTS. Physical and Mathematical Sciences,(1 (17), 14-21.

11. Mamazhonov, M., & Mamadalieva, K. B. (2016). Statement and study of some boundary value problems for third order parabolic-hyperbolic equation of type 3(Lu)/3x= 0 in a pentagonal domain. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 12(1), 27-34.

12. Mamajonov, M., & Mamajonov, S. M. (2014). Statement and research method some boundary value problems for a class of fourth order parabolic-hyperbolic type. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki, (1), 14-19.

13. Мамажонов, М. (2023). О некоторых краевых задачах для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа в треугольной области с тремя линиями изменения типа. Вестник Ошского государственного университета. Математика. Физика. Техника, (1 (2)), 121-133.