CC BY
1ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1
УДК 517.956.6
https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 121
О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ТРЕУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ С ТРЕМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА
МамажоновМирза, к.ф.-м.н., доцент mirzamamajonov@gmail. com Кокандский государственный педагогический институт,
Коканд, Узбекистан
Аннотация. В настоящей работе ставится ряд краевых задач для уравнения третьего порядка
f д д ^
параболо-гиперболического типа вида I a--Ь b--Ь с (Lu ) = 0 в треугольной области с тремя линиями
У дх ду )
изменения типа. Сформулирована теорема существования и единственности решения поставленной задачи. Однозначная разрешимость поставленной задачи доказывается с помощью метода построения решения, а также методами интегральных и дифференциальных уравнений
Ключевые слова. Дифференциальные и интегральные уравнения, метод построения решения, краевая задача, параболо-гиперболический тип, однозначная разрешимость.
ON SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A CLASS OF THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC EQUATIONS IN A TRIANGULAR DOMAIN WITH THREE LINES OF TYPE CHANGE
Mamajonov Mirza, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor mirzamamajonov@gmail.com Kokand State Pedagogical Institute, Kokand, Uzbekistan
Abstract. In the present paper, a number of boundary value problems are posed for a third-order parabolic-
f д д ^
hyperbolic type equation of the form I a--Ь b--Ь с (Lu ) = 0 in a triangular domain with three lines of type change.
У дх ду )
The theorem of existence and uniqueness of the solution of the stated problem is formulated. The unique solvability of the problem posed is proved using the method ofconstructing a solution, as well as methods of integral and differential equations.
Key words: Differential and integral equations, solution construction method, boundary value problem, parabolic-hyperbolic type, unique solvability.
В этой работе ставится один класс краевых задач для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа вида
' д ьд Л a--Ь b--Ь с
v дх дУ )
2 , и2
(Lu ) = 0 (1)
в треугольной области G плоскости xOy, где a, b, c е R, a + b Ф 0
hxx - U1У ,
Lu =
u,_ - u,., (x,у) е Gl,
Uxx - U,yy , I - У Iе'
„ (X, у )е О, (/ = 2,3,4),
G = О ^ О2 ^ О3 ^ О4 ^ J1 ^ J2 ^ Jз, а О1 есть прямоугольник с вершинами в точках А(0;0), В(1;0), В0 (1,1), А (0,1); О — треугольник с вершинами в точках А, В, С(12, — 1/2) ; О3 — треугольник с вершинами в точках А, &(—1,1) , А0; О4 — треугольник с вершинами в точках В, Е (2,1), В0 ; J1 — открытый отрезок с вершинами
в точках
А, В; 3
открытый отрезок с вершинами в точках
А, А; 3
открытый
отрезок с вершинами в точках В, В0 .
Нам следует записать области ^ (^ = 3,4) в следующем виде (из которых будем пользоваться в дальнейшем): О3 = G31 ^ О32 ^ А0Е1, G4 = G41 ^ G42 ^ В0, где О31 -треугольник с вершинами в точках А, А0, ^ (—1/2,1/2); О32 - треугольник с вершинами в точках А, О, ^; О41 - треугольник с вершинами в точках В, В0, ^ (3/2,1/2); О42 - треугольник с вершинами в точках В0, Е, F2 ; А0 ^ — открытый отрезок с вершинами в точках А, ^; В0 — открытый отрезок с вершинами в точках В, ^ .
Перед тем, как приступить к постановке краевых задач, запишем все краевые условия и условия склеивания на линиях изменения типа, из которых будем пользоваться при постановке краевых задач:
Краевые условия:
и
2\АС
и
2 \ВС
ди~
дп ди„
АС
дп
х), 0 < х < 12,
х), 12 < х < 1,
= ^2(х), 0<х< 12, = щ( х), 12 < х < 1,
ВС
3Ц =^4 ( х), —1 < х <—12 Г =^3( х), —12 < х < 0,
дп
АО
и, „
з А;
ди , \
= щ(хх), — 1 < х< 0 ■4 1ВР2 =^6 (х), 1 < х < 32 ,
■4 Ц = ^ (х), 32 < х < 2 ,
1 = / (х), — 1 < х < 0, и4 \у=\ = А (х), 1 < х < 2 ,
и
и и
дил
дп
и
3 у
и
4 У
= щ( х), 1 < х < 2, = / (х), — 1 < х < 0.
АО 3 4 '
= /4 (х), 1 < х < 2 ;
ВЕ
Условия склеивания:
и (х,0) = и2 (х,0) = тх (х), 0 < х < 1,
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11) (12)
(13)
(14)
(15)
и1у (х,0) = и2у (х,0) = у1 (х), 0 < х < 1, (17)
иуу ( х,0 ) = и2у ( х,0 ) = д (х ), 0 < х < 1, (18)
и (0, у) = из (0, у) = т2 (у), 0 < у < 1, (19)
иХх (0, у) = иЪх (0, у) = У2 (у), 0 < у < 1, (20)
и1х (0, у) = изхх (0, у) = м2 (у) , 0 < у <1, (21)
щ (1, у) = и4 (1, у) = Гз (у), 0 < у < 1, (22)
Щх (1, у) = иА х (1, у (у), 0 < у < 1, (23)
и^ (1, у) = Щхх О, у) = ^з (у) , 0 < у <1 • (24)
Здесь (I = 1,7),^ (] = 1,4) - заданные достаточно гладкие функции, а
Г, V;, (/ = 1,2,3) - неизвестные пока достаточно гладкие функции, п — внутренняя нормаль к прямой х + у = 0 или х — у = 1.
В зависимости от значений коэффициентов а и Ь, то есть от значений углового коэффициента у = Ь/а оператора первого порядка уравнения (1), получаются различные случаи. Учитывая это для уравнения (1) ставится следующая задача:
Задача 1. Требуется найти функцию и (х, у) , которая 1) непрерывна в замкнутой
области О ; 2) удовлетворяет уравнению (1) в открытой области G при х Ф 0, у Ф 0 ; 3)
удовлетворяет следующим краевым условиям и условиям склеивания на линиях изменения типа, которые указаны в следующей таблице:
№ Значения у Краевые условия Условия склеивания
1. у = 0 (а ф 0, Ь = 0) (2), (4), (6), (8), (11), (12), (15) Всего: 24 таких групп условий. (16), (17), (19)-(24)
2. у = ад (а = 0, Ь ф 0) (2), (4), (5), (6), (8), (10), (11), (12), (13) Всего: 18 таких групп условий. (16)-(20), (22), (23)
3. 0 <у< 1 (2), (4), (6), (8), (11), (12), (15) Всего: 6 таких групп условий. (16)-(24)
4. у = 1 (а = Ь) (2), (4), (6), (8), (9), (11), (12) или (2), (4), (7), (8), (9), (11), (12) или (2), (4), (8), (9), (11), (12), (14). (16)-(24)
5. —1 < у < 0 (2), (5), (10), (11), (12), (13), (14) Всего: 6 таких групп условий. (16)-(24)
6. у = — 1 (а = — Ь ) (3), (5), (10), (11), (12), (13), (14) или (3), (5), (9), (11), (12), (13), (14) или (3), (5), (11), (12), (13), (14), (15). (16)-(24)
7. —(ю<у<— 1 и 1 < у < (2), (4), (5), (6), (8), (10), (11), (12), (13) Всего: 18 таких групп условий. (16)-(24)
Здесь мы укажем решение поставленной задачи лишь в случае 1 с группой условий (2), (4), (6), (8), (11), (12), (15). В этом случае уравнение (1) имеет вид
г д Л
a— + с (Lu ) = 0 (1')
V
дх
Имеет место следующая
Теорема. Если ^ е C3 [0,12], е C2 [0,12], е C3 [—1, —12],
f е C3 [—1,0], е С2 [—1,0], /3 е C3 [1,2], /4 е С2 [1,2], причем выполняются
1 у/2
следующие условия согласования тг( 0 ) = ^ ( 0 ) , Г1' ( 0 ) = — ( 0 ) + \у2 ( 0 ),
f (—1 ) = (—1), у/5 (0) = у/2 (0), то задача 1 имеет единственное решение в случае 1 с
группой условий (2), (4), (6), (8), (11), (12), (15).
Доказательство. Теорему докажем методом построения решения. Для этого уравнение (1') перепишем в виде
c
и1хх — и1у = а1 (у ) е а , (х У )е °1, (25)
c
Их — иуу = щ (у)е а, (у) е О (г = 2,3,4), (26)
где введено обозначение и(х,у) = и (X,у), (X,у)е О (г = 1,4) , причем
щ( у)(, = 1,4) - неизвестные пока достаточно гладкие функции, подлежащие определению.
Учитывая виды областей О (г = 3,4), которые написаны наверху, уравнение (26) (г = 3,4 ) перепишем в виде
с
--X
Игкхх — Игкуу = % (у)е а , (^у) е Огк (г = 3,4 к = 1,2), (27)
где введены обозначения и. (х,у) = цк (х,у), а. (у) = а (у), (х,у)е О^
(г = 3,4; к = 1,2).
Сначала рассмотрим задачу в области 032 . Записываем решение уравнения (27) (г = 3; к = 2), удовлетворяющее условиям (11) и и32у ( х,1) = у4 (х ) ( (х) — неизвестная пока достаточно гладкая функция, подлежащая определению):
„я (х, у )= / (х + у —1) + / (х — у + 1) +
^ х+у—1 ^ у х+у—л(сЛ
+1 I У4(1)& —11®32(л)¿V | ехр — £
(28)
2 1 4 \ / ' I X
1 2* : V а у
х—у+1 1 х—у+л 4 у
Подставляя (28) в условие (8), находим
а32 (у) = (—у)ехР^у], 1 - у -1.
А подставляя (28) в условие (6), находим и функцию У4 (х) :
п (х ) = Жх
х-1
— + 2
V
у 1
2
| ^32 (ч)ехр
-—(х -1 + ч)
а
(29)
( X.
Таким образом, мы определили функцию и32 (X, у) . Если введем обозначение (X, X + 1) = Ь (X) (где ^ (х) Уже известная функция), то для определения функции Щ\ (X,у) получим условие
и31 (X,X +1) = \ (X). (30)
Теперь записываем решение уравнения (27) (I = 3; к = 1), удовлетворяющее условиям (19), (20):
и 1 (X
2
^ У+x ^ X / N у+;с-ч
+1 (*)& + 11ехр —ч &ч | ©31 (£)
(31)
у-X
1 V а J у^+ч
Подставляя (31) в условие (8), находим
©31 (у ) = >/2^ (-у )ехР—у], 0 < у <1.
а
(32)
Теперь будем пользоваться из условия
1ди31 3и31 Л | ди32 ди32 л
ду У у=x+1 К дx ду У y=x+l
Тогда имеем
©31 (у) = ©32 (у) = (-у) ехР—у ], 1 < у <1.
а
Из последнего равенства и (32) следует
©31 (у) = (-У)ехР{-—У1, 0 < У <1.
а
Теперь подставляя (31) в условие (30), получим первое соотношение между неизвестными функциями т2( у ) и У2( у ):
Ъ (у) = А (у) - т2 (у), 0 < у < 1, (33)
где
А (у ) = ¿2
у -1' 2
у-1
2 | с Л | ехр —ч ©31 (у -ч)
-ч
V а у
Далее, переходя в уравнениях (25) и (27) (I = 3; к = 1) к пределу при X ^ 0 , получим второе и третье соотношения между неизвестными функциями т2( у), У2( у),
М2 ( у ) и ©1 (у) :
0
н (у ) = - (у ) + а (у), (34)
Н (у ) = - (у ) + ®31 (у). (35)
Исключая из (34) и (35) функцию /л2( у), имеем
а (у) = -( у) — - (у) + Он (у). (36)
Теперь переходим в область О2. Записываем решение уравнения (26) (г = 2) , удовлетворяющее условиям (16) и (17):
, ч -( х + у) + -( х — у) 1 х+у /ч 1 у /ч х+у—л—с_£ и2 (х,у) = -^-у)+—-у) +1 |у (г)& —1 |а2 (л)I еаЛ£. (37)
х—у 0 х—у+л
Подставляя (37) в условие (4), находим
с
а2 (у) = л/2^ (—у)е"ау, —12 - у - 0. (38)
Далее, подставляя (37) в условие (2) после некоторых выкладок, имеем первое соотношение между неизвестными функциями — (х) и у (х) :
-2(х) — у(х) = а1(х), 0 - х -1, (39)
где Ох (х) — известная функция.
Переходя в (25) к пределу при у ^ 0, имеем второе соотношение между неизвестными функциями — (х) и У1 (х) :
с
-(х) —у(х) = а(0)е ^, 0-х-1, (40)
где а (0) — неизвестная пока постоянная.
Исключая из (39) и (40) функцию у (х) , приходим к уравнению
с
-2(х) — -2(х) = —ах (х) + а (0) е а , 0 - х -1. Интегрируя это уравнение от 0 до х , имеем
х с
—г
-2(х) —-(х) = «2(х) + а(0)|е а Л + к, (41)
0
х
где ОС2 (х) = |о1 (г)&, а к — неизвестная пока постоянная.
0
Дифференцируя (33) и полагая в полученном равенстве у = 0, имеем
-2( 0) + у (0 ) = Д'( 0).
Если учитываем условия --( 0 ) = н ( 0 ) , У2 ( 0 ) = у' ( 0 ), то получим
Н ( 0) + у ( 0) = Д' ( 0). (42)
Теперь полагая в (26) х = 0 и у = 0, имеем
-(0) — н (0 ) = а (0).
Исключая из последнего равенства и (42) число цх( 0), имеем соотношение
0) + »;( 0) = А1( 0) + ©2 (0).
Дифференцируя (39), получим
г ( 0М( 0) = а;( 0).
Исключая из последних двух равенств у[ (0) , находим
Г (0)=1« (0)+1 а (0)+1 ©2 (0).
Решая уравнение (35) при условиях
г (0)=щ (0), <(0) =1^(0) +(0),
Г (0)=1« (0)+1А (0)+1 ©2 (0),
находим
' с Л
—г
V а у
&г +
где
Г (X) = |ехр(X - г)«2(г)+ © (0){[ехр(X - г) -1]ехр
0 0
+к [ ехр (X) -1] + к ехр (X),
1 л/2
к2 = Щ (0), к =1 Щ (0) + -у-щ (0)-щ (0),
©1 (0) = Щ(0) +1А(0) +1©2 (0) - Ц-щ (0).
Теперь переходим в область 042 . Запишем решение уравнения (27) (/ = 4; к = 2), удовлетворяющего условиям (12), (15):
и 42 ( X
^ ^у^ у л.+у —ч / \
+1 { /4 (г)-1 {©42 (ч)&ч { ехр — £ &£.
2 ,, 2, , V а у
X—у+1 1 X—у+ч 4 у
Далее, переходим в область ^41. Запишем решение уравнения (27) (I = 4; к = 1), удовлетворяющего условиям (22), (23):
(^у)= /2 (X + у - 1) + /2 (X - У + 1) +
2
(43)
^ (X,у+
'41
у+X—1
2
+
^ у+X-1 ^ X / \ у+х:-ч
1 { ^ (г)&г +1 {ехрI--ч1 &ч { ©41 (£)&£•
у-x+1
1 V
у - x+ч
Будем пользоваться из условия
дн42 ди42
V
дх ду
у
^ ди41 ди41 ^
у=2—х
V
дх ду
у
. Тогда
у=2—х
после некоторых преобразований, имеем
а
42
(у ) = ®41 (у) ,1- у -1.
Теперь будем пользоваться из условия и41 (х,2 — х) = и42 (х,2 — х). Тогда после длинных преобразований приходим к соотношению между неизвестными функциями -3 ( у ), у3 (у ) и а41 (у ) :
-3 (у) — У3 (у) + И (л)е"^}Лл = А (у), 0 - у -1,
(45)
где (32 ( у) = Л ( 2 — у) — К ( 2 — у ).
Теперь переходя в уравнениях (25) и (27) (г = 4; к = 1) при х ^ 1 получим
соотношения
н (у)—-3 (у) = а (у)е а, н (у)—-3 (у)=а41 (у)е а.
Исключая из этих соотношений функцию н ( у ) в силу (45), находим
а (у)=[-(у)—-2 (у)] — [-3 (у)—-3 (у)] еа + а (у).
Подставляя (46) в (45), имеем
- с (л+1-у)
(46)
У3 (у) = [-(л) — -2 (л)] — [-3 (л) — -3 (л)]еа + а (л)
>е
Лл +
(47)
+-3 (у) — А (у), 0 - у -1.
Теперь переходим в область . Запишем решение уравнения (25), удовлетворяющего условиям (16), (19), (22):
И (х,у) = |-2 (л)(х,у;0,л)Лл — (л)(х,у;1,л)Лл -
0 0
1 у 1 +|-1 (£)О(х,у;£,0)Л£ —|а (л)еО(х,у;£, л)Л£,
О (х, у;£,л) N (х, у;£,л)
2у1 у — л)
ехр
0 0 где
(х — £ — 2 п )2
4 (у — л)
+ ехр
[х + £ - 2п)2
4{у-1)
- функции Грина первой и второй краевых задач для уравнения (25).
Дифференцируя это решение по х и устремляя х к нулю и к единице с учетом (33), (36) и (47) после длинных вычислений и преобразований, получим систему двух уравнений типа Абеля относительно -2 (у) и - (у) . Применяя к этим уравнениям обращение Абеля
1
0
1
>
<
после длинных вычислений, приходим к систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно неизвестных функций г" (У) и т'ъ (y) :
У y
Г ( y) + J K (У,г)Г(г) dr + J K 2 (у,г)Г (r) dr = g (y), (48)
0 0
y y
г (y) + J K3 (y,r)r (r) dr + J K4 (y,r)r(r) dr = g 2 (y), (49)
0 0
где Ki (yr), K2 (УГ) , K3 (УГ) , K4 (yr), gi (у), g2 (у) - известные функции, причем ядра Kx (y,r) и K3 (y,r) имеют слабую особенность (l/2), а остальные функции непрерывны. Поэтому система уравнений (48), (49) допускает единственное решение в классе непрерывных функций. Решая эту систему, находим функции т"( y) и
т'з (y ) тем самым, и функции V2 (y ), V3 (y ), ( (y) , 04 (y), (ö^ (y), щ (x, y),
и31 ( x, У ), U41 ( x, У ) и U42 ( x. У ) .
Замечание. Аналогичные задачи для уравнений третьего и четвертого порядков параболо-гиперболического типа рассмотрены в работах [1]-[10].
Литература
1. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа [TeKCT] / Т.Д.Джураев, А.Сопуев, М.Мамажанов -Ташкент: Фан, -1986. -220 с.
2. Джураев Т.Д. Краевые задачи для одного класса уравнений четвертого порядка смешанного типа / Т.Д.Джураев, М.Мамажанов // Дифференциальные уравнения, -1986, -т.22, -№1, -С. 25-31.
3. Шерматова Х.М. О постановке краевых задач для одного класса параболо-гиперболических уравнений третьего порядка с двумя линиями изменения типа. / Х.М.Шерматова // Бюллетен института математики. -2018, -№5, -С. 22-29.
4. Шерматова Х.М. Исследование одной краевой задачи для уравнения третьего
( д l Ъ — + с l(Lu) = 0
порядка параболо-гиперболического типа вида v у [Текст] /
Х.М.Шерматова // Наманган давлат университети илмий ахборотномаси. -2019, -№6. -С. 916.
5. Шерматова Х.М. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа в смешанной пятиугольной области, когда угловой коэффшиент характеристики оператора первого порядка меньше минус единицы [Текст] / Х.М.Шерматова // Наманган давлат университети илмий хабарномаси. -2019, -№7, -С. 4654.
6. Shermatova Kh.M. Investigation of a boundary value problem for a third order parabolic-hyperbolic equation [Teкст] / Kh.M.Shermatova // Scientific Bulletin of Namangan State University, 2019, 1(6), -P. 9-16.
7. Шерматова Х.М. Исследование одной краевой задачи для уравнения третьего
ГА + А + с !(Lu ) = 0
порядка параболо-гиперболического типа вида vöx dy у [Текст] / Х.М.Шерматова // Наманган давлат университети илмий хабарномаси. -2020, -№4, -С. 44-53.
8. Shermatova Kh.M. Investigation of a boundary-value problem for a third order
I Ъ —+ с|( Lu )= 0
parabolic hyperbolic equation in the form v dy ) [Teкст] / Kh.M.Shermatova //
"THEORETICAL & APPLIED SCIENCE" Philadelphia, USA. № 7 (87), 2020, -P. 160-165.
9. Mamajonov M. On one boundary problem for one parabolic-hyperbolic equation of the third order in a quadrangular domain with two lines type changes. [TeKcr] / M.Mamajonov, Yu.Karimova // Galaxy international interdisciplinary research journal (GIIRJ). 2022, Vol. 10, Issue 12, -P. 68-77.
10. Мамажонов М. Об одной краевой задаче для одного параболо-гиперболического уравнения третьего порядка в четырехугольной области с двумя линиями изменения типа [Текст] / М.Мамажонов, Х.М.Шерматова, Ю.Х.Каримова // Республиканская научно-практическая конференция на тему «Проблемы науки в интерпретации магистрантов». Коканд, -2022, -C. 107-112.
