CC BY
56
УДК 530.12:531.51
ПОСТ-ЭЙНШТЕЙНОВА КОСМОЛОГИЯ: КРУЧЕНИЕ, СТРУНЫ, ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. II. НЕОБХОДИМОСТЬ УЧЕТА СТРУННЫХ ДОБАВОК И ДУАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
Р. Ф. Полищук
Данная работа является, прямым продолжением предыдущей работы [1].
Ключевые слова: космология, кручение Картана. дуальная симметрия, струнные добавки. космологическая постоянная.
1. Струнные вклады в общую теорию относительности. Распространение бозонной струны в 26-мерном римановом пространстве (размерность отвечает числу степеней своб оды ч&сти цы~ струны) с метрикой ga@ и внутренней метрикой hab = ПаЬ мировой 2-поверхности струны X р(а, т) с времен ем т описывается действием [2]
S = - ^ / dad^VhhabdaXадьХвдав. (1)
Здесь и далее все обозначения соответствуют введенным в х .
Беря разложение метрики дав по нормальным римановым координатам х^ в точке ХЦ, получаем эффективное действие
£ = -/ dadT^Rae(Xр)даХадаХв,
X а(а,т ) = XZ + xa (а,т). (2)
Здесь X0a удовлетворяет уравнениям классического фонового поля, ха(а,т) - это квантовые флуктуации струны. Требование вейль-инвариантности (независимости от р ) квантовой гравитации в однопетлевом приближении требует равенства
Rae (Xр) = 0. (3)
При этом следом тензора энергии-импульса является бета-функция Эйлера
вав (XP ) = - 2ПRae (XP ). (4)
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
С учётом одно- и двухпетлевого вклада бета-функция имеет вид
Ра@ (ХР) = — 4П {^ав + • (5)
Здесь появляется струнный ВКЛ&Д 1^1
а'
Яав ^ Еав + "2 ■ (6)
Наклон реджевской траектории а' = ¡2/2,1 - длина струны (здесь - планковской или адронной. возможно также фридмонной и/или струны Леметра. отвечающей Метагалактике. сжатой в начале Большого Взрыва до планковской плотности). Для суперструны возникает аналогичная конструкция для размерности Б = 10. Струнная поправка мала, когда радиус пространства-времени велик по сравнению с длиной струны. В струнном подходе возникает самосогласованность между фоновыми полями, определяющими динамику струны, и динамикой струны, а также действует динамика струны, определяющая возможные фоновые поля.
Ьолыпои Взрыв сопровождается декомпактификацией четырёх измерений, к которым мы и отнесём тензор Риччи (6). Тогда уравнения Эйнштейна примут следующий вид (строго говоря, следует варьировать уже лагранжиан с квадратичными членами тензора кривизны, но результат качественно должен быть близким данному):
+ Лд^ + а2 {^атЩв1 — 1Нав1&= . (7)
Для мира де-Ситтера с постоянной 4-кривизной 1/а2 вдоль каждого 2-направления
Я^ав = 12Н(д^а9ив — ), Е = 4Л = 12/а2 (8)
уравнения (7) принимают вид
а' 2 1 а'
2
О- + {А + ^Е^д^ = + + д^ = °. (9)
Если вначале космологического члена не было, то струнный вклад его создаёт. Если фундаментальная струня* был<1 струной Леметра. то космологический член отвечает атому Леметра. После превращения массы-энергии вакуума (скалярного поля) почти целиком в массу-энергию материи (прежде всего излучения) космологическая постоянная уменьшилась: 2.565-1026 ст-2 ^ 1.33-10- 56 ст-2. Приведём нужные соотношения
ти = 2 - 1056д = 5.157 - 1093^/ст3) - (3.42 - 10-13)ст3 = рр1 ¡1,
Gmjc2 = a = 1.53 • 1028cm = lU/l2pl = [(l2u/lpi)/lpi]lu = (lo/lpi)lu, (10)
lo = lU/lpi = 0.7238 • 108cm, R ^ lU/R l0 ^ lpi = 1.616 • 10"33cm.
Для риччи-плоского мира Швардтпильда
ds2 = -[1-2m)dt2 + 1 dr2 + r2dQ2,
G = c =1,Gm/c2 = m (11)
уравнения поля со струнными добавками принимают вид
3а'm2 п
G»v + g,v = 0 (12)
Тензор Римана для метрики (10) в собственной тетраде^ где пары векторов определяют 2-направления экстремального значения кривизны, принимает в бивекторном простран-
2m m m 2m m m
Rabcd = dlag---, —, —, —, —3, —3 . (13)
r3 r3 r3 r3 r3 r3
Уравнения Эйнштейна имеют тогда вид:
3 а ' m2
Gab =-^— dlag(1, -1, -1, -1) = 8ndlag(p,p,p,p). (14)
Из свёрнутых тождеств Бьянки = 0 следует r = const. Это возможно для внут-
реннего решения Швардтпильда (для однородного распределения материи источника) r=a
ds2 = - -\3J1 - 2m/a -J 1 - (2mr2/a3)]2 dt2 +- dr\ , q, + r2dtt2. (15)
4 1 - (2mr2/a3)
Горизонт событий и сшивка вне hi него и внутреннего решении отвечают равенству 2mr2 = a3. При а' = 4a2, m = a/2, r = a получаем решение де-Ситтера
G^v + Лg^v = 0, Л a'm2 1
(16)
3 г6 а2
Эвристическим рассуждением в пользу изотропизадии решения может быть предположение, что на минимальных (например, планковских) масштабах флуктуации метрики сравнимы с самой метрикой, и пара событий "не знает" ни величины, ни даже сигнатуры разделяющего их интервала (если указанные понятия ещё имеют смысл), так что
выживает изотропная метрика, тензор энергии-импульса которой наследует сигнатуру метрики и имеет уравнение состояния с отрицательным давлением. При наличии кручения и положительной плотности массы эффективная плотность источников с учётом спина может быть отрицательной, что делает неприменимым вывод теорем о неизбежной сингулярности внутри ловутпечной поверхности [3, 4]. Кроме того, из извест-ньтх уравнений для оптических скаляров Сакса [5] следует, что усреднение деформации сдвигов выглядит как дилатация, и усредненная, соответственно, конформная кривизна проявляется как кривизна риччиева. так что. скажем, гравитационные волны метрики и конформной кривизны локально пустого мира несут в среднем положительную массу-энергию излучения. Заметим также, что внутреннее решение Шварцтттильда со струнным членом только наводит на мысль, что атом Леметра не тиар. но однородная 3-сфера. отвечающая границе полостей гиперболоида де-Ситтера. А инверсия топологических и осцилляционньтх энергетических мод перестраивает этот гиперболоид (через фридмановскую стадию эволюции).
При релятивистских фазовых перестройках вакуума, которых могло быть несколько [6, 7], кроме возможной струны Леметра с размером атома Леметра (там. очевидно, единое физическое взаимодействие с единственной фундаментальной константой еще не разделилось на части) возникли, очевидно, планковская и адронная струны, а для фридмонов фридмонная струна.
2. Гипотеза дуальной симметрии. Поиск единого смыслового стержня физики делает желательным построить Модель великого объединения взаимодействий (и найти связь фундаментальных физических констант) с помощью более общей группы симметрии (идея топологии малых чисел интуитивно подсказывает, что здесь слишком большие размерности приведут к тривиальности), включающей в качестве подгрупп группы симметрии Стандартной модели 3и(3), и (2). Первая симметрия считается точной. вторая нарушенной (бета-распад даёт смешение различных поколений фермио-нов). Исключительная группа Ли Е(8) содержит группы Стандартной модели в качестве подгрупп. Но имеет смысл дополнить эту группу умножением её на дуальную ей группу [8 10]. Вспомним, что метрически и топологически самосопряжённый оператор Лапласа 8d + ¿8 строится на римановом многообразии с помощью внешнего дифференциала и оператора дуального сопряжения (перехода к ортогонально дополнительным геометрическим образам) Ходжа, который тоже допускает обобщения [11].
В работе Ханя и Цу [11] дано неабелево обобщение электрической и магнитной дуальности. В их схеме каждая (неабелева) группа симметрии элементарных частиц имеет
соответствующую дуальную группу, которая играет качественно иную роль, чем исходная группа. Например, точная группа симметрии группы цвета Эи(3) обеспечивает удержание кварков, а дуальная группа нарушает симметрию. Дуальный цвет предсказывает 3 и только 3 поколения фермионов ведь дуальные симметрии, давая новые частицы с другим действием механизма Хиггса. тем не менее связаны друг с другом, поскольку связаны друг с другом соотношением дуальности сами исходные величины. Схема Ханя Цу с помощью трёх подгоночных параметров позволяет вычислить 14 из 17 параметров Стандартной модели (углы Кабиббо и Вайнберга. массы кварков и лепто-нов и так далее) [7]. Кроме того, в дополнение к группе электрослабого взаимодействия с нестабильными промежуточными бозонами появляется дуальная ей группа симметрии. которая относится к пока не открытой симметрии и определяет аналоги кварков в виде удерживаемых "двухцветных" лептонньтх образований [7], которые мы предлагаем отождествить с фридмонами как частицами тёмной материи: ведь частицы исходных групп с частицами дуальных групп симметрии взаимодействуют только гравитационно масса является универсальным гравитационным зарядом.
Напомним идею электромагнитной дуальности. Истинной переменной при калибровочном подходе здесь является 1-форма (ковектор) А = Электромагнитный тензор ^ = ¿А = (д,А„ — дуЛ ¿х". Уравнения Максвелла:
6йА = —3, ¿¿А = 0,
¿й = 66 = 0, 6 = *-1 ¿*, ¿3 = — Ч 3, = 0,3" = вфГф, (17)
оператор * определяется соотношением
*F,V = — 2 .
Для р-формы на ^-многообразии имеем
*-1а = (—1У(П-Р)щп с!) * а.
¿6
зависит, в том числе зависит от конформного фактора метрики мировой поверхности струны. Переход к дуальным величинам в некотором смысле меняет роли дифференциала и кодифференциала. а в уравнениях Максвелла роли электрического и магнитного полей.
Для свободного поля d * Г = 0, и по лемме Пуанкаре локально имеем потенциал А и дуальный потенциал А, так что Г = ¿А, *Г = ¿А. Группа симметрии и(1) обобщается здесь до и(1)хи(1). Если в природе существовали бы и электрические, и магнитные заряды, то уравнения Максвелла имели бы вид
д„ * Г^ = —4», диГ^ = —31\ (18)
Здесь 4м определяет заряд монополя. Электрический заряд потенциала А можно рассматривать как монополь потенциала А. Придание глобального смысла лемме Пуанкаре ограничивает топологию, позволяя с помощью лагранжевых множителей Х^ = А^, Ам = А^ рассматривать действия
А = — 4 У Г^Г^ + ! Х,(д„ * Г^ + 4»),
А' = — 4 У *Г^ * Г^ + У Х^(диГ^ + з»). (19)
Г *Г
Г ^ = дрХа,
*Г^ = др~Аа. (20)
Для частицы массы т с зарядом е, удовлетворяющей уравнению Дирака, можно рассматривать действие
А' + у ф(гд^ — т)ф. (21)
Варьирование относительно *Г даёт уравнение дц * Г= 0 а относительно ф - урав-иеиие
(гд^ — т)ф = —еА^ф. (22)
Здесь использованы критерии Ву и Янга [12] для. вывода уравнении Максвелла с привлечением идеи дуальности в присутствии материи [11]. Это говорит о том, что идея дуальности углубляет наттти представления о мире.
Заметим, что уравнение Дирака для частиц с массой не сохраняет аксиальный ток 3^5 = гф^1р.15ф (без учета поляризационных поправок), = 0, поскольку [13]
д^(Ф7^ъФ) = 2гтф)^5ф. (23)
Эффект появления массы при поэтапном нарушении симметрии (а нарушение симметрии от атома Леметра с метрикой де-Ситтера до современной квазидеситтеро-вой метрики могло быть поэтапным) модифицирует теорему Голдстоуна: в локальной трансляционно-инвариантной теории поля с сохраняющимся 4[-током 3,(х) и вакуумом, неинвариантным относительно непрерывной группы симметрии, генератором которой является, заряд /3°(х)й3х, имеются безмассовые частицы. Модифицированная теорема Голдстоуна: В локальной теории поля, с частично сохраняющимся током, и неинвариантны,м, вакуумом, должны присутствовать голдстоуновские бозоны с конем,ной массой [13]. С точки зрения этой теоремы голдстоуновскими частицами могут быть пи-мезоны в случае группы Эи(2) и октет мезонов в случае группы Эи(3). Естественно предположить появление массы описывающих взаимодействие фридмонов "дуальных глюонов" в случае дуальной группы Эи(2).
Оценку массы фридмона можно получить из оценки массы средней звезды по массе нуклона как её основного элемента. Чтобы тиар (или 3-сфера). плотно упакованный нуклонами. стал чёрной дырой (или близким к ней образованием), необходимо его радиус увеличить во столько раз, во сколько размер нуклона /п превышает размер планкеона 1р1, который сам себе (как и атом Леметра) - чёрная дыра (её коллапс предотвращают планковская плотность, спин и принцип неопределённостей):
т* & (/п/1Р1)3тп & 2 • 103^,
¡пШп = 1р1 тР1 =^ тдг* := От*/с2 & ¡2п//рг & 1.5 • 105ст. (24)
Приведём здесь (в единицах О = с =1) некоторые соотношения: для комптоновской длины основного элемента тела определённой гравитационной массы (равной половине её гравитационного радиуса) /С,от = 1Р1тдг и связь минимального размера тела при его сжатии до планковской плотности (ведь и нейтронная звезда имеет ядерную, но не планковскую плотность) и комптоновской длиной элементарной частицы тела: /тп =
1Р1тдг- Для
ОТДвЛЬНОИ ЧАСТИЦЫ /сот^^дг = /^1. Для Метагалактики тдги & 1.5 • 1028 ст = 2 • 105^, /тти & 3.42 • 10-13 ст. Если считать Метагалактику фридмонной звездой, возникшей из звезды Леметра, то для размера и массы фридмона получаем
/2 & /р1/тти /f & 2.3 • 10-23ст,
т} & 1.53 • 10-15д = 0.677 • 109СеУ (25)
(здесь мы считаем, что гравитационная масса Метагалактики была сжата до планковской плотности современный размер горизонта событий возник после инверсии то-
пологических и осцилляционньтх мод частиц-струн, после рождения светлой и тёмной материи из начального вакуума де-Ситтера планковской плотности).
Вопрос о преобладании темной материи над обычной остается открытым. Возможно, имеет место иное соотношение излучения и вещества для дуальной материи.
Радиус 4-кривизны мира де-Ситтера постоянен, но в сопутствующей расширяющейся материи 3-пространство плоское (плоские сечения 4-гиперболоида). Заметим, что если вакуум уподобить кристаллу, а частицы материи его дефектам, то расширение материи аналогично тому, что в сильном магнитном поле дефекты разбегаются. Отметим также взгляд Пенроуза на инфляцию: "...я... уверенно отношу инфляционную космологию к разряду умозрительных теорий" [7, с. 617]. Однородность атома Леметра естественна и без этапа инфляции, который, однако, возможен.
Время покажет, насколько гипотеза фридмонов как частиц темной метрии обоснована. Но уже очевидно, что пост-эйнттттейнова космология будет развиваться дальше. В частности, для частиц с вращением не выполняется локальный принцип эквивалент-ностн Эйнштейна : эти частицы движутся не по геодезическим. Уравнения Папапет-ру учитывают взаимодействие угловых моментов частиц с римановой кривизной, но не учитывают спин-спинового взаимодействия. Строго говоря, следует так обобщить лагранжиан физической системы, чтобы он содержал и угловой момент и чтобы каждое вращающееся пробное тело двигалось по своей геодезической. Но это требует такого обобщения связности, что параллельное перенесение геометрического объекта изменяло бы его размерность (перенесение отрезка должно перемешивать его с площадью и так далее). В п одходе Чизхолма [14] базисом является не репер из ковекторов. но набор базисных форм всех степенен, преобразующихся при перенесении друг через друга.
Впрочем, идея суперсимметрии перемешивает координаты частиц с грассмановьт-ми переменными, что обобщает понятие локализации и самого пространства-времени. Здесь можно указать, в частности, на работу Г. Л. Ставраки [15], который построил модель пространства-времени как виртуально-полевой структуры на локально-светоподобных причинных связях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р. Ф. Политцук. Краткие сообщения по физике ФИАН 40(1). 20 (2013).
[2] М. Грин. Дж. Шварц. Э. Виттен. Теория, суперструн. В 2-х т. (М.. Мир. 1990).
[3] Т. W. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961).
[4] D. W. Sciama, Recent Developments in General Relativity (Oxford, Pergamou Press, 1962), p. 415 439.
[5] Р. Пенроуз. В. Риндлер, Спиноры и пространство-время, (М., Мир. 1988), с. 221.
[6] А. Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная, космология, (М.. Наука, 1990).
[7] Р. Пенроуз, Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной (М., Ижевск, Институт компьютерных исследований, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007).
[8] Р. Ф. Политцук, Тёмная материя и дуальная группа симметрии Е(8). Постерньтй доклад 10.02.2011; Сессия АКЦ ФИАН, ПРАО, Путцино, Москва, 2011 (не опубликован).
[9] Р. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 39(8), 10 (2012).
[10] Р. Ф. Политцук, Материалы конференции "Астрофизика высоких энергий НЕА-2011", 13-16.12.2011 (Москва, ИКИ РАН, 2011), с. 62.
[И] Н.-М. Chau and Т. S. Tsou, Acta Physica Polouica В 33(12), 4041 (2002).
[12] Tai Tsuu Wu and Cheu Xing Yang, Phys. Rev. D14, 437 (1976).
[13] А. А. Гриб, E. В. Дамаскинский, В. M. Максимов, УФН 102, 587 (1970).
[14] J. S. R. Chisholm and R. S. Farwell, Proceedings on the Winter School on Geometry and, Physics (Srui, 6-13 January 1990).
[15] Г. Л. Ставраки, Модель пространства-времени как виртуально-полевой структуры на локально-светоподобных причинных связях (М., Книжный дом "ЛИБРО-KÜM", 2008).
Поступила в редакцию 2 февраля 2012 г.
