CC BY
68
УДК 530.12: 531.51
ПОСТ-ЭЙНШТЕЙНОВА КОСМОЛОГИЯ: КРУЧЕНИЕ, СТРУНЫ, ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.
I. НЕОБХОДИМОСТЬ ПЕРЕХОДА ОТ ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА К ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА-КАРТАНА
Р. Ф. Полищук
Предложена гипотеза, что тяжёлые двухцветные леп-тонные образования, отвечающие группе, дуальной группе SU(2), и названные фридмонами, являются, частицами тёмной материи. Приведены аргументы в пользу обобщения, теории Эйнштейна до теории Эйнштейна-Картана. Показа,но, что струнные добавки в метрики Швар-цишльда и де-Ситтера отвечают космологической постоянной.
Ключевые слова: космология, кручение Картана. дуальная симметрия, струнные добавки. космологическая постоянная.
Введение. Дж. Уилер [1] установил, что “объект, являющийся центральным во всей классической общей теории относительности. 4-мерная геометрия пространства-времени. просто не существует, если выйти за рамки классических представлений”. Релятивистская квантовая механика не допускает точной локализации частиц. Изометрии метрики де-Ситтера переплетают 4-импульс с угловым моментом (и спином частиц Дирака) [2]. что делает естественным дополнить геометризацию массы в виде римановой кривизны геометризацией спина в виде кручения Картана [3 6]. Коллапс материи останавливается не только при достижении планковской плотности, но и на радиусе Картана. отвечающем балансу положительного потенциала тяготения (источник масса) и отрицательного потенциала отталкивания (источник спин). Теория струн
[7] даёт струнные добавки в общую теорию относительности, эквивалентные в некоторых случаях космологической постоянной. Дополнение симметрии SU(3)xSU(2)xU(l) частиц Стандартной модели дуальной симметрией [8] позволяет искать здесь кандидатов на роль частиц тёмной материи [9 11]: ведь эти частицы взаимодействуют с обычными частицами только гравитационно. В честь пионера релятивистской космологии ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
А. А. Фридмана (1888 1925) мы назвали эту частицу фридмоном. Если массу Метагалактики (примерно 2 • 1056 г) сжать в шар или, лучше, 3-сферу предельной, планковской плотности размером 5.157 • 1093 ^ст3, то получится частица, которую естественно назвать (перво)атомом Леметра размером 1и = 3.42 • 10-13 ст.
Можно предположить, что вначале (после, скажем, инфляции типа Коулмена Вайнберга [12]) был мир де-Ситтера в виде атома Леметра. Поскольку при планковской плотности не должно быть индивидуальных частиц, включая частицы планков-ского размера (планкпеоны), размер атома Леметра можно предположительно считать размером первичной фундаментальной струны 1и. Струне Планка 1Р1 = 1.616 • 10-33 см относительно струны Леметра была дуальна первичная струна Планка 10 = 0.7238 • 108 см. Инверсия Я ^ Iи/Я =^ 10 ^ 1р1 в духе Т-дуальности струнной космологии вызвала переход топологических энергетических мод частиц в осциляционньте в виде Большого Взрыва. Большой Взрыв можно связать с аннигиляцией струн с противоположными намотками - во втором приближении струны можно считать длинными шлангами, так что именно в пространстве размерности 3 они являются поверхностями коразмерности
1 и легко могут сталкиваться, аннигилировать и декомпактифицироваться. Переход топологических энергетических мод в осцилляционньте, в излучение, означал переход почти всей массы-энергии первичного мира де-Ситтера в виде атома Леметра в материю излучения и вещества и изменение космологической постоянной Л0 = 31-2 = 2.565 • 1025 ст ^ Л = 3а"2 = 1.33 • 10"56 ст = 0.52 • 10"81Л0(а = 1.53 • 1028 ст).
Мы исходим из идеи Д. А. Киржница и А. Д. Линде [13 15] о релятивистских фазовых переходах вакуума, когда “сохраняется лишь полный тензор энергии-импульса, а не тензор энергии-импульса вещества и конденсата по отдельности” имеется в виду тензор энергии-импульса квазичастиц и вакуума. В теориях без спонтанного нарушения симметрии указанное разбиение фиксировано, но при изменении температуры возникает нарушение первого закона термодинамики для вещества: масса-энергия вакуума может рождать материю. Киржниц и Линде пренебрегли вкладом космологической постоянной, мы же, наоборот, считаем, что, грубо говоря, вся масса вакуума де-Ситтера перешла в расширяющуюся материю. Гравитационный радиус материи (излучения и вещества) после взрыва атома Леметра, вычисляемый с помощью постоянной тяготения Ньютона (при принятии скорости света за единицу её произведение на постоянную Планка равно квадрату планковской длины 2.612 • 10-66 ст2 - здесь можно предположить, что в будущей единой теории физических взаимодействий число фундаментальных постоянных уменьшится, обнаруживая взаимосвязь современных фундамен-
тальных физических констант) стал примерно равен 1028 ст - это радиус кривизны и горизонта событий Метагалактики (этот горизонт отвечает сверхсветовой скорости увеличения расстояния между наблюдателями, и у каждого наблюдателя горизонт свой -при той же его величине, как и на шарообразной Земле), приближённо описываемой метрикой де-Ситтера. Масштабу объединения взаимодействий отвечает величина примерно 10-26 ст. Связывая с массой атома Леметра новую частицу (фридмон) так, как гравитационный радиус средней звезды связан с размером нуклона как её основного элемента, мы получим размер ^ = 2.3 • 10-23 ст и массу mf = 1.53 • 10-15 g фридмона.
Каждая частица имеет ненулевую массу (покоя или движения) и, по всей вероятности, ненулевой спин-частицьт нулевого спина можно считать, видимо, спаренными (ведь даже нейтральный нейтрон состоит из заряженных кварков). Что касается дуальных симметрий, то они естественно обобщают симметрии обычные. Например, собственные спиноры, отвечающие тензору Вейля, определяются с точностью до множителя. Геометрически спинор это точка на небесной сфере наблюдателя, в которую летит имеющая поляризацию безмассовая частица (имеем флаг со световым флагштоком и ортогональным ему 2-направлением полотнища). Произвольность множителя означает факторизацию по ориентации флага, и соответствующая 1-напрвлению точка на небесной сфере тождественна противоположной точке. Но такая факторизация превращает сферу в проективную плоскость (которую сфера дважды накрывает отсюда, возможно, появляется двойка в отношении зарядов кварков и в других случаях). Если векторное поле имеет на 2-сфере две особенности векторных полей (например, на полюсах, поскольку характеристика Эйлера чётномерных сфер равна двум), то поле 1-направлений на сфере имеет 4 особенности отсюда получаем именно 4 собственных 1-спинора для спинора Вёйля (отвечающих комплексным самодуальньтм и антисамо-дуальньтм формам бесследового тензора конформной кривизны Вейля по известной классификации Петрова гравитационных полей в интерпретации Пенроуза). В группах симметрии переход к дуальным группам тоже даёт новую топологию и новое качество частицам, отвечающим неприводимым представлениям группы симметрии. Поскольку точную симметрию среди групп, дуальных группам стандартной модели, имеет только группа, дуальная группе Эи(2), отвечающую ей частицу можно считать фридмоном.
1. Обобщение понятий массы и спина в мире де-Ситтера. О связи массы и спина говорит уже известная формула для массы пи-мезона [16], понимаемой как собственное значение соответствующего оператора Казимира
т2 = т2 + А2[3(3 +1) - I(I + 1) + 472],
т20 = р^, А2 = 14 • 104 {ЫвУ)2, (1)
где 3,1,^ представляют спин, изоспин и гиперзаряд. Вращение Земли увеличивает её массу, но центробежные силы уменьшают силу притяжения на экваторе. Спин действует подобно угловому моменту. Видимо, именно спин препятствует сжатию струны “в точку” (мы ставим кавычки, поскольку точки в теории струн следует понимать
условно) и вызывает её вибрацию вдоль светового конуса (ведь собственным значением квантового оператора скорости является только плюс-минус скорость света) и принцип неопределённостей Гейзенберга (заметим также, что недистрибутивность квантовой логики углубляет понимание так называемого “дуализма волна-частица”).
О различии зависимости действия массы и спина от расстояния говорит, в частности, решение Копчиньского [17] для модифицированных уравнений Фридмана для поляризованной пыли с плотностями массы р и спина а, зависящими только от времени (в единицах С = с = 1):
ds2 = -дЬ2 + а(Ь)2(дх2 + ду2 + дг2)
Р^ = ри, и = 5д, —23 = а, -^ = 0, ц + V = 5,
К- ч2 И 3 Б2
о (а)2 =---------+о -4 = 0, (2)
^)2 =-+ —
34 а 2 а4
33
И = (4/3)пра = сош^ - = (4/3)паа = сош^
И/а3 =
(3/2)-2/а6
Эйнттттейна-Картана равновесие достигается на радиусе Карта,на. определяемом равенством [5, 6]
т/4г = (8пС/с4У /1с6аг. (3)
С помощью безразмерного спина 3 и комптоновской длины волны ]сот (для частицы-
струны она отвечает длине струны) эту формулу можно представить в виде (]р1 =
1.616 • 10"33 ст)
73 _ 8П Т2]2 ]
]саг 8П Т ]р1] сот
3 =1/2=^ 7с3аГ = 2п]2р1 7сот. (4)
Для нуклона 7саг = 0.5 • 10-26 ст, что близко масштабу великого объединения взаи-
модействий. Умножив объём ячейки Картана (4) на планковскую плотность, получим
минимально возможную массу черной дыры для поляризованной нуклонной материи 0.64015 г. Формула (4) как будто наводит на мысль, что картановская ячейка сама имеет вытянутую форму с планковской площадью сечения. Впрочем, умножение на квадрат планковской длины означает просто деление геометрической массы (половины её гравитационного радиуса) на планковскую плотность и получение объёма объекта. Но в случае перехода атома Леметра в современную Метагалактику мы можем представить её сжатую до планковской плотности массу в виде цилиндра планковского сечения с равной радиусу 4-кривизньт длиной, что означает, что число его ориентаций, отвечающих одному макросостоянию Вселенной, пропорционально площади горизонта событий и даёт энтропию белой антидьтрьт де-Ситтера (четверть площади горизонта в планков-ских площадях, равных постоянной Планка при С = с =1)), приближённо отвечающей современной Метагалактике.
О необходимости обобщения понятий массы и спина говорит уже обобщение уравнения Дирака для мира де-Ситтера радиуса кривизны а [2] (ниже 3аЬ ~ операторы углового момента импульса, 7а - антиэрмитовы 4x4 матрицы Дирака)
Ьф = -1 ЧаЪЪаЬ Ф = т3ф,
2а
т8 = т + (21/а), ^а!ь + 1Ыа = 26аь, а,Ь =1, 2, 3, 4, 5,
ЬаЬ = —Ъ(Сад/д^ь — ^Ьд/дСа) — (*/2)7а7Ь = 3аЬ — (i/2)YaYЬ,
(5)
£ + И + й + (^ + £ = <
т, £о е К.
Величину т3 можно условно назвать спинмассой. Двузначное представление группы де-Ситтера - О (4.1) осуществляет матрица -:
- = ехр ( 1 ЪЪ^аь) ,^аЬ = —^Ьа,
7а£'а = -1аСа- =^ ф ^ -ф. (6)
-4
гиперболоид де-Ситтера в 5-мерном мире Минковского превращается в топологическую
4-сферу при добавлении двух сингулярных несобственных точек) даёт координаты х^ =
Ь,х,у,г и конформно-плоскую метрику де-Ситтера в виде
/ г2 _ Ь2 \ _2
йв2 = Г 1 +---4 2 ) (-ЛЬ2 + (!х2 + йу2 + (1г2), (7)
г2 = х2 + у2 + г2.
В стереографической проекции имеем:
% д = х^р — Xv+ 27м7v, = —%дХ^,
1 т тг * Л Г2 _ ^2)\ п ^ г *
- — п„ + ^ 757* — ^ ) Р,, + 5-2 + 2а
Если ввести матрицу-столбец
2 »2 \ —1
г2 — І2'
то уравнение (5) примет вид [2]
7б7мр^П = ^ + ' 4а^ тП- (Ю)
Здесь менее очевидна релятивистская инвариантность данного уравнения Дирака, но сразу видно, что отождествление частиц в далёких галактиках земным наблюдателем (с большими переменными квазитрансляциями группы де-Ситтера. связывающими галактики с наблюдателем) даст различные оценки их масс. Дело в том. что физический смысл имеют не масса и спин, но их обобщения как собственные значения операторов Казимира, зависящих от смещения:
_ 1 _ 1 _ 2 1\ 2а23аЬ3аЬ п^п^ 2а2м ,
12 = ^Уа^Уа = -УМУМ - 1
^Уа — 0 ^-аЪсбеЗьсЗУ, — 0 ^Ь,и\рПи 3\р^ (И)
„ ^аЬс4в ЗьсЗд&і V, (
8а ^2
^^5 77 ^Х,ир3\,3ир,
8
а ^ ж —^ 1\ ^ т2, 12 ^ т28(в + 1).
В общем случае имеем комбинации массы и момента импульса (импульс определяется трансляциями, а на сфере они локализуются до вращений комплексной 4-сферьт) для оператора Д и также спина - для оператора 12.
п
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ч. Мизнер, К. Торн. Дж. Уилер. Гравитация. 3 (М.. Мир. 1977), с. 447.
[2] Ф. Гюртпи, Теория, групп и элементарные частицы (М., Мир, 1967), с. 25.
[3] Т. W. В. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961).
[4] D. W. Sciama, Recent Developments in General B.elativity (Oxford, Pergamon Press,
1962), p. 415.
[5] X. J. Poplawski, arXiv: gr-qc/0910.1181 v 1, 7 Oct. 2009.
[6] P. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 38(2), 52 (2011); Краткие
сообщения по физике ФИАН 38(3), 3 (2011).
[7] М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория, суперструн в 2-х т. (М., Мир, 1990).
[8] Н.-М. Chan, Т. S. Tsou, Acta Physica Polonica В, 33(12), 4041 (2002).
[9] P. Ф. Политцук, Темная материя и дуальная группа симметрии Е(8). Постерньтй
доклад 10.02.2011, сессия АКЦ ФИАН, ПРАО, Путцино, Москва, 2011.
[10] Р. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 39(8), 10 (2012).
[11] Р. Ф. Политцук, Материалы конференции ‘Астрофизика, высоких энергий НЕА-
1011” (ИКИ РАН, Москва, 2011), с. 62.
[12] А. Д. Линде, Физика элементарны,х частиц и инфляционная, космология, (М., Наука, 1990).
[13] Д. А. Киржниц, А. Д. Линде, ЖЭТФ 67, вып. 4(10), 1263 (1974).
[14] D. A. Kirzhnits and A. D. Linde, Aim. of Phys. 101(1), 195 (1976).
[15] Д. А. Киржниц, Труды no теоретической физике в 2-х т. (М., Физматлит, 2001),
с. 377, 389.
А. О. Barut and Bohm, Int. Centre for Theor. Phys. Trieste, 1965, March, p. 1-18. [17] W. Ivopczinski, Bull. Akad. Polon. sci. ser. sci, math, astr. phys. 23, 467 (1965).
Поступила в редакцию 2 февраля 2012 г.
