Последний множитель и интегральный инвариант Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 3

Результаты работы генетического алгоритма

Нейроэмулятор объекта (номер формулы) Суммарная ошибка обобщения E's Число итераций ГА Время расчетов ГА, с

(14) 0,097880 9 112

(15) 0,098643 6 135

(16) 0,099858 13 253

ляторами аналитических зависимостей (14)— (16). Кроме того, предложенный алгоритм эффективного оперативного обучения позволяет достаточно быстро построить нейроэмулятор объекта управления.

Эксперименты показывают, что предложенный генетический алгоритм позволяет определить структуру нейроэмулятора, который обеспечивает суммарную ошибку обобщения с заданной точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Akhyar, S. Self-tuning P1D control by neural-networks [Текст] / S. Akhyar, S. Omatu // Proceeding of 1993 International Joint Conference on Neural Networks (1JCNN'93).— 1993,- C. 2749-2752.

2. Pirabakaran, K. P1D autotuning using neural networks and model reference adaptive control [Текст] / К. Pirabakaran, V.M. Becerra // 15th Triennial 1FAC World Congress.- 2002,- C. 736-740.

3. Денисенко, B.B. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием [Текст] / В.В. Денисенко,— М.: Горячая линия-Телеком, 2009,— С. 309— 310.

4. Омату С. Нейроуправление и его приложения |Текст] / С. Омату, М. Халид, Р. Юсоф; пер. Н.В. Батина,- М.: ИПРЖР, 2000,- С. 121- 132.

5. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы [Текст] / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский; пер. И.Д. Рудинского,— М.: Горячая линия — Телеком, 2007,- С. 130- 163.

6. Тархов, Д.А. Нейронные сети. Модели и алгоритмы |Текст] / Д.А. Тархов,— М.: Радиотехника, 2005,- С. 92- 93.

УДК 517.929

М.Б. Авдеева, С.В. Зубов, М.В. Стрекопытова, К.А.Пешехонов

ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ

Математическим аппаратом описания динамических процессов являются системы дифференциальных уравнений. Поэтому задачи современной автоматики, т. е. создание новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем

обыкновенных (а также в частных производных) дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования систем автоматического управления. Задачи управления на протяжении последних десятилетий были основными «потребителями» достижений качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории нелинейных колебаний.

4

Математика^

Теория последнего множителя тесно связана с интегральными инвариантами.

Определение 1. Скалярная величина у{х,у,г) называется последним множителем или множителем Якоби, если она удовлетворяет соотношению Ф = |(х, у, г) f или в векторной записи соотношению V- | / = 0, где компоненты вектора Ф есть два независимых интеграла У^Х), У2(Х), т. е. выполнены равенства (V К,, /) = 0, (V У2, /) = 0. Рассмотрим систему

X = Г(Х), (1)

==

фазового пространства равна трем.

Возьмем произвольное открытое множество (не обязательно связное) и рассмотрим множество траекторий

X = X(t,x0,t0),

(2)

где X = Хо при г = г0, Х0еБ0 . Множество концов этих траекторий в момент / обозначим Б,.

Пусть р(Х) — произвольная вещественная непрерывная функция, которая может быть только интегрируемой. (Заметим, что нижеизложенное распространяется и на неавтономные системы). Рассмотрим интеграл

т= jp wdx,

(3)

Каждый столбец этой матрицы является решением системы дифференциальных уравнений в вариациях

çE = №)y

dt дх

Положим, что первый, второй и третий столбцы являются решениями соответственно со следующими начальными условиями:

f° f0> f°l

0 ; y - 1 ; y - 0

к к W

Матрица Якоби является матрицей фундаментальной системы решений системы дифференциальных уравнений в вариациях(3) с единичной начальной матрицей.

По теореме Л иувилля — Остроградского определитель этой матрицы находится по формуле

/ = ехр

v<>

=

jv-fdt

V<>

Отсюда найдем

|р(г,х)Лс= |р(г,х(г,х0,г0))ехр(У- fdt)dx0.

А Д.

Вычислим величину dQ / dt , продифференцировав последнее выражение:

J(Vp,/)exp \v-fdt

где dX = dxdydz.

Определение 2. Величина Q(t) называется интегральным инвариантом системы (Г), если выполнено соотношение Q(t) = const < +» • Величина р(t,X) называется плотностью интегрального инварианта системы при условии р> 0.

Найдем полную производную dQ / dt. Для этого с помощью соотношений ( 1 ) в интеграле (2) сделаем замену переменных. Тогда будет справедливо соотношение

Jp(r,x)£/x= Jp (t,x(t,x(j,t(j))Jdx(j, d, 4,

где Якобиан /есть определитель матрицы

d{x,y,z)

+ рехр

¡V-fdt

V-fdx0.

Перейдя обратно к области , получим следующее соотношение:

Д(р,/) + рУ •/).

в,

Пусть соотношение () = 0 справедливо для любого множества Ц,; тогда подынтегральное выражение равно нулю:

(Ур,/) + рУ •/ = (), т. е. плотность интегрального инварианта является последним множителем системы (1). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если у системы (Г) существует интегральный инвариант (2), то его плотность является последним множителем системы (Г).

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2. Если у системы (1) есть последний множитель, то существует и интегральный инвариант.

Эти теоремы справедливы и для произвольного числа уравнений.

Важными примерами интегральных инвариантов могут служить объем или площадь (в случае системы второго порядка). Условие сохранения объема р = 1 приводит к уравнению неразрывности для правых частей V- / = 0 •

Заметим, что в случае системы второго порядка вопрос о существовании стационарного интеграла не стоит, поскольку, как отмечал В.В. Степанов [1], существование интегрирующего множителя следует из теоремы существования, и для стационарного интеграла получается система дифференциальных уравнений

В случае любой системы, удовлетворяющей лишь условию дифференцируемости правых частей, доказать существование интегрального инварианта невозможно [2]. Однако в силу того, что для дифференциальной системы, которой удовлетворяет плотность интегрального инварианта, могут быть выполнены условия теоремы существования, то справедливо утверждение, что для системы (1) всегда существует локальный интегральный инвариант. Но наиболее интересным и важным следует считать «глобальное» поведение решений систем, т. е. на бесконечном промежутке; поэтому факт существования локального интегрального инварианта не помогает нам сделать выводы качественного характера относительно поведения решений системы (1) и не может облегчить нам такое их исследование.

Условия интегрируемости дают уравнение для интегрирующего множителя. В случае системы, например, третьего порядка, размерность подпространства с необязательно ортогональным базисом ортогональным вектору/, равна 2, и необходимо рассматривать систему дифференциальных уравнений

= (4)

Теорема 3. Для существования нелокального стационарного интеграла Vсистемы (1) X = Е(Х) в окрестности неособой точки Х0 необходимо и достаточно существование функций та~ ких, что система дифференциальных уравнений (4) является совместной.

Доказательство. Достаточность. Пусть такие |Д|,|Д2 существуют, тогда У— решение системы уравнений (1). Умножим левую и правую части (1) скалярно на вектор/ получим выражение

Поскольку векторы о,, о2 ортогональны вектору/ последнее выражение тождественно равно нулю.

Необходимость. Пусть существует стационарный интеграл \\ тогда выполнено соотношение ^К,/) = 0 , следовательно, вектор у у лежит в подпространстве, натянутом на векторы , #2 <т- е. представим в виде (1). Очевидное решение системы (1):

| =1,12 =0 при я, =У/, £2 =£,х/.

Теорема доказана.

Обозначим компоненту вектора g¡ с номером у как g¡{j~\. Ясно, что успех в деле интегрирования системы (1) может быть обеспечен удачным выбором базиса ^ ,£2. Рассмотрим удачный случай, когда такой вектор уже найден. Тогда уравнение имеет вид

VУ = |lgl. (5)

Применим к этому уравнению условия интегрируемости в следующем порядке:

Уху-Уух = 0; Ууг-Угу=0.

Получим

где

Л =

0

«,[1] о 0 £,[1]

-

(6)

Га Ь (П

с!еГ

= с 0 ь

1° с -

е, =

>.[2]* - ¿МП, -

ёсГ

-с„ + а.

\

у

(7)

Матрица Ах является вырожденной при любых значениях компонент вектора поэтому для разрешимости системы уравнений (6), т. е. существования нетривиального решения, требуется, чтобы вектор е{ лежал в подпространстве, натянутом на столбцы матрицы Ах, и это легко проверяется. В связи с этим, посмотрим, какие

условия это обстоятельство накладывает на вектор . Не ограничивая общности, исключаем второе уравнение системы (6). Чтобы в левой и правой частях получить нуль, должно выполняться соотношение [4]

е,[2]-е,[1]- + е1[3]- = 0, (8)

а а

которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно компонент вектора .

Первое уравнение может быть исключено следующим образом:

е{[\]-ф]--ф]- = ^, (9)

с с

А третье уравнение —

е{Щ + ф\--ф\- = 0. (10)

о о

Система однородных уравнений (8)—(10) имеет следующую матрицу коэффициентов:

' 1 -а/с -Ь/с^ -с/а 1 Ь/а . -с/Ь а/Ь 1 ,

Определитель матрицы всегда равен 0, более того, ранг матрицы равен 1,т. е. система (8)—(10) совместна и может иметь бесконечно много решений. Мы выяснили, что все уравнения (8)—(10) линейно зависимы. В зависимости оттого, какую нулевую компоненту вектора е, мы хотим иметь, мы можем выбирать одно из этих уравнений. Не ограничивая общности, возьмем уравнение (7) и подставим в него компоненты вектора

а затем умножим обе части на £¡[2]. Получим, что вектор должен быть ортогонален вектору с компонентами (-е,[3],е,[2],-е,[1]). Это и есть критерий выбора вектора . Запишем его в следующем виде:

су~а2 Л (ь

~сх~ь2 -а

ах + Ь., х у у V -с

Теорема 4. Если вектор выбран так, что выполнен критерий (11), то система (5) алгебраически разрешима относительно компонент вектора Ур,.

Замечание. Критерий (11) алгебраический, при рассмотрении различных классов уравнений (например аналитических или даже полиномиальных) могут встретиться случаи, когда критерий (11) невыполним. Так, рассмотрим систему (1), где правые части имеют вид

]+к+1=ЛГ

]+к+1=0

где /[/]р — постоянные.

Возьмем базис {^,(¡2) ортогонального подпространства к вектору/

]+к+1=ЛГ

т= X / = 1

]+к+1=0

Построим вектор +р^2> где а>Р _

формы конечной степени относительно х'укг'. Может оказаться, что не удастся подобрать такие вещественные формы а,Р, что критерий (11) будет выполнен, тогда не существует другого базиса

]+к+1=М

ф']= X т]к1^Укг/ = 1,2,

¡+ы=о

в котором можно найти вектор =а,е, +^е2, удовлетворяющий критерию (11) алгебраической совместности уравнений (5). Это следует из того, что в конечномерном пространстве форм х-1ук г' любой базис (еие2) имеет представление в базисе (с1{, с12).

Заметим, что рассмотренный случай относится к функциональным пространствам конечной размерности, в которых теорема существования Пеано справедлива [2, 3]. При выполнении условия алгебраической разрешимости системы (5) можно уже попытаться найти функцию р, , ей удовлетворяющую. То есть условие алгебраической разрешимости (5) является необходимым условием существования стационарного интеграла, который может быть найден интегрированием системы (4).

Таким образом, в настоящей статье развивается математический аппарат, позволяющий осуществлять анализ и синтез систем управления с точки зрения более точного прогнозирования динамики системы, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применять полученные результаты к зада-

чам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управ-

ления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения ЭВМ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений |Текст| / В.В. Степанов,— М.: ГОНТИ, 1938,- 600 с.

2. Бурбаки, Н. Функции действительного переменного |Текст| / Н. Бурбаки,— М.: Наука, 1965,- 340 с.

3. Лефшец, С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова |Текст] / С. Лефшец, Ж. Ла-Салль,- М.: Мир, 1964,- 543 с.

4. Зубова, А.Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий |Текст| / А.Ф. Зубова,- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004,- 472 с.