ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗООТВОДЯЩЕГО СТВОЛА ИЗ ПОЛИМЕРНОЙ ТЕРМОРЕАКТИВНОЙ САМОНЕСУЩЕЙ ОБОЛОЧКИ "ФУРАНФЛЕКС" С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ЗАКРЕПЛЕНИИ ПО ВЫСОТЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Поперечные колебания газоотводящего ствола из полимерной термореактивной оболочки «Фуранфлекс».

Г.Ю. Орешин

Московский государственный строительный университет, г. Москва.

Аннотация: В предоставленной статье рассматриваются теоретический порядок и практическое решение задачи по расчету поперечных колебаний термореактивной полимерной самонесущей трубы-оболочки «Фуранфлекс» с конечным числом степеней свободы при равномерном закреплении по высоте. Детально рассмотрен порядок создания универсального расчетного алгоритма для определения собственных частот колебаний трубы с равномерным закреплением по высоте. При создании алгоритма и расчете собственных частот, определения коэффициентов построения эпюр используется программный комплекс МаШсаё. Статья может быть интересна инженерам-проектировщикам, специалистам по расчету на динамику и прочность конструкций, специалистам теплогенерирующих компаний и ТЭЦ, преподавателям и студентам ВУЗов строительной отрасли.

Ключевые слова: собственный частоты, полимерная труба «фуранфлекс», собственные значения матрицы.

При проведении капитального ремонта в котельных для теплогенерирующих компаний или создания отдельного газоотводящего ствола (ГОС), как одним из вариантов технологического решения можно воспользоваться технологией «Фуранфлекс». Данная технология позволяет создать самонесущий газоотводящий ствол из современного композитного термореактивного полимерного материала, созданного на основе кислотостойких фуран-эпоксидных смол. Подробное описание технологий с примером применения в промышленном варианте изложено в источниках [1,2].

В данной статье рассмотрим вариант использования самонесущей трубы «Фуранфлекс» с равномерным закреплением по всей высоте трубы. (Рис.1). В рассматриваемом примере расстояние между закреплениями-опорами составляет 1.2 метра.

Рассмотрим расчет поперечных собственных колебаний данной трубы.

М Инженерный вестник Дона, №4 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2021/6906

Рис.1. Труба с равномерным закреплением в качестве опор по высоте.

Расчет поперечных свободных колебаний

Рассмотрим нашу трубу, как стержень с распределением сосредоточенных масс по высоте на расстоянии 1.2 м друг от друга. Очевидна необходимость полного динамического расчета конструкции. Расчет симметричных параметрических колебаний оболочки подробно изложен в источнике [3]. Расчет резонансных соотношений частот при несимметричных колебаниях представлен в [4].

Стержень закреплен внизу шарнирно-неподвижной опорой и по высоте шарнирно-подвижными опорами в количестве- 24 шт, расположенных на расстоянии 1,2м друг от друга (Рис. 2)

Мы имеем систему с 25 степенями динамической свободы. Составим уравнение движения системы.

На основании принципа независимости действия сил можно записать полные перемещения масс, как сумму перемещения от действия каждой силы отдельно.

Рис. 2. Расчетная схема трубы с принятыми условиями закрепления.

Система уравнений (1)

У = ^11К1 +^12 К2 + - + 3ШКп

У 2 = 321К1 +^22 К2 + ••• +^2 пК ............................................ (1)

у = К + ^ К + ••• + 3„„ К

у п п11 п 2 2 пп

где

^ = -МУ\ = -ту 2

К = ~тУп

после подстановки соотношения силы в уравнение получаем систему дифференциальных уравнений свободных колебаний с п степенями свободы (П=25).

у1 = -Зх 1ту1 - д12ту2 -... - 8итуп У2 = ~$2ХтУх ~ д22тУ2 --- д2птУп

(2)

Уп = ~8п\тУ\ - Я«2тУ2 --- 8пптУп Если вывести систему из состояния равновесия, после устранения причины она совершает свободные колебания, которые можно представить системой из дифференциальных уравнений. Число уравнений равно числу степеней свободы-25:

у = а + ф);

у = -ал со2 + <р) уп = ап + ф);

у„ = -апсо2 $+ ср)

(3)

и

Подставим (3) в (2) и сократим на общий член $>ш(Ш + ф)

а — тахш2дп + та2ш2дХ2 +... + тап<ш2дх

Хп

а2 - тахш2д2Х + та2ш2д22 +... + тапш2д2п

а — тал Ш2д, + та0 Ш2д~ +... + та„ Ш2д„

п X пХ 2 п 2 п п

(4)

2 —

Принимаем 2 —

Ш

Совершив перенос всех членов системы уравнений в одну сторону и поделив

2

их на Ш , получим систему линейных алгебраических уравнений, которая имеет тривиальное решение (в случае отсутствия колебания) и нетривиальное-когда определитель системы равен нулю.

(тдхх - Я)ах + тдХ2а2 +................+ тдХпап — 0

тд2хах + (тд22 - Я)а2 +................+ тд2пап — 0

тдп1а1 +тдп2а2 +.................+ (тдпп - 2)ап — 0

(5)

ас1( А) —

тдп Х.тди. ........тдХп

тд1п ..тд22 — 2 .......тд2 и — 0

тдпХ тдп 2...... тдпп — 2

(6)

Система линейных уравнений может может быть представлена в матричном виде [5]:

<

X

и

([ А]-Я[ Е ]) {V }={0}

(7)

где, [.Е]- единичная матрица. Вектор амплитуд представлен {V}

^ }—{аха2 а3...ап } Задача решения уравнения (7) в линейной алгебре называется задачей на определение собственных значений матрицы [А]. Определение значений коэффициентов матрицы

Для определения коэффициентов представим нашу трубу в виде неразрезной многпролетной балки (Рис. 3).

Рис. 3. Расчетная схема неразрезной балки для определения коэффициентов.

Приложим поочередно к точкам расположения масс силу Б=1.

Расчет проведем с использованием методики решения уравнения трех

моментов [6,7].

Расчет многопролетной неразрезной балки

Для решения задачи по расчету и построению эпюры моментов и поперечных сил в представленной балке используем методику- «уравнение трех моментов».

В неразрезных многопролетных балках кинематический анализ покажет наличие лишних опор. Их количеством определяется степень статической неопределимости расчетной схемы в задаче.

и

Для решения задачи по расчету представленной статически неопределимой балки, воспользуемся методом сил. В этом случае, существенно эффективнее и намного удобнее провести решение с помощью уравнения трех моментов. Всю длину балки раздробим на отдельные, статически определимые части-балки. Врежем шарниры в балку над опорами. Добавим сосредоточенные моменты в местах этих шарниров М0, М1... Мп.

Записываем левую часть систему уравнений трех моментов и определяем одновременно М0 и Мп [5].

Далее проводим построение грузовой эпюры моментов Мр и эпюры поперечных сил Qp во всех пролетах и, если есть - консолях балки от действия внешней нагрузки.

Проведём расчет значений площадей эпюр моментов 1=1...п в пролетах. Определим расстояния от центров тяжести этих площадей (а1) и (Ь1) до опоры соответствующего пролета.

Составляем окончательную систему уравнений [7].

Иг _х/г + 2М, (/, + /г+1) + Иг+1/ =-6

, Ц,•+А+1Л

V ¡1 ¡г+1 J

Дале необходимо произвести решение системы «уравнений трех моментов». В предоставленной статье решение будет произведено с использованием функционала Ьо^е программного комплекса Mathcad. Этим методом определяются неизвестные моменты в балке над «лишними» опорами М1, 1=1.. .п-1.

Суммируем и получаем искомую эпюру моментов в неразрезной балке. Впоследствии строим эпюру поперечных сил по формуле [8]:

ОгОр 1+(м-мм)Л1,

для пролетов 1=1...п, где Qpi - поперечные силы балки.

и

Для приложения силы преобразуем нашу балку в статически определимую методом врезания шарниров в опорных точках и приложим силу (Рис. 4.)

Рис. 4. Расчетная схема балки при приложении единичной нагрузки.

М/ + 2МХ + /2) + М2/2 = -6

+ П 2Ь2Л

к /1

/

г

Мх/2 + 2М2 (/2 + /3) + Мъ/ъ = -6

2

\

О2 а2 , Q3b3

к /2

/

3 У

(8)

М23/24

+ 2ММ 24 (/24 + /25) + -М 25/25 = -6

О 24 а24 О25Ь25

К /24

/

25 У

После преобразований, учитывая М0 = 0, М25 = 0 , имеем:

3

4М + М =— /

1 2 8

М + 4 М2 + М3 = 0

М23 + 4 М24 + = 0

(9)

Решение будем искать с помощью программного комплекса Mathcad. Эпюра результатов расчета уравнения трех моментов для первого пролета (Рис. 5.). Матрица коэффициентов «А» системы уравнений (9) и решение системы уравнений [7,8]:

Л

<

и

( 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0^ -0.375

1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ь := 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0

V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4у ч 0 ,

M =

1

1 -0.1

2 0.027

3 -7.214-10-3

4 1.933-10-3

5 -5.18-10-4

6 1.388-10-4

7 -3.719-10-5

8 9.964-10-6

9 -2.67-10-6

10 7.154-10-7

11 -1.917-10-7

12 5.136-10-8

13 -1.376-10-8

14 3.688-10-9

15 -9.881-10-10

16

M := 1.2lsolve(A,b)

0.14

- M

- M1

01

- 4x10 - 0.022 - 0.04

.2 8.4 9

6 10.8

Рис. 5. Эпюра результатов расчета уравнения трех моментов для первого

пролета.

Построим грузовую эпюру для первого пролета (Рис. 6).

Л

8

7

и

М1 :=

( 0 ^ 1

4

•1.2

1.2

х1 := 0, — .. 1.

2

0

0.6

1.2

- 0.03

- 0.06

- 0.09

- 0.12 - М1- 0.1 5

- 0.18 - 0.2 1

- 0.24

- 0.2 7 - 0.3

0 0 12) 240 3 60 4 80 .6 0 720 840 961 081

.2

х1

Рис. 6. Грузовая эпюра для первого пролета.

Далее необходимо просуммировать значения этих двух эпюр.

Для этого приводим значения в векторе М к графическому закону и представим это в виде зависимости момента от координаты х [9]:

(-М)1

М2ь(х) :=——--х-(х < 1.2) +

М2 - М1

1.2

м4 - м3

■•(х- 3.6) + М

(х - 1.2) + м

М - мс

6 5

М10 - М9

1.2

-М

--(х- 6) + Мс

1.2 5

М8 - М7

--(х- 8.4) + М_

1.2 7

- М9

—--(х - 10.8) + м9

(3.6< х< 4.8) -6 < х < 7.2)

■(1.2< х < 2.41 -

М3 - М2

1.2

■■(х- 2.41 + М,

М5 - М4

1.2 М - м5

•(х- 4.8) + М

■(2.4< х < 3.1

(4.8 < х < 6) .

--(х - 7.2) + М,

1.2 5

■(7.2< х< 8.4) ...

:.4< х < 9.1

М9 - М8

--(х- 9.6) + М„

1.2 8

.2

М11 - М10

(9.6< х< 10.8) ..

М12 - М11

1.2

М14 - М13

■ •(х - 13.2) + М

11

1.2

•(х - 15.6) + М

13

М16 - М15

12 (х - 18) - М15

+ (-1) + (-1) + (-1) + (-1)

М17 - М16

12 (х- ^ - М16 (х - 21.6) + М 9

М20 - М19

1.2

М22 - М21

(10.8< х< 12) (13.2< х< 14.4) -(15.6< х< 16.8) -(18 < х < 19.2) ..

(19.2< х< 20.4) + (21.6 < х < 22.8) +

1.2

М13 - М12

•(х - 12) + М1(

(12 < х< 13.2) ..

1.2

М15 - М14

•(х - 14.4) + М

1.2

•(х - 16.8) + М

.(14.4< х< 15.6 (16.8< х< 18) .

М18 - М17

1.2

М21 - М20

-•(х- 20.4) + М 7

1.2

■•(х- 22.8) + М

20

1.2

М24 - М23

•(х- 24) + М,

21

•(24< х< 25.2) +

М23 - М22

1.2

•(х- 26.4) + М

(26.4< х < 27.6) +

1.2

0-М

•(х- 25.2) + М

24

1.2

•(х- 27.6) + М

(20.4< х< 21.6) ... ((22.8< х< 24)) ... (25.2< х< 26.4) ... (27.6< х< 28.8)

Эпюра результатов расчета уравнения трех моментов для первого пролета в графическом изображении аналитически заданной зависимости моментов от координаты х представлена на Рис 7. Как мы видим, она без искажений дублирует эпюру на Рис. 5 [5,7].

V 0 У

+

+

+

+

+

+

+

М Инженерный вестник Дона, №4 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2021/6906

Затем произведем расчет суммарной эпюры. Просуммируем значения моментов из эпюры, полученное решение системы уравнения трех моментов и эпюры единичной силы [9,10] (Рис. 8.).

М$ит(х) := М2ь(х) + (-М1(х))

х

Рис. 7. Эпюра результатов расчета уравнения трех моментов для первого пролета в графическом изображении аналитической зависимости.

и

Рис. 8. Итоговая суммарная эпюра для первого пролета.

Проведем аналогичную операцию для второго пролета.

Уравнение трех моментов для второго пролета примет вид [5,7]:

3

4М + М =— I

1 2 8

3

М + 4 М + М =— I

1 2 3 8

М23 + 4 М24 + = 0

Итоговая суммарная эпюра для второго пролёта представлена на Рис. 9.

Л

0.1 0.065

0.03

3

- 5x10 - 0.04 М8ит2(х) - 0.07

- 0.11 - 0.14

- 0.18 - 0.21

-025

0 0 72 1 44 2.16 2. 88 3 .6 4 32 5 04 5 76 6 48 7

Рис. 9. Итоговая суммарная эпюра для второго пролета. Проведем аналогичную операцию для третьего пролета.

Итоговая суммарная эпюра для третьего пролёта представлена на Рис. 10.

- 5x10 - 0.04

М8пт3(х) - 0.075

44 2 16 2 88 3 .6 4 32 5 04 5 76 6 48 7

Рис. 10. Итоговая суммарная эпюра для третьего пролета.

Далее будут представлены эпюры следующих пролетов (Рис. 10, Рис. 11).

х

х

и

0.1 0.065

0.03

3

- 5x10 - 0.04 М8шт4(х) - 0.07

- 0.11 - 0.14

- 0.18 - 021

- 025

0 1 08 2 16 3 24 4. 32 5 .4 6 48 7 56 8 64 9 72 1

Рис. 10. Итоговая эпюра для четвертого пролета.

0.10.065

0.03

„- 3

- 5x10 - 0.04 М8шт5(х) - 0.07

- 0.11 0.14 - 0.18 - 0.21 - 0.25

0 1 08 2 16 3 24 4 32 5.4 6 48 \Т» 56 8 64 9 72 1

Мшт.«

1'

1.2 2 .4 3 .6 4 6 7 .2 .4 9 .6 1 0.8 2 1

Рис. 11. Итоговая эпюра для пятого и шестого пролета.

Аналогично строятся эпюры для других пролетов. Проведем расчет и анализ коэффициентов. Представим только некоторую часть коэффициентов [7,8].

х

х

х

и

5И :=

$22'

•28.8 0

•28.8

(М8ит(Х))2йх = 0.025

28.8

(Мзит3(х))2йх = 0.019

(Мзит2(х))2йх = 0.019

•28.8

(М§ит(х)-М§ит3(х)) ¿х = 2.Шх 10

- 3

^21'

5дд '-

28.8 г28.8

(М§ит(х)-М§ит2(х)) ¿х - -7.977х I0- 3 832'- Кит2(х)Мит3«) ¿х - -6.384х 10" 0 ^0

28.8

(Мзит4(х))2йх-0.0!9

841 '-

842 '-

•28.8 г28.8

Кит(х)Мит4(х)) ¿х - -З.^х I0- 4 864 :- Кит^^ит6^) ¿х - 1.677х 10

0 ^0 -28.8

- 3

(М§ит2(х)-М8ит4(х)) ¿х-1.71х 10

- 3

843 '-

•28.8

(М§ит3(х)-М8ит4(х)) ¿х--6.271х 10

- 3 866 :-

28.8

Кит6(х))2ах-0.019

Анализируя эпюры и результаты коэффициентов, можно сделать вывод, что перемножение эпюр с расстоянием друг от друга более пяти пролетов не имеет смысла, т.к. значения коэффициентов близки к нулевому значению [9].

Сформируем матрицу коэффициентов. Формировать её будем отдельно по столбцам, т.к. мы сталкиваемся с функциональными ограничениями комплекса Mathcad.

0

0

0

3

0

0

0

0

и

г<1>

6„1

г<2>

«12^

г<3>

г<4>

(«14 («151

«24 «25

«34 «35

«44 «45

«54 «55

«64 «65

«74 «75

«84 «85

«94 «95

0 «105

0 0

0 25> « := 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0 > 0

Г«16 1

„<6>

«116 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

г<7>

( 0 1 «27

«67

«77

«87

«107 «117 «127

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( 0 1 0

«138 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

г<9>

( 0 1

0 0

«49

59

«89

«99

«109

«129 «139 «149 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( 0 1 0 0 0

«510 «610 «710 «810 «910

1010

«1210 «1310 «1410 «1510 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,

211)

Из-за ограниченных возможностей масштабирования всю разборчивом виде не представляется возможным. (Рис. 12 рабочего пространства комплекса Mathcad.

( 0 1 0 0 0 0 «611

'711

«811

«1111 «1211 «1311 «1411 «1511 «1611 0 0 0 0 0 0 0 0 0

таблицу изобразить в ) Продемонстрируем скриншот

Рис. 12. Таблица коэффициентов. (Скриншот рабочего пространства комплекса

МаШсаф.

Воспользовавшись встроенным функционалом eigenvals в Mathcad, решим

задачу линейной алгебры на определение собственных значений матрицы [5].

(«1э!

«

8

«

22

21

«

26

«

«

«

«

32

37

38

«

36

«

«

«

«

47

48

«

46

«

«

«

«

57

58

52

«

«

56

69

«

«

«

68

«

«

66

79

«

«

«

78

«

76

«

«

88

«

«

86

«

«

98

97

«

«

011

96

«

108

«

«

106

110

«

19

«

118

«

128

/

V

и

Произведём расчет массы элемента трубы на одном пролете и момента инерции трубы. т=17.304 kg,

/ I а 4(1 - А)

* 2 32 а4

1х= 3.732*10-4 м4 Е=7.3*1010Па

Итоговая матрица, собственные значения которой нужно определить:

т8 - т • ■ 8

Е • /

Получаем значения собственных характеристических чисел X:

X :- й!§епуа18 (т8) -

1

1 2.282-10-8

2 2.273 10-8

3 2.2-10-8

4 2.098 10-8

5 2.006 10-8

6 1.885 10-8

7 1.739 10-8

8 1.595 10-8

9 1.4710-8

10 1.356 10-8

11 1.228 10-8

12 1.13 10-8

13 1.0510-8

14 9.6610-9

15 8.835 10-9

16

X :- й!§епуа18 (т8) -

1

10 1.356 10-8

11 1.228 10-8

12 1.13 10-8

13 1.0510-8

14 9.6610-9

15 8.835 10-9

16 8.258-10-9

17 7.81510-9

18 7.349-10-9

19 6.872 10-9

20 6.539 10-9

21 6.344-10-9

22 5.72110-9

23 5.81510-9

24 6.08110-9

25

Учитывая, принятые ранее условия, что X - -1 получаем собственные частоты колебаний

ш2

самонесущей трубы «Фуранфлкекс» при равномерном закреплении по всей длине трубы с шагом 1.2 метра:

ю := =

1

1 6.62-10 3

2 6.634-103

3 6.742-103

4 6.903-103

5 7.061103

6 7.284-103

7 7.583-103

8 7.919-103

9 8.249-103

10 8.587-103

11 9.023-103

12 9.406-103

13 9.758-103

14 1.017-104

15 1.064-104

16

ю := =

1

10 8.587-103

11 9.023-103

12 9.406-103

13 9.758-103

14 1.017104

15 1.064-104

16 1.1-10 4

17 1.131-104

18 1.167 104

19 1.206-104

20 1.237-104

21 1.256-104

22 1.322-104

23 1.311-104

24 1.282-104

25

Таким образом в данной статье были приведены результаты и методика расчета самонесущей полимерной термореактивной трубы «Фуранфлекс». Значения колебаний параметров течения продуктов сгорания котла, которые можно рассмотреть, как частоту вынуждающей силы, равны 1 гц (по данным производителя котельного оборудования). Данные значения не приближены к полученным собственным частотам колебаний трубы, потому резонансные явления не возникают.

Литература

1. Орешин Г.Ю. Современная технология защиты, ремонта, восстановления дымоходных и вентиляционных каналов от коррозии, конденсата, разрушения с использованием полимерного термопластического вкладыша Фуранфлекс // Инженерный вестник Дона, 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4752

2. Орешин Г.Ю. Создание многоствольных конструкций промышленных труб с использованием самонесущего термопластического вкладыша Фуранфлекс // Инженерный вестник Дона, 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4754

3. Орешин Г.Ю. Динамическое воздействие возмущающего фактора, обусловленного изменением параметра колебательной системы на цилиндрическую оболочку газоотводящего термопластического канала

«Фуранфлекс» // Инженерный вестник Дона, 2020. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N1y2020/6285

4. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London: Springer, 2012. pp. 19-26.

5. Баженов В.А, Перельмутер А.В, Шишов О.В. Строительная механика. Компьютерные технологии и моделирование. М.: Издательский дом АСВ, 2014. 911 с.

6. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London:

Springer, 2012. pp. 19-26.

7. Соловей М.А., Мищенко О.А Расчет неразрезной балки. Киев: КНУБА, 2013. С. 445.

8. Соловей М.А., Мищенко О.А., Свешников О.Г. Кинематический анализ стержневых систем. Киев: КНУБА, 2012. С. 4-44.

9. Анохин Н.Н., Строительная механика в примерах и задачах. Часть 1. 4-е изд. М: Издательство АСВ, 2016. С. 7-90.

10. Wei Lu, Ding Zhou, Zhi Chen Practical Calculation of Cable-Stayed Arch Bridge Lateral Stability scientific.net. 2014. №9. pp. 1586-1592.

References

1. Oreshin G.Y. Inzhenernyj vestnik Dona. 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4752

2. Oreshin G.Y. Inzhenernyj vestnik Dona. 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4754

3. Oreshin G.Y. Inzhenernyj vestnik Dona. 2020. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N1y2020/6285

4. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London:

Springer, 2012. pp. 19-26.

5. Bazhenov V.A, Perel'muter A.V, SHishov O.V. Stroitel'naya mekhanika. Komp'yuternye tekhnologii i modelirovanie [ Construction mechanics. Computer technologies and modeling]. M.: Izdatel'skij dom ASV, 2014. 911 p.

6. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London:

Springer, 2012. pp. 19-26.

М Инженерный вестник Дона, №4 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2021/6906

7. Solovej M.A., Mishchenko O.A. Raschet nerazreznoj balki. [Calculation of a continuous beam.]. Kiev: KNUBA, 2013. pp. 4-45.

8. Solovej M.A., O.A. Mishchenko, O.G. Sveshnikov Kinematicheskij analiz sterzhnevyh sistem [Kinematic analysis of rod systems]. Kiev: KNUBA, 2012. pp. 4-44.

9. Anohin N.N. Stroitel'naya mekhanika v primerah i zadachah. CHast' 1. [Construction mechanics in examples and tasks. Part 1]. 4-e izd. M: Izdatel'stvo ASV, 2016. pp. 7-90.

10. Wei Lu, Ding Zhou, Zhi Chen Practical Calculation of Cable-Stayed Arch Bridge Lateral Stability scientific.net. 2014. №9. pp. 1586-1592.