РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ВЕРТИКАЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ БАЛКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА МАTHCAD Текст научной статьи по специальности «Математика»

и

Решение задачи сопротивления материалов по расчету вертикально нагруженной балки с использованием вычислительного комплекса

МаШсаа

Г.Ю Орешин

Московский государственный строительный университет, г. Москва.

Аннотация: В предоставленной статье рассматриваются теоретический порядок и практическое решение задачи по расчету балки методом начальных параметров с помощью расчетного комплекса Маthcad. Детально рассмотрен и предложен порядок создания универсального расчетного алгоритма и программы для любых комбинаций вертикальной нагрузки. Программа автоматизированно создает эпюры внутренних силовых факторов, перемещений, углов поворота сечений балки. Статья может быть интересна инженерам- проектировщикам, специалистам по расчету на динамику и прочность конструкций, преподавателям и студентам ВУЗов инженерной направленности и строительной отрасли.

Ключевые слова: метод начальных параметров, балки с вертикальным нагружением, перемещения балки, углы поворота сечений.

Для получения значений перемещений по всей длине балки, углов поворота, а также эпюры момента и эпюры поперечных сил, как нельзя лучше подходит метод начальных параметров [1].

Теоретическая основа метода заключается в положительном направлении заранее заданных силовых факторов. Эти нагружения, в частности, изображены на рис.1 [1,2].

Рис.1 Схема нагрузки рассматриваемой балки

Для решения поставленной задачи методом начальных параметров необходимо неукоснительно соблюдать следующие несколько правил:

1) Выбираем начало координат для всех участков балки, в крайнем левом сечении рассматриваемой балки;

2) Все составляющие уравнений сохраняют первоначальный вид и не должны изменяться. Т.е. для определения значений нужно только менять координату.

3) При окончании распределённой нагрузки посреди конструкции её действие продлевают до крайней конечной координаты балки и одновременно добавляют компенсирующую распределенную нагрузку противоположного знака;

4) При решении уравнения на всех участках балки интегрирование проходит без раскрытия скобок.

На рис.1 представлена балка. Она содержит произвольную комбинацию сил и моментов. Реакции опор определяем заранее. В нашей задаче это будет задано в алгоритме МаШса^ Составим, для сечения балки в координате х, уравнение равновесия для определения изгибающих моментов:

После проведения несложных математических преобразований, уравнение принимает вид:

Здесь: значения ащ,- это координата точки приложения сосредоточенного момента, аР - координата для сосредоточенной силы и ад -координата для указания начала действия распределённой нагрузки. Существенной особенность в том, что значение в скобках (х-а) всегда должно оставаться положительным. В случае, когда (х-а) принимает значение отрицательное, все слагаемые отбрасываются и не учитываются в расчете. Следует обратить внимание, что компонент (х-ащ)0 равен единице, но его не удаляют для сохранения единой подобной картины при интегрировании уравнения [2,3]. Далее, методом интегрирования находится угол поворота ф:

Преобразовав, получаем:

М Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827

Для определения перемещений воспользуемся следующей формулой:

Преобразовав, получим:

Окончательно универсальные уравнения:

~а<цУ>

Рассмотрим нагруженную балку:

Рис.2. Схема нагруженной балки.

Изначально проводим расчет реакции опор. Для этого используем рабочую среду Mathcad [2,4].

Статический расчет нагруженной балки.

Для определения значения реакций опор составляется уравнения моментов, в которых моментными точками являются опоры.

Подробно определение опорных реакций в программном комплексе Mathcad дано в источнике [2].

Построения эпюр изгибающих моментов балки, а также поперечных сил с использованием программной среды Mathcad.

Создание алгоритма расчета программы начнётся с необходимости указания положительных направлений всех внешних нагрузок. «После принятия положительного направления», в знаках слагаемых придерживаемся исключительно этих правил. Это позволит создать общую математическую зависимость для расчета балки при вертикальной нагрузке. В нашем примере положительные направления всех силовых факторов статически определимой балки с двумя опорами представлены на рис3. [5,6]

и

Рис.3 Положительные направления всех внешних факторов.

Для дальнейшего создания алгоритма и более удобной возможности получения результатов вычислений в среде Mathcad традиционно создадим размерный блок. Размерный блок создается для указания исходных единиц измерения. Единицы, используемые в программе, могут быть как заданы по умолчанию, так и представлять комбинацию произведений различных единиц, существующих в Mathcad. [2,7]. Это предпринимается для создания возможности автоматического определения программным комплексом размерности результатов вычисления.

Приступаем к введению данных. Данные будем задавать в матричной форме:

М Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827

Для задания текущей координаты выберем шаг, и воспользуемся функционалом «ранжирования переменной». Точность построения эпюр будет зависеть от выбранного нами шага расчета координаты. В нашем случае для построения эпюр примем шаг Ь/100, т.е. разделим нашу балку на 100 участков. При определении значений внутренних силовых факторов в алгоритме МаШсаё, необходимо применить принцип независимого действия сил. В итоге получаем:

Я (*) = ХГ ;

\ ; это поперечная, учитывающая отдельно действие сосредоточенных нагрузок.

Распределенную нагрузку в балке можно представить, как сумму двух нагрузок следующим алгоритмом:

I

и

Задаем распределенную нагрузку с началом в сечении с которого она начинается ~qн

продлеваем до конца стержня. Часть «лишней» нагрузки компенсируем нагрузкой того же значения, но противоположной по направлению, приложенной от точки окончания

действия реальной нагрузки Lqк до конца стержня [2,7]:

Qq(х)=X qi(х)( х _ ьчн) - X qi(х)( х _ 1чк);

Для определения внутренних усилий в алгоритме МаШсаё можно использовать понятие «булевы», они являются операторами условий. «Булевы операторы» принимают значения 1, в случае, когда логическое выражение в скобках верно, и 0, если — не верно. Этот элемент функционала программы позволяет включить или исключить слагаемое. Т.е. если условие выполняется, то будет произведен расчет, если условие не выполняется, то расчет не производится. Итоговый математический алгоритм будет выглядеть следующим образом [3,8]:

М Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827

to«.s(F)

Qp«^ V [F-(x>LFJ]

r(ra-s(q) rowsfq)

I [М^ЧК^-Ч)]" X [М^ЧН.^Ч!]

i -

i- 1

Qra( Ra.*) ~ RA (I > LR.0 QRBI RB~ RB U > LRB) QIRA.RB.s| QraIR.vx) + QrbIRB-xI + Q^x) + Q^W

rowsiM)

rcws(F)

31-4)

li—2—1^41

rowsiq) i = 1

rows(q)

- I

i-t

"1

р-ЧГ

--2--(xi4)

М*л(М '= «*-■(« " Ira) (" * LRA) bWEfi-i) := Rfc (* - Ihb) (I > IHB)

MJ[Ra.RB.X) - ЫЛА(КА+ MZKB(RB^) + МзыОО + M^x) + M^i)

Как один из вариантов, применим функцию Find и определим реакции опор [2,9]. При использовании оператора Given необходимо задать некоторые произвольные начальные значения:

Эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в балке, представлены на Рис.4.

В строительной механике расположение положительного значения изгибающего противоположно результату построения графика в МаШсаё. По этой причине, момент на графике представлен со знаком "минус" [2].

М Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827

Рис.4. Эпюры изгибающих моментов и поперечной силы нагруженной балки.

Далее рассчитываются уравнения определения углов поворота и перемещения загруженной балки, после чего находятся их значения при помощи функции Find [7,8,10].

и

Рис. 4. Эпюра вертикальных перемещений сечений по длине балки.

и

Рис.5. Эпюра углов поворота сечений по длине балки.

Литература

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление

материалов. 4 изд. М.: "Высшая школа", 2004. 560 с.

2. Орешин Г.Ю Решение задачи строительной механики по расчету трехшарнирной, вертикально нагруженной арки параболического абриса в вычислительной среде Маthcad // Инженерный вестник Дона, 2019. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5622

3. Соловей М.А., Мищенко О.А. Расчет плоских статически определимых систем. Киев: КНУБА, 2014. С. 2-44.

4. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London:

Springer, 2012. pp. 19-26.

5. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнопрочной

многопролетной балки // Инженерный вестник Дона, 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1571

6. Соловей М.А., Мищенко О.А., Свешников О.Г. Кинематический анализ стержневых систем. Киев: КНУБА, 2012. С. 4-44.

M Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827

7. Анохин Н.Н., Строительная механика в примерах и задачах. Часть 1. 4-е изд. М: Издательство АСВ, 2016. С. 7-90.

8. Макаров Е.Г., Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб: БХВ-Петербург,

2004. С. 61-183.

9. Каганов В.И., Компьютерные вычисления в средах Exel и Mathcad. 2-е изд. М: Горячая линия-Телеком, 2015. С. 173-209.

10. Wei Lu, Ding Zhou, Zhi Chen Practical Calculation of Cable-Stayed Arch Bridge Lateral Stability scientific.net. 2014. №9. pp. 1586-1592.

References

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Soprotivlenie materialov.[ Strength of materials] 4 izd. M.: "Vysshaya shkola", 2004. 560 p

2. Oreshin G.Y. Inzhenernyj vestnik Dona. 2019. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5622

3. M.A. Solovej, O.A. Mishchenko Raschet ploskih staticheski opredelimyh sistem.[ The calculation of the plane statically determinate systems]. Kiev: KNUBA, 2014. pp. 2-44.

4. Karnovsky Igor A. Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London: Springer, 2012. pp. 19-26.

5. A.S. CHepurnenko, V.I. Andreev, B.M. Inzhenernyj vestnik Dona. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/157

6. M.A. Solovej, O.A. Mishchenko, O.G. Sveshnikov Kinematicheskij analiz sterzhnevyh sistem.[ Kinematic analysis of rod systems] Kiev: KNUBA, 2012. pp. 4-44.

7. Anohin N.N. Stroitel'naya mekhanika v primerah i zadachah. CHast' 1. [Construction mechanics in examples and tasks. Part1] 4-e izd. M: Izdatel'stvo ASV, 2016. pp. 7-90.

8. Makarov E.G. Soprotivlenie materialov na baze Mathcad. [Strength of materials based on Mathcad] SPb: BHV-Peterburg, 2004. pp. 61-183.

9. Kaganov V.I Komp'yuternye vychisleniya v sredah Exel i Mathcad. [Computer calculations in the software packages Excel and Mathcad]. 2-e izd. M: Goryachaya liniya-Telekom, 2015. pp. 173-209.

10. Wei Lu, Ding Zhou, Zhi Chen Practical Calculation of Cable-Stayed Arch Bridge Lateral Stability scientific.net. 2014. №9. pp. 1586-1592.

М Инженерный вестник Дона, №2 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2021/6827