Понятие гарантированного решения по функционалу для многомерной задачи о ранце и методы его построения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.852.6

Мамедов К. Ш.1, Мамедов Н. Н.2

1Д-р физ.-мат. наук, профессор Бакинского Гэсударственного Университета и зав. отделом Института Систем

Управления НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан 2Д-р философии по математике, от. преподаватель Национальной Академии Авиации Азербайджана, Баку, Азербайджан

ПОНЯТИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛУ ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ О РАНЦЕ И МЕТОДЫ ЕГО ПОСТРОЕНИЯ

Актуальность. Рассмотрена задача построения гарантированного субоптимального (приближенного) решения по функционалу в одномерной и многомерной задачах о ранце. Объектом исследования являлась модель с приращением коэффициентов целевой функции.

Цель работы. Разработка методов построения гарантированного субоптимального решения по функционалу в одномерной и многомерной задачах о ранце, т. е. найти такие минимальные изменения коэффициентов функционала в заданных интервалах, чтобы найденное решение гарантировало значения функционала не меньше, чем заранее фиксированного.

Метод. Введены понятия допустимого, гарантированного и гарантированного субоптимального решений по функционалу в многомерной задаче о ранце. В заданных интервалах необходимо найти такие минимальные изменения коэффициентов функционала, чтобы найденное решение гарантировало значение функционала не меньше, чем заранее фиксированного. Такое решение называем гарантированным решением по функционалу для одномерной и многомерной задачи о ранце. Разработаны методы их построения. Составлен программный комплекс для нахождения этих решений и проведены многочисленные вычислительные эксперименты над случайными задачами большой размерности.

Результаты. Разработан алгоритм для построения гарантированного субоптимального решения по функционалу в одномерной и многомерной задачах о ранце.

Выводы. Составлен программный комплекс для нахождения гарантированного субоптимального решения по функционалу и проведены многочисленные вычислительные эксперименты над случайными задачами большой размерности.

Ключевые слова: одномерная и многомерная задачи о ранце, гарантированное решение и гарантированное субоптимальное решения по функционалу, многокритериальная нелинейная задача Булевого программирования, принцип дихотомии, вычислительные эксперименты.

НОМЕНКЛАТУРА

г -и • •/>.••!' • С = 1 ,m',j = 1 ,n),b - заданные целые неотрицательные числа;

агу,(у =1,«) - заданные неположительные целые числа;

xy,(y'=l,w) j -ый неизвестный;

Х — п -мерный вектор;

Хк (к = 0,1,2,...) - текущее субоптимальное (приближенное) решение в к-м шаге;

Xz- гарантированное субоптимальное решение по функционалу;

X* — оптимальное решение;

Xs- субоптимальное (приближенное) решение;

f* - оптимальное значение целевой функции;

fS- субоптимальное (приближенные) значения целевой функции;

д -приращение оптимального значения f ;

д^— приращение субоптимального (приближенного) значения

р - фиксированный процент;

5 j,(J = \ п) - приращение коэффициентов С j ;

j* — фиксированный номер;

fk(k = 0,1,2,...) - субоптимальное (приближенное)

© Мамедов К. Ш., Мамедов Н. Н., 2018

DOI 10.15588/1607-3274-2018-1-19

166

значение функционала в i-м шаге;

—Z

X - текущие субоптимальные решения по функционалу;

—Z

f - текущие субоптимальные (приближенные) значения целевой функции;

ССр - среднее изменение коэффициентов целевой функции;

А(/) - погрешность функционала.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим следующую задачу Булевого программирования:

П

У г г -^тах, (1)

}= 1

(2)

}=1

Jty = 0vl,(y = !=«)■ (3)

С целью выяснения практического значения ниже рассмотренной модели, дадим некоторые экономические интерпретации для задачи (1)-(3).

Допустим, что для реализации необходимо выбрать или игнорировать из каждых заданных проектов (мероприятия и т. д.). Если выбирается для реализации некоторый у-ый (у = 1, п) проект, то получается прибыль в объе-

ме Су,0' = Фи) единиц. Пусть для реализации этих проектов выделены т видов ресурсов в объеме -

£,,(/' = \,т) единиц. А для реализации у-ого (у' = 1,и)

объекта необходимо использовать а у, (/' = \,m\j = \,ri)

единиц из выделенных ресурсов йг,(/ = \,т) соответственно. Естественно, что необходимо реализовать такие проекты, в которых использование общих ресурсов

не превышало бы выделенных ресурсов йг ,(/ =1 ,т), и одновременно полученная прибыль стала максимальной. Принимая неизвестные xj , (у = 1,и), где

[ 1, если у'-ый проект выбирается для реализации, Xj [О, в противном случае

экономико-математическая модель получается в виде (1)-(3). Целью данной работы является разработка методов построения гарантированного субоптимального решения по функционалу в одномерной и многомерной задачах о ранце. Другими словами, необходимо найти такие минимальные изменения коэффициентов функционала в заданных интервалах, чтобы найденное решение гарантировало значения функционала не меньше, чем заранее фиксированного.

Отметим что, это задача особенно актуальна в современной экономике, при учете финансовых проблем. Потому, что за счет изменения рыночных цен

Су ,0 = Фи) не изменяются затраты а у, (/' = 1 ,т\ j = 1 ,п) из выделенных ресурсов Ьр (/ = фда) .

В данной работе рассмотрен второй вариант и разработан метод построения гарантированного решения по функционалу.

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Допустим, что, оптимальное решение X* = (х\,х2или некоторое субоптимальное решение = (х^,Х2 ,-,Хя) задачи (1)—(3) найдено ка-

ким-то методом. Тогда оптимальное J или субопти-

£

мальное значение у функции (1) можно вычислить:

/ Хс .V ; f = Нсj-xl

У=1 У=1

Предположим, что необходимо найти такое решение

X ={х\,х2,-,хп) или X -УХ\’Х2’-’Х„) задачи (1)-(3) для которого максимальное или субоптимальное

*

значение функции (1) стало не меньше, чем у + Д или fS + Д^ соответственно. В частном случае, можно *

принять Д =

является фиксированным процентом у или у , а

[z]— означает целую часть числа z. Этого можно добиться минимальным изменением коэффициентов

f .JL J 100

дл =

р

J юо

. Здесь р

1 ЛИТЕРАТУРНОЙ обзор

Общеизвестная задача (1)—(3), называется многомерной задачей о ранце и разработаны ряд методов [1-13, и т. д.] для построения оптимального и субоптимального (приближенного) решений этой задачи.

Допустим, что, каким-то известным методом найдено оптимальное или субоптимальное (приближенное) решение задачи (1)-(3) и определены соответствующие значения функционала (1). Предположим, заказчику интересно получить такое решение, которое гарантирует значения функции (1) не меньше, чем найденное. Очевидно, что для достижения этой цели возможно два варианта:

1) Не изменяя коэффициенты Су и

al}, (/ = l,m,j = фи), минимально увеличить (изменить)

выделенные ресурсы = Ф»г). Такие типы задач математически моделированы и решены в работах [14, 15].

2) Не изменяя коэффициенты С1у и bi, (/ =\,m\j = 1,и), минимально изменить цены

С j, (j — 1, и) , в заданных интервалах [a j = Р j J = O' ~ Ф и) не изменяя заданные коэффициенты bi и а у,

(/' = \,nr,j = 1,и) . Таким образом получается следующая модель:

п 2Х<У+ 8,)* -мпах, У=1 (4)

п HayXj^bpii = l>m)> У=1 (5)

(6)

xj=0vl,(j = Ф«). (7)

Отметим, что решением задачи (4)-(7) является такое минимальное значение 5 у,(у=фй) и вектор

суДф-фи) в заданных интервалах |ау,Ру]Ду — Ф«) Эта задача в случае т = 1 была решена в работе [16].

X = (xj,x2j - jXw) , для которого выполняется ограничения (5)-(7) и одновременно функция (4) принимает максимальное значение. При этом, если для некоторой

*

j , § .* < 0, то соответствующий С j уменьшается на

8 j единиц. Наоборот, если 8 j >0, то соответствующий С j* увеличивается на 8 j единиц. В случае 8 j =0 коэффициент С j не меняется. Таким образом, получаем следующую математическую модель:

min, (J = 1,п)

(8)

1(су+5у)ху^/+А ,

У=1

J ~Ьс,-х,

}=1

Таким образом, можно вычислить

Д^ =

fS Р

J 100

, где р - фиксированный процент, а обо-

значение [z] означает целую часть числа z.

Мы должны построить такой вектор

Xs = (xi удовлетворяющий (10), (12), кото-

рый позволяет найти целые значения 5у,(У = 1,и) обеспечивающие выполнение условий (X у — § у ~ Р у ’

п

!La1jXj^br(i = \m), (10)

У=1

(Ху- 8у - Ру’ (У = 1’”)’ И целые, (П)

Xj =0vl’(y = !’«)■ (12)

Необходимо отметить, что задача (8)—(12) является не-

линейной (смотри (9)) многокритериальной задачей Булевою программирования. Естественно, что это задача также входит в класс NP-полных (т. е. трудно решаемых).

3 МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Сначала введем следующие понятия.

Определение 1. Допустимым решением задачи (8)-

(12) является и-мерный вектор X = (хрх2>--->хп) , который удовлетворяет ограничениям (9)—(12) при фиксированных § ■, (J = 1, п)

Определение 2. Допустимое решение ❖ * * *

X =\Х\->Хгзадачи (8)-( 12) дающее минимальное

(у =1,»), И ikj+b)xSj^fS +д5.

у=1

Таким образом, нужно найти гарантированное субоптимальное решение по функционалу следующей задачи

§у.-> min, (у = 1,и) (13)

i(cy + 8;)V/5 + А5’ у=1 (14)

п TaIjXj^br 0 = 1,/и), у=1 (15)

— § у — J3 у, (У = 1,и), и целые, (16)

Xj =0vl, (У = !,«)■ (17)

Процесс построения гарантированного субоптимального решения по функционалу задачи (13)—(17) проводится методом дихотомии (деления пополам). В начале

принимаем 8j'=aj, 0 =1, и) поскольку необходимо

значение параметров 5у,О = 1 ,и) назовем гарантированным решением по функционалу.

Учитывая, что задача (8)—(12) входит в класс NP-полных, то нахождение оптимального решения для задач большой размерности за реальное время невозможно. Поэтому появляется необходимость построения, гарантированного субоптимального (приближенного) решений задач (8)—(12). С этой целю введем следующие понятия.

Определение 3. Допустимое решение S S S S

X = (Xi , JC2 задачи (8)—(12) дающее меньшее зна-

чение параметров 8у,(У = 1,и) будем называть гарантированным субоптимальным решением по функционалу. Пусть, каким-то методом найдено субоптимальное

S S S S

решение X = (Xi ,Х2> - >ХИ) задачи (1)-(3).Тогда соответ-

гS

ствующие значения J функции (1) составляет

минимизировать значения параметров 8у,(У = 1,и) . При этом, с целью запомнить заданных значений С у ,0 = Фи) примем Cf=Cj-(j = 1п) . После этого принимая С j := Су + S ., (У = 1, п) находим субоптимальное решетцо _, о о о,

ние Л ~ iXi-Х2---Х„) в задаче (1)-(3). Тогда соответ-

f°= V 0

ствующее значение функции (1) составит J ХС jX у .

У=1

0 s*S $

Очевидно, что, J < J +Д , поскольку начальные

значения параметров 5у,(У = 1=и) отрицательные. Для

того, чтобы построить новую задачу типа (1)—(3), используя принцип дихотомии принимаем

(Xy+P, —

8у :=-----,(y=l,w) и определяем новые значения

коэффициентов функции (1): Cj• CjXS>j,(j Ъп) После этого находим субоптимальное решение

Xl = (XvX2’-’x\) текующей задачи (1)—(3) и соответ-

Для значения f1, как отмечено выше возможны два

случая: либо f2< fS+/\^, либо f2> fS + AS ■ Процесс решения повторяется аналогично вышеуказанно-

му, делением интервалов U

Р,1о

■У’НУ

= 1 ,и) пополам.

ствующее значение

У=1

Вычисления завершаются, в случае выполнения Ру-ОСу <1 для всех j Ду =\^п). Другими словами, процесс решения продолжается до такого шага к, пока

Для значения Д1 возможно 2 случая:

1) /</+А5;2)Д/+Д5.

В первом случае необходимо принимать 0Су7=8у и

выполняется условия

для всех j, (у = 1, п) ■

8

Су+Ру

,(_/ = 1 ,п) . Далее принимая новые значения

Ру-ОСу ^

Особенно отметим, что в процессе построения гарантированного субоптимального решения вышеуказанным

образом, в каком-то шаге / , 1 <1 <к, если f > f +AS ,

то запоминается X = X и 8у := 5у >U = Фи) ■

В конечном итоге, коэффициенты функции (1) при-

Су:=Су + 5у,0=1,«)

находим решение нимают значения

С ,С , + 6 , U - Вп) Отсюда

X2 = (х{ ,Xyv,x„) новой задачи (1)-(3) и соответствующее значение

/ ='LcJXj.

У=1

(18)

А в случае f^> fS+/\^ , запоминая X ~ X и

5у:=5у,(у = 1,и)

принимаем Ру:= 5у и

g j'-=———,(у=1, и). После этого фиксируем

Сj '=Cу + 6j,(J = ФИ). Необходимо отметить, что наша цель является минимизация параметров § ■ ,(У = 1,и) в

У ^ У - У'

определяются изменения (увеличение или уменьшение)

исходных значений коэффициентов Су = 0=Фи).

В процессе решения, последний запомненный век-

5 S S S

тор = (Xi является гарантированным су-

боптимальным решением по функционалу для задачи

(1)-(3).

Отметим что, разработанный выше метод построения, гарантированного субоптимального решения по

функционалу в случае т = 1, т. е. для задачи о ранце выполняется более просто. В этом случае задача (1)-(3) принимает следующий вид:

HCjXj^

J= 1

max,

интервале

ау-Р,

(7= фи).

YuCljXj^b

У=1

Далее, находим субоптимальное решение X2 = <уХ1>Х2>--->Х2„) задачи (1)-(3) и соответствующие

Xy=0vl = (i =!=«)■

(20)

(21)

(22)

значения

Тогда для задачи (20)-(22) соответствующая задача (8)—(12) будет принимать следующий вид:

о п 0 / =HCjXj, У=1

(19)

/Z

из соотношений (18) и (19) различны, поскольку они соответствуют

различным значениям 5у = 0 =ФИ) ■ Другими словами,

оба варианта отмеченные выше не могут выполняться одновременно.

§ ^mm, (у = 1,п)

Е(у + 5 ^хх/+А8.

у=1

YjQjXj^b

У=1

(23)

(24)

(25)

а; <5;<Рг (7 = 1, и), и целые, (26)

Ху = Ovl,(j = 1,и). (27)

Теперь напишем алгоритм для построения гарантированного субоптимального решения по функционалу для задачи (20)-(22). Другими словами, напишем алгоритм решения задачи (23)-(27).

Шаг Е Ввод целых чисел

П,С .,а j>a jU = pub.

Шаг 2. Построить начальное субоптимальное решение vs_r s s s\

Л ~\X\ ’Х2,ш",Хп) задачи (20)-(22) и вычислить

о п

f =Тс,х

7=1

s j ■

4 ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Сначала применением разработанного метода в данной работе, найдем гарантированное субоптимальное решение по функционалу следующей задачи из книги [5].

15Xi + 8X2+12X3 + 20X4 + 17X5 + 14X6+6X7 + 4X8 + 5X9 + 2Xio^'max, 5Х1 +3Х2+ 5Хз +9Х4 +8Х5+ 7Хб+4Х7+3Х8+4Х9+2Хю-18, JC;-=0vl, (i=U0).

Субоптимальное решение и соответствующие значения функционала этой задачи являются

XS =(1,1,1,0,0,0,1,0,0,0) и = 4\. Запоминаем заданные коэффициенты функционала

q = (15,8,12,20,17,14,6,4,5,2) Допустим, что значение

Шаг 3. Вычислить

fS Р J 100

, где [z] означает

целую часть число z.

Шаг 4. Принять 8у: = ОСу= С /■= С у и

С j С j + 8 . j (j - Ф п) и подставить значения с j = О _ 1=и) в задаче (20)-(22).

Шаг 5. Построить субоптимальное решение

--Z _ (~z —Z ~Z\

X _ \Xi ’Х2текущей задачи (20)-(22) и соот-

S S

У =41 необходимо увеличить на Д = 41 единиц.

Тогда полученная задача соответствующая (23)-(27), принимает следующий вид:

5У ^ min , (у = 1,10) . (28)

(i5 + Si) Х1+(8+52)х2 + (12+5з)хз + (20+54)х4+(17 + 55)х5+(14+5б)хб+

+ (6+87) Х7 + (4+83) Xs+(5+89) Х9+(2+Sio) Хю — f + X =50 j (29)

5Х1 +3Х2+ 5Х3 +9Х4 + 8Х5 + 7Х6 + 4Х7 + 3Х8+4Х9+2Хю-18 , (30)

ветствующее значениям

/А _ у1

функционала J LC j X

7=1

Если

Р , “ ОС у -1 Для всех у, (у = 1, п) то переход к шагу 8.

Шаг 6. Если f < f +Д5 , то принять dj—bj,

ОС + Р 1 —

Я ■=—------- С i-=С i + 5 , >(7 = 1>га) и переход к шагу 5.

'-'у 2 ’ J J

—Z s Z z

Шаг 7. Если У -J +A то запомнить

а,

►Р,

и принимая Ру5у, 8j-—J~^—Су:_Су + 8уДу-1,и) переход к шагу 5.

Шаг 8. Выдать на печать найденное гарантированное

Z Z Z Z

решение по функционалу X = (xi =Х2’ -’ХИ) соот-

ветствующее значениям

fZ - V 4 функционала J Z^CjXj

7=1

„ rZ rS .s у-5

приращении j - j ,Д, J ~ J “Д Шаг 9. Останов.

5i£[-3>51 524-zA 53eK5l 84e[-4’°l 55et-34

56e[-2,9l57e[-3,7l5ge[-i,o],59e[o,5j510e[o,3], (31) Xy=0v 1, (7=1,10). (32)

В начальном этапе принимаем § ■ = 0Cy. 0 =U0) т.е. принимаем = (—3, — 2,-1,-4,-3,-2,-3,-1,0,0) . Тогда

подставляя эти величины вместо 87 в задаче (28)-(32) получаем следующую текущую задачу:

12Х1 + 6Х2 + 11Хз + 16Х4 + 14Х5 + 12Хб+3Х7 + 3Х8+ 5Х9+ 2Xio^max , (33)

5Xi +3Х2+ 5Х3 +9Х4 +8Х5+ 7X6+4X7+3X8+4X9+2Xio-18, (34)

Xy=0vl, (7 = 1,10). (35)

Субоптимальное решение и соответствующие значения задачи (ЗЗ)-(З5) будут ° = (1ДДА0,0,0,0,1,0) и

„0 у,0

J =34. Поскольку J =34 <50, то принимаем

с-' ' аУ+Р/ ------------------

ау=5у= 5у =----О = 1Д0) Тогда

5 ■ = (1,2,2, - 2, -1,3,2,0,2,1) . Подставляя эти значения в задаче (28)-(32) получаем следующую задачу:

16Х1 + 10Х2 + 14Хз + 18Х4 + 16Х5 + 17Хб + 8Х7 + 4Х8 + 7Х9 + 3Хю_>т£1ХХ36)

5Х1 +3Х2+ 5Х3 +9Х4 + 8Х5 + 7Х6 +4X7 + 3Xs + 4X9+2Xio-18 , (37)

JCy=0vl, (7=1,10). (38)

Субоптимальное решение и соответствующие значения функционала задачи (36)-(38) будут

ХХ =(1Д, 1,0,0,0,1,0,0,0) и j4 = 48 . Поскольку,

У'1 = 48<50, то принимаем ау=5у> §. = ——

7 2

(у = 1Д0) ■ Тогда = (3, 4, 3,-1, 0, 6, 4, 0, 3, 2) . Учитывая эти значения в (29) задача (28)-(32) принимает следующий вид:

18Xl + 12X2 + 15X3 + 19X4 + 17X5 + 20X6 + 10X7 + 4X8+8X9 + 4Xl0_>m£lXJ (39) 5Xi + Зх2+ 5х3 +9х4 + 8х5 + 7Хб+4Х7+3Х8+4Х9 + 2Хю-18,(40)

JCy = 0vl, (7=U0). (41)

Субоптимальное решение и соответствующие значения функционала в задаче (3 9)—(41) будут

X2 = (1,1,1,0,0,0,1,0,0,0) И у"2 = 55. Так как, здесь У'2 = 55>50, то принимаем (3^.=5у,

8;

2

(j = 1Д0)

Тогда получим

SieM],

S^M, 5з£[2,з], 54£[-2,-1], 554чо], 56£[з,б], 57е[2»4], 58е[°»°], 59е[2»3]» Зю^С1»2]-

В результате получаем

= (2, 3, 2,-2, 0, 4, 3, 0, 2,1). Учитывая эти значения в (29) получаем:

17Х1 + 11Х2 + 14Хз + 18Х4 + 17Х5 + 18Хб + 9Х7+4Х8+7Х9 + 3Х10^'тах , (42)

5Xi +Зх2+ 5х3 +9х4 + 8х5 + 7Хб + 4Х7+3Х8 + 4Х9+2Хю-18,(43)

Xy=0vl, (7=1,Ю). (44)

Субоптимальное решение и соответствующие значения функционала задачи (42)-(44) будут

X3 = (0,1,1,0,0,1,0,1,0,0) и f = 47 .

J = 47 < 50 , то принимаем (Ху =8у ’

Поскольку

следующий вид:

17Х1 + 11Х2 + 14Хз+19Х4 + 17Х5 + 19Хб + 9Х7 + 4Х8 + 7Х9 + 3Х10~>таХ, (45) 5 Xl +3Х2+ 5Хз +9 Х4 + 8Х5 + 7Хб + 4Х7+3Х8+4Х9+2Хю£18, (^б)

X;. = 0vl, (7=1,10). (47)

Субоптимальное решение и соответствующие значения функционала задач (45) - (47) будут

X4 =(0Д, 1,0,0,1,0,1,0,0) и ^ = 48. Поскольку

г4 у ' ау+Р,

J = 48 < 50, то принимаем ОСу =Оу ’ 8 =--------,

7 2

(j = 1,10) ■ Тогда получим 8^[2,з],

52e[3,4] , 83е[2,з], 84е[— — i], Ss^-W],

86еМ, 87еМ, 886[°’°], 89£М, 8ю6[3’2].

Поскольку удовлетворяется

fVa

<1

(7=1, 10), то

процесс вычисления останавливается. В результате по-

лучим

5 . = (3, 4, 3,-1, 0, 6, 4, 0, 3, 2)

и соответствую-

щее решение будет X - (1Д,1,0,0,0,1,0,0,0,). Следовательно, исходное значение коэффициентов заменяется

на с = (18,12,15,19,17,20,10,4,8,4).

В итоге получаем следующие основные показатели:

Сср = 2,4, А(/) = 55-41 = 14, Д = 9, А(/)-Д =5 =

КСу-Су)

где Сср = 1 1 п , А (/) = fZ ~fS ■

Как видно, для получения гарантированного значения функционала не меньше, чем 50 среднее изменение коэффициентов целевой функции составило 2,4, а вместо ожидаемого приращения функционала 9 получили 14 единиц.

5 РЕЗУЛЬТАТЫ

Для получения более подробной информация об эффективности в данной работе разработанного метода, были проведены многочисленные вычислительные эксперименты. Коэффициенты решенных задач, являются случайными целыми числами, из следующих интервалов:

0<щ<999, 0<Cj< 999, Jji

™-tav

7=1

(i = l,m,j = \,n)

Здесь Iz I означает целую часть числа z ■ Результаты

(у = 1,10) ■ Тогда 5 у = (2, 3, 2, -1, 0, 5, 3, 0, 2, 1) . Учитывая эти значения в (29) задачи (28)-(32) принимают

вычислительных экспериментов представлены в следующих таблицах 1-2. Приближенные решения построены методом [11].

Таблица 1 - Результаты процесса решения задачи (13)—(17)

тхп 10x100 10x200 10x500 10x1000

Сер 5,6 8,3 7,2 9,6

мл 82 93 135 168

As 65 71 91 105

A(/)-As 17 22 44 63

Таблица 2 - Результаты процесса решения задачи (13)—(17)

тхп 20x100 20x200 20x500 20x1000

Сер 5,2 7,8 8,1 9,2

МЛ 76 84 127 146

As 62 67 83 99

мл-а" 14 17 44 48

6 ОБСУЖДЕНИЕ

Из выше приведенных таблиц видно, что для 8 случайно выбранных задач различной размерности среднее изменение коэффициентов целевой функции (1) находится в интервалах от 5,2 до 9,6 единиц. В этих задачах погрешность функционала меняется от 76 до 168 единиц. А приращение субоптимального (приближенного) fS

значения J составляет от 62 до 105 единиц. Эти результаты показывают, что не существенно изменяя коэффициентов целевой функции, обеспечивается получение гарантированной прибыли. А это очень важно для решения реальных практических задач.

Таким образом, результаты проведенных экспериментов еще раз подтверждают практическое и теоретическое значения рассмотренной задачи в данной работе. ВЫВОДЫ

Исходя из текста таблиц и обсуждений можно сделать следующие выводы. В работе рассмотрена матема-тичекая модель построения гарантированного решения по функционалу на основе многомерной и одномерной задачи о ранце. Введены понятия допустимого, гарантированного и гарантированного субоптимального решений по функционалу. Разработан метод построения гарантированного субоптимального (приближенного) решения по функционалу этой задачи . Составлен программный комплекс для нахождения этих решений и проведены многочисленные вычислительные эксперименты над случайными задачами большой размерности.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской темы Института систем управления НАН Азербайджана «Разработка методов решения, алгоритмов и программных средств для решения различных классов задач целочисленного программирования»

(номер гос. регистрации № 0101 Аз 00736). Отметим, что

часть этой работы рассмотрена авторами в работе [16].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Корбут А. А. Дискретное программирование / А. А. Корбут, Ю. Ю. Финкелыптейн. - М. : Наука, 1969. - 368 с.

2. Ковалев М. М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование) / М. М. Ковалев. - М. : УРСС, 2003. - 246 с.

3. Martello S. Knapsack problems, Algorithm and Computers implementations. / S. Martello, P. Toth. - John Wiley & Sons, Chichster, 1990. - 296 p.

4. Kellerer H. Knapsack problems. / H. Kellerer, U. Pferschy, D. Pisinger. -Berlin, Heidelberg, New-York : Springer Verlag, 2004. - 546 p.

5. Сигал И. X. Введение в прикладное дискретное программирование: модели, вычислительные алгоритмы / И. X. Сигал,

A. П. Иванова. - М. : Физмат лит., 2007. - 304 с.

6. Сергиенко И. В. Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации / И. В.Сергиенко, Т. Т. Лебедева,

B. А. Рошин. - Киев : Наукова думка, 1980. - 276 с.

7. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации / И. В. Сергиенко. - АН УССР, Институт Кибернетики : Наукова Думка, 1988. - 471 с.

8. Сергиенко И. В. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева. - Киев : Наук, думка, 1995. - 169 с.

9. Сергиенко И. В. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы, решения, исследования/И. В. Сергиенко, В. П. Шило. -Киев : Нац. акад. наук Украины, Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова Наука, думка, 2003. - 261 с.

10. Мамедов К. Ш. Исследование по целочисленной оптимизации (методы, алгоритмы и вычислительные эксперименты) / К. Ш. Мамедов. - Германия : Lambert Academic Publishing, 2012. -276 с.

11. Бабаев Дж.А. Методы построения субоптимальных решений многомерной задачи о ранце / Дж. А. Бабаев, К. Ш. Мамедов, М. Г. Мехгиев //ЖВМ и МФ. -1978. - Т. 28, № 6. - С. 1443-1453.

12. Нуриев У Г. Гибридный метод для решения многомерной задачи о ранце / У Г. Нуриев. - Препринт НК АН УССР, 1983. - 45 с.

13. Emelichev V. Quantitative stability analysis for vector problems of 0-1 programming / V. Emelichev, D. Podkopaev // Discrete Optimization. - 2010. - Vol. 7. - P. 48-63.

14. Мамедов К. Ш. Алгоритмы построения гарантированного решения и гарантированного приближенного решения многомерной задачи о ранце / К. Ш. Мамедов, Н. Н. Мамедов // Международный научно-технический журнал «Проблемы Управления и Информатики». - 2014. - № 5. - С. 30-37.

15. Mamedov К. Sh. Guaranteed solution and its finding in the Integer Programming Problems. / K. Sh. Mamedov, N. N. Mamedov // International Journal of Applied Science and Tecnology. - August. -2015. - Vol. 5, № 4. - P. 46-54.

16. Мамедов К. Ш. Понятие гарантированного решения и гарантированного субоптимального решения относительно целевой функии в задаче о ранце и его построение (на азерб. языке) / К. Ш. Мамедов, Н. Н. Мамедов // Изв. НАН Азерб. Баку. - 2016. - № 3. - С. 42^19.

17. Senjy S. An approach to linear programming with 0-1 variables. / S. Senjy, Y. Toyoda // J. Manag. Sci. - 1978. - V.15, № 4. -P. 196-207.

Статья поступила в редакцию 16.07.2017.

После доработки 01.09.2017.

Мамедов К. Ш.1, Мамедов Н. Н.2

'Д-р ф1з.-мат. наук, професор Бакинського Державного Ушверситету та зав. видалом 1нституту Систем Управлшня НАН Азербайджану, Баку, Азербайджан

2Д-р фшософи з математики, ст. викладач Нацюнально! Академи Ав1аци Азербайджану, Баку, Азербайджан

ПОНЯТТЯ ГАРАНТОВАНОГО Р1ШЕННЯЗА ФУНКЦЮНАЛОМ ДЛЯ БАГАТ0ВИМ1РН01 ЗАВДАЧ1 ПРО РАНЕЦЫ I МЕТОДИ ЙОГО ПОБУДОВИ

Актуалынсть. Розглянуто задачу побудови гарантованого субоптимального (наближеного) рдаення по функщоналу в одно-вим1рнш та багатовим1рнш задачах про ранець. Об’ектом дослщження е модель з приростом коефдаенпв щльово! функци.

Мета роботи. Розробка метод1в побудови гарантованого субоптимального р1шення по функцюналу в одновим1рнш та багато-вим1рнш задачах про ранець, тобто знайти таю мппмальш змши коефиценттв функцюнала в заданих штервалах, щоб знайдене ршення гарантувало значения функцюналу не менше, шж заздалегщь фжсоване.

Метод. Введено поняття допустимого, гарантованого i гарантованого субоптимального ршень по функцюналу в багатовим1рнш задач! про ранець. У заданих штервалах необхщно знайти таю мппмальш змши коефиценттв функцюнала, щоб знайдене ршення гарантувало значения функцюналу не менш, шж заздалегщь фжсоване. Таке ршення називаемо гарантованим ршенням по функцюналу для одновим1рно! i багатовим1рно! задач! про ранець. Розроблено методи ix побудови. Створено програмний комплекс для знаход-ження цих pinieHb i проведен! численш обчислювальш експерименти над випадковими завданнями велико! po3MipHoeri.

Результати. Розроблено алгоритм для побудови гарантованого субоптимального ршення по функцюналу в одновим1рнш та багатовим1рнш задачах про ранець.

Висновки. Створено програмний комплекс для знаходження гарантованого субоптимального ршення по функцюналу i проведет численш обчислювальш експерименти над випадковими завданнями велико! розм1рносЕ.

Ключов1 слова: одном1рна i багатовим1рна задач! про ранець, гарантоване ршення i гарантоване субоптимальное ршення по функцюналу, багатокритер1альна нелшшна задача Булевого програмування, принцип дихотомп, обчислювальш експерименти.

Mamedov К. Sh.1, MamedovN. N.2

'Dr. Sc., Professor of Baku State University and head of Department of the Institute of Control Systems of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan

2Ph. D., senior lecturer of the National Aviation Academy of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan

THE CONCEPT OF GUARANTEED SOLUTION THROUGH THE FUNCTIONAL FOR MUTIDIMENTIONAL KNAPSACK PROBLEM AND METHODS OF ITS CONSTRUCTION

Contex. The problem of constructing a guaranteed suboptimal (approximate) solution with respect to a functional in one-dimensional and multidimensional knapsack problems is considered. The object of the study was a model with an increment of the coefficients of the objective function.

Objective. The methods of constructing guaranteed suboptimal solution through the functional in one-dimensional and multidimensional knapsack problem has been developed.

That is it is necessary to find such minimal changes coefficient of the objective function in the set of integer intervals so that the solution found guarantees the value of the functional not less than the predetermined value.

Method. The concept of guaranteed solution and guaranteed suboptimal solution relative to the objective function in the satchel problem is introduced. It is necessary to find such minimal changes coefficient of the objective function in the set of integer intervals so that the solution found guarantees the value of the functional not less than the predetermined value. Such kind of solution we name as guaranteed solution through the functional for one-dimensional and multidimensional knapsack problem. The methods of their construction has been developed. A software package was developed to find these solutions and numerous computational experiments were performed on random large-dimensional problems.

Results. The algorithm of constructing guaranteed suboptimal solution through the functional in one-dimensional and multidimensional knapsack problem has been developed.

Conclusions. A software package was developed to find the concept of guaranteed solution and guaranteed suboptimal solutions and numerous computational experiments were performed on random large-dimensional problems.

Keywords: one-dimensional and multidimensional knapsack problems, guaranteed solution and guaranteed suboptimal solution through the functional, non-linear multicriteria the problem of Boolean programming, dichotomy approach, computational experiment.

REFERENCES

1. Korbut A. A., Finkel’shtejn Yu. Yu. Diskretnoe programmirovanie. Moscow, Nauka, 1969. - 368 p.

2. Kovalev M. M. Diskretnaya optimizaciya (celochislennoe programmirovanie). Moscow, URSS, 2003, 246 p.

3. Martello S., Toth R Knapsack problems, Algorithm and Computers implementations. John Wiley & Sons, Chichster, 1990, 296 p.

4. Kellerer H., Pferschy U., Pisinger D. Knapsack problems. Berlin, Heidelberg, New-York, Springer Verlag, 2004, 546 p.

5. Sigal I. X., Ivanova A. P. Vvedenie v prikladnoe diskretnoe programmirovanie: modeli, vychisliteTnye algoritmy. Moscow, Fizmat lit., 2007, 304 p.

6. Sergienko I. V., Lebedeva T. T, Roshin V A. Priblizhennye metody resheniya diskretnyx zadach optimizacii. Kiev, Naukova dumka, 1980, 276 p.

7. Sergienko I. V. Matematicheskie modeli i metody resheniya zadach diskretnoj optimizacii. AN USSR Institut Kibernetiki, Naukova Dumka, 1988, 471 p.

8. Sergienko I. V., Kozerackaya L. N., Lebedeva T. T. Iscledovanie ustojchivosti i parametricheskij analiz diskretnyx optimizacionnyx zadach. Kiev, Nauk. dumka, 1995, 169 p.

9. Sergienko I. V., Shilo V. P. Zadachi diskretnoj optimizacii: problemy, metody, resheniya, issledovaniya. Kiev, Nac. akad. naukUkrainy, In-t kibernetiki im. V. M. Glushkova Nauka. dumka, 2003, 261 p.

10. Mamedov K. Sh. Issledovanie po celochislennoj optimizacii (metody, algoritmy i vychisliteTnye e’ksperimenty). Germaniya, Lambert Academic Publishing, 2012, 276 p.

11. Babaev Dzh. A., Mamedov K. Sh., Mextiev M. G. Metody postroeniya suboptimal’nyx reshenij mnogomernoj zadachi о ranсe, ZhVMiMF, 1978, Vol. 28, No. 6, pp. 1443-1453.

12. Nuriev U. G. Gibridnyj metod dlya resheniya mnogomernoj zadachi

0 ranсe. Preprint IK AN USSR, 1983, 45 p.

13. Vladimir Emelichev, Podkopaev Dmitry Quantitative stability analysis for vector problems of 0-1 programming, Discrete Optimization, 2010, Vol. 7, pp. 48-63.

14. Mamedov N. N., Mamedov K. Sh., Algoritmy postroeniya garantirovannogo resheniya i garantirovannogo priblizhennogo resheniya mnogomernoj zadachi о ranсe, Mezhdunarodnyj nauchno-texnicheskij zhurnal «Problemy Upravleniya i Informatiki», 2014, No. 5, pp. 30-37.

15. Mamedov N. N., Mamedov K. Sh. Guaranteed solution and its finding in the Integer Programming Problems, International Journal of Applied Science and Tecnology, 2015, August, Vol. 5, No. 4, pp. 46-54.

16. Mamedov N. N., Mamedov K. Sh. Ponyatie garantirovannogo resheniya i garantirovannogo suboptimalnogo resheniya otnositelno celevoj funkii v zadache о ranсe i ego postroenie (na azerb. yazyke), Izv. NANAzerb. Baku, 2016, No. 3, pp. 42^19.

17.Senjy S., Toyoda Y. An approach to linear programming with 0-

1 variables, J. Manag. Sci, 1978, Vol.15, No. 4, pp. 196-207.